1. పరిచయము
నాకు చిన్నప్పటినుండి ముగ్గులంటే చాల యిష్టము. అమ్మగారు, యిద్దరు అక్కలు ముగ్గులు వేస్తుంటే చూడ ముచ్చటగా ఉండేది. చుక్కలను వరుస తప్పకుండా వంకరటింకరలు లేకుండా పెట్టి, వాటిని ఒకే దళసరిగా కలిపి ఒక చిత్రాన్ని పుట్టిస్తూ, అది ముగిసిన తరువాత చివరకు సంతృప్తితో దాని అందచందాలను చూడడము ఇంకా నా స్మృతిపథములో మెరుస్తూనే వుంది. బాల్యములో ముగ్గులు కలిగించిన ఈ ఆకర్షణ నన్ను యింకా వదలలేదు. దానికి ఒక ముఖ్యమైన కారణము నా వృత్తి. వృత్తి రీత్యా నేను ఒక స్ఫటిక శాస్త్రజ్ఞుడిని. స్ఫటిక శాస్త్రములో సామ్యరూపము (symmetry) లేక సౌష్ఠవపు పాత్ర యెంతో విలువైనది. ఒకే రకమైన చుక్కల అమరికతో ఎన్నో విధాలైన కొత్త కొత్త ముగ్గులను వేయడము ఆ కాలములో నాకు చాల సరదాగా ఉండేది. తరువాతి కాలములో అక్కడ భారతదేశములో, ఇక్కడ అమెరికాలో విద్యార్థులకు ఈ సౌష్ఠవపు సిద్ధాంతాలను బోధించే సమయములో ముగ్గులను వాడేవాడిని. గడచిన రెండు మూడు సంవత్సరాలుగా ముగ్గుల వ్యాసంగము ఎక్కువైనది. ఒక ముగ్గు అమరికను గణితశాస్త్రరీత్యా పరిశీలించి అర్థము చేసికొంటే అదే విధముగా ఎన్నో కొత్త కొత్త ముగ్గులను సృష్టించడానికి వీలవుతుంది. అలా చేయగా కలిగిన కొన్ని కొత్త అంశాలను పంచుకోవడమే ఈ వ్యాసపు ముఖ్యోద్దేశము. ఇక్కడ ఒక విషయము చెప్పుకోవాలి. నాకు చేతితో నేలపైన ముగ్గులను వేయడానికి రాదు. కాగితముపైన, కంప్యూటరుపైన మాత్రమే వేయగలను. సుమారు ఐదువందల ముగ్గులను, వాటి వెనుక ఉండే గణితాంశాలను ఐకోలం.కామ్ వెబ్‌సైటులో నా గ్యాలరీలో, బ్లాగులలో, కఫే వ్రాతలలో వివరించాను. పవర్‌పాయింట్, గింప్, పెయింట్, ఇర్ఫాన్‌వ్యూ వంటి సాఫ్ట్‌వేర్లను ఉపయోగించి ముగ్గులను వేస్తాను. నా యీ వ్యాసము చదవడానికి ముందు, ముగ్గులపైన, సౌష్ఠవ సిద్ధాంతాలపైన నేను వ్రాసిన రెండు వ్యాసాలు (కౌముదిలో, ఈమాటలో) చదివితే మంచిది.
2. ముగ్గుల ప్రాచీనత
ముగ్గులు, అందులో ప్రత్యేకముగా మెలిక ముగ్గులు చాల పురాతనమైనవి. సింధులోయ నాగరికత శిథిలాలలో హరప్పాలో యీ నాటి మెలిక ముగ్గులవంటి చిత్రాలను కనుగొన్నారు. మెలిక ముగ్గుల నమూనాలు ఎన్నో ఆలయాలలో స్తంభాలపైన చెక్కియున్నారు. తమిళనాడులోని యిప్పటి కరూరులో పదవ శతాబ్దములో చోళరాజులు కట్టిన పశుపతీశ్వరాలయపు శిల్పాలు యిందులకు తార్కాణము. దక్షిణ చెన్నైలోని తిరువాణ్మైయూరునందలి మరుందీశ్వరర్ (ఓషధీశ్వరుడు) గుడిలో కూడ మూడు త్రిభుజాలతో మెలిక ముగ్గులాటి శిల్పము ఒకటి ఉన్నది. దీనిని బొరోమీయన్ వృత్తాలకు ఉదాహరణగా చెబుతారు. ఇది కాక ఈజిప్టు, గ్రీకు శిల్పాలలో, సెల్టిక్ ముడులలో మెలిక ముగ్గులను బోలిన చిత్రాలు ఉన్నాయి. మధ్య ఆఫ్రికాలోని సోనా ముగ్గులలో, పసిఫిక్ సముద్ర ద్వీపమైన వనూఅటు (Vanuatu) ఇసుక ముగ్గులలో కూడ యిట్టి పద్ధతి ప్రతిబింబితమవుతుంది.
వినుకొండ వల్లభరాయని క్రీడాభిరామములో[1] మాచల్దేవి చిత్రశాల ప్రవేశద్వారములో వేసిన ముగ్గు గురించి ఒక పద్యము ఉన్నది. అది:
చందనంబునఁ గలయంపి చల్లినారు
మ్రుగ్గు లిడినారు కాశ్మీరమున ముదమున
వ్రాసినా రిందు రజమున రంగవల్లి
కంజములఁ దోరణంబులు గట్టినారు
– వల్లభరాయడు, క్రీడాభిరామము – 178
గంధపు నీళ్ళతో కళ్ళాపి చల్లి, పసుపు కుంకుమలతో ఆనందముగా ముగ్గులు పెట్టారు. పొడితో రంగవల్లిని వ్రాశారు. తామరపూలతో తోరణాలు కట్టారు. ఈ పద్యములో నాకు మరొక విశేషము కనబడుతుంది. ముగ్గులను, రంగవల్లులను వేరువేరుగా ప్రస్తావించడము. అంటే కాకతీయుల కాలములోనే బహుశా చుక్కలుంచి పెట్టిన ముగ్గులకు, స్వతంత్రముగా తోచినట్లు పెట్టే రంగవల్లులకు (freehand drawing) తేడా ఉండినది కాబోలు. ఆ కాలములోని “రెడ్డొచ్చె రెడ్డొచ్చె రెడ్డొచ్చె నమ్మా” అనే ఒక జానపద గీతములో “చేకట్ల పసుపు కుంకుమా పూయించు రంగవల్లుల నూరు రాణింపజేయు” అని రంగవల్లి ప్రస్తావన ఉన్నది. ఈ పాటను, కింది పద్యాన్ని సురవరం ప్రతాపరెడ్డి[2] పేర్కొన్నారు. విజయనగరసామ్రాజ్యములో బ్రాహ్మణుల యిండ్లను వర్ణిస్తూ శుకసప్తతిలోని ఒక పద్యము “అలికి మ్రుగ్గులు పెట్టినట్టి తిన్నెలు” అని ప్రారంభమవుతుంది. హంసవింశతిలోని మరో పద్యము కూడ బ్రాహ్మణుల యిండ్లలో తులసీ బృందావనమువద్ద పెట్టిన ముగ్గులను గురించి – “పంచవన్నియ మ్రుగ్గు పద్మము ల్నించిన బృందావనము లోఁగిలందె వెలయ” అని ఉన్నది. కృష్ణరాయని ఆముక్తమాల్యద[3]లోని కింది పద్యము ఆ కాలములో గుడిలో ముగ్గు పెట్టే వాడుక ఉండేదని చెబుతుంది.
బోటి గట్టిన చెంగల్వపూవుటెత్తు
దరు పరిణతోరు కదళి మంజరియు గొనుచుఁ
బోయి గుడి నంబి విజనంబు జేయఁ జొచ్చి
మ్రొక్కి వేదికఁ బలువన్నె మ్రుగ్గుఁ బెట్టి
– శ్రీకృష్ణదేవరాయలు, ఆముక్తమాల్యద, 5-91.
పదిహేడవ శతాబ్దపు పూర్వభాగములో వ్రాయబడిన చేమకూర వేంకటకవి విజయవిలాసము[4]లోని ఈ పద్యములో కూడ ముగ్గుల ప్రసక్తి ఉన్నది –
ఆణిమెఱుంగుముత్తెపుటొయారపు మ్రుగ్గులు, రత్నదీపికా
శ్రేణులు, ధూపవాసనలు, హృద్యనిరంతర వాద్యఘోషముల్
రాణఁ బొసంగఁ బ్రోలు మిగులం గనువిం దొనరించు నిత్యక-
ల్యాణముఁ బచ్చతోరణమునై జనులందఱు నుల్లసిల్లఁగన్
– చేమకూర వేంకటకవి, విజయవిలాసముం 1-18.
మంచన కేయూరబాహుచరిత్రములోని ఒక సీసపద్యములోని పంక్తి – “అసదృశ కుంకుమరసలిప్తతల పరవశిత ముక్తారంగవల్లికంబు” – వివాహమండపమును ఎలా ముగ్గులతో అలంకరించారో అనే విషయాన్ని తెలుపుతుంది. సీమంతినీకల్యాణము[5]లో కూడ వివాహ మండపాన్ని వర్ణించే ఒక సీస పద్యములో – “కల్యాణవేదిపై ఘనవృత్తిఁ గ్రొత్త ముత్తెపు రంగవల్లికల్ దీర్చువారు,” అని రంగవల్లి ముచ్చట ఉన్నది.
3. మెలిక ముగ్గులు
ముగ్గులను రెండు రకాలుగా విడదీయవచ్చును – ఒకటి చుక్కలు పెట్టి ముగ్గులు వేయడము, మరొకటి చుక్కలు లేకుండా రంగులు నింపి (freehand drawing) వర్ణచిత్రాలుగా వేయడము. చుక్కల ముగ్గులలో కూడ కొన్ని ముగ్గులలో చుక్కలను కలుపుతారు. ఇట్టి ముగ్గులకు చుక్కలు కేవలము ఒక మార్గదర్శి లేక దిక్సూచిక మాత్రమే. మరి కొన్ని ముగ్గులలో గీతలు చుక్కలను చుట్టుకొని ఒక దానిని మరొకటి ఖండించుకొంటూ ఉంటాయి. ఇట్టి ముగ్గులను మెలిక ముగ్గులు (తమిళములో చిక్కు కోలము) అంటారు. కొన్ని మెలిక ముగ్గులు చుక్కలు లేకుండా కూడా ఉంటాయి. నా యీ వ్యాసములో యీ మెలికముగ్గులను గురించి మాత్రమే చర్చిస్తాను.
4. సోనా ముగ్గులు
సుమారు రెండు సంవత్సరాలకు ముందు నాకు సోనా ముగ్గులతో పరిచయము అయినది. ఈ రంగములో నా కృషికి ఆ సంఘటన యెంతో దోహదకారి అయినదని చెప్పుటలో అతిశయోక్తి లేదు. మధ్య ఆఫ్రికాలో అంగోలా, జాంబియా, జైర్ (కాంగో) దేశాల సరిహద్దులలో చాక్వే అనే ఆదిమజాతివారు ఈ సోనా ముగ్గులను తరతరాలుగా చిత్రించేవారు, అంతేకాదు ఒక్కొక చిత్రానికి ప్రత్యేకమైన ఒక కథను కూడా అల్లేవారు. దీనిని నేర్పడానికి గురువులు ఉండేవారు. సామాన్యముగా యీ ముగ్గులలో ప్రావీణ్యాన్ని మగవాళ్ళు మాత్రమే గడించేవారు.
1. సోనా ముగ్గు
ఇవి చుక్కల ముగ్గులు. చతురస్రముగా చుక్కలను పెడతారు. చుక్కలను వేళ్ళతో ఇసుకపైన పెట్టి వేళ్ళతోనో లేక ఒక కఱ్ఱతోనో ముగ్గును గీస్తారు. దీని విశదీకరణను 1వ చిత్రములో చూడవచ్చును. కొన్ని ముగ్గులకు ఒకే గీత ఉంటుంది, కొన్నిటికి ఒకటికంటే ఎక్కువ గీతలు ఉంటాయి. ఎప్పుడు ఒక గీత ఉంటుందో, ఎప్పుడు ఉండదో అనేది చుక్కలను ఎలా పెడతారో అనే విషయముపైన ఆధారపడి ఉంటుంది. చిన్నవాళ్ళు కూడ చుక్కల అమరికను చూడగానే ఎన్ని గీతలు ఉంటాయో చెప్పగలరట. ఇందులో గణితాంశాలు ఉన్నాయి. అడ్డవరుస సంఖ్య (number of rows), నిడివివరుస సంఖ్య (number of columns) సాపేక్షముగా ప్రధానము లేక అభాజ్యమయితే (relatively prime), అనగా అవి ఏ సంఖ్యతో కూడ విభజించబడకపోతే, మనకు ఒక గీత లభిస్తుంది (ఉదా. 3, 4). వాటి రెంటినీ ఒక సంఖ్యతో విభజించడానికి వీలయితే ఒకటి కన్న ఎక్కువ గీతలు ఉంటాయి (ఉదా. 3, 6 ఈ రెండు అంకెలను 3తో విభజించవచ్చును, దీనికి మూడు గీతలు ఉంటాయి). ఇలాటి ముగ్గును సోనా ముగ్గు అంటారు. 10, 11 కూడ ఇట్టి సంఖ్యలే. వీటితో నేను నిర్మించిన సోనా చిత్రము కథతో సహా ఇంతకుముందే ఈమాటలో చోటు చేసికొన్నది.
4అ. సోనా చతురస్రము
2. సోనా చతురస్రము
ఇంతవరకు సోనా ముగ్గులను గురించి నేను చెప్పిన విషయాలు అందరికీ అవగాహన చేసికొనడానికి అందుబాటులో నున్నవే. ఇట్టి సోనా ముగ్గులను తీసికొని ఇంకా ఏమి చేయడానికి వీలవుతుంది అనేదే తరువాతి నా పరిశోధనలకు అవకాశాన్ని యిచ్చింది. ఈ పరిశోధనల సారాంశాన్ని 2వ చిత్రములో చూడడానికి వీలవుతుంది. ఒకే గీతతో ఉన్న ఒక సోనా ముగ్గును 90 డిగ్రీల చొప్పున తిప్పి ఒకదానితో మరొకదానిని చేరిస్తే మనకు సోనా చతురస్రము లభిస్తుంది. మూడు అడ్డవరుసలు, నాలుగు నిలువు వరుసలతో ఉండే సోనా చతురస్రానికి గల సౌష్ఠవమును పరిశీలిద్దామా?
దీనికి చిత్రతలములో (in the plane of the figure) ఒక దానికొకటి లంబముగా ఉండే రెండు 180డిగ్రీల భ్రమణాక్షములు (mutually perpendicular two-fold axes with 1800 rotation) ఉన్నాయి. చిత్రతలానికి లంబముగా మరో 180డిగ్రీల భ్రమణాక్షము ఉన్నది (vertical two-fold axis). రంగుల భేదాన్ని మరచిపోతే దీని సౌష్ఠవము దీనికన్న ఎక్కువ. అప్పుడు దీనికి చిత్రతలానికి లంబముగా 90డిగ్రీల భ్రమణాక్షము (vertical four-fold axis), చిత్రతలములో 45డిగ్రీల చొప్పున నాలుగు 180డిగ్రీల భ్రమణాక్షములు (four two-fold axes) ఉన్నాయి. రంగులతో దీని సౌష్ఠవము తక్కువ, నలుపు-తెలుపుగా దీని సౌష్ఠవము ఎక్కువ. అంచులలో అందాలు అనే నా వ్యాసములో దీనిని గురించి కొద్దిగా చర్చించాను.