అనంతం! మనిషి మనసుని ఇంతగా ప్రభావితం చేసిన లోతైన ప్రశ్న మరొకటి లేదు. మానవ మేధని ఇంతగా ఉత్తేజింపచేసిన ఊహ మరొకటి లేదు. అయినా, అనంతం కన్నా స్పష్టం చెయ్యాల్సిన భావన మరొకటి లేదు.– డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (1862-1943) 

‘రహదారులన్నీ రోమ్ కి దారితీస్తాయాన్న’ ఇంగ్లీషు సామెత ఉంది కాని గణితశాస్త్రానికీ, తత్వశాస్త్రానికీ మాత్రం మేధోమార్గాలు గ్రీస్ వైపే దోవ చూపుతాయి. రెండున్నర వేల సంవత్సరాల క్రితం పార్మెనిడీస్ (Parmenides) అనే గ్రీకు తత్వవేత్త “స్థలం (space), కాలం అవిభాజ్యం, గమనం (motion) కేవలం భ్రమ మాత్రమే” అని ప్రతిపాదించి ఇతరుల హేళనకి గురయ్యాడు. అతని శిష్యుడు జీనో పార్మెనిడీస్ ప్రతిపాదనలని సమర్థిస్తూ కొన్ని విరోధాభాసలు (Paradoxes) చూపెట్టాడు. (బౌద్ధ దార్శనికులలో ఒకడైన నాగార్జునుడు (క్రీ. శ. 150-250) ఆంధ్రప్రదేశ్ లోని గుంటూరు ప్రాంతంలో నివసించాడు. ఆయన చేసిన వాదనలకీ జీనో విరోధాభాసలకీ సారూప్యత ఉంది.) జీనో చేసిన విరోధాభాసల్లో రెండు:

1. గమన విరోధాభాస (Paradox of Motion): దీనిప్రకారం పరుగు పందెంలో ఎంత వేగంగా పరిగెత్తేవాడైనా తనకంటే ముందున్న మెల్లగా పరిగెత్తేవాడిని ఎప్పటికీ చేరుకోలేడు. ఉదాహరణకి అకిలీస్ అనే గ్రీకు వీరుడికీ, ఒక తాబేలుకీ పరుగు పందెం పెట్టారనుకుందాం. అకిలీస్, తాబేలు రెండు వేర్వేరు వేగాల్లోనైనా, ఒక స్థిరమైన వేగంతోనే నడుస్తున్నారనుకుందాం. అకిలీస్ కన్నా తాబేలు చాలా నెమ్మదిగా నడుస్తుంది కనుక దానిని అకిలీస్ కంటే 100 అడుగులు ముందు పెట్టి పోటీ మొదలు పెట్టినా అకిలీస్ ఎప్పటికీ తాబేలుని దాటిపోలేడు. ఇదీ ఈ విరోధాభాస సారాంశం. దానికి జీనో ఇచ్చిన వివరణ ఇది: ముందు అకిలీస్ 100 అడుగులు పరుగెత్తి తాబేలు మొదట ఉన్నచోటుకి చేరుకునేసరికి తాబేలు ఒక పది అడుగులు నడిచిందనుకుందాం. అకిలీస్ ఆ పది అడుగులు పరుగెత్తే లోపున తాబేలు మరికొంత దూరం పోతుంది. అకిలీస్ ఆ కొంత దూరం పరుగెత్తే లోపున తాబేలు మరికొంత దూరం పోతుంది. ఇలా అకిలీస్ కీ తాబేలుకీ మధ్య దూరం క్రమంగా తగ్గుతూ ఉన్నా, తాబేలు ఎప్పటికీ కాస్త ముందరే ఉంటుంది. అకిలీస్ ఎప్పటికీ తాబేలుని చేరుకోలేడు. (ఇద్దరూ స్థిరమైన వేగాల్లో నడుస్తున్నారన్న దానిని మర్చిపోకూడదు.)
2. ద్విభాజక విరోధాభాస (The dichotomy paradox): దీని ప్రకారం చలనంలో ఉన్న వస్తువేదైనా తన గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి గమ్యానికి గల దూరంలో సగం దూరం ముందు ప్రయాణించాలి. ఉదాహరణకి మీరు గదిలో కుర్చీలో కూర్చుని ఉన్నారు. ఎవరో వచ్చి తలుపు తట్టారు. తలుపు తీయడానికి లేస్తారు. కుర్చీకీ తలుపుకీ మధ్య ఒక మీటరు దూరం ఉందనుకోండి. కుర్చీకీ, తలుపుకీ మధ్య ఉన్న దూరంలో సగం దూరం (½ మీటరు)ముందర నడవాలి. ఆ సగం దూరం నడవాలంటే ముందర దాంట్లో సగం దూరం ( ¼ మీటరు) నడవాలి. కాని ముందర దాంట్లో సగం నడవాలి. ఇలా నడవవలసిన దూరాలన్ని సగం చేసుకుంటూ పోతే అదెప్పుడూ సున్న కాదు. కాబట్టి అసలు మీరు కుర్చీలో నుంచి కదలలేరు! నడవవలసిన దూరాలన్నిటినీ కలుపుకుంటూపోతే ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … మీటర్ల దూరం నడవాలి. అయితే, అది అనంత శ్రేణి – అంటే, ఈ శ్రేణిని ఎంత పొడిగించినా చివరి పదం ఎప్పటికీ సున్న అవదు.

ఈ విరోధాభాసలు గొప్ప గొప్ప మేధావులనే కలవరపరిచాయి. ఇవి నిన్న మొన్నటి దాకా గణితవేత్తలనీ, తత్వవేత్తలనీ తికమకపెట్టాయి (ఇప్పటికీ వాటికి సరయిన సమాధానాలు లేవనే వాళ్ళున్నారు).

అరిస్టాటిల్ (Aristotle) అనంతాలలో రెండు రకాలు – అనంతం అయేవీ (potentially infinite), అనంతం అయినవీ (completed or actual infinity) అని విభజించి మనం ఊహించగలిగినవన్నీ అనంతం అయేవే కాని అనంతం అయినవి కాదని చెప్పి పూర్తయిన అనంతం (completed infinity) లేదనీ, దానిని గణితంలో వాడకూడదనీ శాసించాడు.

పన్నెండో శతాబ్దికి చెందిన భారతదేశపు గణితశాస్త్రవేత్త భాస్కరుడు ఏ సంఖ్యనయినా సున్నాతో భాగిస్తే వచ్చేది అనంతం అన్నాడు. అది భగవంతుడి లాంటిదన్నాడు. భగవంతుడిలోనుంచి సర్వ జీవాలు పుడతాయి, అయినా ఆయనలో మార్పు ఉండదు, జీవాలు చనిపోయి ఆయనలో కలిసిపోయినప్పుడూ మార్పు ఉండదు. అలాగే అనంతానికి ఏది కలిపినా దానిలోనుండి ఏది తీసివేసినా అనంతమే వస్తుంది అని భాస్కరుడు భావించాడు. “పూర్ణమదః పూర్ణమిదం పూర్ణాత్ పూర్ణ ముదచ్యతే, పూర్ణస్య పూర్ణమాదాయ పూర్ణమేవా వశిస్యతే” అన్న ఉపనిషద్వాక్యంలో కూడా ఇటువంటి భావనే కనిపిస్తుంది.

పరిమితమైన మేధతో మానవుడు అనంతం గురించి ఆలోచించలేడనీ, భగవంతుడు మాత్రమే అనంతాలోచనలని ఊహించగలడనీ మధ్య యుగాల సెయింట్ థామస్ అక్వైనస్ (Saint Thomas Aquinas) కూడా భావించాడు.

ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రాలకి పితామహుడని పేరున్న గెలీలియో, మతాధికారుల ఆగ్రహానికి గురై, జీవితం చివర్లో గృహనిర్బంధ శిక్షననుభవించాడు. చరిత్రలో మొదటిసారిగా అనంతం గురించి క్రమమైన ఆలోచన గెలీలియో (Galileo) 1638లో రాసిన చివరి గ్రంథం – “Dialogue Concerning Two New Sciences” లో కనబడుతుంది. ఎన్ని సహజసంఖ్యలున్నాయో – {1, 2, 3, 4, … } – అన్ని వర్గసంఖ్యలు (squares) ఉన్నాయని – {1, 4, 9, 16, … } గెలీలియో వాదించాడు. వర్గసంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలు కావడం వలన, ఇది “మొత్తం కలిపితే భాగాలకన్నా పెద్దదిగా ఉండాలి” (Whole is greater than any of its parts) అన్న సాధారణ సూత్రానికి విరుద్ధంగా ఉండి చాలా ఆశ్చర్యం కలిగించింది. దీని నుండి గెలీలియో ఏం తీర్మానించాడు? సహజ సంఖ్యలు వర్గ సంఖ్యల కంటె ఎక్కువనీ అనలేము, తక్కువనీ అనలేము; అసలీ ఎక్కువ తక్కువ పోలికలు పరిమితమైన (finite) వాటికేకాని అపరిమితమైన (infinite) వాటికి వర్తించవు అని తేల్చాడు. అనంతమైన సహజ సంఖ్యలున్నాయి; అనంతమైన వర్గ సంఖ్యలున్నాయి. ఒక అనంతాన్ని మరొక అనంతంతో పోల్చలేమన్నది గెలీలియో సిద్ధాంతం.

గెలీలియో చనిపోయిన నాలుగేళ్ళకి లైబ్‌నిట్జ్ (Leibnitz)పుట్టాడు. “అనంతం దైవాంశం, మానవాలోచనలకి అతీతం” అన్న అరిస్టాటిల్, సెయింట్ అక్వైనస్‌ల వాదనలని లైబ్‌నిట్జ్ తిరస్కరించాడు. కానీ, తనుకూడా గెలీలియో ఎదుర్కొన్న చిక్కునే ఎదుర్కోవాల్సొచ్చింది – ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు – {1, 2, 3, 4, …} ఉన్నాయో అన్ని సరి సంఖ్యలు – {2, 4, 8, 10, …} ఉన్నాయి. సహజ సంఖ్యలూ అనంతమే, సరి సంఖ్యలూ అనంతమే! మళ్ళీ, “మొత్తం కలిపితే భాగాలకన్నా ఎక్కువ ఉండాలి” అన్న సూత్రం వర్తించడంలేదు. ఇంత అసంబద్ధమైన అనంతమనే భావాన్ని గణితంలో వాడేదెలా అన్న సందిగ్ధంలో పడ్డాడు.

లైబ్‌నిట్జ్ , న్యూటన్ కనుగొన్న కలన గణితంలో తక్షణ వేగం లాంటివి కనుక్కోవడానికి “అనంత శ్రేణులు” (infinite series), “అనంతకం” (infinitesimal) అనే భావాలు (concepts) వాడవలసి వచ్చింది. అయితే, వీటికి అప్పటికి గణితపరంగా, తార్కికంగా సరయిన పునాదులు లేవు. తాము నిరూపించాలనుకున్న వాటి కోసం వీటికి క్రమమైన నిర్వచనాలు లేకుండా అప్పుడు వాడుకున్నారు. “అనంతకం” (infinitesimal) అంటే, అనంతంగా చిన్నదయేదానిని చాలా మంది సున్నాగా పరిగణించారు. అంటే, అనంతమన్నదానిని “పూర్తిగా అనంతం” (completed infinity) గా తీసుకున్నారన్నమాట! దానిని అరిస్టాటిల్ కాలం నుండే నిషేధించారు. ఇలా కలనగణితానికి ప్రాచుర్యం కలిగించిన గణితవేత్తలు తమకు తెలిసో తెలియకో సైద్ధాంతికబలం లేని భావాలని గణితంలోకి రానిచ్చారు. మతాధిక్యాన్ని ధిక్కరించి పెరుగుతున్న విజ్ఞానశాస్త్రాలని విమర్శిస్తూ బిషప్ బర్కిలీ (Bishop Berkeley) అనే ప్రముఖ తత్వవేత్త 1734 లో “The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician” అనే గ్రంథాన్ని ప్రచురించాడు. ఎలాంటి సిద్ధాంతపరమైన పునాదులూ లేకుండా న్యూటన్ లాంటి గణితవేత్తలు “అనంతకం” (infinitesimal) గురించి చేసిన ప్రతిపాదనలను తగిన విధంగా పరిశీలించకుండా అంగీకరిస్తున్నారని తీవ్రంగా విమర్శించాడు. అలాంటివే ఎవరైనా భగవంతుడు గురించి చెప్తే మాత్రం ఒంటికాలిమీద లేస్తారని గణితవేత్తలని అవహేళన చేశాడు. ఈ విమర్శ కలనగణిత పునాదులనే ప్రశ్నించింది. మితులు (limits), నిర్దుష్టమైన పద్ధతుల (rigorous forms) ద్వారా కలన గణిత పునాదుల పునర్నిర్మాణానికి ఈ విమర్శ కొంతవరకు కారణం.

కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ (Karl Weierstrass)

బిషప్ విమర్శలకి జవాబుగా కలన గణితానికి సరయిన పునాదులనివ్వడానికి పందొమ్మిదో శతాబ్దం శాస్త్రజ్ఞులు అనంత శ్రేణుల (infinite series) గురించి లోతైన పరిశోధనలు చేశారు. ఈ గణితవేత్తలలో ముఖ్యమైనవాడు కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ (1815-1897) (Karl Weierstrass). వైయర్‌స్ట్రాస్ ఆస్టెంఫెల్డ్ (జెర్మనీ)లో పుట్టాడు. వైయర్‌స్ట్రాస్ కి చిన్నప్పటినించీ లెక్కలంటే ఆసక్తి. అతని తండ్రి ఒక ప్రభుత్వోద్యోగి. తండ్రి వైయర్‌స్ట్రాస్ అకౌంటెంటు కావాలని ఆశించడంతో వైయర్‌స్ట్రాస్ కాలేజీలో న్యాయశాస్త్రం, ఆర్థశాస్త్రం అయిష్టంగా చదివాడు. ఫలితంగా డిగ్రీ తప్పి, ఉపాధ్యాయ వృత్తిలో చేరాడు. పదిహేనేళ్ళ పాటు అనేక పల్లెటూళ్ళలో పనిచేశాడు. పగలు పిల్లలకి పాఠాలు చెప్పడం, రాత్రులు గణితశాస్త్రం అభ్యసించడం మినహా వేరే గణితవేత్తలతో కనీసం ఉత్తరప్రత్యుత్తరాలకి కూడా నోచుకోకుండా గడిపాడు. ప్రమేయాలకి (functions) సంబంధించిన కొన్ని ముఖ్యమైన పేపర్లు ప్రచురించడంతో ప్రపంచం అతని అసమాన ప్రతిభని గుర్తించింది. ఓ యూనివర్సిటీ గౌరవ డాక్టరేట్ ని ఇచ్చింది. బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో చేరి పేరెన్నికగన్న ఆచార్యుడయ్యాడు. గణితశాస్త్ర –ముఖ్యంగా కలనగణిత– విశ్లేషణలో వైయర్‌స్ట్రాస్ ప్రవేశపెట్టిన నిర్దుష్టత (rigor) వలన మితులు(limits), అవిఛ్ఛిన్నత (Continuity) మొదలైన మౌలికమైన అంశాలని నిర్వచించడం సాధ్యమయింది. అతని విద్యార్థులెందరో ప్రపంచ ప్రసిద్ధులయ్యారు.

వాళ్ళల్లో ఇద్దరు సోఫియా కొవెలఫ్‌స్కయ (Sofia Kovalevskaya), గేయార్గ్ కాంటర్. కొవెలఫ్‌స్కయ (1850-1891) రష్యన్ వనిత. ఆమెకి చిన్నప్పటినించీ గణితశాస్త్రంపై మక్కువ. పై చదువులకి యూరప్ వెళ్ళాలనుకుంది. ఆడపిల్ల ఒంటరిగా వెళ్ళడానికి ప్రభుత్వం అనుమతి ఇవ్వలేదు. వ్లదిమిర్ అనే ఒక విద్యార్థిని అవసరార్థం పెళ్ళి చేసుకుని బెర్లిన్ చేరీంది. అయితే, బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో ఆరోజులలో స్త్రీలకి ప్రవేశం లేదు. వైయర్‌స్ట్రాస్ ఆమెకు ప్రైవేటుగా పాఠాలు చెప్పాడు. డాక్టరేట్ రావడానికి సహాయం చేశాడు. యూరప్ లో గణితంలో డాక్టరేట్ పొందిన మొదటి వనిత కొవెలఫ్‌స్కయ. ఆమె తరువాతి మహిళా గణితశాస్త్రవేత్తలకి మార్గదర్శకురాలయింది. ఆమె తరువాత స్త్రీలకి విద్యాలయాల్లో ప్రవేశం పెరిగింది.

లైబ్నిట్జ్ కాలం నుండి జీనో సృష్టించిన విరోధాభాసాలలో కొన్నిటికి మూలమైన అనంతశ్రేణిల మీద పరిశోధనలు జరిగాయి. ఉదాహరణకి ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … అన్న శ్రేణి (జీనో విరోధాభాసల్లో ఒకటి) అభిసారి శ్రేణి (convergent series) అని నిరూపించారు. అంటే, ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగినా, ఈ శ్రేణిలో పదాలన్నిటి కూడిక ఫలితం ఓ నియమిత విలువ (ఇక్కడ ఆ విలువ 1) కి దాటదు. ఓస్! ఆ మాత్రం తెలియలేదా, శ్రేణి పెరిగేకొద్దీ పదం (term) విలువ తగ్గుతోంది కదా అని మీరనుకోవచ్చు. ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + … ఈ శ్రేణిలో కూడా పదం విలువ తగ్గుతూనే ఉంది; కాని ఇది అపసారి శ్రేణి (divergent series). అంటే ఈ శ్రేణిని కావలసినంతగా పొడిగించి దాని కూడిక విలువ ఏ నియమిత విలువనైనా మించేటట్లు చెయ్యొచ్చు! అనంత శ్రేణుల గురించి వైయర్‌స్ట్రాస్ కూడా పరిశోధనలు చేశాడు.

వైయర్‌స్ట్రాస్ దగ్గర చదువుకున్న మరో విద్యార్థి గేయార్గ్ కాంటర్ (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor). ఏ అభిసారి శ్రేణులు ఒకే నియమిత విలువకి చేరుకుంటాయో తెలుసుకోడానికి పరిశోధిస్తూ కాంటర్ అనంతం గురించి చాలా లోతుగా ఆలోచించాడు. చివరికి విప్లవాత్మకమైన గణితాన్ని, కలన గణితంతో సంబంధం లేనిదీ, అనంతం గురించి అంతకు ముందున్నభావాలని సమూలంగా మార్చేదీ కనుక్కున్నాడు. కాంటర్ పరిశోధనా ఫలితాలు గణిత ప్రపంచంలో తీవ్రమైన కల్లోలం సృష్టించాయి. అవి అప్పటి గణిత శాస్త్రవేత్తల ఉపజ్ఞకి విరుద్ధం (counter-intuitive) గా ఉండడంతో, కాంటర్ సాటి గణిత శాస్త్రవేత్తల నుండి తీవ్రమైన ప్రతిఘటననీ, అవహేళననీ ఎదుర్కొన్నాడు. అసలు గణితశాస్త్ర పునాదుల మీదనే కొందరు సందేహాలు వెలిబుచ్చడానికి కాంటర్ కారణమయ్యాడు. చిత్రాతిచిత్రంగా ఈ సంక్షోభాల ఫలితంగా ఎవరూ ఉహించని విధంగా ఆధునిక కంప్యూటర్ ఉద్భవించింది! ఆ సంక్షోభాలకి మూలమైన కాంటర్ సృష్టించిన అనంతాల స్వర్గసీమ గురించి తెలుసుకుందాం.

గేయార్గ్ కాంటర్ జీవిత సంగ్రహం

గేయార్గ్ కాంటర్
(1845-1918)

గేయార్గ్ కాంటర్ రష్యాలోని సెయింట్ పీటర్స్‌బెర్గ్‌లో 1845 లో పుట్టాడు. తండ్రి వ్యాపారస్తుడు – ముందర హోల్ సేల్ ఏజెంటుగా పనిచేసి తర్వాత స్టాక్ ఎక్స్చేంజ్‌లో బ్రోకర్ గా పనిచేశాడు. కాంటర్ తల్లికి సంగీతంలో మంచి అభినివేశం ఉంది.

పందొమ్మిదో శతాబ్దంలో యూరప్ లో క్షయ వ్యాధి ఎంతోమంది పేదవాళ్ళనీ, ధనవంతుల్నీ పొట్టనపెట్టుకుంది. కాంటర్ తండ్రి కూడా క్షయ వ్యాధి పాలయ్యాడు. 1856లో ప్రమాదకరమైన సెయింట్ పీటర్స్‌బెర్గ్‌ చలినుండి తప్పించుకోవడానికి కాంటర్ తండ్రి జర్మనీకి కుటుంబంతో సహా నివాసం మార్చాడు. ఆయన కేవలం దక్షతగల వ్యాపారస్తుడే కాక, సున్నితమైన భావాలు కలవాడు. కొడుకుకి చిన్నతనంలో చక్కటి ఉత్తరాలు రాసేవాడు. కాంటర్ విద్యాబుద్ధుల మీద ఎంతో శ్రద్ధ కనబరిచేవాడు. తనకి చిన్నప్పుడే రాసిన ఒక ఉత్తరం, కాంటర్ జీవితకాలం గుర్తుంచుకున్నదీ ఒకటుంది. అది అతని జీవితంలో ముందు జరగబోయేది ఊహించి చెప్పినట్లుగా ఉంది:

“ముందు ముందు ఏ కష్టాలెదుర్కోవాల్సొస్తుందో ఎవరికి తెలుసు? జీవితంలో మొదటిసారిగా ఏదైనా విపత్తుని ఎదుర్కోవలసివచ్చినప్పుడు పిరికితనంతో వెనుకంజ వేసిన ప్రతిభావంతులెందరు లేరు? ఒకసారి గుండె బలం కోల్పోయినతర్వాత మిగిలేదేముంది – మహా అయితే ఒకప్పటి మేధావిగా మిగిలిపోతారు. దేనికయినా గుండె ధైర్యం ఉండాలి. అన్ని కాలాల్లోనూ అదే నీకు అండదండలుగా ఉండేది.”

“కాని, మనమీద అసూయతో అపవాదులు సృష్టించి మన ఆశలని అడియాసలు చెయ్యడానికి ఎప్పుడూ సంసిద్ధంగా ఉండే అంతర్‌బహిర్ శత్రువులని ఓ కాపు కాయాలంటే గుండె ధైర్యమొక్కటే చాలదు. వివిధ సాంకేతిక రంగాలలో విస్తారమైన విజ్ఞానం సంపాదించాలి. కష్టపడి జీవితంలో పైకి రావాలనుకునేవాళ్ళకి ఇవి ఎంతో అవసరం; లేకపోతే అనర్హులైన వాళ్ళు అర్హులైన వాళ్ళని వెనక్కి తోసి ముందుకెళతారు.”

గేయార్గ్ ఇంజనీరింగ్ చదివితే మంచిదని తండ్రి నిశ్చయించాడు. కాంటర్ 1862 లో జూరిక్ లోని పాలిటెక్నిక్ కాలేజీలో చేరాడు. చదువులో రాణించాడు. కానీ, ఇంజనీరింగ్ కన్నా లెక్కలంటే కాంటర్ కి మక్కువ ఎక్కువ. ‘తమ మనసుకి ఏది ఇష్ష్టమో దానిలో కృషిచేస్తేనే జీవితంలో ఎవరైనా ఏదైనా సాధింగలరనీ, రేయింబవళ్ళూ తన ఆలోచనలలో గణితశాస్త్రం మించి మరేమీ లేదనీ, గణితశాస్త్రం చదవాలన్న నిర్ణయానికి ఒప్పుకోమనీ’ గేయార్గ్ తండ్రికి వినయంగా ఉత్తరం రాశాడు. ఆయన సంతోషంతో సరేనన్నాడు కానీ, అకాల మృత్యువు పాలయ్యాడు. తండ్రి వ్యాపారంలో బాగా మిగల్చడం వలన అతని కుటుంబం పెద్దదైనా, ఆర్థికంగా ఇబ్బందుల పాలవలేదు. 1863 లో కాంటర్ పేరు పొందిన బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో చేరి, నాలుగేళ్ళలోనే సంఖ్యాశాస్త్రం (Number Theory) లో డాక్టరేట్ సంపాదించాడు. అనంతాల గణితం గురించి కాంటర్ చేసిన విప్లవాత్మకమైన సిద్ధాంతాలు అక్కడ వైయర్‌స్ట్రాస్ లాంటి గొప్ప గణితవేత్తల మన్ననలు పొందాయి. అవే సిద్ధాంతాల వలన కాంటర్ గురువైన మరో ప్రముఖ గణితవేత్త లియొపోల్డ్ క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker) కాంటర్ కి బద్ధ విరోధిగా మారడం విశేషం. డాక్టరేట్ సంపాదించినతర్వాత హాలీ (Halle University) యూనివర్సిటీలో ప్రొఫెసరుగా చేరాడు. కాంటర్ తన చెల్లెలి స్నేహితురాలైన వాలీ గట్‌మన్ (Vally Guttmann) ని పెళ్ళి చేసుకున్నాడు. ఆరుగురు పిల్లలతో కాంటర్ వైవాహిక జీవితం సంతోషంగా సాగింది. కాంటర్ 1913 లో హాలీలో పదవీ విరమణ చేశాడు. బైపోలార్ మానసిక వ్యాధికి గురై 1918 లో శానిటోరియంలో చికిత్స పొందుతూ చనిపోయాడు.

హాలీ పేరున్న యూనివర్సిటీ కాకపోయినా, తోటి ప్రొఫెసర్లు మేధావులు కాకపోయినా కాంటర్ ఒకరిద్దరు స్నేహితుల ప్రోద్బలంతో, వారి ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలతో తన పరిశోధనలని సాగించి ఓ విప్లవాత్మకమైన గణిత విభాగానికి కారకుడయ్యాడు. అనంతాల గురించి తెలుసుకునే ముందు దానికి మూలమైన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని (Set Theory) — ఇప్పుడు హైస్కూలు పిల్లలు చదువుకునేదానిని– పరిచయం చేసుకుందాం.

సమితుల సిద్ధాంతం (Set Theory)

కొన్నిటిని ఓ గుంపుగా కలిపితే వచ్చేది సమితి. ఆ కలిపేవి ఏవయినా – వస్తువులు, జీవాలు, ప్రదేశాలు, సంఖ్యలు, భావాలు – కావచ్చు; ఎన్నయినా కావొచ్చు. ఉదాహరణకి, {రాముడు, లక్ష్మణుడు} అన్న సమితిలో రెండు, {1, 9, 4, 8} అన్నదానిలో నాలుగు సభ్యులుగా ఉన్నాయి. సమితిలోని సభ్యుల సంఖ్యనే ఆ సమితి సైజు (set cardinality or power of the set) అంటారు. A = {1, 9, 4, 8} అన్న సమితి సైజు 4. A = {} అన్న సమితి సైజు సున్న – దాంట్లో సభ్యులెవరూ లేరు కనుక. A = {1, 2, 3, …} అన్న సమితి సైజెంత? దీనిలో సహజ సంఖ్యలన్నీ ఉన్నాయి; అవి అనంతం. ప్రస్తుతానికి ఆ సైజు అనంతం అనుకుందాం. కాంటర్ గొప్పతనమంతా అనంత సమితులని (infinite sets) కూలంకషంగా పరిశోధించడమే. అందుకు ఆయన ఉపయోగించుకున్న ఓ ముఖ్య సూత్రం, రెండు సమితులు సమమో కాదో తేల్చి చెప్పడానికి సంబంధించినది. అది చాలా సులభమైనది కానీ, అనంతాల దగ్గరకొచ్చేటప్పటికి మాత్రం మన ఉపజ్ఞ (intuition) కి విరుద్ధమైనది.

ఒకదానికొకటి జతచెయ్యడం (One-to-one correspondence)

ఎవరైనా పసిపాపని తన కుడి చేతికీ ఎడమ చేతికీ వేళ్ళు సమానంగా ఉన్నాయా అని అడిగితే ఏం చేస్తుంది? కుడి చెయ్యి చూసుకొని, ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు, అయిదు అని లెక్కపెట్టి, ఎడమ చెయ్యి చూసుకొని, అలాగే లెక్కపెట్టి, అవును, సమంగానే ఉన్నాయని చెప్పవచ్చు. ఆ పసిపాప గణిత జ్ఞానం ఇంకా ఆ స్థాయికి రాకపోతే ఏం చేస్తుంది? రెండు చేతుల వేళ్ళనీ ఒకదానికొకటి – కుడి బొటనవేలు ఎడమ బొటనవేలికీ, కుడి చూపుడు వేలు ఎడమ చూపుడు వేలుకీ …, కుడి చిటికెనవేలు ఎడమచిటికెన వేలుకీ, అలా ప్రతి కుడి వేలునీ ఒక ఎడమ వేలుతో జతచేసి, ఎన్ని వేళ్ళున్నాయో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేకుండా, కుడి చేతికీ ఎడమ చేతికీ సమానమైన వేళ్ళున్నాయని చెప్పవచ్చు.

ఓ గదిలో అమ్మాయిలూ అబ్బాయిలూ ఉన్నారనుకుందాం. వాళ్ళని జతలుగా, ప్రతి జతలో ఒక అబ్బాయీ, ఒక అమ్మయీ ఉండేడేటట్లుగా ఒకరికొకరు ఎదురుగా నిలబడమన్నామనుకోండి. చివరకి అబ్బాయిలు మిగిలితే, అబ్బాయిలు ఎక్కువున్నారనీ, అమ్మాయిలు మిగిలితే అమ్మాయిలు ఎక్కువున్నారనీ, ఎవరూ జతలేకుండా మిగలకపోతే అబ్బాయిలూ, అమ్మాయిలూ సమానంగా ఉన్నారనీ మనం తెలుసుకోవచ్చు. లెక్కించడం కన్నా ఇలా జతచెయ్యటమే మౌలికమైనది; మానవుడికి లెక్కించటం తెలియక మునుపే జతచేసి సమానమో కాదో తేల్చడం తెలుసు. ఈ సూత్రం పరిమితమైన సమితులకే కాక అపరిమిత (infinite) సమితులకి కూడా వర్తిస్తుంది.

సహజ సంఖ్యల సమితి (N) – {1, 2, 3, 4, … }, వర్గ సంఖ్యల సమితి(S) – {1, 4, 9, 16, …. }, ఈ రెంటినీ తీసుకొని ఓ ప్రశ్న వేసుకుందాం: సహజ సంఖ్యలు ఎక్కువ ఉన్నాయా, వర్గ సంఖ్యలు ఎక్కువ ఉన్నాయా? ముందర సహజ సంఖ్యలే ఎక్కువ అని తోస్తుంది – ప్రతి వర్గ సంఖ్యా ఒక సహజ సంఖ్యే కాని, అన్ని సహజ సంఖ్యాలూ వర్గాలు కాదు. ఉదాహరణకి మూడు వర్గ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి సహజ సంఖ్యలే ఎక్కువ అని సులభంగా చెప్పొచ్చు. కాని గెలీలియో వీటినిలా ఒకదానికొకటి జతచేశాడు:

1	2	3	4	5	6	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕
1	4	9	16	25	36	… (S – వర్గ సంఖ్యల సమితి)

N లో ఏ సంఖ్యనయినా తీసుకోండి, దాని వర్గం S లో ఉంటుంది; S లో ఏ సంఖ్యనయినా తీసుకోండి, దాని వర్గ మూలం N లో ఉంటుంది. ఈ రెండు సమితులలోని సంఖ్యలని ఒకదానికొకటి జతచెయ్యగలం. అంటే N లో ఎన్ని సంఖ్యలున్నాయో S లో కూడా అన్నే ఉన్నాయి! మరోసారి సహజ సంఖ్యలని పరిశీలించండి – పక్కపక్క సంఖ్యల మధ్య తేడా ఎప్పుడూ ఒకటి గా ఉంది. వర్గ సంఖ్యలని చూడండి – పక్కపక్క సంఖ్యల మధ్య తేడా ఒకటి కన్నా ఎక్కువగా ఉండడమే కాక తేడా పెరుగుతూ పోతుంది – 4 తర్వాత 9 అంటే తేడా 5, 25 తర్వాత 36 అంటే మధ్య తేడా 11, 10000 (ఇది 100 కి వర్గం) తర్వాత 10201 (ఇది 101 కి వర్గం) అంటే మధ్య తేడా 201. ఇలా పై వర్గ సంఖ్యలకి వెళ్ళే కొలదీ పక్కపక్క వాటి మధ్య తేడా పెరుగుతూ పోతుంది. అయినా, సహజ సంఖ్యల సమితిలో ఎన్ని సంఖ్యలున్నాయో మధ్యలో తేడాలున్న వర్గ సంఖ్యల సమితిలో కూడా అన్నే సంఖ్యలున్నాయి!

ఈ విషయం గెలీలియో ముందరే కనుగొన్నాడని పైన తెలుసుకున్నాం. లైబ్నిట్జ్ కూడా సహజ సంఖ్యలూ, సరి సంఖ్యలూ సమానంగా ఉన్నాయని నిరూపించాడు. అయితే, గొప్ప మేధావులైన వారిద్దరికి కూడా ఇది చాలా అసంబద్ధంగా అనిపించింది – మొత్తం ఒక భాగానికెలా సమానమవుతుంది? అన్న చిక్కు సమస్య నుండి బయటపడలేక, అనంతం గురించిన ఆలోచనని ముందుకు తీసుకెళ్ళలేకపోయారు.

కాంటర్ ఈ చిక్కు సమస్యని తలక్రిందులు చేశాడు. ‘పరిమితమైన వాటికి వర్తించేవి అపరిమితమైన వాటికెందుకు వర్తించాలి?’ అని ప్రశ్నించాడు. అంతేకాదు, మొత్తం ఓ భాగానికి సమానమయితేనే అది అనంతమైన సమితి అన్నాడు! దానితో వందల ఏళ్ళుగా అనంతం అన్న ఆలోచనకి వేసిన సంకెళ్ళు విడగొట్టినయింది; అనంతంఅనే ఊహాలోకాల్లోకి స్వేచ్ఛగా విహరించడానికి వీలుపడింది.

అనంతాలలో పెద్దా చిన్నా

“The essence of mathematics is freedom.” – Cantor

కాంటర్ సహజ సంఖ్యలతో మొదలు పెట్టి రక రకాల అనంతసమితులని (infinite sets) పరిశీలించాడు. బేసి సంఖ్యలు, సరి సంఖ్యలు, వర్గ సంఖ్యలు – ఇవన్నీ సహజ సంఖ్యలలో భాగం కదా. సహజ సంఖ్యలే భాగంగా ఉన్న అనంతం ఏమిటి? రుణ సంఖ్యలూ, ధన సంఖ్యలూ ఉన్న సమితి (I) – {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} ని తీసుకుంటే దీంట్లో సహజ సంఖ్యలన్నీ ఉన్నాయి, వాటి రుణ రూపకాలు కూడా ఉన్నాయి. మరి దీని సైజు ఎంత? పైకి చూస్తే ఇది సహజ సంఖ్యల సమితి కంటె పెద్దదనిపిస్తుంది – రుణ, ధన, రెండు వైపులా ఇది అనంతంగా సాగుతుంది కనుక. కాని ఈ రెంటినీ ఇలా జత చెయ్యొచ్చు:

1	2	3	4	5	6	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕
0	-1	1	-2	2	-3	… (I – రుణ, ధన సంఖ్యల సమితి)

N లో m సరి సంఖ్య అయితే అది I లో –m/2 తో జతకూడుతుంది; m బేసి సంఖ్య అయితే అది I లో (m-1)/2 తో జతకూడుతుంది. I లో m రుణ సంఖ్య అయితే N లో -2m తో, కాకపోతే 2m+1 తో జతకూడుతుంది. ఒకదానికొకటి సరిగా జతచెయ్యొచ్చు. అంటే N లోనూ I లోనూ సమానమైన సంఖ్యలున్నాయన్న మాట. ఆ రెండు సమితుల సైజులూ సమానం. అనంతం, కానీ, సమానం.

అనంతంతో ఇంకాస్త అభ్యాసం చేద్దాం. పూర్ణ సంఖ్యలు కాకుండా భిన్నాలని తీసుకుని చూద్దాం. భిన్నాలనే కరణీయ సంఖ్యలు (rational numbers) అంటారు. వాటిని సహజ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా రాయగలం; ½, 2/3, 7/1, 5/4 – ఇలా. కరణీయ సంఖ్యలనన్నిటి సమితిని (Q) తీసుకుందాం. దీని సైజు సహజ సంఖ్యల సమితి (N) సైజు కన్నా ఎక్కువా, కాదా? సహజ సంఖ్యలన్నీ కరణీయ సంఖ్యల్లో భాగమే – 5 కి బదులు 5/1 అని రాయొచ్చు. పక్కపక్కనున్న సహజ సంఖ్యలనే తీసుకోండి. వీటి మధ్యన అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలున్నాయి. ఉదాహరణకి 2 కీ 3 కీ మధ్య 2/1, 2+1/2=5/2, 2+1/3=7/3, 2+1/4=9/4, 2+1/5=11/5, … అలా 3 కి చేరకుండా అనంతంగా కరణీయ సంఖ్యలు రాయవచ్చు. రెండు సంఖ్యల మధ్యనే అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలుంటే అసలు అన్ని కరణీయ సంఖ్యలనీ తీసుకుంటే అవి సహజ సంఖ్యల కంటె ఎక్కువే ఉండొచ్చనిరూపించగలం.

అయితే కాంటర్ మళ్ళీ తెలివిగా సహజ సంఖ్యలనీ కరణీయ సంఖ్యలనీ ఒకదానికొకటి జత చెయ్యొచ్చని చూపించాడు. కరణీయ సంఖ్యలని వేర్వేరు గ్రూపులుగా ఇలా రాయొచ్చు:

[1/1] [1/2, 2/1] [1/3, 2/2, 3/1] [1/4, 2/3, 3/2, 4/1] [1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1] …

ప్రతి గ్రూపు లోనూ – [] బ్రాకెట్ల మధ్య ఉన్నవి – ఏ భిన్నాన్ని చూసినా దాని లవ, హారాల మొత్తం (numerator + denominator) సమానంగా ఉంది. మొదటి గ్రూపులో ఆ మొత్తం 2, తర్వాత దాంట్లో 3, ఆ తర్వాత 4, అలా. పై అమరికలో అన్ని కరణీయ సంఖ్యలూ ఉన్నాయని గ్రహించండి. ఇప్పుడు వీటిని మనం సహజ సంఖ్యలతో పరస్పరం అన్వయించవచ్చు:

1	2	3	4	5	6	7	8	8	10	11	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕
1/1	½	2/1	1/3	2/2	3/1	¼	2/3	3/2	4/1	1/5	… (Q – కరణీయ సంఖ్యల సమితి)

ఇలా ఏ అనంతసమితిని తీసుకున్నా అది సహజ సంఖ్యల సమితికి సైజులో సమానంగా ఉంది! అంటే, ‘అనంతాలన్నీ ఒకే సైజులో ఉన్నాయా?’ అన్న అనుమానం వస్తుంది. కాదని కాంటర్ అద్భుతంగా నిరూపించాడు. అందుకు వాస్తవ సంఖ్యలని (real numbers) తీసుకున్నాడు. వాస్తవ సంఖ్యలంటే మరేవీ కాదు, మనం దశాంశ పద్ధతిలో రాసేవన్నీ వాస్తవ సంఖ్యలే. ఉదాహరణకి:

1/3 = 0.3333333333…
4/2=2.000000000…
1/7=0.142857142857…

పైన చూపిన సంఖ్యలన్నిటిలో దశాంశ బిందువు తర్వాత కొన్ని స్థానాలతర్వాత వచ్చిన అంకెలే మళ్ళీ మళ్ళీ ఓ బాణీ (pattern) లా వస్తుండటం గమనించండి – మొదటిదానిలో 3, చివరిదానిలో 142857. ఇవన్నీ నిజానికి కరణీయ సంఖ్యలు. కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలని దశాంశ రూపంలో రాసినప్పుడు వాటిల్లో కరణీయ సంఖ్యల్లోలా తిరిగొచ్చే బాణీ ఏమీ ఉండదు. ఉదాహరణకి:

π (పై)= 3.141592653589793240…
√2 = 1.259921049894873160…

వీటిని అకరణీయ సంఖ్యలు (irrational numbers) అంటారు. వీటిని రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తిగా రాయలేము. వాస్తవ సంఖ్యల సమితి సహజ సంఖ్యల సమితి కన్నా పెద్దది అని కాంటర్ నిరూపించిన పద్ధతి తెలుసుకోదగ్గది. ఇప్పుడు దీనిని హైస్కూలు విద్యార్థులందరూ వికర్ణ విధానం పేరిట నేర్చుకుంటారు. ఇది కంప్యూటర్ సైన్సులో ముఖ్యమైన అనేక సందర్భాల్లో ఉపయోగిస్తారు.

వికర్ణ విధానం (The Diagonal Method)

కాంటర్ దీనిని వైరుధ్యం మూలంగా నిరూపించాడు. ఇంగ్లీషులో proof by contradiction అంటారు. నిరూపించదలచుకున్న దానికి విరుద్ధమైన దానిని తీసుకొని అది వాదంలో వేరే వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని చూపే విధానం. వాస్తవ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలన్నే ఉన్నాయనుకుందాం (మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకం). అంటే వాస్తవ సంఖ్యలన్నిటినీ ఒకదాని తర్వాత ఒకటి సహజ సంఖ్యలతో జతకూర్చవచ్చన్న మాట. అలాగయితే వాటిని వరుసగా జత చేసినట్టు రాద్దాం:

1వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.2198765432…
2వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.615672457…
3వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.345674527..
…

ఇలా అనంతంగా వాస్తవ సంఖ్యలనన్నిటినీ సహజ సంఖ్యలతో 1, 2, 3, … అంటూ జతచెయ్యొచ్చనుకుందాం. ఇప్పుడు మనమో కొత్త వాస్తవ సంఖ్యని తయారుచేద్దాం. ఎలాగంటే పైన బొద్దుగా (bold face) చూపెట్టిన దశాంశ బిందువు తర్వాత వికర్ణపరం (diagonal) గా ఉన్న అంకెలని తీసుకోండి. వాటిల్లో ప్రతి అంకెనీ వేరేదైనా అంకెగా మార్చండి. ఉదాహరణకి, అంకె 1 అయితే 2, అంకె 1 కాకఫొతే 1 గా రాయండి. పూర్ణ సంఖ్యని మాత్రం 0 గానే ఉంచండి. వికర్ణ స్థానంలో ఉన్న 0.215… అన్నదానిని ఆ ప్రకారం మారిస్తే 0.121… అవుతుంది. ఈ కొత్త సంఖ్య పైన లిస్టులో ఉన్న ఏ సంఖ్యకీ సమానం కాదు; ఎందుకంటే మనమీ కొత్త సంఖ్యని నిర్మించే విధానంలో అది ప్రతి సంఖ్యతోనూ కనీసం ఒక స్థానంలో నయినా (మొదటి సంఖ్యతో దశాంశ బిండువు తర్వాత మొదటి స్థానంలో, రెండో సంఖ్యతో రెండో స్థానంలో, మూడో సంఖ్యతో మూడో స్థానంలో …) విభేదించేటట్లుగా జాగ్రత్తపడ్డాము. కాని ఇది కూడా ఒక వాస్తవ సంఖ్యే. అయితే ఇది 1వ, 2వ, 3వ, … అంటూ మనం జత చేసిన వాస్తవ సంఖ్యలలో లేదు. మరి మనం ఎత్తుకోవడమే ”అన్ని” వాస్తవ సంఖ్యలనీ అలా జతచేసినట్లు అనుకున్నాం – అది తప్పు. వాస్తవ సంఖ్యలని సహజ సంఖ్యలతో జత చెయ్యలేము! సహజ సంఖ్యల లాగానే వాస్తవ సంఖ్యలు కూడా అనంతమే కాని సహజ సంఖ్యల అనంతం కన్నా వాస్తవ సంఖ్యల అనంతం పెద్దది!

(పైన నేను వాస్తవ సంఖ్యలనన్నిటినీ తీసుకోకుండా (0, 1 ) మధ్య ఉన్న వాస్తవ సంఖ్యలనే తీసుకొని నిరూపించాను. అవే సహజ సంఖ్యలకంటె ఎక్కువ ఉన్నాయి. (0, 1) మధ్య ఉన్న వాస్తవ సంఖ్యల సమితి సమస్త వాస్తవ సంఖ్యల సమితితో సైజులో సమానమని రేఖాగణితంతో నిరూపించవవచ్చు.)

పై నిరూపణ ద్వారా కనీసం రెండు రకాల అనంతాలున్నాయని స్పష్టమయింది. చిన్న అనంతం సహజ సంఖ్యలెన్నో తెలిపేది, పెద్ద అనంతం వాస్తవ సంఖ్యలెన్నో తెలిపేది. మొదటి దానికి א₀ (Aleph-Null) అనీ రెండో దానికి c (continuum) అనీ కాంటర్ పేరు పెట్టాడు. Aleph అన్నది హిబ్రూ భాషలో మొదటి అక్షరం. అవిచ్ఛిన్నంగా (continuous) సాగే సరళరేఖతో వాస్తవ సంఖ్యలని సూచిస్తారు. సహజ సంఖ్యలతో జతచెయ్యగలిగిన సమితికి “లెక్కించగలిగిన సమితి” (countable or denumerable set) అని పేరుపెట్టాడు.

ఇవి రెండేనా? ఇంకా పెద్ద సైజుల్లో అనంతం ఉందా? అని కాంటర్ పరిశోధించాడు.

అరచేతిలో అనంతం

వాస్తవ సంఖ్యలని ఒక సరళ రేఖ మీది బిందువులనీ ఒకదానికొకటి జతచెయ్యొచ్చు. ఏ సరళ రేఖలో నయినా అనంతమైన బిందువులుంటాయి. అంగుళం పొడవు భుజం ఉన్న చతురస్రంలోని బిందువులని తీసుకుందాం – అవో అనంతం. అంగుళం పొడవున్న సరళరేఖలో కూడా అనంతమైన బిందువులున్నాయి. మొదటి అనంతం రెండో అనంతం కన్నా పెద్దదని పిస్తుంది – ఓ కాగితం పైన ఉన్న బిందువులు కాగితం అంచు మీదున్న బిందువులకన్నా ఎక్కువ కదా! కాంటర్ ఆ విధంగా మరో అనంతాన్ని, c కన్నా పెద్దదాన్ని, కనుక్కోవచ్చని చూశాడు. ఆశ్చర్యంగా, తన ఊహ తప్పని నిరూపించాడు! దీనినే Dimension Proof అంటారు.

చతురస్రం లోపలి ఏ బిందువునైనా రెండు నిరూపకాల (co-ordinates) ద్వారా సూచించవచ్చు. x నిరూపకం, y నిరూపకం అని చిన్నప్పుడు చదువుకున్నాం. x నీ y నీ రెండు వాస్తవ సంఖ్యల ద్వారా సూచిస్తాం:
x = 0.3871
y = 0.5643

ఇప్పుడు దశాంశ బిందువు తర్వాత ఉన్న అంకెలని ఒక్కొక్కటే ఇలా తీసుకోండి. మొదటి అంకె x నుండి, తర్వాతది y నుండి, ఆ తర్వాతది x నుండి, ఇలా ఓ కొత్త వాస్తవ సంఖ్యని తయారుచెయ్యొచ్చు. పై x, y ల నుండి z = 0.35867413 అన్నసంఖ్య వస్తుంది. ఇది అంగుళం పొడవున్న రేఖ మీద ఓ బిందువుని సూచిస్తుంది! చతురస్రం లోని ప్రతి బిందువుకీ రేఖ మీద ఓ ప్రత్యేకమైన బిందువుని కనుక్కోవచ్చు. అంటే చతురస్రం లోని బిందువులని రేఖలోని బిందువులతో జత చెయ్యొచ్చన్న మాట. దీనినే పొడిగించి n-dimensional వస్తువు లో ఉన్న బిందువులు ఓ రేఖలో ఉన్న బిందువులకి సమానమని చూపించవచ్చు. అటూ ఇటూ అనంతంగా పొడిగించిన రేఖలో ఉన్న బిందువులు ఓ అంగుళపు రేఖలోని బిందువులకి సమానమనీ చూపించవచ్చు.

అంటే ఏమిటి? అనంత పరిణామాలున్న విశ్వం (infinite-dimensional space) లో ఎన్ని బిందువులున్నాయో ఓ చిన్న రేఖలో కూడా అన్నే బిందువులున్నాయన్నమాట! కాంటర్ తను కనుక్కున్నదానిని తానే నమ్మలేకపోయాడు. “నా కళ్ళని నేనే నమ్మలేకున్నాను (“Je le vois, mais je ne le crois pas!” — I see it but I don’t believe it!) అని తన స్నేహితుడు డేడికిండ్(Didekind) కి రాశాడు.

మరి ఈ రెండు (“א‎₀“, “c”) అనంతాలేనా, ఇంకా వేరే అనంతాలున్నాయా అని కేంటరు పరిశోధించాడు. దీనికి ఇంకా ఆశ్చర్యకరమైన సమాధానం కనుగున్నాడు. అనంతాలలో ఒకటి, రెండు కాదు, అనంతమైన రకాలున్నాయి!

అనంతమైన సైజుల్లో అనంతాలు

పైన చెప్పిన సమితుల సిద్ధాంతం గురించి మరో విషయం తెలుసుకుందాం. ఒక సమితి నుండి దాని ఉప సమితులని (subsets) రాబట్టవచ్చు. ఉదాహరణకి, A = {1, 3, 8} అన్న సమితి కున్న ఉప సమితులు: శూన్య సమితి {}; ఒక్కరే సభ్యులున్న సమితులు – {1}, {3}, {8}; ఇద్దరు సభ్యులున్న సమితులు – {1, 3}, {1, 8}, {3, 8}; ముగ్గురు సభ్యులున్న సమితి – {1, 3, 8}; మొత్తం 8 ఉప సమితులు. సమితి సభ్యులేవైనా కావొచ్చు; వేరే సమితులే సభ్యులు కావొచ్చు. ఈ ఉప సమితులనన్నిటినీ కలిపి ఓ కొత్త సమితిని తయారుచేద్దాం. దానిని ఘాత సమితి (power set) అంటారు – దానిని P() తో సూచిస్తారు. Power Set of A = P(A) = {{}, {1}, {3}, {8}, {1, 3}, {1, 8}, {3, 8}, {1, 3, 8}}.

ఓ సమితిలో n మంది సభ్యులుంటే, దాని ఘాత సమితిలో 2**n (two to the power n) సభ్యులుంటారు. పైన A లో ముగ్గురు సభ్యులున్నారు కదా. P(A) లో 2**3 = 2*2*2 = 8 మంది సభ్యులున్నారు. ఏ సమితిని, A, తీసుకున్నా, P(A) సైజు A కన్నా పెద్దది. A లో పరిమితమైన (finite) సభ్యులుంటే ఇది నిరూపించడం సులభం – n కన్నా 2**n పెద్దదని మీరే నిర్థారించుకోవచ్చు. కాని ఇది అపరిమిత (infinite) సమితులకి కూడా వర్తిస్తుందని కాంటర్ ఇలా నిరూపించాడు:

సహజ సంఖ్యల సమితి N అయితే P(N) లెక్కించగల సమితేనా (countable set)? అంటే P(N) ని మరో N లాంటి సమితితో జత చెయ్యగలమా? చెయ్యలేము అని కాంటర్ సిద్ధాంతం. అంటే P(N) సైజు N కన్నా పెద్దది. దీనిని నిరూపించడానికి కాంటర్ proof by contradiction వాడాడు.

P(N) లెక్కించగల సమితి అనుకుందాం. అంటే సహజ సంఖ్యల సమితి లోని ఉప సమితులనన్నిటినీ 1, 2, 3, … లతో జత చెయ్యొచ్చన్న మాట. ఆ ఉప సమితులనన్నిటినీ క్రింద పట్టికలో వరుసగా “ఉప సమితులు” అన్న గడి క్రింద రాశాం. ప్రతి ఉప సమితి వరుసలో దాంట్లో ఉన్న సంఖ్య గడి క్రింద “ఉంది” అనీ లేని సంఖ్య గడి క్రింద “లేదు” అని రాశాం. ఉదాహరణకి రెండవ ఉప సమితిని తీసుకోండి – అన్ని బేసి సంఖ్యలూ ఉన్న సమితి ఇది. దీనికి 1 క్రింద ఉంది, 2 క్రింద లేదు, 3 క్రింద ఉంది – అలా రాశాం.

ఇప్పుడు వికర్ణ పరంగా ఓ ఉప సమితిని ఈ విధంగా నిర్మిద్దాం: దీంట్లో 1 ఉంటుందా లేదా? అన్నదానికి సమాధానం, 1 కి సంబంధించిన వికర్ణ స్థానంలో ఉన్న విలువకి వ్యతిరేకం. ఆ విధంగా ప్రతి సంఖ్యకీ ఆ ప్రశ్న వేసుకొని ఆ సంఖ్యని ఈ ఉప సమితిలో ఉంచాలో లేదో నిర్ణయిస్తాం. ఈ క్రింది పట్టిక ప్రకారం ఈ ఉప సమితి {2, 3, 4, …} లా ఉంటుంది – దీంట్లో 1 లేదని గమనించండి.

ఇది కచ్చితంగా P(N) లో ఉన్న ఉప సమితే – సహజ సంఖ్యలతో చేసినది కాబట్టి. ఉప సమితులనన్నిటినీ వరుసగా రాశాం కాబట్టి ఇది కూడా ఏదో ఒక వరుసలోవచ్చి తీరాలి. M వరుసలో వచ్చిందనుకుందాం

ఉప సమితులు

	ఉప సమితులు	1	2	3	4	…	M	…
1	{1, 2, 3, …}	ఉంది	ఉంది	ఉంది	ఉంది	…	…	…
2	{1, 3, 5, …}	ఉంది	లేదు	ఉంది	లేదు	…	…	…
3	{2, 4, 6, …}	లేదు	ఉంది	లేదు	ఉంది	…	…	…
4	{3}	లేదు	లేదు	ఉంది	లేదు	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
M	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

ఇప్పుడో ప్రశ్న: M అన్న సంఖ్య మనం నిర్మించిన ఉప సమితిలో ఉందా?

జవాబు ఉంది అనుకుందాం: అంటే M వరుసలో M సంఖ్య కి సంబంధించిన నిలువుగడిలో ఉంది అని ఉండాలి. మరక్కడ ఉంది అని ఉంటే వికర్ణ విధానం తో నిర్మించిన సమితిలో M ఉండదు!

పోనీ జవాబు లేదు అనుకుందాం: అంటే M వరుసలో M సంఖ్య కి సంబంధించిన నిలువుగడిలో లేదు అని ఉండాలి. మరక్కడ లేదు అని ఉంటే వికర్ణ విధానం తో నిర్మించిన సమితిలో M ఉంటుంది!

ఉందంటే లేదు, లేదంటే ఉంది అని తీర్మానిస్తున్నాం. అంటే మనం చేసిన వాదంలో ఎక్కడో తప్పు ఉంది? వాదం అంతా సరిగానే ఉంది కాని మొట్టమొదటనే మనం ఒకటి అనుకున్నాం – P(N) లెక్కించగల సముదాయం అని. అది కేవలం ఊహ; ఎలాంటి ఆధారం లేని ఊహ. దానితో మొదలెట్టి కచ్చితమైన వాదం చేస్తే ఓ వైరుధ్యానికి దారి తీసింది. అంటే మనం మొదట్లో ఊహించినది తప్పన్నమాట. P(N) లెక్కించగల సమితికన్నా పెద్దది. ఈ విధంగా కాంటర్ రెండో అనంత సంఖ్యని కనుక్కున్నాడు – అది P(N) సైజుకి సమానం. దానిని א₁(Aleph-one) అని పిలిచాడు.

అయితే ఇంతటితో ఆగాల్సిన పని లేదు. P(N) యొక్క ఘాతుక సమితిని, P(P(N)), కనుక్కోవచ్చు. అది P(N) కంటే పెద్దదయి తీరుతుంది. అంటే మరొక అనంత సంఖ్య కనుక్కున్నట్లు. దానికి א₂ అని పేరు పెట్టాడు. దీనికిక అంతం లేదు. మనకెన్ని అనంత సంఖ్యలు కావాలంటే అన్ని సృష్టించుకోవచ్చు – అనంతంగా א₀, א₁, א₂, … మనం సహజ సంఖ్యలతో కూడికలూ, తీసివేతలూ, మొదలైనవి చేసినట్టుగా ఈ అనంత సంఖ్యలతోనూ అవి ఎలా చెయ్యవచ్చో వాటికి సూత్రాలు ప్రతిపాదించాడు. అనంత సంఖ్యల గణితం (Arithmetic of Transfinite Cardinals) అని ఓ కొత్త గణితాన్నే తయారుచేశాడు.

సమవాయ ప్రతిపాదన (Continuum Hypothesis)

పైన వాస్తవ సంఖ్యల సముదాయపు సైజు, C, సహజ సంఖ్యల సముదాయపు సైజు, א₀ కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. C = א₁ అని కాంటర్ నిరూపించాడు. అయితే కాంటర్ కి ఓ తీరని సందేహం మిగిలింది – א₀ కీ C కీ మధ్య వేరే అనంతం లేదు అని ప్రతిపాదించాడు. దానిని నిరూపించడానికి జీవితాంతం ఎంతో శ్రమపడ్డాడు. నిరూపించలేనందుకు చాలా విచారపడ్డాడు. తనేకాదు, తర్వాత అనేకమంది గొప్ప గొప్ప గణితవేత్తలెంతో కృషి చేశారు. కాంటర్ నిరూపించలేకపోవడానికి కారణముంది. 1963 లో అది తప్పో కాదో నిరూపించలేము అని పాల్ కొయెన్ (Paul Cohen) అన్న గణితవేత్త నిరూపించాడు!

కాంటర్ సిద్ధాంతాలపై తీవ్రమైన ఖండన

కాంటర్ కనుగొన్న అనేక అనంతాల సంఖ్యలూ, సిద్ధాంతాలూ అప్పటివరకూ ఉన్న జ్ఞానానికి విరుద్ధంగా ఉన్నాయి. అనంతమైన రకాల అనంతాలున్నాయనీ, వాటికి సహజ సంఖ్యలకి ఉన్నట్లుగానే కూడికలు, గుణకారాలు లాంటి సూత్రాలున్నాయనీ అంటే చాలా మందికి మింగుడుపడలేదు. వీరిలో ముఖ్యమైన వాడు కాంటర్ కి ఒకప్పుడు బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో గురువైన క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker). వీరిద్దరి మధ్యా పచ్చగడ్డి వేస్తే భగ్గుమనేటంతగా పరిస్థితి విషమించింది.

కాంటర్ సిద్ధాంతంలో కూడా రస్సెల్, ఫ్రేగె సిద్ధాంతాల లాగానే విరోధాభాసలున్నాయి. ఉదాహరణకి, అన్ని సమితులూ ఉన్న సమితి (U) (set of all sets) ని ఊహించుకోండి. దీని ఘాత సమితి, P(U), సైజెంత? కాంటర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, అది U కంటె పెద్దదయి ఉండాలి. కాని U లో లేని సమితే లేదు కదా. మరి దానికన్నా పెద్దదెలా సాధ్యం?

ఏదైనా ఒక ప్రతిపాదన సత్యమని నిరూపించడానికి “ఆ ప్రతిపాదన అసత్యం అని మొదట ప్రతిపాదించి, చివరకి ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని నిరూపించి, అందువలన మొదటి ప్రతిపాదన అసత్యం కాదు” అని తీర్మానించే విధానం (Proof by contradiction) పరోక్షమైనది. కాంటర్ ఉపయోగించిన ఈ పరోక్ష నిరూపక విధానం నిర్మాణాత్మకమైనది (constructive) కాదు. ఈ విధానాన్ని చాలా మంది ఒప్పుకోలేదు. అయితే, సరళంగా, అందంగా (elegant) ఉండటంవలన ఇలాంటి నిరూపణలు అనాదిగా గణితంలో వాడారు. వాటిని కొద్దిగా కష్టపడి నిర్మాణాత్మకమైన నిరూపణలగా మార్చవచ్చు. అప్పుడవి నిరూపణలలోని సరళత్వాన్ని కోల్పోతాయి. కానీ, కాంటర్ సిద్ధాంతాలని పరోక్షంగా తప్ప నిర్మాణాత్మకంగా నిరూపించలేము.

కాంటర్ కనుగొన్న అనంత సంఖ్యా గణితానికీ వాస్తవ ప్రపంచానికీ ఏమాత్రం సంబంధం లేదనీ, సమితుల సిద్ధాంతం గణితానికి పట్టిన తెగులు అనీ, అది వదిలినప్పుడు గాని గణితానికి విముక్తి లేదనీ కొందరు విమర్శించారు. కాంటర్ తన జీవితం అంతా చిన్న యూనివర్సిటీలోనే గడిపాడు. పేరున్న బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో ప్రొఫెసర్ పదవికి అవకాశం వచ్చినా క్రోనేకర్‌కి కాంటర్ అంటే గిట్టక ఆ పదవి రాకుండా అడ్డుపడ్డాడు. క్రోనేకర్‌కీ కాంటర్‌కీ ఉన్న విరోధం వల్ల కొన్ని జర్నల్లలో కాంటర్ పేపర్లు ప్రచురించడం కూడా కష్టమయింది.

కాంటర్ ఏ విమర్శలనీ తేలికగా తీసుకోలేదు, వాటికి ఘాటైన ప్రతివిమర్శలు రాశాడు. తన సిద్ధాంతాలని గణితపరంగానే కాక మతపరంగా కూడా సమర్థించుకున్నాడు. తను అనేక రకాల అనంతాలను కనుక్కున్నాననీ, వీటికతీతంగా పరమ అనంతం (Absolute Infinity) అనేది ఉన్నదనీ, అది మాత్రం భగవంతునికి తప్ప మానవమాత్రుల ఆలోచనలకి అందదనీ భావించాడు. అది మతాధికారులకి సంతృప్తినిచ్చినా, కాంటర్ విమర్శకులు మాత్రం అతనికి విలువ ఇవ్వలేదు.

మతి భ్రమించిన కాంటర్

ఈ విమర్శల ప్రభంజనంలో, 1884లో నలభై ఏళ్ళ వయసు దాటకుండానే కాంటర్ అనారోగ్యంపాలై, డిప్రెషన్‌కి లోనయ్యాడు. అప్పట్లో దీనికి అసలు కారణం తోటి గణితవేత్తల ఘాటైన విమర్శలే అనుకున్నారు – కాంటర్ కూడా అలానే భావించాడు. ఇప్పుడు అది బహుశా వారసత్వంగా సంక్రమైంచిన బైపోలార్ వ్యాధి మూలంగానని భావిస్తున్నారు. మూల కారణం కాకపోయినా, విమర్శలు కాంటర్ ని తీవ్ర మనోసంక్షోభానికి గురి చేశాయన్నదాంట్లో ఏమాత్రం సందేహం లేదు. దీని తరువాత కాంటర్ దాదాపుగా మౌలికమైన గణిత ఫలితాలేమీ సాధించలేదు. కొన్నాళ్ళు ఫిలాసఫీ మీదా తర్వాత సాహిత్యం మీదా దృష్టి సారించాడు. షేక్స్పియర్ రచనలని బేకన్ రాశాడని నమ్మాడు. అది నిరూపించడానికి చివరిదాకా శ్రమపడ్డాడు.

పదేపదే మానసిక స్వస్థత కోసం శానిటొరియం లో ఉండాల్సొచ్చింది. ఈ కష్టాలు చాలవన్నట్లు, 1899 లో తన చిన్న కొడుకు హఠాత్తుగా చనిపోవడంతో జీవితం భరించరానిదయింది. 1913 లో ప్రొఫెసరు ఉద్యోగం నుండి రిటైరయ్యాడు. మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం భీకర స్థాయిలో సాగుతుండగా, ఒక సంవత్సరం పాటుగా శానిటొరియం లో చికిత్స పొందుతున్న కాంటర్ 1918 లో అక్కడే ఆఖరి శ్వాస వదిలాడు.

గణితంలో ముసలం

కాంటర్ కనుగొన్న కొత్త గణితం కొంతమంది గణితవేత్తలకి ఏమాత్రం నచ్చలేదు; వాళ్ళేమీ చిన్నా చితకా వాళ్ళు కాదు, గణితంలో ఆరితేరిన, పేరున్న హేమాహేమీలు.

ఇదేదో అనంతం గురించిన గజిబిజి, దీనిని పట్టించుకోగూడదనుకుంటే, దీనికి మూలమైన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని అనేకమైన ఇతరచోట్ల గణితవేత్తలు వాడటం మొదలుపెట్టారు. వాళ్ళకి కాంటర్ సమితుల సిద్ధాంతాలని వదులుకోవడం ఇష్టం లేదు. కాంటర్ కనుగొన్న కొత్త గణితాన్ని స్వర్గంగా భావించినవాళ్ళున్నారు. తమని ఆ స్వర్గం నుండి ఎవరూ బహిష్కరించలేరని హిల్బర్ట్ అంతటి వాడే ప్రకటించాడు. పునాదుల్లోనే లోపాలున్న దానిని, విరోధాభాసా భూయిష్టమైనదానిని గణితంలో ఎలా అనుమతిస్తారని మరో వర్గం వాళ్ళు పేచీ పెట్టారు. గత శతాబ్దపు మొదటి భాగంలో ఈ విభేదాల మూలంగా గణితవేత్తలలో ఎంతో పేరున్న వాళ్ళు వర్గాలగా విడిపోయారు. గణితానికి పెద్ద గండమే వచ్చింది.

ఆ గండాన్ని గట్టెక్కించడానికి గొప్ప గొప్ప మేధావులు కృషి చేశారు. గండం గడవలేదు కాని, ఆ ప్రయత్నంలో కంప్యూటర్ పుట్టింది. ఆ కథ వచ్చే సంచికలలో తెలుసుకుందాం.

నేనీ వ్యాసం రాయడానికి ఉపయోగించుకున్న పుస్తకాలు:

1. The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Amir D. Aczel. Four Walls Eight Windows, 2000. కాంటర్ మత విశ్వాసాలకీ గణితానికీ కల సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది.
2. Paradise Lost? Cantor, in “Men of Mathematics.” E. T. Bell. Simon & Schuster, 1986. చిలువలు పలువలతో రాసినా ఇప్పటికీ చదివింపచేస్తుంది.
3. Math through the Ages: A Gentile History for Teachers and Others. William P. Berlinghoff and Fernando Q. Gouvea. Oxton House Publishers, 2002. గణితానికి కొన్ని వేల సంవత్సరాల చరిత్ర ఉంది. దానిని కేవలం రెండు వందల పేజీలలో కుతూహలం కలిగించే విధంగా రాసిన మంచి పుస్తకం.
4. The Mathematical Analysis of Infinity, in What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Richard Courant and Herbert Robins. Revised by Ian Stewart. Oxford University Press, 1996. జీవిత చరిత్రలూ, కేవలం వినోదపరచే పాఫులర్ సైన్సు పుస్తకాలూ విజ్ఞానాన్నివ్వలేవనీ, అవగాహన పెరగాలంటే గణితం చదవాలనీ, సొంతంగా ఆలోచించాలనీ, Courant 1941 లో రాసిన ఈ పుస్తకం క్లాసిక్.
5. The Anatomy of the Infinite, in Number: The Language of Science. Tobias Dantzig. The Masterpiece Science Edition. Pi Press, 2005. ఇదో క్లాసిక్. సంఖ్యా గణిత చరిత్రని ఇంత సులభంగా సొగసుగా సామాన్యులకి పరిచయం చేసిన పుస్తకం మరొకటి లేదు.
6. Cantor: Detour Through Infinity, in The Universal Computer: The Road from Leibnitz to Turing. Martin Davis. WW Norton Company, 2000. ఇది నాకు స్ఫూర్తి.
7. Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. William Dunham. Penguin Books, 1991. ఇతర సిద్ధాంతాలతో పాటు కాంటర్ సిద్ధాంతాలని సరళంగా వివరించాడు. ఆసక్తికరమైన విషయం – కాంటర్ నీ వాన్ గో (Van Gogh) నీ పోల్చడం.
8. గెలీలియో పారడాక్స్. గెలీలియో Two New Sciences పూర్తి పాఠం.
9. From Cantor to Hilbert, in “Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann.” Ioan James. Cambridge University Press, 2004. అరవై మంది గణితవేత్తలని పరిచయం చేసే సంక్షిప్త జీవిత చరిత్రల పుస్తకం.
10. Paradise Barred, in Mathematics: The Loss of Certainty, Morris Kline. Oxford University Press, 1980. పురాతన కాలం నుండి గణితం ఎదుర్కొన్న విపత్తులని వివరిస్తుంది.
11. మెదడుకు పదును. మహీధర నళినీమోహన్. విశాలాంధ్ర పబ్లిషింగ్ హౌస్, 2004. పేజీలు 32-35. జీనో పారడాక్స్ లకి సమాధానాలిక్క డ ఉన్నాయి.
12. To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Eli Maor. Princeton University Press, 1987.
13. పారభౌతిక తాత్వికుడు పార్మెనిడీస్ అన్న అధ్యాయం. విశ్వదర్శనం. నండూరి రామమోహనరావు. లిఖిత ప్రచురణలు, 2002. జీనో పారడాక్స్ లూ, గురువుగారి తత్వం గురించిన వివరణా ఉన్నాయి.
14. Everything and More: A Compact History of ∞. David Foster Wallace. WW Norton and Company, 2003. The Great Discoveries Series. కాంటర్ సిద్ధాంతాల గురించి కథలా చెప్పడానికి చేసిన మంచి ప్రయత్నం.