పరిచయము

సంస్కృత ఛందస్సులోని వృత్తములలో ప్రతి పాదములో 1 నుండి 26 అక్షరములు సాధ్యము. అక్షరములు లేక వర్ణములు రెండు విధములు: లఘువు (I), గురువు (U). ఈ 1 నుండి 26 అక్షరముల ఛందములు ఉక్తాదులు. ఒకటి నుండి ఐదు అక్షరముల ఛందములు: ఉక్త, అత్యుక్త, మధ్య, ప్రతిష్ఠ, సుప్రతిష్ఠ. ఆఱు నుండి పండ్రెండు అక్షరముల ఛందములు గాయత్ర్యాదులు: గాయత్రి, ఉష్ణిక్కు, అనుష్టుప్పు, బృహతి, పంక్తి, త్రిష్టుప్పు, జగతి. పదమూఁడు నుండి పందొమ్మిది అక్షరముల ఛందములు అతిజగత్యాదులు: అతిజగతి, శక్వరి, అతిశక్వరి, అష్టి, అత్యష్టి, ధృతి, అతిధృతి. ఇరవై నుండి ఇరవైయాఱు అక్షరముల ఛందములు కృత్యాదులు: కృతి, ప్రకృతి, ఆకృతి, వికృతి, సంకృతి, అభికృతి, ఉత్కృతి. పాదమునకు 26 అక్షరములకన్న ఎక్కువగా ఉండే ఛందములను సంస్కృతములో దండకములు అనియు, తెలుగులో ఉద్ధురమాలా వృత్తములు అనియు పిలిచెదరు. పాదములో n అక్షరములు ఉంటే, ఆ ఛందములో జనించిన వృత్తముల సంఖ్య 2ⁿ. 1 నుండి 26 వఱకు గల ఛందములలో మొత్తము (2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁵ +2²⁶) = 184217726 వృత్తములు సాధ్యము. వీటిని ఊహించుట కష్టతరమైన కార్యము. ఇందులో కవులు బహుశా 500 వృత్తములను వాడి ఉంటారేమో? సంస్కృత కావ్యములలో శ్లోకములు, ఉపజాతులు (రెండు వృత్తముల మిశ్రణము) విరివిగా ఉన్నాయి. తెలుగులో సంస్కృత వృత్తములతో జాతి పద్యములైన కందాదులను, ఉపజాతులైన సీసము, గీతులు వాడబడినాయి. కొందఱు ద్విపదలను కూడ ఉపయోగించి యున్నారు. ఈ వ్యాసపు ముఖ్యోద్దేశము వృత్త వర్గీకరణమును సులభముగా చేయుటకు ఏవిధముగా వీలగును అని పరిశోధించుట మాత్రమే.

వృత్తపు అమరిక

ప్రతి వృత్తమునకు ఒక ప్రత్యేకమైన గురు-లఘువుల అమరిక గలదు. ఈగురులఘువుల అమరిక ఆఛందములోని వృత్తపు సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది. ఉదాహరణమునకు ఉత్పలమాలను తీసికొనిన యెడల ఆ వృత్తపు గణములు భ-ర-న-భ-భ-ర-లగ, దాని గురు లఘువుల అమరిక UIIUIUIIIUIIUIIUIUIU. ఉత్పలమాల 20 అక్షరముల కృతి ఛందములో జనించిన 355799వ వృత్తము. కాని ఇదే ఉత్పలమాలలో ఇంకొక 19 అదనపు వృత్తముల అమరికలు కూడ ఉన్నాయన్న సంగతిని మఱువరాదు. కాని ఈసమాచారమును లాక్షణికులెవ్వరు ఇంతకుముందు వివరించలేదు. ఉత్పలమాల గురు లఘువులను ఒక వృత్తపరిధిపై (circumference) వ్రాసి, ఆగురులఘువులను ఆవృత్తము (cyclic permutation) చేసినప్పుడు మనకు మిగిలిన పద్య వృత్తములు లభిస్తాయి. దీనికి ఉదాహరణముగా ఒక ఆఱు అక్షరముల పద్య వృత్తమును మొదటి చిత్రములో చూపినాను. ఇందులో తనుమధ్యా వృత్తపు అమరికను చూపినాను. తనుమధ్యా వృత్తపు గణములు త-య లేక UUIIUU. రెండు వైపులలో గురువులు మధ్య లఘువులు ఉన్న కారణముగా దీనికి తనుమధ్యా అని పేరు. ఇది గాయత్రీ ఛందములోని 13వ వృత్తము. రెండవ అక్షరముతో ప్రారంభించి ఆఱవ అక్షరముతో ముగియునట్లు ఒక వృత్తమును కల్పించినయెడల దాని అమరిక UIIUUU లేక త-మ గా వృత్త సంఖ్య 7తోఉండును. ఇదే విధముగా స-మ (వృ.సం. 4), య-త (34), మ-భ (49), మ-స (25) గణములతో ఇంక నాలుగు వృత్తములు గలవు. ఇందులో స-మ గణములతో ఉండే వృత్తమును సూచీముఖి అంటారు. ఆఱవ ఛందములో జనించిన 64 వృత్తములలో 6 వృత్తముల సమాచారము (information) ఈఅమరికలో దాగియున్నది!

ప్రవాళ(ల)-మౌక్తిక హారములు

గణిత రీత్యా ఇక్కడ సమస్య యేమనగా, పాదమునకు n అక్షరములు గల ఛందములో ఎన్ని ప్రత్యేకమైన యిట్టి పద్య వృత్తపరిధులను మనము అమర్చ వీలగును? ఇందులో రెండు విధములైన మణులు మనకు లభ్యము: ప్రవాలము (లఘువు I), మౌక్తికము (గురువు U). వీటితో ఎన్ని దండలను రచించ వీలగును? ఆ వివరములను రెండవ చిత్రములో చూపినాను. 2(a)లో ఒక అక్షరపు వృత్తములు: U, I. 2(b)లో రెండు అక్షరముల వృత్తములు: ఇందులో UU, II సంఖ్య 1 మాత్రమే, కాని IUను ఆవృత్తము చేసినప్పుడు UI కూడ వస్తుంది. కావున ఈదండను రెండు విధములుగా గ్రుచ్చ వీలగును. 2(c)లో త్రిక గణముల గుఱించిన వివరాలు ఉన్నాయి. ఇందులో UUU, III ల సంఖ్య 1 మాత్రమే. కాని IUU ను ఆవృత్తము చేయగా UUI, UIU లభిస్తాయి. అదే విధముగా IIUను ఆవృత్తము చేయగా IUI, UII లభిస్తాయి. కావున 8 వృత్తములకు 4 వృత్తపరిధులు లేక ప్రవాలమౌక్తిక హారములు చాలు మనకు. 2(d)లో 4 అక్షరముల 16 పద్య వృత్తముల అమరికలు ఆఱు హారములతో చూప వీలగును. అవి: UUUU, IUUU, IIUU, IUIU, IIIU, IIII. ఇక్కడ ఒక విషయమును గమనించాలి: IIUUతో 4 అమరికలు (IIUU, IUUI, UUII, UIIU) సాధ్యము, కాని IUIUతో 2 మాత్రమే (IUIU, UIUI) సాధ్యము. నాలుగవ ఛందములో జనించిన 16 వృత్తములను 6 అమరికలతో తెలుప వీలగును. 2(e)లో ఐదు అక్షరముల 32 వృత్తములను 8 వృత్తపరిధులతో చూపినాను.

1 నుండి 6 అక్షరముల వృత్తములయందలి గురులఘువుల అమరికలను మూడవ చిత్రములో చూపినాను. దీనిని సులభముగా అవగాహన చేసికొను విధానము: IIUUU అనగా ఐదు అమరికలైన IIUUU, IUUUI, UUUII, UUIIU, UIIUU. నక్షత్రపు గుర్తులున్న అమరికలలో గురులఘువుల సంఖ్యలొకటైనను అమరికలు వేఱు, ఉదా.

• IIUUU, IUUUI, UUUII, UUIIU, UIIUU (రెండు లఘువులు, మూడు గురువులు)
• IUIUU, UIUUI, IUUIU, UUIUI, UIUIU (రెండు లఘువులు, మూడు గురువులు)
• గురు లఘువుల సంఖ్యలు ఒకటే ఐనను వీటి అమరికలు వేఱు వేఱు.

1 నుండి 26 వఱకు గల ఛందములలో ఈ ప్రవాలమౌక్తిక హారముల అమరికల సంఖ్యలు (2,3,4,6,8,14 …) నాలుగవ చిత్రములో చూపబడినవి. ఇది On-line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) నుండి గ్రహించబడినది.

గురువు స్థానములో ఇంద్రగణమును, లఘువు స్థానములో సూర్యగణమును వాడినప్పుడు పైన వివరించిన విషయములు గీతులకు కూడ సరిపోతాయి.

లిండన్ పదము లేక లిండన్ సంఖ్య Lyndon word or Lyndon number: వృత్తపరిధులలోని అమరికలతో ఏర్పడిన వాటిలో దేనికి వృత్త సంఖ్య తక్కువగా ఉండునో, దాని యుగ్మాంక సంఖ్యను లిండన్ సంఖ్య లేక లిండన్ పదము అని పిలుస్తారు. ఉదాహరణముగా మూడక్షరముల త్రిక గణములను తీసికొందామా? ఇందులో UUU యొక్క లిండన్ సంఖ్య 0 (సున్న), III యొక్క లిండన్ సంఖ్య 7. UII, IUI, IIU ల యుగ్మాంకములు 6, 5, 3. కావున దీని లిండన్ పదము IIU. UUI, UIU, IUU ల యుగ్మాంకములు 4, 2, 1. కావున ఇక్కడ లిండన్ పదము IUU. కంప్యూటర్ భాషలో ఇవి నిఘంటుపదములు, అందువలన ఇక్కడ ఈ సంఖ్యలను పదములు అని పిలుస్తారు. n = 1 to 20 వఱకు ఈ పదముల పట్టికలు ఉన్నాయి. మిగిలిన వాటిని computer program ద్వారా నిర్ణయించ వీలగును.

అక్షరమేరువు లేక binomial theorem ద్వారా ఒక ఛందములో ఒక నిర్దిష్టమైన గురులఘువులు ఉండే వృత్తముల సంఖ్యను కనుగొన వచ్చును. ఉదాహరణముగా నాలుగు అక్షరముల వృత్తములలో 4 లఘువులు లేక 4 గురువులు ఉండే వృత్తముల సంఖ్య 1. 3 గురువులు + 1 లఘువు లేక 1 గురువు + 3 లఘువులు ఉండే వృత్తముల సంఖ్య 4. 2 గురువులు + 2 లఘువులు ఉండే వృత్తముల సంఖ్య 6. ఇందులో రెండు గురువులు, రెండు లఘువులు పక్కపక్కన ఉన్నాయా లేక మాఱి మాఱి ఉన్నాయా అనే విషయము ఈ అక్షరమేరువు ద్వారా మనకు తెలియదు. కాని ఈ విషయము మనకు నాలుగు అక్షరముల వృత్తములకు గల ప్రవాల-మౌక్తిక హారముల సంఖ్య 6 తెలుపుతుంది (రెండవ చిత్రము).

ఆవృత్త వృత్తములు – గర్భకవిత్వము

ఒక వృత్త పరిధిపైన వ్రాసిన అమరికలతో మనకు లభించు ఆవృత్త వృత్తముల గరిష్ట సంఖ్య ఆపద్యవృత్తమునందు గల అక్షరముల సంఖ్య. కొన్ని వేళలలో ఈ సంఖ్య తక్కువగా కూడ ఉంటుంది. ఉదాహరణముగా స్రగ్విణీ వృత్తమును తీసికొందామా? దీని గురులఘువుల అమరిక: UIU UIU UIU UIU. దీనిని ఆవృత్తము చేయగా మనకు ఈఅమరికలు లభిస్తాయి: IUU IUU IUU IUU (భుజంగప్రయాతము), UUI UUI UUI UUI (సారంగ). ఒకే గణము నాలుగు మారులు ఉన్నందువలన మనకు మొత్తము స్రగ్విణి, భుజంగప్రయాతము, సారంగ అనే మూడు వృత్తములు మాత్రమే లభ్యము. ఈఆవృత్తి కొందఱు కవులకు తెలిసిన విషయమే. పారిజాతాపహరణ కావ్యములో స్రగ్విణీ గర్భిత భుజంగప్రయాత పద్యము ఈసిద్ధాంతముపైన ఆధారపడినదే. ఆపద్యము:

స్రగ్విణి: UIU UIU – UIU UIU

ఇందులోని భుజంగప్రయాతము: IUU IUUI – UUIUU

ఇలా ఆవృత్త వృత్తములను వ్రాయునప్పుడు, ఒక విషయమును గుర్తులో ఉంచుకోవాలి. రెండు వృత్తములకు, యతిప్రాసలు సరిపోవాలి. రెండు పద్యములు అర్థవంతముగా ఉండాలి. పైన ఉదాహరించిన స్రగ్విణీ భుజంగప్రయాతములు పద్య గర్భ కవిత్వము, అనగా ఒక పద్యములో మఱియొక పద్యము ఇమిడిపోవును. ఆవృత్త వృత్తములను వ్రాయునప్పుడు ఒక పాదములో మఱియొక పాదము గర్భితమగు విధముగా వ్రాయ వీలగును. ఇది పాద గర్భకవిత్వము. పైన వివరించినది పద్య గర్భ కవిత్వము. క్రింద నేను వ్రాసిన కొన్ని ఉదాహరణములను పఠితలకు అందిస్తున్నాను.

(1) తనుమధ్యా – సూచీముఖీ:
UUIIUU తనుమధ్యా త-య UU II UU 6 గాయత్రి 13
xxIIUUUU సూచీముఖి స-మ II UU UU 6 గాయత్రి 4
*

పై పద్యములను పద్య గర్భ కవిత్వముగా కూడ వ్రాయవచ్చును. అప్పుడు సూచీముఖీ వృత్తము క్రింది విధముగా నుండును.

సూచీముఖీ:
లలితాంగీ శ్రీవా
నెల నీవా రావే
చెలి నాకై నీవే
లలినీవే దేవీ

(2) మత్తేభవిక్రీడితము – శివమల్లీ:
IIUU IIUI UIIIU – UUI UUIU మత్తేభవిక్రీడితము 20 కృతి 298676
xxxxxxx IIIU UUI UUIU – IIUUI IUIU శివమల్లీ 20 కృతి 367176
శివా – న/మ/య/లగ III UU – UI UUIU 11 త్రిష్టుప్పు 584
మధుమల్లీ – స/భ/ర IIU UII UIU 9 బృహతి 180
*
మత్తేభవిక్రీడితము = మధుమల్లి + శివా
మధురమ్మైన తలంపుగా మనసులో – మాయావి నీవెక్కడో
కథలోనుండెడు వంపుగా కనఁగ రా – కమ్మంగ నాకిష్టమై
రథమందిప్పుడు రాణిగా ప్రణయినీ – రావేల రమ్యమ్ముగా
పృథు రాగమ్ముల బాణిగా వినుము నా – ప్రేమమ్ము గీతమ్ముగా
*
శివమల్లీ = శివా + మధుమల్లీ
మనసులో మాయావి నీవెక్కడో – మధురమ్మైన తలంపుగా
కనఁగ రా కమ్మంగ నాకిష్టమై – కథలోనుండెడు వంపుగా
ప్రణయినీ రావేల రమ్యమ్ముగా – రథమందిప్పుడు రాణిగా
వినుము నాప్రేమమ్ము గీతమ్ముగా – పృథు రాగమ్ముల బాణిగా

(3) కల్పిత వృత్తములు రామరసము – ప్రేమకవనము:
III UU III UU రామరసము – న/త/స/గ 10 పంక్తి 232
xxx xU III UU IIIU ప్రేమకవనము – భ/య/న/గ 10 పంక్తి 463
పై రెండు అమరిలకు లయ ఒక్కటే (3,4 – 3,4 మాత్రలు)
*

(+ గుర్తు అక్కడ సంధి ఉన్నది అని సూచిస్తుంది. కాని శ్రవణ సుభగత్వముకోసము సంధితో వ్రాయలేదు.)

(4) వసంతతిలకము – కల్పిత వృత్తము మాయాలోకము:
UUIU IIIU IIUI UU వసంతతిలకము త/భ/జ/జ/గగ 14 శక్వరి 2933
xxxx IIIU IIUI UU UUIU మాయాలోకము న/భ/ర/మ/లగ 14 శక్వరి 4280
*

*
ఈక్రింది విధముగా వ్రాసినప్పుడు ఇది పద్య గర్భకవిత్వము కూడ అవుతుంది.
రమణతో+ చెలువాల – రారా యానందమే
కమలమై యలరారెఁ – గాదా గానమ్ములే
యమలమై గళమందు – నాడెన్ మౌనమ్ముగా
విమలమై మది యిందుఁ – బిల్చెన్ శ్రీనాయకా

(5) సుషమా – కలగీత:
UU IIU UU IIU సుషమా త/య/భ/గ UU 10 పంక్తి 397
xx IIU UU IIU UU కలగీత స/త/య/గ 10 పంక్తి 100
*

*
ఈక్రింది విధముగా వ్రాసినప్పుడు ఇది పద్య గర్భకవిత్వము కూడ అవుతుంది.
మదిలో దివ్యాం-బరమై రావా
గదిలో రమ్యాం-గనవై పూవై
వ్యధలోఁ మోదా-వహమై నీవే
హృదిలో నీకై – యిదియే దేవీ

(6) ద్రుతవిలంబిత – ప్రమితాక్షర:
III UII UII UIU ద్రుతవిలంబితము న/భ/భ/ర 12 జగతి 1464
xxx xxx xIIU IUI IIU IIU ప్రమితాక్షరము స/జ/స/స 12 జగతి 1772
*

(7) ప్రముదితవదనా – ముకుళితకళికావళి:
UIUIII IIIUIU ముకుళితకళికావళి ర/న/న/ర 12 జగతి 1531
xxxIIII IIUIUUIU ప్రముదితవదనా న/న/ర/ర 12 జగతి 1216
*

(8) మానిని – హరితకీ:
UII UII UII UII UII UII UIIU మానిని (మదిరా) – (భ)7/గ 22 ఆకృతి 1797559
xIIU IIU IIU IIU IIU IIU IIUU హరితకీ (అయమానము) – (స)7/గ 22 ఆకృతి 898780
*
మానిని:
రా నను జూడఁగ – రాణను వేగము – ప్రాణము నీవు బి-రాన సఖీ
హా నిను గోరితి – నానిధి యంటిని – యాణివి నాకిల – నానికయా
ఆ నన వోలెడు – నా నవరాగము – లా నయగారము – లానతి నేన్
లే నను నింపఁగ – లేనగ వంపఁగ – లీనము సేయఁగ – లేనడతో
*
హరితకీ (అయమానము):
నను జూడఁగ రా-ణను వేగము ప్రా-ణము నీవు బిరా-న సఖీ రా
నిను గోరితి నా – నిధి యంటిని యా-ణివి నాకిల నా-నిక యాహా
నన వోలెడు నా – నవరాగము లా – నయగారము లా-నతి నేనా
నను నింపఁగ లే-నగ వంపఁగ లీ-నము సేయఁగ లే-నడతో లే

(9) స్రగ్విణీ – భుజంగప్రయాతము:
UIU UIU UIU UIU స్రగ్విణి (ర)4 12 జగతి 1171
xxx x IUU IUU IUU IUU భుజంగప్రయాతము (య)4 12 జగతి 586
*

*
ఈక్రింది విధముగా వ్రాసినప్పుడు ఇది పద్య గర్భకవిత్వము కూడ అవుతుంది.
నదీ తీరమే గా-నమే నవ్యమేగా
సదానందమే యో – సఖా భవ్యమేగా
యిదే భావనమ్మే – హృదిన్ సవ్యమేగా
సుధా సారమే మో-జులోదివ్యమేగా

(10) దోధకము – గగనము:
UII UII UII UU దోధకము భ/భ/భ/గగ 11 త్రిష్టుప్పు 439
xIIU IIU IIU UU గగనము (విష్టంభము) స/స/స/గగ 11 త్రిష్టుప్పు 220
*

ముగింపు

1. ఒక వృత్తపు అమరికలో ఇంకను ఎన్నియో వృత్తముల అమరికలు ఆవృత్తి (cyclic permutation) ద్వారా దాగియున్నవి. ఈవిషయము ఛందముల వర్గీకరణములో (classification) చాల సహాయకారిగా ఉంటుంది. అంతే కాక ఈవర్గీకరణము ఒక ప్రత్యేక గణిత సిద్ధాంతమును పాటిస్తుంది. అది రెండు విధములైన మణులతో దండలను గ్రుచ్చడము. దీనికి నేను ఛందశ్శాస్త్రములో మౌక్తికప్రవాల హారములని పేరుంచినాను.
2. ఉదాహరణములుగా గ్రంథములలో ఉండే కొన్ని వృత్తములను, కొన్ని కల్పిత వృత్తములను చూపినాను.
3. ఒక పద్యములో మఱియొక పద్యము ఇమిడేటట్లు ఉండే పద్య గర్భకవిత్వము మనకు పరిచితమే. కాని ఒక వృత్తపు పాదములో మఱియొక వృత్తపు పాదము ఇమిడేటట్లు ఉండే పాద గర్భ కవిత్వమును మొట్టమొదటిసారిగా పరిచయము చేసినాను. ఇది అమరికల ఆవృత్తి వలన జనించిన ఆవృత్త వృత్తములవలన సాధ్యమైనది.

చిత్రము 1: తనుమధ్యా వృత్తమునకు 6 ఆవృత్త వృత్తములు. ఎడమ ప్రక్క అంతర్వలయములో గురులఘువుల స్థానములు, బహిర్వలయములో గురులఘువుల అమరిక చూపబడినవి. కుడి ప్రక్క ఆవృత్తి ద్వారా జనించిన వృత్తములు, వాటి వృత్త సంఖ్యలు చూడవచ్చును.

చిత్రము 2: (a) ఏకాక్షర వృత్తములు: U, I;
(b) రెండు అక్షరముల వృత్తములు: UU, [IU, UI], II;
(c) మూడుఆక్షరముల వృత్తములు: UUU, [IUU, UIU, UUI], III;
(d) నాలుగు అక్షరముల వృత్తములు: UUUU, [IUUU, UIUU, UUIU, UUUI], [IIUU, UIIU, UUII, IUUI], [IUIU, UIUI], [IIIU, UIII, IUII, IIUI], IIII;
(e) ఐదు అక్షరముల వృత్తములు: UUUUU, [IUUUU, UIUUU, UUIUU, UUUIU, UUUUI], [IIUUU, UIIUU, UUIIU, UUUII, IUUUI], [IUIUU, UIUIU, UUIUI, IUUIU, UIUUI], [IIIUU, UIIIU, UUIII, IUUII, IIUUI], [IIUIU, UIIUI, IUIIU, UIUII, IUIUI], [IIIIU, UIIII, IUIII, IIUII, IIIUI], IIIII. ప్రతి హారములో ఆవృత్తి ద్వారా జనించిన వృత్తముల సంఖ్య ఇవ్వబడినది.

చిత్రము 3: ఛందములోని ప్రతి పాదములోని అక్షర సంఖ్య n. అట్టి వృత్తముల సంఖ్య కుండలీకరణములలో చూపబడినవి. ఆ ఛందములోని మొత్త వృత్తముల సంఖ్య ఎఱ్ఱ రంగులోతెలుపబడినది. నక్షత్రపు గుర్తు గురులఘువుల సంఖ్య ఒక్కటే ఐనను, జనించిన వృత్తములు వేఱువేఱు అని సూచిస్తుంది.

చిత్రము 4: ప్రతి పాదములో 1 నుండి 26 అక్షరముల వఱకు గల వృత్తములలోని ప్రవాలమౌక్తిక హారముల సంఖ్యలు. ఈ అమరిక A000031 అని నిర్ణయించబడినది.