అనంతం! మనిషి మనసుని ఇంతగా ప్రభావితం చేసిన లోతైన ప్రశ్న మరొకటి లేదు. మానవ మేధని ఇంతగా ఉత్తేజింపచేసిన ఊహ మరొకటి లేదు. అయినా, అనంతం కన్నా స్పష్టం చెయ్యాల్సిన భావన మరొకటి లేదు.– డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (1862-1943)
‘రహదారులన్నీ రోమ్ కి దారితీస్తాయాన్న’ ఇంగ్లీషు సామెత ఉంది కాని గణితశాస్త్రానికీ, తత్వశాస్త్రానికీ మాత్రం మేధోమార్గాలు గ్రీస్ వైపే దోవ చూపుతాయి. రెండున్నర వేల సంవత్సరాల క్రితం పార్మెనిడీస్ (Parmenides) అనే గ్రీకు తత్వవేత్త “స్థలం (space), కాలం అవిభాజ్యం, గమనం (motion) కేవలం భ్రమ మాత్రమే” అని ప్రతిపాదించి ఇతరుల హేళనకి గురయ్యాడు. అతని శిష్యుడు జీనో పార్మెనిడీస్ ప్రతిపాదనలని సమర్థిస్తూ కొన్ని విరోధాభాసలు (Paradoxes) చూపెట్టాడు. (బౌద్ధ దార్శనికులలో ఒకడైన నాగార్జునుడు (క్రీ. శ. 150-250) ఆంధ్రప్రదేశ్ లోని గుంటూరు ప్రాంతంలో నివసించాడు. ఆయన చేసిన వాదనలకీ జీనో విరోధాభాసలకీ సారూప్యత ఉంది.) జీనో చేసిన విరోధాభాసల్లో రెండు:
- గమన విరోధాభాస (Paradox of Motion): దీనిప్రకారం పరుగు పందెంలో ఎంత వేగంగా పరిగెత్తేవాడైనా తనకంటే ముందున్న మెల్లగా పరిగెత్తేవాడిని ఎప్పటికీ చేరుకోలేడు. ఉదాహరణకి అకిలీస్ అనే గ్రీకు వీరుడికీ, ఒక తాబేలుకీ పరుగు పందెం పెట్టారనుకుందాం. అకిలీస్, తాబేలు రెండు వేర్వేరు వేగాల్లోనైనా, ఒక స్థిరమైన వేగంతోనే నడుస్తున్నారనుకుందాం. అకిలీస్ కన్నా తాబేలు చాలా నెమ్మదిగా నడుస్తుంది కనుక దానిని అకిలీస్ కంటే 100 అడుగులు ముందు పెట్టి పోటీ మొదలు పెట్టినా అకిలీస్ ఎప్పటికీ తాబేలుని దాటిపోలేడు. ఇదీ ఈ విరోధాభాస సారాంశం. దానికి జీనో ఇచ్చిన వివరణ ఇది: ముందు అకిలీస్ 100 అడుగులు పరుగెత్తి తాబేలు మొదట ఉన్నచోటుకి చేరుకునేసరికి తాబేలు ఒక పది అడుగులు నడిచిందనుకుందాం. అకిలీస్ ఆ పది అడుగులు పరుగెత్తే లోపున తాబేలు మరికొంత దూరం పోతుంది. అకిలీస్ ఆ కొంత దూరం పరుగెత్తే లోపున తాబేలు మరికొంత దూరం పోతుంది. ఇలా అకిలీస్ కీ తాబేలుకీ మధ్య దూరం క్రమంగా తగ్గుతూ ఉన్నా, తాబేలు ఎప్పటికీ కాస్త ముందరే ఉంటుంది. అకిలీస్ ఎప్పటికీ తాబేలుని చేరుకోలేడు. (ఇద్దరూ స్థిరమైన వేగాల్లో నడుస్తున్నారన్న దానిని మర్చిపోకూడదు.)
- ద్విభాజక విరోధాభాస (The dichotomy paradox): దీని ప్రకారం చలనంలో ఉన్న వస్తువేదైనా తన గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి గమ్యానికి గల దూరంలో సగం దూరం ముందు ప్రయాణించాలి. ఉదాహరణకి మీరు గదిలో కుర్చీలో కూర్చుని ఉన్నారు. ఎవరో వచ్చి తలుపు తట్టారు. తలుపు తీయడానికి లేస్తారు. కుర్చీకీ తలుపుకీ మధ్య ఒక మీటరు దూరం ఉందనుకోండి. కుర్చీకీ, తలుపుకీ మధ్య ఉన్న దూరంలో సగం దూరం (½ మీటరు)ముందర నడవాలి. ఆ సగం దూరం నడవాలంటే ముందర దాంట్లో సగం దూరం ( ¼ మీటరు) నడవాలి. కాని ముందర దాంట్లో సగం నడవాలి. ఇలా నడవవలసిన దూరాలన్ని సగం చేసుకుంటూ పోతే అదెప్పుడూ సున్న కాదు. కాబట్టి అసలు మీరు కుర్చీలో నుంచి కదలలేరు! నడవవలసిన దూరాలన్నిటినీ కలుపుకుంటూపోతే ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … మీటర్ల దూరం నడవాలి. అయితే, అది అనంత శ్రేణి – అంటే, ఈ శ్రేణిని ఎంత పొడిగించినా చివరి పదం ఎప్పటికీ సున్న అవదు.
ఈ విరోధాభాసలు గొప్ప గొప్ప మేధావులనే కలవరపరిచాయి. ఇవి నిన్న మొన్నటి దాకా గణితవేత్తలనీ, తత్వవేత్తలనీ తికమకపెట్టాయి (ఇప్పటికీ వాటికి సరయిన సమాధానాలు లేవనే వాళ్ళున్నారు).
అరిస్టాటిల్ (Aristotle) అనంతాలలో రెండు రకాలు – అనంతం అయేవీ (potentially infinite), అనంతం అయినవీ (completed or actual infinity) అని విభజించి మనం ఊహించగలిగినవన్నీ అనంతం అయేవే కాని అనంతం అయినవి కాదని చెప్పి పూర్తయిన అనంతం (completed infinity) లేదనీ, దానిని గణితంలో వాడకూడదనీ శాసించాడు.
పన్నెండో శతాబ్దికి చెందిన భారతదేశపు గణితశాస్త్రవేత్త భాస్కరుడు ఏ సంఖ్యనయినా సున్నాతో భాగిస్తే వచ్చేది అనంతం అన్నాడు. అది భగవంతుడి లాంటిదన్నాడు. భగవంతుడిలోనుంచి సర్వ జీవాలు పుడతాయి, అయినా ఆయనలో మార్పు ఉండదు, జీవాలు చనిపోయి ఆయనలో కలిసిపోయినప్పుడూ మార్పు ఉండదు. అలాగే అనంతానికి ఏది కలిపినా దానిలోనుండి ఏది తీసివేసినా అనంతమే వస్తుంది అని భాస్కరుడు భావించాడు. “పూర్ణమదః పూర్ణమిదం పూర్ణాత్ పూర్ణ ముదచ్యతే, పూర్ణస్య పూర్ణమాదాయ పూర్ణమేవా వశిస్యతే” అన్న ఉపనిషద్వాక్యంలో కూడా ఇటువంటి భావనే కనిపిస్తుంది.
పరిమితమైన మేధతో మానవుడు అనంతం గురించి ఆలోచించలేడనీ, భగవంతుడు మాత్రమే అనంతాలోచనలని ఊహించగలడనీ మధ్య యుగాల సెయింట్ థామస్ అక్వైనస్ (Saint Thomas Aquinas) కూడా భావించాడు.
ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రాలకి పితామహుడని పేరున్న గెలీలియో, మతాధికారుల ఆగ్రహానికి గురై, జీవితం చివర్లో గృహనిర్బంధ శిక్షననుభవించాడు. చరిత్రలో మొదటిసారిగా అనంతం గురించి క్రమమైన ఆలోచన గెలీలియో (Galileo) 1638లో రాసిన చివరి గ్రంథం – “Dialogue Concerning Two New Sciences” లో కనబడుతుంది. ఎన్ని సహజసంఖ్యలున్నాయో – {1, 2, 3, 4, … } – అన్ని వర్గసంఖ్యలు (squares) ఉన్నాయని – {1, 4, 9, 16, … } గెలీలియో వాదించాడు. వర్గసంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలు కావడం వలన, ఇది “మొత్తం కలిపితే భాగాలకన్నా పెద్దదిగా ఉండాలి” (Whole is greater than any of its parts) అన్న సాధారణ సూత్రానికి విరుద్ధంగా ఉండి చాలా ఆశ్చర్యం కలిగించింది. దీని నుండి గెలీలియో ఏం తీర్మానించాడు? సహజ సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యల కంటె ఎక్కువనీ అనలేము, తక్కువనీ అనలేము; అసలీ ఎక్కువ తక్కువ పోలికలు పరిమితమైన (finite) వాటికేకాని అపరిమితమైన (infinite) వాటికి వర్తించవు అని తేల్చాడు. అనంతమైన సహజ సంఖ్యలున్నాయి; అనంతమైన వర్గ సంఖ్యలున్నాయి. ఒక అనంతాన్ని మరొక అనంతంతో పోల్చలేమన్నది గెలీలియో సిద్ధాంతం.
గెలీలియో చనిపోయిన నాలుగేళ్ళకి లైబ్నిట్జ్ (Leibnitz)పుట్టాడు. “అనంతం దైవాంశం, మానవాలోచనలకి అతీతం” అన్న అరిస్టాటిల్, సెయింట్ అక్వైనస్‌ల వాదనలని లైబ్నిట్జ్ తిరస్కరించాడు. కానీ, తనుకూడా గెలీలియో ఎదుర్కొన్న చిక్కునే ఎదుర్కోవాల్సొచ్చింది – ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు – {1, 2, 3, 4, …} ఉన్నాయో అన్ని సరి సంఖ్యలు – {2, 4, 8, 10, …} ఉన్నాయి. సహజ సంఖ్యలూ అనంతమే, సరి సంఖ్యలూ అనంతమే! మళ్ళీ, “మొత్తం కలిపితే భాగాలకన్నా ఎక్కువ ఉండాలి” అన్న సూత్రం వర్తించడంలేదు. ఇంత అసంబద్ధమైన అనంతమనే భావాన్ని గణితంలో వాడేదెలా అన్న సందిగ్ధంలో పడ్డాడు.
లైబ్నిట్జ్ , న్యూటన్ కనుగొన్న కలన గణితంలో తక్షణ వేగం లాంటివి కనుక్కోవడానికి “అనంత శ్రేణులు” (infinite series), “అనంతకం” (infinitesimal) అనే భావాలు (concepts) వాడవలసి వచ్చింది. అయితే, వీటికి అప్పటికి గణితపరంగా, తార్కికంగా సరయిన పునాదులు లేవు. తాము నిరూపించాలనుకున్న వాటి కోసం వీటికి క్రమమైన నిర్వచనాలు లేకుండా అప్పుడు వాడుకున్నారు. “అనంతకం” (infinitesimal) అంటే, అనంతంగా చిన్నదయేదానిని చాలా మంది సున్నాగా పరిగణించారు. అంటే, అనంతమన్నదానిని “పూర్తిగా అనంతం” (completed infinity) గా తీసుకున్నారన్నమాట! దానిని అరిస్టాటిల్ కాలం నుండే నిషేధించారు. ఇలా కలనగణితానికి ప్రాచుర్యం కలిగించిన గణితవేత్తలు తమకు తెలిసో తెలియకో సైద్ధాంతికబలం లేని భావాలని గణితంలోకి రానిచ్చారు. మతాధిక్యాన్ని ధిక్కరించి పెరుగుతున్న విజ్ఞానశాస్త్రాలని విమర్శిస్తూ బిషప్ బర్కిలీ (Bishop Berkeley) అనే ప్రముఖ తత్వవేత్త 1734 లో “The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician” అనే గ్రంథాన్ని ప్రచురించాడు. ఎలాంటి సిద్ధాంతపరమైన పునాదులూ లేకుండా న్యూటన్ లాంటి గణితవేత్తలు “అనంతకం” (infinitesimal) గురించి చేసిన ప్రతిపాదనలను తగిన విధంగా పరిశీలించకుండా అంగీకరిస్తున్నారని తీవ్రంగా విమర్శించాడు. అలాంటివే ఎవరైనా భగవంతుడు గురించి చెప్తే మాత్రం ఒంటికాలిమీద లేస్తారని గణితవేత్తలని అవహేళన చేశాడు. ఈ విమర్శ కలనగణిత పునాదులనే ప్రశ్నించింది. మితులు (limits), నిర్దుష్టమైన పద్ధతుల (rigorous forms) ద్వారా కలన గణిత పునాదుల పునర్నిర్మాణానికి ఈ విమర్శ కొంతవరకు కారణం.
కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ (Karl Weierstrass)
బిషప్ విమర్శలకి జవాబుగా కలన గణితానికి సరయిన పునాదులనివ్వడానికి పందొమ్మిదో శతాబ్దం శాస్త్రజ్ఞులు అనంత శ్రేణుల (infinite series) గురించి లోతైన పరిశోధనలు చేశారు. ఈ గణితవేత్తలలో ముఖ్యమైనవాడు కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ (1815-1897) (Karl Weierstrass). వైయర్‌స్ట్రాస్ ఆస్టెంఫెల్డ్ (జెర్మనీ)లో పుట్టాడు. వైయర్‌స్ట్రాస్ కి చిన్నప్పటినించీ లెక్కలంటే ఆసక్తి. అతని తండ్రి ఒక ప్రభుత్వోద్యోగి. తండ్రి వైయర్‌స్ట్రాస్ అకౌంటెంటు కావాలని ఆశించడంతో వైయర్‌స్ట్రాస్ కాలేజీలో న్యాయశాస్త్రం, ఆర్థశాస్త్రం అయిష్టంగా చదివాడు. ఫలితంగా డిగ్రీ తప్పి, ఉపాధ్యాయ వృత్తిలో చేరాడు. పదిహేనేళ్ళ పాటు అనేక పల్లెటూళ్ళలో పనిచేశాడు. పగలు పిల్లలకి పాఠాలు చెప్పడం, రాత్రులు గణితశాస్త్రం అభ్యసించడం మినహా వేరే గణితవేత్తలతో కనీసం ఉత్తరప్రత్యుత్తరాలకి కూడా నోచుకోకుండా గడిపాడు. ప్రమేయాలకి (functions) సంబంధించిన కొన్ని ముఖ్యమైన పేపర్లు ప్రచురించడంతో ప్రపంచం అతని అసమాన ప్రతిభని గుర్తించింది. ఓ యూనివర్సిటీ గౌరవ డాక్టరేట్ ని ఇచ్చింది. బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో చేరి పేరెన్నికగన్న ఆచార్యుడయ్యాడు. గణితశాస్త్ర –ముఖ్యంగా కలనగణిత– విశ్లేషణలో వైయర్‌స్ట్రాస్ ప్రవేశపెట్టిన నిర్దుష్టత (rigor) వలన మితులు(limits), అవిఛ్ఛిన్నత (Continuity) మొదలైన మౌలికమైన అంశాలని నిర్వచించడం సాధ్యమయింది. అతని విద్యార్థులెందరో ప్రపంచ ప్రసిద్ధులయ్యారు.
వాళ్ళల్లో ఇద్దరు సోఫియా కొవెలఫ్‌స్కయ (Sofia Kovalevskaya), గేయార్గ్ కాంటర్. కొవెలఫ్‌స్కయ (1850-1891) రష్యన్ వనిత. ఆమెకి చిన్నప్పటినించీ గణితశాస్త్రంపై మక్కువ. పై చదువులకి యూరప్ వెళ్ళాలనుకుంది. ఆడపిల్ల ఒంటరిగా వెళ్ళడానికి ప్రభుత్వం అనుమతి ఇవ్వలేదు. వ్లదిమిర్ అనే ఒక విద్యార్థిని అవసరార్థం పెళ్ళి చేసుకుని బెర్లిన్ చేరీంది. అయితే, బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో ఆరోజులలో స్త్రీలకి ప్రవేశం లేదు. వైయర్‌స్ట్రాస్ ఆమెకు ప్రైవేటుగా పాఠాలు చెప్పాడు. డాక్టరేట్ రావడానికి సహాయం చేశాడు. యూరప్ లో గణితంలో డాక్టరేట్ పొందిన మొదటి వనిత కొవెలఫ్‌స్కయ. ఆమె తరువాతి మహిళా గణితశాస్త్రవేత్తలకి మార్గదర్శకురాలయింది. ఆమె తరువాత స్త్రీలకి విద్యాలయాల్లో ప్రవేశం పెరిగింది.
లైబ్నిట్జ్ కాలం నుండి జీనో సృష్టించిన విరోధాభాసాలలో కొన్నిటికి మూలమైన అనంతశ్రేణిల మీద పరిశోధనలు జరిగాయి. ఉదాహరణకి ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … అన్న శ్రేణి (జీనో విరోధాభాసల్లో ఒకటి) అభిసారి శ్రేణి (convergent series) అని నిరూపించారు. అంటే, ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగినా, ఈ శ్రేణిలో పదాలన్నిటి కూడిక ఫలితం ఓ నియమిత విలువ (ఇక్కడ ఆ విలువ 1) కి దాటదు. ఓస్! ఆ మాత్రం తెలియలేదా, శ్రేణి పెరిగేకొద్దీ పదం (term) విలువ తగ్గుతోంది కదా అని మీరనుకోవచ్చు. ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + … ఈ శ్రేణిలో కూడా పదం విలువ తగ్గుతూనే ఉంది; కాని ఇది అపసారి శ్రేణి (divergent series). అంటే ఈ శ్రేణిని కావలసినంతగా పొడిగించి దాని కూడిక విలువ ఏ నియమిత విలువనైనా మించేటట్లు చెయ్యొచ్చు! అనంత శ్రేణుల గురించి వైయర్‌స్ట్రాస్ కూడా పరిశోధనలు చేశాడు.
వైయర్‌స్ట్రాస్ దగ్గర చదువుకున్న మరో విద్యార్థి గేయార్గ్ కాంటర్ (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor). ఏ అభిసారి శ్రేణులు ఒకే నియమిత విలువకి చేరుకుంటాయో తెలుసుకోడానికి పరిశోధిస్తూ కాంటర్ అనంతం గురించి చాలా లోతుగా ఆలోచించాడు. చివరికి విప్లవాత్మకమైన గణితాన్ని, కలన గణితంతో సంబంధం లేనిదీ, అనంతం గురించి అంతకు ముందున్నభావాలని సమూలంగా మార్చేదీ కనుక్కున్నాడు. కాంటర్ పరిశోధనా ఫలితాలు గణిత ప్రపంచంలో తీవ్రమైన కల్లోలం సృష్టించాయి. అవి అప్పటి గణిత శాస్త్రవేత్తల ఉపజ్ఞకి విరుద్ధం (counter-intuitive) గా ఉండడంతో, కాంటర్ సాటి గణిత శాస్త్రవేత్తల నుండి తీవ్రమైన ప్రతిఘటననీ, అవహేళననీ ఎదుర్కొన్నాడు. అసలు గణితశాస్త్ర పునాదుల మీదనే కొందరు సందేహాలు వెలిబుచ్చడానికి కాంటర్ కారణమయ్యాడు. చిత్రాతిచిత్రంగా ఈ సంక్షోభాల ఫలితంగా ఎవరూ ఉహించని విధంగా ఆధునిక కంప్యూటర్ ఉద్భవించింది! ఆ సంక్షోభాలకి మూలమైన కాంటర్ సృష్టించిన అనంతాల స్వర్గసీమ గురించి తెలుసుకుందాం.