బహుముఖప్రజ్ఞావంతులైన మోహనరావుగారి వ్యాసం చాలా విజ్ఞానదాయకంగా ఉంది. నేను ఇరవైరెండేళ్ళ క్రిందట Harvard Square లో కొని కొంత చదివిన Hermann Weyl పుస్తకం, “Symmetry,” మరలా కాస్త చదివింపజేసింది. అది ఆయన Princeton నుండి 1951లో రిటైరయిన సందర్భంలో ఇచ్చిన ప్రసంగాల సంకలనం. సగమన్నా సామాన్యులకి అందుబాటులో ఉన్నదే.
కొన్ని చిన్న చిన్న సలహాలు:
అయిదింటినీ పరిచయం చేసి, పిండికీ శక్తికీ కొరతలేదు గనక, ఒక్కోదాని మీద ఒకటి రెండు వ్యాసాలు రాసి సగటు పాఠకుడికి వివరిస్తే ఇంకా బాగుండేది. సంకేతాలూ సిద్ధాంతాలతో మొదలెట్టకుండా, ఇవి అసలెలా వస్తాయో బొమ్మలతో చెప్తే సులభంగా అర్థమవుతుంది. ఒకే కొనకి మూడు త్రిభుజాలు కలిపితే చతుర్ముఖీ, నాలుగయితే అష్టముఖీ, అయిదయితే వింశతిముఖీ, ఆరయితే అసాధ్యం! ఒకే కొనకి మూడు చతురస్రాలు కలిపితే cube, నాలుగయితే అసాధ్యం! ఒకే కొనకి మూడు పంచభుజాలు కలిపితే … … ఇలా నెమ్మదిగా ఇవి ఎందుకు అయిదుకి మించవో చెప్తే బావుంటుంది.
పారదర్శకమైన ప్లాస్టిక్ రేకుతో శ్రమతో బొమ్మలు తయారుచేశారు కాని అంత లాభకరంగా లేవు నాకు – స్పష్టంగా లేకపోవడాన. వెబ్ లో ఇంకా మంచివి దొరకవచ్చు.
“ప్లేటో వీటికి పంచభూతముల గుణాలను ఆపాదించాడు” అన్నారు. గ్రీకులకున్నది మొదట్లో నాలుగేనట! “To the earth then, which is the most stable of bodies and the most easily modelled of them, may be assigned the form of a cube; and the remaining forms to the other elements, to fire the pyramid, to air the octahedron, and to water the icosahedron,–according to their degrees of lightness or heaviness or power, or want of power, of penetration.” ప్లేటో అయిదో రూపం గురించి తెలుసుకొని ఏం చెయ్యాలో తెలియక, దానిని విశ్వానికి ఆపాదించాడట! దానికి విశిష్టమైన గుణాలున్నట్లుంది.
dual అంటే “కవలలు” అన్నారు. వెంటనే నాకా మాట నచ్చింది, కాని మళ్ళీ ఆలోచిస్తే ఈ సందర్భంలో సరికాదేమోననిపిస్తుంది. తెలుగులో సాంకేతిక పదకోశం లాంటిదేమన్నా ఉందా? Polynomial ని తెలుగులోకి తర్జుమా చెయ్యలేక నేనలాగే ఉంచాను!
“చిన్న భూషయ్యగారి పంచభుజికి ఏ సంబంధము లేదని మీతో మనవి చేస్తున్నాను!” అన్నారు. నాకయితే వెంటనే తట్టలేదు. తర్వాత George Bush Jr. కీ Pentagon కీ సంబంధించిందని ఊహించాను. ఈమాట లో రెండు మూడు సార్లు ఈ చిన్న భూషయ్య పేరు చూశాను. సాహిత్యం సంగతెలా ఉన్నా, సైన్సు వ్యాసాల్లో, విమర్శించొచ్చు కాని, పేరుని వక్రీకరీంచకూడదేమో.
లెక్కల చరిత్రలోనే ఆయిలర్ సిద్ధాంతం చాలా అందమైనదంటారు. నా వ్యాసంలో మూడు-రంగుల-ముగ్గుల గురించి ముచ్చటించాను. నాలుగు-రంగుల-మ్యాప్ సమస్య ఇంకా బాగా పేరున్నది: ఎలాంటి మ్యాప్ అయినా సరే, ఎన్ని దేశాలయినా, వాటి సరిహద్దులనెలా మార్చినా, నాలుగు రంగులతో, పక్కపక్క దేశాలకి ఒకే రంగు లేకుండా వెయ్యచ్చని ప్రతిపాదన (conjecture) ఉండేది.
ఆరు రంగుల కంటె ఎక్కువ అవసరం లేదని ఆయిలర్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా చక్కగా నిరూపించారు. నాలుగు రంగులు చాలని నిరూపించడానికి వందేళ్ళకు పైగా అనేకమంది జీవితాలు వెచ్చించారు. చివరకి 1976లో నిరూపించారు – కంప్యూటర్ తో!! అందంలో అది టెలిఫోన్ డైరెక్టరీ కేమీ తిసిపోదన్నారు గణిత సౌందర్యాన్వేషకులు. 🙂
మొత్తానికి ఇది నా ఆసక్తి దీపాన్ని వెలిగించింది. కృతజ్ఞతలు.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
నా జ్ఞాపకం గురించి Subrahmanyam Mula గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 9:00 pm
చాలా బావుందండీ.. మీ పాత కవితలు కూడా చదివాను.మంచి పదచిత్రాలు ఉన్నాయి. keep writing!
నిన్నటి కల గురించి Vaidehi Sasidhar గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 7:51 pm
కధ ,ముఖ్యంగా కధనం బావుంది.
నా అభిప్రాయం లో స్కాలర్షిప్/చెంప దెబ్బ ప్రహసనం తాలుకు ప్రధాన ఉద్దేశ్యం, లంచం ఇవ్వవలసిన అవసరాన్ని కలిగించిన ఆర్ధిక వత్తిళ్ళని ,ప్రధాన పాత్ర లోనైన సంఘర్షణని , ముఖ్యంగా కధ పూర్వార్ధం లో వీయస్సార్ నైతిక బలాన్ని establish చేయటం.అలా చేయటం జరిగింది కాబట్టే ముగింపు లోని కొసమెరుపు (పరిస్థితుల ప్రభావానికి లొంగిపోయిన ఆశయాలు/ఆదర్శాల గురించి వీయస్సార్ honest confession ) కూడా effective గా ఉంది.
మా గురువుగారు ఇమ్రత్ ఖాన్; ఆయన తన సోదరుడు విలాయత్ కు స్వయానా శిష్యుడు. వ్యక్తిగతంగా చెప్పాలంటే నావంటి అసంఖ్యాకులకు విలాయత్ ఖాన్ అక్షరాలా ఆరాధ్యుడే.
ఇక రాక్షససాధన మాటకొస్తే పెద్ద విద్వాంసులందరూ ఒక్కొక్క వరసనీ 500 నుంచి 1000 సార్లు ఆపకుండా అభ్యాసం చెయ్యడం మామూలే. పర్ఫెక్ట్ గా వాయించడానికే కాక, తమకెవరూ సాటిరాకుండా, పోటీదారు కాకుండా ఉండేందుకు కూడా వారు శ్రమపడతారు. ఇటువంటి సాధన అంతా ఏ పదిహేనో ఏటనో పూర్తవుతుంది కనక ఆ తరవాత వారికి మిగిలేదల్లా సంగీతపు లోతులని తరచడమే. మామూలుగా సంగీతం మీద అభిమానం కొద్దీ వారానికి రెండు క్లాసులకు వెళ్ళే విద్యార్థులకూ, వీరికీ పోలికే ఉండదు.
అయితే సంగీతంలో కేవలం నైపుణ్యం ఉండడం ఒక ఎత్తూ, సంగీతానికే కొత్త దిశానిర్దేశం చెయ్యడం మరొక ఎత్తు. అటువంటి అసామాన్యుల గురించే మనం చెప్పుకుంటాం.
రోహిణీప్రసాద్ గారి రచనలు చదివి చదివి, “ఆయన దగ్గర నుంచి ఇంత మంచి క్వాలిటీ వ్యాసాలు మామూలే కదా” అని కొంచెం చిన్న చూపు చూస్తామేమో కదా అన్న భయం వేస్తుంది అప్పుడప్పుడు.
“నీ స్నేహితులెవరో చెప్పు, నువ్వు ఎలాంటి వాడవో చెపుతాను” అన్న ఆంగ్ల సామెత ప్రకారం, విలాయత్ ఖాన్ గారి ప్రభావం, రోహిణీప్రసాద్ గారి పై బాగా ఉన్నట్టు నా కనిపిస్తోంది.
ఈ వ్యాసంలో చెప్పిన అనేక విషయాల్లో, ఖాన్ గారి “రాక్షస సాధన” నన్ను ఆశ్చర్య పడేట్టు చేసింది. అంత విద్వత్తు ఉన్న వ్యక్తికి, ఇంత సాధన అవసరమా అని అనిపించింది ముందు. అక్కడే సాధారణ వ్యక్తికి, అసాధారణ వ్యక్తికి మధ్య ఉండే చెరపలేని చిన్న గీత.
రోహిణీ ప్రసాద్ గారికి కూడా, చాలా విషయాల్లో రాక్షస సాధనే!
ప్లేటో ఘనస్వరూపాలు (Platonic Solids) గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 9:46 pm
లెక్కల్లో అందచందాలు
బహుముఖప్రజ్ఞావంతులైన మోహనరావుగారి వ్యాసం చాలా విజ్ఞానదాయకంగా ఉంది. నేను ఇరవైరెండేళ్ళ క్రిందట Harvard Square లో కొని కొంత చదివిన Hermann Weyl పుస్తకం, “Symmetry,” మరలా కాస్త చదివింపజేసింది. అది ఆయన Princeton నుండి 1951లో రిటైరయిన సందర్భంలో ఇచ్చిన ప్రసంగాల సంకలనం. సగమన్నా సామాన్యులకి అందుబాటులో ఉన్నదే.
కొన్ని చిన్న చిన్న సలహాలు:
అయిదింటినీ పరిచయం చేసి, పిండికీ శక్తికీ కొరతలేదు గనక, ఒక్కోదాని మీద ఒకటి రెండు వ్యాసాలు రాసి సగటు పాఠకుడికి వివరిస్తే ఇంకా బాగుండేది. సంకేతాలూ సిద్ధాంతాలతో మొదలెట్టకుండా, ఇవి అసలెలా వస్తాయో బొమ్మలతో చెప్తే సులభంగా అర్థమవుతుంది. ఒకే కొనకి మూడు త్రిభుజాలు కలిపితే చతుర్ముఖీ, నాలుగయితే అష్టముఖీ, అయిదయితే వింశతిముఖీ, ఆరయితే అసాధ్యం! ఒకే కొనకి మూడు చతురస్రాలు కలిపితే cube, నాలుగయితే అసాధ్యం! ఒకే కొనకి మూడు పంచభుజాలు కలిపితే … … ఇలా నెమ్మదిగా ఇవి ఎందుకు అయిదుకి మించవో చెప్తే బావుంటుంది.
పారదర్శకమైన ప్లాస్టిక్ రేకుతో శ్రమతో బొమ్మలు తయారుచేశారు కాని అంత లాభకరంగా లేవు నాకు – స్పష్టంగా లేకపోవడాన. వెబ్ లో ఇంకా మంచివి దొరకవచ్చు.
“ప్లేటో వీటికి పంచభూతముల గుణాలను ఆపాదించాడు” అన్నారు. గ్రీకులకున్నది మొదట్లో నాలుగేనట! “To the earth then, which is the most stable of bodies and the most easily modelled of them, may be assigned the form of a cube; and the remaining forms to the other elements, to fire the pyramid, to air the octahedron, and to water the icosahedron,–according to their degrees of lightness or heaviness or power, or want of power, of penetration.” ప్లేటో అయిదో రూపం గురించి తెలుసుకొని ఏం చెయ్యాలో తెలియక, దానిని విశ్వానికి ఆపాదించాడట! దానికి విశిష్టమైన గుణాలున్నట్లుంది.
dual అంటే “కవలలు” అన్నారు. వెంటనే నాకా మాట నచ్చింది, కాని మళ్ళీ ఆలోచిస్తే ఈ సందర్భంలో సరికాదేమోననిపిస్తుంది. తెలుగులో సాంకేతిక పదకోశం లాంటిదేమన్నా ఉందా? Polynomial ని తెలుగులోకి తర్జుమా చెయ్యలేక నేనలాగే ఉంచాను!
“చిన్న భూషయ్యగారి పంచభుజికి ఏ సంబంధము లేదని మీతో మనవి చేస్తున్నాను!” అన్నారు. నాకయితే వెంటనే తట్టలేదు. తర్వాత George Bush Jr. కీ Pentagon కీ సంబంధించిందని ఊహించాను. ఈమాట లో రెండు మూడు సార్లు ఈ చిన్న భూషయ్య పేరు చూశాను. సాహిత్యం సంగతెలా ఉన్నా, సైన్సు వ్యాసాల్లో, విమర్శించొచ్చు కాని, పేరుని వక్రీకరీంచకూడదేమో.
లెక్కల చరిత్రలోనే ఆయిలర్ సిద్ధాంతం చాలా అందమైనదంటారు. నా వ్యాసంలో మూడు-రంగుల-ముగ్గుల గురించి ముచ్చటించాను. నాలుగు-రంగుల-మ్యాప్ సమస్య ఇంకా బాగా పేరున్నది: ఎలాంటి మ్యాప్ అయినా సరే, ఎన్ని దేశాలయినా, వాటి సరిహద్దులనెలా మార్చినా, నాలుగు రంగులతో, పక్కపక్క దేశాలకి ఒకే రంగు లేకుండా వెయ్యచ్చని ప్రతిపాదన (conjecture) ఉండేది.
ఆరు రంగుల కంటె ఎక్కువ అవసరం లేదని ఆయిలర్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా చక్కగా నిరూపించారు. నాలుగు రంగులు చాలని నిరూపించడానికి వందేళ్ళకు పైగా అనేకమంది జీవితాలు వెచ్చించారు. చివరకి 1976లో నిరూపించారు – కంప్యూటర్ తో!! అందంలో అది టెలిఫోన్ డైరెక్టరీ కేమీ తిసిపోదన్నారు గణిత సౌందర్యాన్వేషకులు. 🙂
మొత్తానికి ఇది నా ఆసక్తి దీపాన్ని వెలిగించింది. కృతజ్ఞతలు.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
నా జ్ఞాపకం గురించి Subrahmanyam Mula గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 9:00 pm
చాలా బావుందండీ.. మీ పాత కవితలు కూడా చదివాను.మంచి పదచిత్రాలు ఉన్నాయి. keep writing!
నిన్నటి కల గురించి Vaidehi Sasidhar గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 7:51 pm
కధ ,ముఖ్యంగా కధనం బావుంది.
నా అభిప్రాయం లో స్కాలర్షిప్/చెంప దెబ్బ ప్రహసనం తాలుకు ప్రధాన ఉద్దేశ్యం, లంచం ఇవ్వవలసిన అవసరాన్ని కలిగించిన ఆర్ధిక వత్తిళ్ళని ,ప్రధాన పాత్ర లోనైన సంఘర్షణని , ముఖ్యంగా కధ పూర్వార్ధం లో వీయస్సార్ నైతిక బలాన్ని establish చేయటం.అలా చేయటం జరిగింది కాబట్టే ముగింపు లోని కొసమెరుపు (పరిస్థితుల ప్రభావానికి లొంగిపోయిన ఆశయాలు/ఆదర్శాల గురించి వీయస్సార్ honest confession ) కూడా effective గా ఉంది.
తెరమరుగవుతున్న తెలుగు నాటకం గురించి tallapragada గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 4:32 pm
తెలుగునాట నాటకాన్ని మళ్ళీ నాటటం అనేది ఒక అవసరమైన పోరాటమే కానీ, అది చేయి దాటిపోయిందేమో అని భయం వేస్తోంది. మీ వ్యాసం చాలా బాగుంది.
రంగులు గురించి కృష్ణ గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 3:08 pm
బాగుంది. ఇదీ కవిత్వమంటే. కొత్త ఆవకాయ ఘుమఘుమలు బాగున్నాయి. ఇంత తక్కువే పెట్టారే? నిజంగా కొత్తదనమున్న కవిత.
సర్వోత్తమ సితార్ విద్వాంసుడు ఉస్తాద్ విలాయత్‌ఖాన్ గురించి Rohiniprasad గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 2:27 pm
మా గురువుగారు ఇమ్రత్ ఖాన్; ఆయన తన సోదరుడు విలాయత్ కు స్వయానా శిష్యుడు. వ్యక్తిగతంగా చెప్పాలంటే నావంటి అసంఖ్యాకులకు విలాయత్ ఖాన్ అక్షరాలా ఆరాధ్యుడే.
ఇక రాక్షససాధన మాటకొస్తే పెద్ద విద్వాంసులందరూ ఒక్కొక్క వరసనీ 500 నుంచి 1000 సార్లు ఆపకుండా అభ్యాసం చెయ్యడం మామూలే. పర్ఫెక్ట్ గా వాయించడానికే కాక, తమకెవరూ సాటిరాకుండా, పోటీదారు కాకుండా ఉండేందుకు కూడా వారు శ్రమపడతారు. ఇటువంటి సాధన అంతా ఏ పదిహేనో ఏటనో పూర్తవుతుంది కనక ఆ తరవాత వారికి మిగిలేదల్లా సంగీతపు లోతులని తరచడమే. మామూలుగా సంగీతం మీద అభిమానం కొద్దీ వారానికి రెండు క్లాసులకు వెళ్ళే విద్యార్థులకూ, వీరికీ పోలికే ఉండదు.
అయితే సంగీతంలో కేవలం నైపుణ్యం ఉండడం ఒక ఎత్తూ, సంగీతానికే కొత్త దిశానిర్దేశం చెయ్యడం మరొక ఎత్తు. అటువంటి అసామాన్యుల గురించే మనం చెప్పుకుంటాం.
సర్వోత్తమ సితార్ విద్వాంసుడు ఉస్తాద్ విలాయత్‌ఖాన్ గురించి vishNubhoTla lakshmanna గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 1:24 pm
రోహిణీప్రసాద్ గారి రచనలు చదివి చదివి, “ఆయన దగ్గర నుంచి ఇంత మంచి క్వాలిటీ వ్యాసాలు మామూలే కదా” అని కొంచెం చిన్న చూపు చూస్తామేమో కదా అన్న భయం వేస్తుంది అప్పుడప్పుడు.
“నీ స్నేహితులెవరో చెప్పు, నువ్వు ఎలాంటి వాడవో చెపుతాను” అన్న ఆంగ్ల సామెత ప్రకారం, విలాయత్ ఖాన్ గారి ప్రభావం, రోహిణీప్రసాద్ గారి పై బాగా ఉన్నట్టు నా కనిపిస్తోంది.
ఈ వ్యాసంలో చెప్పిన అనేక విషయాల్లో, ఖాన్ గారి “రాక్షస సాధన” నన్ను ఆశ్చర్య పడేట్టు చేసింది. అంత విద్వత్తు ఉన్న వ్యక్తికి, ఇంత సాధన అవసరమా అని అనిపించింది ముందు. అక్కడే సాధారణ వ్యక్తికి, అసాధారణ వ్యక్తికి మధ్య ఉండే చెరపలేని చిన్న గీత.
రోహిణీ ప్రసాద్ గారికి కూడా, చాలా విషయాల్లో రాక్షస సాధనే!
మరో మంచి వ్యాసానికి ధన్యవాదాలతో,
లక్ష్మన్న
నిన్నటి కల గురించి radhika గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 1:16 pm
బావుంది.
కోవెలలో పకపకలు గురించి radhika గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 1:04 pm
బావుందండి.ఈ కధ లో చెప్పినవి అమెరికా వాసుల జీవితాల్లో సాధారణం గా జరిగే విషయాలే .
నిన్నటి కల గురించి cj గారి అభిప్రాయం:
01/03/2008 12:28 pm
వూహించగలిగే క్లైమాక్స్ అయినా కధనం బావుంది.