“A purposeful life needs an axis or hinge to which it is firmly fixed and yet around which it can freely revolve. As I see it, this axis or hinge has been, in my own case, strongly enough, not the love of science, not even the love of nature but a certain abstract idealism or belief in the value of the human spirit and the virtue of human endeavor and achievement.”

— C. V. Raman.

1

ఆచార్య సుబ్బరామయ్య
మీనాక్షి సుందరం (1913-1968)

ఆచార్య సుబ్బరామయ్య మీనాక్షి సుందరం (S. Minkashisundaram) పుట్టింది కేరళలో. చదువుకున్నది తమిళ దేశంలో, ఉద్యోగం చేసింది కోస్తా ఆంధ్రలో. ఆయన ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ శాఖలో ఉపాధ్యాయునిగా జేరి, ఆ శాఖకీ తరవాత గణిత శాఖకీ అధిపతిగా, ప్రిన్స్‌టన్ లోని ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్‌డ్ స్టడీలో (I.A.S.) ఆరితేరిన పండితులతో పాటు పరిశోధకునిగా, ఆ తర్వాత సిమ్లాలో భారత ప్రభుత్వం స్థాపించిన అడ్వాన్స్‌డ్ ఇన్స్టిట్యూట్‌లో అధ్యయనశీలిగా, ఆంధ్ర విశ్వ కళా పరిషత్ గుంటూరులో నెలకొల్పిన అనుబంధ కేంద్రానికి సంస్థాపక ప్రత్యేకాధికారిగా, ఆక్స్‌ఫర్డ్ యూనివర్సిటీ ప్రెస్ ప్రచురించిన టిపికల్ మీన్స్ (Typical Means) అన్న గణిత శాస్త్ర గ్రంథ సహరచయితగా, తన సంక్షిప్త జీవిత కాలంలో విరాజిల్లిన ఆచార్య సుబ్బరామయ్య మీనాక్షిసుందరం గురించి ఈమాట పాఠకులకు తెలియజేయాలన్న ఆలోచనకి వాగ్రూపమే ఈ వ్యాసం. మీనాక్షిసుందరాన్ని దగ్గరవాళ్ళు మీనాక్షి అనీ, తోటివాళ్ళూ, విద్యార్థులూ SMS అనీ పిలుచుకునేవాళ్ళు. అమెరికాలో గూడా ఆయన మీనాక్షి గానే అందరికీ పరిచయం.

2

ఈ పరిచయం ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం 1943 నుంచి 1968 దాకా పనిచేసిన ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌తో మొదలు పెట్టటానికి ఇప్పుడక్కడ ఆయన సంప్రదాయం పెద్దగా ఏమీ లేదు. అందుకే, ఇదుగో ఇలా బాన్ నగరం, జర్మనీలో మొదలెడతాను.

Mathematisches Institut, April 20, 2013.
Professor Werner Ballmann.
Seminar on Spectral Geometry: “Fundamental solution of the heat equation and asymptotic development after Minakshisundaram-Pleijel.”

పైన పేర్కొన్నది — మీనాక్షిసుందరం, ఆకె ప్లెయ్‌జల్ (Åke Vilhelm Carl Pleijel, 1913-1989) అన్న స్వీడిష్ గణితజ్ఞునితో కలిసి 1949లో కెనెడియన్ జర్నల్ ఆఫ్ మాథమాటిక్స్‌లో ప్రచురించిన వ్యాసంతో మొదలై, తరవాత కాలంలో జరిగిన శాస్త్ర పరిశోధనల మీద జర్మనీ దేశం లోని బాన్ నగరంలో ఒక గణిత శాస్త్ర అధ్యయన సంస్థలో కొంతమంది, ఏప్రిల్ 20, 2013న చర్చించ బోతున్నారన్న ప్రకటన నుంచి. కాలాన్ని లెక్కగట్టటానికి వీలుగా మహాపురుషులు జీవించిన కాలాన్ని మొదలుగా చేసుకున్నట్టు, ఆధునిక గణిత శాస్త్రంలో ఒక శాఖలో ఒక అధ్యాయానికి మీనాక్షిసుందరం-ప్లెయ్‌జల్‌ల పరిశోధన మొదలు అన్న గుర్తింపుకి ఈ ఉట్టంకింపు నిదర్శనం. మరో రెండు ఉదాహరణలతో ముందుకు వెళతాను. వీటిల్లో ఉన్న విషయాలు అర్థమవాలంటే వీటిలో చెప్పబడిన గణిత శాస్త్ర విభాగంతో కొంత పరిచయం ఉంటే మేలన్నది నిజమే అయినా, కొంత వరకైనా మీనాక్షిసుందరం చేసిన కృషి ఎంతగా గుర్తింపు పొందిందో ఈ ఉట్టంకింపులతో పాఠకులకు అవగతమౌతుందనే అనుకుంటాను. మొదటిది:

“Leaving aside… it is fair to say that the zeta function of a differential operator appeared first in a paper of T. Carleman [6]… Carleman’s work not withstanding, the explicit study of zeta functions, and related objects, of elliptic differential operators, began with work of S. Minakshisundaram in the late 1940’s…”

పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్ అండ్ స్పెక్ట్రల్ థియరీ (Partial Differential Equations and Spectral Theory, 2011) అన్న సంకలనానికి టెంపుల్ యూనివర్సిటీకి చెందిన గణితాచార్యుడు హెరార్డో మెన్‌డోసా (Gerardo A Mendoza) రాసిన వ్యాసం (పే. 292) లోవి పై మాటలు. మెన్‌డోసా మాటల్లో ముఖ్యంగా రెండు పారిభాషిక పదాలున్నాయి. 1. ౙీటా ఫంక్షన్ (z), 2. డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్ (d). పైమాటల సారాంశం: d అనే (గణిత)పరికరంతో z అనే (గణిత) ప్రమేయాన్ని జోడించటము, ఆ జోడింపు పర్యవసానాన్ని అధ్యయనం చేయటం, కార్లెమన్‌తో ఆరంభమైనప్పటికీ, d లో ఒక ప్రత్యేకత కలిగిన ‘ఎలిప్టిక్ d’ అన్న పరికరంతో z ని జోడించటంతో సాధించగలిగిన ఫలితాలను కళ్ళకు కట్టినట్టుగా విశదీకరించటమన్నది 1940ల చివరలో మీనాక్షిసుందరంతో మొదలైంది.

రెండవది: టెక్సాస్ ఎ&ఎమ్ యూనివర్సిటీ ప్రొఫెసర్ ఫులింగ్ (Stephen Fulling) రాసిన వ్యాస శీర్షిక — Meenaakshisundaram and the birth of Geometric Spectral Asymptotics. ‘జామెట్రిక్ స్పెక్ట్రల్ అసిమ్టొటిక్స్’ అన్న అధ్యాయానికి మీనాక్షిసుందరం చేసిన పరిశోధనలు నాంది అని ఫులింగ్ చెపుతున్నాడని తెలుస్తూనే ఉంది. ఈ పరిశోధనలు ఈనాడు ఎన్నిఇతర శాస్త్ర రంగాలలో ఉపయోగ పడుతున్నాయో ఫులింగ్ తన వ్యాసాలలో విపులంగా చర్చిస్తాడు.

20వ శతాబ్దంలో వచ్చిన ప్రసిద్ధమైన గణిత శాస్త్ర సిద్ధాంతాలలో అతియ-సింగర్ ఇండెక్స్ సిద్ధాతం (Atiyah – Singer Index Theorem) ఒకటి. ఆంధ్ర విశ్వ కళాపరిషత్‌లో గణిత శాస్త్రం చదువుకుని యూనివర్సిటీ ఆఫ్ హైదరాబాద్‌లో గణిత శాస్త్రాచార్యులుగా పనిచేసిన ఆచార్య ముస్లి (C. Musli) 1974-76 సంవత్సరాలలో యూనివర్సిటీ ఆఫ్ కాలిఫోర్నియా, లాస్ ఏంజిలిస్‌లో పని చేస్తున్న రోజుల్లో, హార్వర్డ్ ప్రొఫెసర్ బాట్ (Raoul Bott) అతియ -సింగర్ ఇండెక్స్ సిద్దాంతం మీద తన ఉపన్యాసాన్ని మీనాక్షిసుందరం చేసిన పరిశోధనలను తలుచుకుంటూ మొదలు పెట్టినప్పుడు తను పొందిన ఆనందం ఎవరు ఎన్నగలరని అంటుండేవారు. లెక్కలకు నోబెల్ బహుమానం ఇవ్వరు. కానీ గణిత శాస్త్ర వైదుష్యానికి నోబెల్‌తో సమానమైన పురస్కారాలుగా గుర్తింపు పొందిన ఫీల్డ్స్ మెడల్ (Fields Medal), ఎబెల్ ప్రైజ్ (Abel Prize) అన్న రెండు గౌరవాలు పొందిన మేధావి మిఖైల్ అతియ (Michael Atiyah) మాటలు ఈ ఉపోద్ఘాతాన్ని సుసంపన్నం చేస్తాయనుకుంటాను.

“నేను ఎప్పుడూ మీనాక్షిని కలుసుకోలేదు.కానీ ఆయన ప్లెయ్‌జల్‌తో కలిసి రాసిన శాస్త్రవ్యాసాన్ని అధ్యయనం చేశాను. అది నా పరిశోధనల మీద ఒక ముఖ్యమైన ప్రభావం.”

3

మీనాక్షిసుందరం కేరళ రాష్ట్రం లోని త్రిచూర్‌లో 1913 అక్టోబర్ 12న పుట్టారు. మీనాక్షిసుందరం తల్లికి అప్పటి ఆచారాలను బట్టి చిన్నతనంలో పెళ్ళయినా ఆమెకు 24వ ఏటికి గానీ బిడ్డ కడుపున పడలేదు. శైవ సంప్రదాయపు కుటుంబమైనా గురువాయూర్ అప్పన్‌కి మొక్కుకున్న తర్వాతే మీనాక్షిని ప్రథమ సంతానంగా కన్నారు తల్లిదండ్రులు. పిల్లవాడికి తమ సంప్రదాయాన్ననుసరించి మీనాక్షిసుందరం అని పేరు పెట్టుకుని గురువాయూర్ క్రిష్ణయ్యకు బిడ్డ ఎత్తు వెన్నని నివేదించి మొక్కు తీర్చుకున్నారు వాళ్ళు. మీనాక్షిసుందరం పూర్వీకులు ఆంధ్రులు. పెద్దాపురంలో వాళ్ళ స్థిరాస్తులు ఉండేవట. వారి పూర్వీకుల ఇంటి పేరు కొట్ర. ఆంధ్ర వాచస్పత్య నిర్మాత కొట్ర శ్యామలకామశాస్త్రి వీరి పూర్వజులు.

మీనాక్షి చిన్ననాటి ఒక విశేషం. తొమ్మిదవ యేటనే ఉపనయనమైన మీనాక్షికి కేరళలో తాతగారు పొద్దునా సాయంత్రమూ తనతో కలిసి సంధ్యార్చన చేసుకునే అలవాటు చేశారు. ఒక రోజున ఉదయ సంధ్యాకాలానికి బాగా ముందే పొలం లోకి వెళ్ళవలసి తాతగారు వెళ్ళిపోయారు. అమ్మా, బామ్మా మీనాక్షిని ఒక్కణ్ణీ జపం చేసుకోమన్నారు. వాళ్ళు చెప్పినట్టే చావడిలో గోడమీద ఉన్న శివ పార్వతుల పటాల ముందు కూర్చుని సంధ్యకి ఉపక్రమించాడు మీనాక్షి. అమ్మా, బామ్మా వంటింట్లో వాళ్ళ పనుల్లో ఉన్నారు. సంధ్య మొదలు పెట్టిన కొద్ది సేపటికే మీనాక్షి పరుగెత్తుకుంటూ బామ్మ చాటుకు చేరిపోయాడు. కారణం అడిగితే గోడ మీద పటాల్లో ఉన్నాయన వచ్చి తన ముందు నుంచున్నాడని అన్నాడు. బామ్మ సముదాయించి పంపిస్తే కాసేపటికి మళ్ళీ ఇదే తంతు – గోడమీది పటంలో ఉన్నాయన బయటికి వచ్చి తన ముందు జులపాల జుట్టుతో నుంచుని భయపెడుతున్నాడంటూ. ఈ సారి అమ్మ కొంగులో దాక్కున్నాడు. తిరిగి జపానికి వెళ్ళటానికి ఇష్టపడలేదు.

మీనాక్షిసుందరానికి ఇద్దరు తమ్ముళ్ళు. అక్కచెల్లెళ్ళు లేరు. తండ్రి బ్రిటిష్ ప్రభుత్వంలో శానిటరీ ఇంజనీర్. ఆ కారణంగా కేరళను వదిలి మద్రాస్ చేరారు. తండ్రి అనారోగ్య కారణాల వల్ల ఉద్యోగం మానేయవలసి వచ్చింది. దాంతో కటిక పేదరికం అనుభవించారు కుటుంబమంతా. మీనాక్షిసుందరం చిన్నతనాన చదువు, మూడవ తరగతినుంచి ఆరవ ఫారం వరకూ (1919-29) మద్రాస్, పెరమ్బూర్ లోని సి. ఆర్. సి. హైస్కూల్లో. 1929-31ల మధ్య ఇంటర్మీడియట్ మద్రాస్ లోని పచ్చయప్ప కాలేజిలో. మీనాక్షిసుందరం 1931-34ల్లో మద్రాస్ లోని లయోలా కాలేజి నుంచి బి. ఏ. ఆనర్స్‌లో మొదటి తరగతిలో ఉత్తీర్ణులై, అలా ఉత్తీర్ణులైన వారికి ఆ రోజుల్లో కొంత మూజువాణీ పైకం చెల్లిస్తే మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం ఇచ్చే ఎం. ఏ. డిగ్రీని తీసుకున్నారు. భారత దేశంలో ఆ రోజుల్లో కొన్ని ఇతర విశ్వవిద్యాలయాల్లో కుడా ఈ పద్ధతి ఉండేది. అప్పటి మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయ ప్రఖ్యాత గణితాచార్యుడు ఆర్. వైద్యనాథ స్వామి (1894-1960), మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం (1857) కన్నా ముందుగా 1840లో మద్రాస్ ప్రిపరేటరీ స్కూల్‌గా ఉద్భవించి వృద్ధి చెందిన ప్రెసిడెన్సీ కాలేజ్ ఆచార్యుడు.

కె. ఆనంద రావ్ (K. Ananda Rau, 1893-1966) మీనాక్షిసుందరం గురువు.

4

ఎం. ఏ. అయిన తర్వాత మీనాక్షిసుందరం ప్రొఫెసర్ ఆనంద రావ్ వద్ద రిసర్చ్ మొదలు పెట్టాడు. రామానుజన్ ప్రభావం (ఈనాటికీ) విపరీతంగా ఉన్న మద్రాస్ (పట్నమూ, రాష్ట్రమూ) లెక్కల విద్యార్థుల దృష్టి ఆ రోజుల్లో కేంబ్రిడ్జ్ వైపు ఉండేది. మీనాక్షిసుందరం పరిశోధన సమబిలిటీ (summability) అనే విభాగంలో మొదలైంది. ఆనంద రావ్ 1914-1919 రోజుల్లో కేంబ్రిడ్జ్‌లో ఉన్నాడు. అక్కడ రామానుజన్‌ని చేరదీసిన జి. హెచ్. హార్డీ (G. H. Hardy) దగ్గర ఆనంద రావ్ చదువుకున్నాడు. ఆనంద రావ్ ప్రతిభావంతుడైన ‘అనలిస్ట్’ — అంటే ‘మాథమాటికల్ అనాలిసిస్’ అన్న విభాగంలో నిపుణుడని. ‘సమబిలిటీ’ పరిశోధనలో హార్డీ అగ్రగణ్యుడు. హార్డీ పుస్తకం డైవర్జంట్ సిరీస్లో ఆనంద రావ్ పేరు మీద ఒక సిద్దాంతం కనపడుతుంది. ఆ రకంగా సమబిలిటీ మీనాక్షిని కూడా చేరింది. ఆనంద రావ్ కేంబ్రిడ్జ్‌లో ఉన్న రోజుల్లోనే రామానుజన్ కూడా ఉండేవాడు. రామానుజన్ స్వభావం సరళంగా ఉండేదనీ, ఎక్కడా కృతకంగా ఉండేవాడు కాదనీ, రామానుజన్‌కి తన సామర్ధ్యం గురించిన స్పృహ ఏ కోశానా ఉండేది కాదనీ రామానుజన్ గురించి ఆనంద రావ్ అన్న మాటలు.

కె. ఆనంద రావ్ (1893-66)

సమబిలిటీలో పరిశోధన మొదలు పెట్టిన మీనాక్షి అందులో ఆనంద రావ్ సాధించిన ఫలితాలకన్నా మేలైన ఫలితాలు సాధించి హార్డీ గుర్తింపు పొందాడు. కేంబ్రిడ్జ్ ప్రభావంతో ఆనంద రావ్ ద్వారా వచ్చిన ఈ సమబిలిటీ మీనాక్షిసుందరాన్ని చివరి దాకా అంటి పెట్టుకునే వున్నా — మీనాక్షి మొదటి రీసర్చ్ పేపరు (1936-37), ఆఖరి పేపరూ (1967) సమబిలిటీ లోనే — మద్రాస్ లయోలా కాలేజిలో లెక్కల విభాగానికి అధిపతిగా ఉన్న ఫ్రెంచ్ దేశీయుడు ఫాదర్ రసీన్ (Fr. Charles Racine) మద్రాస్ పిల్లల మీద కేంబ్రిడ్జ్ ప్రభావాన్ని తగ్గించటానికి చేసిన ప్రయత్నాలు పని చేశాయనే చెప్పాలి. 1897లో జన్మించిన ఫాదర్ రసీన్, ఇలీ కార్తాఁ (Elie Cartan) అన్న ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుని శిష్యుడు. ఇలీ కార్తాఁ మాథమాటికల్ ఫిజిక్స్‌తో కలుపుకుని దాదాపు ఇప్పటి పరిభాషలో పది పదిహేను విభాగాల్లో, ముఖ్యంగా లీ గ్రూప్స్‌లో (Lie groups) ప్రసిద్ధమైన కృషి చేసినవాడు.

ఫాదర్ రసీన్, జ్యాక్ అదమాహ్ (Jacques Salomon Hadamard) అన్న మరో గొప్ప ఫ్రెంచ్ గణితవేత్త తోనూ పని చేశాడు. ఫాదర్ రసీన్ 1929లో క్రైస్తవ మత గురువై, పారిస్‌లో నాలుగేళ్ళు గణితంలో పై చదువులు చదివి 1934లో డాక్టరేట్ తీసుకున్నాడు. తిరుచిరాపల్లి లోని సెయింట్ జోసఫ్ కాలేజ్‌కి పంపబడిన ఫాదర్ రసీన్ 1939లో మద్రాస్ లయోలాకు వచ్చి 1976లో తనువు చాలించేంత వరకూ అక్కడే ఉన్నాడు. ఫాదర్ రసీన్ మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయంలో ‘నాన్ లీనియర్ పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్’ అన్న విభాగంలో ప్రధానంగా ఇద్దరు ఫ్రెంచ్ శాస్త్రవేత్తల — జ్యార్జ్య్ గిరాఁ (George Giraud), మరీస్ జేవ్రే (Maurice-Joseph Gevrey) — పరిశోధనల మీద ఇచ్చిన ఉపన్యాసాలు మీనాక్షి వినటమూ, ఆ కాలం లోనే ఉస్మానియా విశ్వవిద్యాలయంలో ఆచార్యుడు అయిన మహమ్మద్ సిద్దీకిని (Muhammad Raziuddin Siddiqui) కలవటమూ జరిగాయి. ప్రొఫెసర్ సిద్దీకి ‘నాన్ లీనియర్ పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్’లో నిపుణుడు. సిద్దీకి కేంబ్రిడ్జ్‌లో పాల్ డిరాక్ (Paul Dirac) వద్ద, బెర్లిన్‌లో ఐన్‌స్టయిన్ (Albert Einstein), హైసెన్‌బర్గ్ (Werner Heisenberg) వంటి ప్రఖ్యాతుల వద్ద చదువుకుని, లీప్జిగ్ యూనివర్సిటీ నుంచి హైసెన్‌బర్గ్ పర్యవేక్షణలో పిహెచ్. డి. పట్టా పొందినవాడు, లెక్చర్స్ ఇన్ క్వాంటమ్ మెకానిక్స్ రచయిత. ఫలితంగా మీనాక్షికి ‘మాథమటికల్ మెథడ్స్ ఇన్ ఫిజిక్స్’తో పరిచయం అయింది. 1937 మే 10న, మేనమామ కూతురు అయిన పదమూడేళ్ళ పార్వతితో పెళ్ళి జరిగింది. ఆ తరుణం లోనే మీనాక్షి డాక్టరేట్ కోసం పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్‌లో కృషి చేయటం ప్రారంభించి సిద్దికీ, లిష్టెన్‌స్టైన్‌ల (Leon Lichtenstein) రీసెర్చ్ ఫలితాలను అధిగమించాడు.

డా. మీనాక్షి సుందరం, 1940.

ఇరవైయవ శతాబ్దపు మధ్యకాలంలో కొంతమంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు, పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్ సిద్ధాంతాల సాయంతో గణిత శాస్త్రం ఛేదించిన సమస్యల ప్రాముఖ్యత, వాటి క్లిష్టతలను బట్టి గణిత శాస్త్రంలో ఆ విభాగాన్ని అత్యున్నత శిఖరంగా భావించేవారు. దీనికి మరొక కారణం చాలా ఇతర గణిత శాస్త్ర విభాగాల కన్నా ఇది అధునాతనమైనదవటం[1]. ఫాదర్ రసీన్ ఇచ్చిన సలహాలతో మీనాక్షి ఆ విభాగంలో పరవలయ సమీకరణాల (parabolic equations) సాధనల మీద తను ఆవిష్కరించిన ఫలితాలను తన సిద్ధాంత వ్యాసం, ‘Fourier Ansatz and non linear parabolic equations’లో ఒక భాగంగా పొందుపరిచాడు. ఆయన సమర్పించిన ఈ సిద్ధాంత వ్యాసానికి 1940లో మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం ఆయనకి డి. యస్‌సి. డిగ్రీని ఇచ్చి ఆ వ్యాసాన్ని సంపూర్ణంగా విశ్వవిద్యాలయ పత్రికలో ప్రకటించింది. అప్పటికి మీనాక్షిసుందరం దంపతులకు ఒక కూతురు, రాధ. ఆయన థీసిస్‌ను 1940లో సర్వోత్తమ సిద్ధాంత వ్యాసంగా మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం నిర్ణయించి మీనాక్షికి ప్రొఫెసర్ నరసింగరావు మెడల్, రామానుజన్ మెమోరియల్ ప్రైజ్ (1942) ఇచ్చింది.

ఐతే మద్రాస్ యూనివర్సిటీలో డాక్టర్ మీనాక్షిసుందరానికి తగిన ఉద్యోగం దొరకలేదు. మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం గణిత శాస్త్రంలో ఇచ్చిన డాక్టరేట్ తీసుకున్న వ్యక్తికే ఉద్యోగం దొరకలేదంటే ఆశ్చర్యంగా ఉంటుంది. అవి రెండో ప్రపంచ యుద్ధపు రోజులు. కొంతకాలం మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయంలో రిసర్చ్ ఫెలోగా చాలా కొద్ది వేతనానికి మీనాక్షి పని చేశారు. కొంతకాలం ఏ రకమైన వేతనమూ లేదు. ఆ పరిస్థితుల్లో ఆయన ఫాదర్ రసీన్ సహకారంతో మద్రాస్ లయోలా కాలేజ్ విద్యార్థులకు ప్రైవేట్ పాఠాలు చెప్పారు. అలాగే ఫాదర్ రసీన్‌తో కలిసి వారం వారం గణిత శాస్త్రగోష్టి కార్యక్రమాలు నిర్వహించారు. తర్వాతి కాలంలో ప్రసిద్ధులైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, సి. టి. రాజగోపాల్, కె. జి. రామనాథన్, కె. చంద్రశేఖరన్ (K. Chandrasekharan) వంటి వాళ్ళు ఈ కార్యక్రమాలలో పాలు పంచుకునేవాళ్ళు. ఈ తరుణంలో తన పరిశోధనల ద్వారా మీనాక్షిసుందరానికి ఇంగ్లాండ్ లోను, అమెరికా లోనూ మంచి గణిత శాస్త్రవేత్తగా గుర్తింపు వచ్చింది.

5

అయినా ఇంత ప్రతిభావంతునికీ ఉద్యోగం దొరకలేదు. ఇలా ఎందుకు మళ్ళీ రాయవలసి వచ్చిందంటే ఆ రోజుల్లో, ముఖ్యంగా మద్రాస్ నుంచి, బి. ఎ. లో ఉన్నత శ్రేణిలో ఉత్తీర్ణులైన వాళ్ళు మంచి జీతమూ పలుకుబడీ లభించే ఇంపీరియల్ సివిల్ సర్వీస్‌కి (ICS, ఇప్పటి IAS) వెళ్ళి సుఖపడి పోయేవాళ్ళు. మీనాక్షిసుందరం తనకు ప్రియమైన గణిత శాస్త్రాధ్యయనానికి అంకితమై అదే తన జీవితంగా ఎంచుకున్న వాడు. ఉన్నతమైన విద్యార్హతలు కలిగి తను కృషి చేసిన శాస్త్ర విభాగంలో ప్రామాణికులుగా ప్రసిద్ధులైన విదేశ పండితులలో గూడా గుర్తింపు తెచ్చుకున్న వాడు. అన్నామలై యూనివర్సిటీలో మాథమాటిక్స్ శాఖకి అధిపతిగా ఉన్న ప్రొఫెసర్ నరసింగరావు తన శాఖలో ట్యూటర్ ఉద్యోగం ఇస్తానని మీనాక్షితో అన్నాడు. ట్యూటర్ పదవి లెక్చరర్ పదవికన్నా చిన్నది.

ఇంతలో ఆంధ్ర విశ్వకళాపరిషత్ తన ఫిజిక్స్ శాఖలో పాఠాలకూ, పరిశోధనకూ లెక్కల నుంచి కావలసిన ఊతను గుర్తించి, ‘రామన్ -నాథ్ డైఫ్రాక్షన్’కి పేరు పొందిన ఎన్. ఎస్. నగేంద్రనాథ్ నేతృత్వంలో ఫిజిక్స్‌లో ఉపశాఖగా, 1942లో మాథమాటికల్ ఫిజిక్స్ పేరుతో ఒక అధ్యయన విభాగాన్ని — ఏ రంగంలో నైనా నూతనత్వాన్నీ, ప్రగతినీ ఆహ్వానించటంలో సాటి లేని వాడైన విద్యావేత్త, వైస్ ఛాన్సలర్ కట్టమంచి రామలింగారెడ్డి దక్షతలో — ఆవిష్కరించింది. ఆ శాఖలో లెక్చరర్‌గా మీనాక్షి సుందరాన్ని ఎన్నుకున్నారు. తగిన ఉద్యోగం లేక వ్యథ చెందుతున్న రోజుల్లో వచ్చిన ఈ నియామకాన్ని, ఈ ఉద్యోగాన్ని మీనాక్షిసుందరం ఒక కృతజ్ఞతా భావంతో స్వీకరించినట్టుగా కనపడుతుంది. తన వంశంలో కొన్ని తరాల తర్వాత మళ్ళీ తెలుగు గడ్డ మీద జీవనం 1943లో గుంటూరులో మొదలు పెట్టారు, మీనాక్షిసుందరం. రెండవ ప్రపంచ యుద్ధపు రోజుల్లో (1939-1945) విశాఖపట్నం మీద బాంబు వేస్తారన్న భయంతో, ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్ వాల్తేరు (విశాఖపట్నం) నుంచి తాత్కాలికంగా (1942-1946) గుంటూరుకు తరలింపబడింది.

ఆకె ప్లెయ్‌జల్(1913-1989)

‘మాథమటికల్ అనాలిసిస్’లో ప్రసిద్ధి చెందిన స్టోన్ -వయర్‌స్ట్రాస్ (Stone -Weierstrauss) సిద్ధాంత నిర్మాత మార్షల్ స్టోన్ (Marshall Harvey Stone) 1944లో మద్రాస్ రావటమూ, ప్రతిభావంతులైన భారతీయ యువ గణిత శాస్త్రవేత్తలను కలుసుకోవటానికి ఆసక్తి చూపించడమూ జరిగింది. అలా స్టోన్ కలుసుకున్న వాళ్ళలో చంద్రశేఖరన్, మీనాక్షిసుందరం ఉన్నారు. ఈ కలయిక వీళ్ళ శాస్త్ర విద్యాజీవితాలను ఒక మలుపు తిప్పింది. ఫాదర్ రసీన్, ప్రొఫెసర్ స్టోన్, అమెరికాలో న్యూజెర్సీ రాష్ట్రం, ప్రిన్స్‌టన్‌లో ఉన్న ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్‌డ్ స్టడీకి (I.A.S.) చెందిన మార్స్‌టన్ మోర్స్ (Marston Morse), చూపిన చొరవతో మీనాక్షిసుందరానికి ఐ.ఎ.ఎస్.లో సభ్యత్వానికి ఆహ్వానం వచ్చింది. 1915 ప్రాంతాల్లో కేంబ్రిడ్జ్ లాగా తర్వాత కాలంలో ఐ.ఎ.ఎస్. భారతీయ శాస్త్రవేత్తలను ప్రముఖంగా ఆదరించింది. ఐ.ఎ.యస్. గురించి ఎక్కువగా చెప్పనక్కరలేదు. 1933లో ఐ.ఎ.ఎస్.లో జేరిన ఐన్‌స్టయిన్ 1955లో చనిపోయేవరకు అక్కడే ఉన్నాడని చెపితే చాలు.

1930లో స్థాపించిన ఈ అధ్యయన కేంద్రంలో నాలుగు విభాగాలు; చరిత్ర, లెక్కలు, సామాన్య శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రాలలో. ‘మీరిది చెయ్యాలి’ అన్న వత్తిడి, లేమి, లేకుండా స్వేచ్ఛగా ఆలోచించుకోవడానికి వీలు కల్పించే ఈ సంస్థలో ఎంతో ప్రతిభావంతులకు మాత్రమే చోటు దొరుకుతుంది. 1946-48లో మీనాక్షిసుందరం ఐ.ఎ.ఎస్.లో గడిపారు. అక్కడి అధ్యయన సంప్రదాయం మీనాక్షి ప్రతిభను సాన పట్టింది. మీనాక్షిసుందరం ఐ.ఎ.ఎస్.లో — 20వ శతాబ్దాన్ని ప్రభావితం చేసిన థియరిటికల్ ఫిజిక్స్ నిపుణులలో ప్రముఖుడు, స్పేస్, టైమ్ అండ్ మేటర్ (1918) రచయిత హెర్మన్ వెయ్‌ల్ (Hermann Weyl); మొదటి తరం డిజిటల్ కంప్యుటర్ నిర్మాతలలో ఒకడు, గణిత శాస్త్ర వేత్త, బహుముఖ ప్రజ్ఞాశాలి జాన్ ఫాన్ నాయ్‌మన్ (John Von Neumann) వంటి ధీమంతుల మధ్య విలసిల్లిన దార్శనిక వాతావరణంలో — ఆ రెండు సంవత్సరాలు అంతర్జాతీయ స్థాయిలో కృషి చేశారు. డిసెంబర్ 1946లో ఐ.ఎ.యస్.కి వచ్చిన మీనాక్షి 1947లో, యూనివర్సిటీ ఆఫ్ సిన్సినాటిలో ఆచార్యుడుగా ఉన్న ఆట్టో సాస్‌ (Otto Szasz, 1884-1952) సహకర్తృత్వంలో ‘ట్రాన్సాక్షన్స్ ఆఫ్ అమెరికన్ మాథమటికల్ సొసైటీ’లో ‘మల్టిపుల్ ఫోరియే సిరీస్’పై ఒక శాస్త్రవ్యాసం ప్రచురించారు. 1911లో, అంటే మీనక్షిసుందరం పుట్టకముందే, హంగేరీలోని బుడాపెస్ట్ యూనివర్సిటీ నుంచి డాక్టరేట్ తీసుకున్న సాస్, జెర్మనీ, ఫ్రాన్స్ దేశాల్లో తన విద్యకు మెరుగులు దిద్దుకుని, అమెరికాలో రెండు మూడు విద్యాలయాలలో పనిచేసి సిన్సినాటిలో ప్రొఫెసర్‌గా స్థిరపడ్డాడు.

ఇదే సమయంలో స్వీడన్‌కి చెందిన గణిత శాస్త్రవేత్త అకే ప్లెయ్‌జల్ కూడా ఐ.ఎ.ఎస్.లో ఉన్నాడు. ప్లెయ్‌జల్ మొదటి సారిగా డిఫరన్షియల్ ఆపరేటర్‌తో (d) ౙీటా ఫంక్షన్‌ని (z) జోడించిన కార్లెమన్ (Torsten Carleman) శిష్యుడు. మీనాక్షి కన్నా రెండు నెలలు పెద్దవాడు. మీనాక్షి లాగానే ప్లెయ్‌జల్ గూడా 1940 లోనే — స్టాక్‌హోమ్ యూనివర్సిటీ నుంచి డాక్టరేట్ తెచ్చుకున్నాడు. మీనాక్షి ప్లెయ్‌జల్‌తో కలిసి తన పరిశోధనా పత్రాలలో తనకు అన్నిటి కన్న ఎక్కువ ఖ్యాతిని తెచ్చిపెట్టిన — S. Minakshisundaram and A. Pleijel, Some properties of the eigen functions of the Laplace operator on Riemannian manifolds, Canadian Journal of Mathematics, v. 1 (3), 1949: 242-256 — అనే వ్యాసాన్ని ఈ సమయం లోనే రాశారు. పూర్తిగా ఆ పేపర్‌ను ఎందుకు ఉట్టంకించానో చూడండి:

A. Einstein, L. Infeld, On the motion of particles in general relativity theory, Canadian Journal of Mathematics, v. 1 (3), 1949:209-241.

1949లో కెనేడియన్ జర్నల్ ఆఫ్ మాథమటిక్స్, మొదటి సంపుటి మూడవ సంచికలో, 209వ పేజీ నుంచి 241వ పేజీ దాకా ఐన్‌స్టయిన్ పేపరు, ఆ పక్కనే 242వ పేజీ నుంచి 256 పేజీ వరకూ మీనాక్షిసుందరం పేపరు.

6

మీనాక్షి సుందరం 1946లో అమెరికా వెళుతున్నప్పుడు బ్రిటిష్ పౌరుడు. బ్రిటిష్ పాస్‌పోర్ట్‌తో వెళ్ళినవాడు. 1947లో భారతదేశం స్వతంత్ర దేశం అయింది. 1948లో ఆయన భారత దేశం తిరిగి వస్తున్నప్పుడు ఆయనను కొలంబోలో ఆపేశారు. ఆయన భార్య పార్వతి తన మరిదితో, రెండేళ్ళ చిన్న కూతురు గిరిజతో మద్రాస్ వెళ్ళి అక్కడ కావలిసిన అధికార పత్రాలు సంపాదించుకుని, అక్కడనుంచి పడవలో ధనుష్కోటి వెళ్ళి మీనాక్షిని తన భర్తగా నిరూపించుకుని ఇంటికి తెచ్చుకున్నారు.

హిల్బర్ట్ ఆల్జీబ్రాస్‌పై పత్రం (1958)
(పూర్తి పాఠం)

మనదేశంలో ప్రస్తుత కాలంలో యూనివర్సిటీలలో ఉపాధ్యాయ పదవులకు అమెరికన్ సంప్రదాయాన్ని పాటిస్తూ అసిస్టెంట్ ప్రొఫెసర్, అసోసియేట్ ప్రొఫెసర్, ప్రొఫెసర్ అని మూడు అంతరాలుగా పేర్లు. పూర్వం బ్రిటిష్ పద్ధతిలో లెక్చరర్, రీడర్, ప్రొఫెసర్ అని ఈ అంతరాలని పిలిచేవాళ్ళు. ఒక శాఖలో మహా అయితే ఇద్దరు ప్రొఫెసర్లు. ఇద్దరో, మరీ అయితే ముగ్గురో రీడర్లు. లెక్చరర్ నుంచి రీడర్ అవటానికి దశాబ్దాలు పట్టేది. 1959లో ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో లెక్చరర్ జీతం స్కేలు 210-15/2-300. నెలకు 210 రూపాయలతో మొదలై రెండు సంవత్సరాల కొకసారి 15 రూపాయలు పెరుగుతూ 12 సంవత్సరాలకు 300లకు చేరుకునేది. ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌ మీనాక్షిసుందరాన్ని 1946లో మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌లో రీడర్‌గా ప్రమోట్ చేసింది. అప్పటి నుంచి 1950 దాకా ఆయన రీడర్‌గా ఉన్నారు. 1950-51 ఆయన పొందిన గుర్తింపుకు అద్దం పట్టాయి. నగేంద్రనాథ్ ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌ను విడిచి వెళ్ళినప్పుడు అన్నామలై నించి వచ్చి మాథమాటికల్ ఫిజిక్స్ శాఖాధ్యక్షునిగా చేరిన నరసింగరావు రిటైర్ అయ్యారు. ఆయన ఖాళీ చేసిన ప్రొఫెసర్ స్థానంలో, 1950లో మీనాక్షిసుందరాన్ని నియమించి, 1951లో శాఖాధ్యక్షునిగా చేసింది ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌.

నాలుగేళ్ళ కొకసారి నిర్వహించే ప్రపంచ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల సభ 1950లో అమెరికా లోని కేంబ్రిడ్జ్‌లో జరిగింది. ఆ సభకు మీనాక్షిసుందరం ఆహ్వానితునిగా వెళ్ళారు. ఆ సభకు వెళ్ళేముందు ఐ.ఎ.ఎస్.ను మళ్ళీ మీనాక్షి సందర్శించారు. 1950లో ‘స్పెక్ట్రల్ థియరీ అండ్ డిఫెరెన్షియల్ ప్రాబ్లమ్స్’ మీద స్టిల్‌వాటర్, ఒక్లహామాలో జరిగిన సింపోజియంలో మాట్లాడారు. 1951 నుంచి 1962 వరకూ ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌ మాథమాటికల్ ఫిజిక్స్ శాఖకి ఆయన అధిపతిగా ఉన్నారు. 1956లో ‘ౙీటా ఫంక్షన్’ల మీద టాటా ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ ఫన్డమెంటల్ రిసర్చ్ (T.I.F.R.) నిర్వహించిన అంతర్జాతీయ సదస్సులో ఆహ్వానితునిగా పాల్గొన్నారు. 1958లో ఉన్నతవిద్యాయాత్రలో మళ్ళీ అమెరికా వెళ్ళారు. తిరిగి వస్తూ ఎడిన్బరోలో జరిగిన ప్రపంచ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల సభలో ఆహ్వానితునిగా ‘హిల్బర్ట్ ఆల్జిబ్రా’ల మీద ప్రసంగించారు. మధ్యలో జులై నెల ఐ.ఎ.ఎస్.లో గడిపారు.

కే. చంద్రశేఖరన్ (1920- )

మద్రాసులో మీనాక్షిసుందరంతో పాటు మాథమటికల్ క్లబ్‌లో ఉన్న వాళ్ళల్లో ఒకడైన చంద్రశేఖరన్ ఆనంద రావ్ దగ్గర విద్యార్థిగా 1942లో డాక్టరేట్ తెచ్చుకున్నాడు. 1920లో పుట్టిన చంద్రశేఖరన్ మీనాక్షిసుందరం కన్నా ఏడు సంవత్సరాలు చిన్నవాడు. డాక్టరేట్‌కు కృషి చేస్తున్న రోజుల్లో ప్రెసిడెన్సీ కాలేజిలో పార్ట్ టైమ్ లెక్చరర్‌గా పని చేశాడు. 1944లో ప్రొఫెసర్ స్టోన్ మద్రాస్ వచ్చినపుడు మీనాక్షిసుందరంతో పాటు చంద్రశేఖరన్ కూడా కలిశాడు. 1944-45 మధ్య ఐ.ఎ.ఎస్.లో హెర్మన్ వెయ్‌ల్ సహాయకుడుగా చంద్రశేఖరన్ చేరాడు. చంద్రశేఖరన్ లెక్కలలో తెలివైనవాడే కాక మంచి నిర్వహణా సామర్ధ్యం కలిగిన వాడు. 1949లో హోమీ జహన్గిర్ భాభా (Homi J bhabha) ఐ.ఎ.ఎస్.కి వెళ్ళినప్పుడు చంద్రశేఖరన్‌ని తన టి.ఐ.ఎఫ్.ఆర్.లో లెక్కల విభాగంలో జేరవలసినదిగా ఆహ్వానించాడు. అలా 1949 నుంచి చంద్రశేఖరన్ 1965 దాకా టి.ఐ.ఎఫ్.ఆర్.తో ఉన్నాడు. (చంద్రశేఖరమ్‌లో ఉన్న ‘మ’కారం ప్రెసిడెన్సీ కాలేజ్ క్లర్కు చేతి చలవతో ‘న’కారంగా మారింది. పాస్‌పోర్ట్‌లో పుట్టిన వూరు మచిలీపట్నం అని ఉన్నా చంద్రశేఖరన్ బాపట్ల వాడు. కొమరవోలు రాజయ్య, పద్మాక్షమ్మల సంతానం. తండ్రి రాజయ్య హెడ్మాస్టర్ పని చేశారు. గళమురళిగా పేరు తెచ్చుకున్న కొమరవోలు శివప్రసాద్ బంధువు. ప్రస్తుతం 92 సంవత్సరాల వయసులో ఉన్న ఆయన జ్యురిక్, స్విట్జర్లాండ్‌లో నివసిస్తున్నట్టుగా తెలుస్తోంది.)

1951లో చంద్రశేఖరన్ టి.ఐ.ఎఫ్.ఆర్.లో నిర్వహించిన సమ్మర్ సెమినార్లో మీనాక్షిసుందరం పాలుపంచుకున్నారు. ఈ సహాధ్యాయంలో మీనాక్షి, చంద్రశేఖరన్, 20వ శతాబ్దం మొదట్లో ‘సమబిలిటీ’లో హంగేరియన్ మాథమటిషియన్ మార్సెల్ రైస్ (Marcel Riesz) ప్రవేశపెట్టిన ‘టిపికల్ మీన్స్’ థియరీపై తర్వాత కాలంలో వచ్చిన ప్రగతికి పుస్తకరూపాన్నిస్తూ రచించిన టిపికల్ మీన్స్ అన్న గ్రంధాన్ని ఆక్స్‌ఫర్డ్ యూనివర్సిటీ ప్రెస్ 1952లో ప్రచురించింది. ఈ పుస్తకాన్ని రచయితలు కె. ఆనంద రావ్‌కి అంకితం చేశారు.

7

మీనాక్షిసుందరం ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌కి విశ్వవ్యాప్తమైన పేరునీ, ప్రతిష్టనీ ఆర్జించి పెట్టారు. ఆయన వ్యక్తిగత ప్రతిష్ట మీద యూనివర్సిటీ ఆఫ్ షికాగోకి చెందిన మార్షల్ స్టోన్ (Marshall Stone), ఎం.ఐ.టి.కి చెందిన నార్బర్ట్ వైనర్ (Norbert Weiner), హైడెల్బర్గ్ యూనివర్సిటీకి చెందిన హాన్స్ మాస్ (Hans Mass) వంటి విదేశీ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్ మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ డిపార్ట్‌మెంట్‌ను సందర్శించి అక్కడ ఉపన్యసించారు. ఉపాధ్యాయునిగా మీనాక్షిసుందరం ఊహకు (intuition, imagination) ఎక్కువ ప్రాముఖ్యత నిచ్చారు. నిర్దిష్టత (rigor) ఎంత అవసరమైనా, మంచి ఊహ నిర్దిష్టతను తప్పకుండా సాధిస్తుందని ఆయన నమ్మిక. ఈ రిగర్‌కీ ఇంట్యూషన్‌కీ యుద్ధం లెక్కల వాళ్ళకు నిత్యోత్సవం. ఒక ఐడియాని ముందుకు తీసుకు వెళుతున్నప్పుడు రిగర్‌ను కొంచెం వెనకాల పెట్టి ఊహను స్వేచ్ఛగా మసలనివ్వాలనీ, ఊహ సరియైన దోవన సంచరిస్తే రిగర్ దానంతట అదే వచ్చి ఊహను సర్దుకుంటూ పోతుందని, మీనాక్షిసుందరం విద్యార్థులకు డిపార్ట్‌మెంట్‌లో జరిగే సమావేశాలలో సూటి గానూ, తను పాఠం చెప్పే పద్ధతి ద్వారా సూచన గానూ, తరచూ యిచ్చిన ముఖ్యమైన సందేశం. ఇటువంటి ధోరణి ఫిజిక్స్‌తో పరిచయం ఉన్న లెక్కలవాళ్ళ లోనే కనపడుతుంది అంటే అతిశయోక్తి కాదు. రిగర్ గురించి మరింతగా పట్టించుకునే వాళ్ళను ‘గుడ్డు మీద ఈకలు లెక్కపెట్టేవాళ్ళు’ అని విశ్వకళా పరిషత్‌లో వ్యవహరించటం పరిపాటి.

టిపికల్ మీన్స్ (1952)

మీనాక్షిసుందరం పాఠంలో పాఠ్య పుస్తకాలలో కనపడని మెరుపు లాంటి ఆలోచనలు ఉండేవి. ఆయన సమస్యా సాధనంలో పెద్దవాళ్ళని అనిపించుకున్న వాళ్ళకన్నా కొన్ని స్టెప్స్ ముందు ఉండేవాడు. ఈ కారణంగా దేశంలో సమకాలికులైన పి. ఎల్. భట్నాగర్ (I.I.Sc. బెంగుళూర్), బి. ఆర్. సేత్ (I.I.T. ఖడగ్‌పూర్) వంటి ప్రసిద్ధులైన గణితాచార్యులు మీనాక్షిసుందరాన్ని అభిమానించేవాళ్ళు. మీనాక్షిసుందరం గురువుగా డాక్టరేట్ తీసుకున్న వాళ్ళ సంఖ్య ఇప్పటి కొంతమంది ప్రొఫెసర్లతో పోలిస్తే ఎక్కువ కాదు. ఒక ఆరేడుగురు కన్నా ఎక్కువ మంది లేరు. ఆయన పర్యవేక్షణలో, ఎం. రాజగోపాలన్ అన్న విద్యార్థి డాక్టరేట్‌కై సమర్పించిన సిద్ధాంత వ్యాసం తిరస్కరించబడింది. ఆ వ్యాసంలోని కొన్ని విషయాలను అప్పటికే రష్యాలో మరొకరు చెప్పి ఉండటమని ఆ వ్యాసాన్ని తిరస్కరించిన నిర్ణేత, ఎం.ఐ.టి.కి చెందిన ప్రొఫెసర్ నార్మన్ లెవిన్సన్ సంజాయిషీ! రష్యాలో ఏమి జరుగుతోందో ‘నరమానవుడెవడికీ’ రష్యావాడైనా సరే తెలియని రోజులవి. తర్వాత రాజగోపాలన్‌కి ఏల్‌ యూనివర్సిటీలో రెండు సంవత్సరాలలోనే పిహెచ్.డి. వచ్చింది.

ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో ఇప్పటికీ ముగ్గురు వైస్ ఛాన్సలర్ల పేర్లు పాతకాలం వాళ్ళు తలుచుకుంటూ ఉంటారు: కట్టమంచి రామలింగారెడ్డి (1926-31, 1936-49), సర్వేపల్లి రాధాకృష్ణన్ (1931-36), వాసిరెడ్డి శ్రీకృష్ణ (1949-61). మీనాక్షిసుందరానికి, శ్రీకృష్ణకూ మంచి అనుబంధం ఉండేది. అంతర్జాతీయంగా మీనాక్షిసుందరం తెచ్చుకున్న పేరుతో విశ్వకళా పరిషత్ కీర్తి ఇనుమడించటం సహజంగానే వైస్ ఛాన్సలరయిన శ్రీ కృష్ణకి మీనాక్షి మీద గౌరవాన్నీ, అభిమానాన్నీ కలుగచేసింది. 1950లో అమెరికా లోని మేరీలాండ్ విశ్వవిద్యాలయం నుంచి పరిశోధనలకు సంబంధించిన ఉద్యోగంలో జేరమని మీనాక్షికి పిలుపు వచ్చినప్పుడు శ్రీ కృష్ణ, మీనాక్షిసుందరం వంటి వారి అవసరం భారత దేశానికి ఉన్నదనీ ఆయనను విశ్వకళా పరిషత్ వదులుకోలేదనీ అభిప్రాయపడ్దారు. అంతే. శ్రీ కృష్ణ ఉన్నంతకాలం మీనాక్షిసుందరం పరిషత్ లోనే ఉండిపోయారు. 1957 లోను, మళ్ళీ 1962 లోను ఆయన విశ్వకళా పరిషత్‌లో హాస్టల్ వార్డెన్ పదవిని నిర్వహించారు. 1961లో శ్రీ కృష్ణ కోరిక పై లైబ్రేరియన్‌గా ఉన్నారు. విశ్వకళా పరిషత్‌లో ప్రధాన గ్రంథాలయానికి వి. యస్. కృష్ణ మెమోరియల్ లైబ్రరీ అని పేరు పెట్టటానికి వైస్ ఛాన్సలర్ శ్రీ కృష్ణ దాదాపు ప్రతి రోజూ కొన్ని గంటలసేపు లైబ్రరీలో చదువుకుంటూ గడపటం ఒక ముఖ్య కారణం. శ్రీ కృష్ణ లైబ్రరీలో ఉన్నంత సేపూ లైబ్రేరియన్ బాధ్యతగా తను కూడా లైబ్రరీలో ఉండేటట్లుగా తన కార్యక్రమాల్ని మీనాక్షి మలుచుకున్నారు. ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌కి మీనాక్షిసుందరం అధిపతిగా ఉన్న రోజుల్లో ఆ శాఖలో ఒక విద్యార్థి, అందులోనూ తనని తను ‘ఒక చెడ్డ విద్యార్థి’గా చెప్పుకున్న విద్యార్థి మీనాక్షిని ఎలా జ్ఞాపకం ఉంచుకున్నాడో తెలుసుకోవాలంటే గొల్లపూడి మారుతీరావు ఆయన గురించి ఇంగ్లిష్‌లో మై టీచర్ అన్న శీర్షికతో రాసిన వ్యాసం చదవాలి.

గొల్లపూడి మారుతీరావు 1956-59 సంవత్సరాలలో ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌లో బీ.యస్సీ (ఆనర్స్) విద్యార్థి. ఇంటర్ మీడియట్లో లెక్కల్లోనూ, ఇంగ్లిష్ లోనూ, మంచి మార్కులతో మొదటి తరగతిలో ఉత్తీర్ణత సాధించి, మెట్రిక్ తప్పిన తండ్రికి ఎంతో సంతోషాన్ని చేకూర్చిన కొడుగ్గా మారుతీరావు యూనివర్సిటీలో ఇంగ్లిష్ ఆనర్స్ లోనూ, మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ ఆనర్స్ లోనూ ప్రవేశం లభించే అవకాశం వచ్చినప్పుడు మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ ఆనర్స్‌లో జేరాడు. మారుతీరావుకి మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ గొప్ప అధ్యయన విషయమనీ, కానీ తను ఆ చదువుకి సరిపడడనీ, ఆ చదువు తనకి సరిపడదనీ త్వరలోనే తెలిసిపోయింది. ఒక పంతులుగారైతే ఈ మాట క్లాసులో అనటానికి కూడా సంకోచించేవారు కాదట. మారుతీరావుకి తన గుండె నాటకాలలో ఉందని తేలిపోయింది.

నాటక కళాభిమాని, ప్రోత్సాహకుడు అయిన రిజిష్ట్రార్ కె. వి. గోపాలస్వామి సారథ్యంలో ఎన్నో నాటకాలు 56-59లలో ప్రదర్శించటంతో, తను ఏ చదువు చదువుకోటానికి విశ్వకళా పరిషత్‌లో చేరాడో అందులో చెడ్డ విద్యార్థి గానూ, తన ఊపిరిగా మారిన నాటక రంగంలో పరిషత్‌లో సర్వోత్తముడైన నటుడి గానూ, నాటక రచయిత గానూ రూపు దిద్దుకున్న మారుతీరావుకి మీనాక్షి సుందరం ఏమి పాఠాలు చెప్పారో తెలీదు. ఐతే ఏం? ఆయన మారుతీరావు పరిషత్‌లో ప్రదర్శించిన ప్రతి నాటకాన్నీ ముందు వరసలో కూర్చుని చూసిన ప్రేక్షకుడు. మీనాక్షిసుందరం ఒకసారి కూడా మారుతీరావుని చదువు విషయంలో కోప్పడలేదు. రెండవ సంవత్సరం పరీక్షల్లో మారుతీరావుకు ‘సున్నా’ మార్కులు వచ్చాయి. చదువులో మూడో ఏడు అంటే చివరి సంవత్సరంలో ఎవరూ ఏమాత్రం ఊహించలేనిది జరిగింది. మీనాక్షి సుందరం మారుతీరావుని పిలిచి తన ఇంట్లోకి మారమన్నారు.

ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం ఇల్లు ఎంతోమందికి నివాస స్థానం. ముఖ్యంగా చదువు మీద శ్రద్ధ గలిగిన పిల్లలకి. ఆ ఇంట్లో ఒక సున్నా మార్కుల నాటకాల రాయుడిని ఎవరైనా ఊహించగలరా! ఒక మంత్రలోకం లోకి వెళ్ళినట్టు మారుతీరావు మీనాక్షిసుందరం ఇంట్లోకి వెళ్ళి, దాదాపు పాతిక పేజీల నిడివి గల పాఠ్యాంశం ‘ష్రోడిన్గర్ వేవ్ ఈక్వేషన్’ను బట్టీ పట్టి ఒక్క తప్పు లేకుండా సూక్ష్మాతిసూక్ష్మమైన వివరంతో రాయగలిగే స్థాయికి గుడ్డిగానైనా చదివాడు. డిగ్రీ తెచ్చుకున్నాడు. మీనాక్షిసుందరం గురించి ఇలా గుర్తు చేసుకున్నాడు:

“ప్రొఫెసర్ మీనాక్షిసుందరం ఒక గొప్ప పండితుడు గానూ, విద్యార్థులను ఒక తండ్రి లాగా చూసిన వాడు గానూ, తక్కువ స్థాయి విద్యార్థులను చిన్న చూపు చూడకుండా జీవితంలో ఏది ముఖ్యమో ఏది కాదో తెలుసుకోలేని వాళ్ళనుగా, వాళ్ళను ఆదరించగలిగిన హృదయం ఉన్న మనీషిగా, నా జ్ఞాపకాలలో మిగిలిపోతారు.”

8

మీనాక్షిసుందరం కోరుకున్నది గణితశాస్త్రంలో నిరంతరంగా బోధన, పరిశోధన కొనసాగించటం. తను ఎంచుకున్న పరిశోధనాంశంలో ఆయన అందుకున్న స్థాయి ఆయనను ప్రపంచంలో అత్యున్నత శ్రేణి శాస్త్రజ్ఞుల సరసన కూర్చోబెట్టింది. ఆయన సమయం ఎంతో విలువైనదన్న సంగతి వేరే చెప్పనక్కర లేదు. అయినా ఆయన విశ్వకళా పరిషత్ తనకు అప్పగించిన యాజమాన్య బాధ్యతలను కూడా కాదనకుండా నిర్వహించారు. గణితంలో మద్రాస్ విశ్వవిద్యాలయం నుంచి డి.యస్‌సి. డిగ్రీతో పాటు రామానుజన్ పురస్కారం, నరసింగరావు మెడల్ వంటివి సాధించినా ఉద్యోగం రాక జీవితంలో ఒక దుర్భర సంక్షోభ స్థితిలో ఉన్నప్పుడు, ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్ తనకు, తన మనసుకు దగ్గరైన ఉద్యోగాన్నిచ్చిందన్న ఒక కృతజ్ఞతా భావం, దానికి తోడు శ్రీకృష్ణతో ఉన్న స్నేహానుబంధం, ఆయనను ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌కు కట్టి పడేశాయి. 1961లో శ్రీకృష్ణ యూనివర్సిటీ గ్రాంట్స్ కమిషన్ (U.G.C) చైర్మన్‌గా నియమితులై న్యూఢిల్లీ వెళ్ళిపోయారు. ఆ పదవిలో ఎక్కువ కాలం కొనసాగకుండానే గుండెపోటుతో శ్రీకృష్ణ 1961లోనే చనిపోయారు. శ్రీకృష్ణ నిర్యాణం మీనాక్షిని సహజంగానే బాధించింది. 1962లో యూనివర్సిటీ ఆయనను రెండోసారి వార్డెన్‌గా నియమించింది. వార్డెన్‌గా మీనాక్షిసుందరం హాస్టల్ విద్యార్థులకు వాసయోగ్యంగా ఉండేటట్లు గానూ, వాళ్ళకు మంచి ఆహారం లభించేటట్లు గానూ చేయడానికి తన సమయం వెచ్చించారు. వార్డెన్‌గా, హాస్టల్ వైద్య సదుపాయంలో వచ్చిన పొరపాటు వల్ల ఒక విద్యార్థి మరణించిన దుర్ఘటనలో విద్యార్థులు దుఃఖావేశంతో అర్థరాత్రి పూట ఒక దాడిగా తన ఇంటి మీదికి వచ్చినప్పుడు — వాళ్ళల్లో ఒకరెవరో విసిరిన రాయి సరిగ్గా ఆయన తల పైన ఉన్న చూరు మీద పడింది. ఆయన సంయమనం తోనూ, ఆత్మస్థైర్యం తోనూ వాళ్ళను సమాధాన పరచిన తీరు వాళ్ళను ‘అరె! ఎంత దురుసుగా ప్రవర్తించాము!’ అని అనుకుని తలలు వంచుకుని తిరిగి వెళ్ళిపోయేలా చేసింది. 1961లో కొన్నాళ్ళు ఆయన ఇన్‌ఛార్జ్ రిజిస్ట్రార్‌గా కూడా వ్యవహరించారు. సమస్యలను చురుకుగా అర్థం చేసుకుని నిర్మాణాత్మకంగా వాటికి పరిష్కార మార్గాలను కనుక్కోగలిగిన సహజమైన ప్రజ్ఞ, ఒక నిజాయితీ, మారుతీరావు అన్నట్టుగా — ఆయనకు విద్యార్థుల మీద ఉన్న వాత్సల్యం, విశ్వకళా పరిషత్‌కు ఎక్కడ ఏ అవసరం వచ్చినా ఆయనను ఉపయోగించుకునేలా చేశాయి.

ఆచార్య మీనాక్షి సుందరం

ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్ ఇంజనీరింగ్ కాలేజ్ మొదలు పెట్టినప్పుడు ఇంజనీరింగ్ విద్యార్థులకు లెక్కలు ఎవరు చెప్పాలన్న సమస్య వచ్చింది. దీనికి కారణం విశ్వకళా పరిషత్‌లో మాథమటిక్స్ డిపార్ట్‌మెంటూ మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ డిపార్ట్‌మెంటూ అని రెండు వేర్వేరు శాఖలలో గణిత బోధన, పరిశోధన రెండు విధాలుగా సాగడం. అప్పుడు విశ్వకళా పరిషత్‌లో గణిత శాఖకు అధిపతిగా ఉన్న ఆచార్య వుమ్మి రామస్వామి అభిప్రాయంతో మీనాక్షిసుందరం విభేదించారు. ఇంజనీరింగ్ విద్యార్థులకు బోధించే లెక్కల పాఠాలను అప్లైడ్ మాథమటిక్స్‌గా పరిగణించాలనీ, దానికి ఫిజిక్స్‌లో గణితశాస్త్రోపయోగాలతో పరిచయం ఉన్న మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ ఉపాధ్యాయులే తగిన వారనీ వాదించి, తార్కికంగా విజయాన్ని సాధించారు. (ఇక్కడ రామస్వామిగారి గురించి తెలియని వాళ్ళు ఆయన ఒక అనామకుడని తలచే ప్రమాదం ఉంది. దయచేసి అలా భావించవద్దని మనవి.)

ప్రొఫెసర్ రామస్వామి 1962లో అకస్మాత్తుగా మరణించారు. ఆ స్థానంలో మీనాక్షిసుందరం గణిత శాఖకు మారారు. మాథమటికల్ ఫిజిక్స్ ప్రొఫెసర్ తల్లంరాజు వెంకటరాయుడు ఆధిపత్యం లోకి వచ్చింది. ఫిజిక్స్‌లో – ఆల్జీబ్రాలో ఒక అంశమైన – గ్రూప్ థియరీని ఎలా ఉపయోగించుకోగలమో అన్న అంశం మీద ప్రపంచం లోనే తొలి పుస్తకాలలో ఒకటిగా చెప్పుకునే పుస్తకానికి సహరచయిత అయిన ఆచార్య వెంకటరాయుడిని కొందరు మీనాక్షిసుందరానికి పోటీగా చెప్పుకునేవాళ్ళు. భగవంతం శతజయంతి 2009 లోను, వెంకటరాయుడు శత జయంతి 2010 లోనూ జరిగాయి. (భగవంతం, వెంకటరాయుడు, మీనాక్షిసుందరం ముగ్గురూ అక్టోబర్‌లో పుట్టిన వాళ్ళే.) మాథమటిక్స్ డిపార్ట్‌మెంట్ అధ్యక్షుడిగా మీనాక్షిసుందరం ప్రతిష్టాకరమైన ఇండియన్ మాథమటికల్ సొసైటీ (1907- ) వార్షిక సమావేశం 1962లో ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో ప్రతినిధులందరూ మెచ్చుకునే రీతిలో జరిపించారు.

9

1965 అక్టోబర్‌లో భారత ప్రభుత్వం సిమ్లాలో ఇండియన్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్‌డ్ స్టడీను (I.I.A.S.) ఆరంభించింది. 1966లో ఐ.ఐ.ఎ.ఎస్. నుంచి తమ సంస్థలో పరిశోధకాచార్యునిగా జేరమంటూ మీనాక్షికి వచ్చిన ఆహ్వానాన్ని గౌరవిస్తూ ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్ ఆయనను ఐ.ఎ.ఎస్.కు పంపింది. మీనాక్షిసుందరం సిమ్లాలో కుటుంబంతో కొత్త జీవితం ప్రారంభించారు. మంచు కొండల మధ్య మంచి వాతావరణంలో, తనకు ప్రియాతిప్రియమైన పరిశోధనకు మరింత దగ్గరగా ‘స్పెక్ట్రల్ థియరీ’ మీద పుస్తకం రాయటం మొదలు పెట్టారు.

1967లో ఆంధ్రప్రదేశ్ ప్రభుత్వ నిర్ణయాన్ననుసరించి విశ్వకళా పరిషత్ గుంటూరులో ఒక పోస్ట్ గ్రాడ్యుయేట్ కేంద్రాన్ని స్థాపించాలని తలచింది. అనుకోవడమే తడవుగా అప్పటి వైస్ ఛాన్సలర్, ప్రొఫెసర్ శ్రీనివాస అయ్యంగార్‌కి మీనాక్షిసుందరం గుర్తుకు వచ్చారు. ఆయన అయితేనే కొత్త కేంద్రం కొత్త పుంతల్లో ఉన్నత విద్యా కార్యక్రమాలను నడిపించగలదని ప్రొఫెసర్ అయ్యంగార్ నమ్మకం. మీనాక్షిసుందరం సిమ్లా వచ్చి సంవత్సరం అప్పుడే పూర్తవుతోంది. సిమ్లాలో తన పరిశోధనని తీవ్రతరం చేయడానికే కాక, స్పెక్ట్రల్ థియరీతో పాటు మరి కొన్ని విషయాల మీద కూడా పుస్తకాలు రాసే ఆలోచనలో ఉన్నాడాయన. అయినా విశ్వకళాపరిషత్‌కి ఆయన కాదని చెప్పలేడు. సంవత్సరం రెండు నెలలలో మళ్ళీ కళా పరిషత్ సేవలో 1967 మార్చ్ నాటికి విశాఖపట్నం వచ్చేశారు. తర్వాత కొద్ది రోజుల్లో పోస్ట్ గ్రాడ్యుయేట్ సెంటర్‌కి స్పెషల్ ఆఫీసర్‌గా గుంటూరుకి, తన ఉద్యోగ జీవితం మొదలైన చోటికి చేరుకున్నారు. పోస్ట్ గ్రాడ్యుయేట్ విద్యాకేంద్ర నిర్మాణంలో సరియైన సమయానికి యు.జి.సి. నుంచీ, ప్రభుత్వం నుంచీ నిధులు రాకపోవటం దగ్గర నుంచి మీనాక్షిసుందరం ఎన్నో ఇబ్బందుల్ని ఎదుర్కొన వలసి వచ్చింది.

గుంటూరులో ఉండగా తమ ఫ్లూయిడ్ డైనమిక్స్ అండ్ అప్లైడ్ మాథమాటిక్స్ విభాగంలో రిసర్చ్ ప్రొఫెసర్‌గా చేరమని ఆహ్వానిస్తూ, పెద్ద జీతంతో పాటు ఆకర్షణీయమైన ఇతర భత్యాలతో, అమెరికా లోని యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మేరీలాండ్ నుంచి ఆయనకు ఆహ్వానం వచ్చింది. ఈ సారి మీనాక్షిసుందరం ఆ ఆహ్వానాన్ని అంగీకరించారు. బాచిలర్ డిగ్రీ చదువుతున్న ఆయన రెండో కూతురు గిరిజకు మూడవ సంవత్సరంలో సీట్ గూడా ఇచ్చింది ఆ యూనివర్సిటీ యాజమాన్యం. 1967 సెప్టెంబర్‌లో యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మేరీలాండ్‌లో చేరటానికి ఏర్పాట్లు దాదాపు పూర్తి అయ్యాయి. తన రీసెర్చ్ విద్యార్థిని ముందు పంపించారు కూడా.

1940లో ఐ.ఎ.ఎస్. నుంచి మీనాక్షిసుందరం భారతదేశానికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, ఆయనతో పాటు ఆయనకు రోజుల తరబడి ఓడలో సాగే దూర ప్రయాణంలో, కుటుంబం నుంచి దూరంగా చలి దేశంలో ఉంటూ, తీక్షణమైన పరిశోధనా వ్యాసంగంలో రాత్రింబగళ్ళు బుద్ధి జీవితం గడుపుతున్నప్పుడు అలవాటైన సిగరెట్ కాల్చటం కూడా ఆయన వెంట వచ్చింది. సిగరెట్ ఆయనకి ఎంతగా అలవాటైందంటే క్లాస్ రూంలో పాఠం చెబుతున్నప్పుడు తప్ప మిగతా అన్ని వేళలా ఆయన వేళ్ళ మధ్య సిగరెట్ వెలుగుతుండేది. 1953 లోనే ఆయన జబ్బు పడ్డారు. 1967కి ఆయన గుండె బలహీనమై పోయింది. 1967 ఆగస్టులో ఉధృతమైన గుండె పోటు వచ్చింది. చికిత్సకై ఆయనను గుంటూరు ప్రభుత్వ ఆస్పత్రిలో చేర్చారు. తర్వాత వెల్లూరు ఆస్పత్రికి తీసుకు వెళ్ళారు. వెల్లూరులో స్వల్పంగా గుండెపోటు వచ్చింది. ఆయన పరిస్థితి ప్రమాదకరంగానే ఉందని తెలిసింది. అక్కడ చికిత్స తర్వాత ఆయన్ని విశ్రాంతికై మద్రాస్‌లో కొన్నాళ్ళు ఉంచారు. విశాఖపట్నంలో తన సొంత ఇంటి నుంచి దూరంగా ఎక్కువ కాలం ఉండటానికి మీనాక్షి ఇష్టపడలేదు. ఆయన బలవంతం మీద ఆయనను విశాఖపట్నం తీసుకు వచ్చారు. మళ్ళీ విశ్వకళా పరిషత్ వెళ్ళి పని చేసే పరిస్థితిలో లేనని ఆయనకీ అర్థం అయింది. తనంతట తానుగా పదవి నుంచి తప్పుకుందామని అనుకుంటున్నానని దగ్గర వాళ్ళతో అన్నారు.

ఈ విషయం తెలిసిన వైస్‌ ఛాన్సలర్ ప్రొఫెసర్ అయ్యంగార్ విచలితులయ్యారు. అటువంటి నిర్ణయం ఏదీ తీసుకోవద్దనీ, పరిషత్‌లో ఉండాలనీ మీనాక్షితో అయ్యంగార్ మరీ మరీ చెప్పారు. సహోద్యోగులు, మిత్రులు, బంధువులు వద్దని చెప్పినా ఆయన నిర్ణయం మార్చుకునేటట్లుగా కనిపించలేదు. కేంపస్‌కి వెళ్ళనివ్వని ఆరోగ్య పరిస్థితిలో తను జీతం తీసుకోలేనని ఆయన వాళ్ళతో అన్నారు. ఈ విషయం అప్పటి యు.జి.సి. చైర్మన్ డాక్టర్ కొఠారికి తెలియపరిచారు. డా. కొఠారి మీనాక్షిసుందరానికి పదవి నుండి విరమించ వద్దని అధికార హోదా లోనూ, వ్యక్తిగతంగా ఒక మిత్రుడి గానూ జాబులు రాశారు. కానీ మీనాక్షిసుందరం తన నిర్ణయం మార్చుకోలేదు. డా. కొఠారి విశాఖపట్నం వచ్చి అయ్యంగార్‌తో కలిసి మీనాక్షిసుందరాన్ని ఆయన ఇంటి దగ్గర కలిశారు. ఒక గంట సేపు ఆయనతో మాట్లాడారు. వారంలో రెండు రోజులు వైస్ ఛాన్సలర్ కారులో కేంపస్‌కి వచ్చి రెండు గంటల పాటు డిపార్ట్‌మెంట్‌లో ఉండి మళ్ళీ కార్లో ఇంటికి వెళ్ళిపోయే ఏర్పాటు చేస్తామన్నారు. మీనాక్షిసుందరం ఆ అభిమానానికి చలించిపోయారు గానీ తను యే రకంగానూ పని చేయగలిగిన స్థితిలో లేననీ, పని చేయకుండా డబ్బు తీసుకోలేననీ, పదవీ విరమణే సమంజసమని అనుకుంటున్నాననీ వాళ్ళతో అన్నారు. స్వచ్ఛందంగా పదవీ విరమణ చేశారు. పదవి విరమించిన కొద్ది కాలానికే 1968 ఆగస్టు 13 రాత్రి పది గంటలకు వచ్చిన గుండెపోటుతో ఆచార్య సుబ్బరామయ్య మీనాక్షిసుందరం అందరికీ దూరమయ్యారు.

10

కలక్టెడ్ వర్క్స్ ఆఫ్ మీనాక్షిసుందరం

ఏ అధ్యయనానికైనా విలువ నిర్ణయించేది కాలం. అయినా వ్యక్తి కృషిని వృద్ధి, వ్యాప్తి అన్న రెండు పడికట్టు రాళ్ళతో అంచనా వేయవచ్చు. కచ్చితంగా ఇది వృద్ధి, ఇది వ్యాప్తి అని చెప్పలేం గానీ ఈ విభజన అంచనా వేయటంలో కొంత సహకరిస్తుంది. ఒక అధ్యయనం పొందిన వృద్ద్ధిని దాని పాదు లో మొలిచిన మొలకలను బట్టీ, సమకాలీనులు ఆదరించిన దానిని బట్టీ సమకాలీనులు ఆదరించిన దానిని బట్టి కొంతవరకూ నిర్ణయించగలం. కానీ సమకాలీనంగా ఊహించటానికి కూడా వీలు కాని శాస్త్రశాఖలు కాలాంతరాన పుట్టుకొస్తాయి. ఆ శాఖల అధ్యయనంలో వాడబడటం – వాటి అభివృద్ధికి దోహదపడటం -వ్యాప్తి ముఖ్య లక్షణం. ఈ రెండు ప్రమాణాలతో ఈ రోజున మీనాక్షిసుందరం పరిశోధనల ఖరీదు కడితే ముఖ్యంగా వ్యాప్తి విషయకంగా ఆశ్చర్యమూ ఆనందమూ కలుగుతాయి.

మీనాక్షిసుందరం పరిశోధనలు విడివిడిగా, స్వతంత్రంగా, ఒకదానితో మరొక దానికి సంబంధం లేనట్టుగా అనిపించే రెండు ప్రవాహాలుగా సాగాయి. ఒక ప్రవాహం పేరు సమబిలిటీ (Summability). రెండవది బౌండరీ వాల్యూ ప్రాబ్లమ్స్ / ఐగన్ ఫంక్షన్ ఎక్స్‌పాన్షన్స్ (Boundary value problems/ Eigen function expansions). మొదటిది ప్యూర్ మాథమటిక్స్‌కి, రెండవది అప్లైడ్ మాథమటిక్స్/ మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌కి, చెందుతుందని అనుకోవచ్చు (అలా గీతలు గీసేయడం ఆరోగ్యకరం కాకపోయినా.) మీనాక్షిసుందరం గుంటూరులో ఉన్న రోజుల్లో, గోపీనాథ్ కళ్యాణ్‌పూర్ గుంటూరు వచ్చి ఆయన దగ్గర సమబిలిటీని అధ్యయనం చేశాడు. 1946లో మద్రాస్ యూనివర్సిటీ నుంచి ఎం. ఏ. డిగ్రీ తీసుకుని, అమెరికా లోని యూనివర్సిటీ ఆఫ్ నార్త్ కెరొలినా నుంచి 1951లో పిహెచ్.డీ. తీసుకున్న ప్రొఫెసర్ కళ్యాణ్‌పూర్ 1976-78లో కొల్కొత్తా లోని ఇండియన్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్స్టిట్యూట్‌కి (I.S.I) డైరక్టర్‌గా ఉన్నారు.

మీనాక్షిసుందరం కృషిని గణిత శాస్త్రంలో వాడే గుర్తులు పెద్దగా వాడకుండా క్లుప్తంగా వివరించటానికి ప్రయత్నిస్తాను. పారిభాషిక పదాలు ఉపయోగించటం తప్పదు.

రాయగలటం, చదవగలటం లాగా సమబిలిటీ అంటే కూడబడగలటం. 1 – 1 + 1 – 1… ఈ క్రమాన్ని అనంతంగా లెక్క వేసుకుంటూ పొతే ఒక ‘నిర్దిష్టమైన’ మొత్తాన్ని చేరలేము. ఇక్కడ ‘నిర్దిష్టమైన ‘అన్నది ముఖ్యమైన మాట. 1/2 + 1/4 + 1/8… క్రమాన్ని కూడుకుంటూ పోతే ఒక నిర్దిష్టమైన మొత్తం వస్తుంది. అంటే మొదటి ‘ఇన్ఫినిట్ సిరీస్’ కన్వర్జ్ అవదు. రెండవ ‘ఇన్ఫినిట్ సిరీస్’ కన్వర్జ్ అవుతుంది. ఇక్కడ ‘కన్వర్జన్స్’ని నిర్వచించవలసిన అవసరం ఉంది.

ఒక క్రమాన్ని, అంటే సిరీస్ — a₁ + a₂ + a₃ + … +a_n + … అని రాసుకుందాము.

సిరీస్ మొదటి n సంఖ్యల మొత్తాన్ని s_n అని గుర్తిస్తే s_n = a₁ + a₂ + a₃ + … +a_n అని రాసుకోవచ్చు. n పెరిగి అనంతానికి పోతూ ఉంటే s_n అనంతం అయి పోకుండా ఒకే ఒక విలువకు – ఒకే ఒక మొత్తానికి – చేరుకోవాలి. అప్పుడు సిరీస్ కన్వర్జంట్ అంటాము.

మొదటి n సంఖ్యల మొత్తము 1 – 1 + 1 – 1… సిరీస్‌లో n సరి ఐతే 0, బేసి ఐతే 1 అవుతుంది.

1/2 + 1/4 + 1/8+ … సిరీస్‌లో ఇది {1- (1/2ⁿ)} అవుతుంది. n పెరిగి అనంతానికి పోతూ ఉంటే, మొదటి సిరీస్ s_n 0 కీ 1 కీ మధ్య ఊగిసలాడుతుంటే, రెండవ సిరీస్ s_n 1కి దగ్గరగా పోతుంది, (1/2ⁿ) విలువ మరీ మరీ తగ్గిపోవటంతో.

పైన ఉదహరించినవి సంఖ్యా క్రమాలు. అంటే ఆ సిరీస్‌లో కూడబడుతున్నవి కేవలం సంఖ్యలు. ఇంతకన్నా విస్తారంగా, ఒకే రకంగా నిర్వచింపబడిన ఫంక్షన్లతో యేర్పడిన సిరీస్ లాంటివి తీసుకొవచ్చు. ఉదాహరణకి:

a₁f₁(x) + a₂f₂(x) + a₃f₃(x) + … + … a_nf_n(x)+…

ఇందులో a, n స్థిరసంఖ్యలు. వీటిని ‘కోఎఫిశియంట్స్’ అందాము. ఇవి x మీద ఆధార పడవు. f_n లలో ప్రతి ఒక్క f_n x విలువ మారుతూ ఉంటే ఆ మారుతున్న x కి అనుగుణంగా తనను నిర్వచించిన పద్ధతిని మారుతుంది. ఉదాహరణ:

fnలన్న ఫంక్షన్లనూ, a_nలన్న స్థిరాలనూ ఈ క్రింద ఇచ్చిన సమీకరణాల సాయంతో నిర్వచిద్దాము.

fn(x) =xⁿ; x -1 నుంచి +1 దాకా ఉన్న యేదైనా విలువను, -1, +1 లతో సహా తీసుకోవచ్చు.

an = n; అంటే a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, …

సున్నా -1 కీ + 1 కీ మధ్యలో ఉన్నది. x విలువ సున్నా అనుకుందాము. అప్పుడు x = 0 దగ్గర fnలన్నీ 0ⁿలు. అంటే సున్నాలు. fnలన్నీ సున్నాలు అయిపోయాయి కాబట్టి సిరీస్ అంతా సున్నాల కూడిక. సిరీస్ ‘మొత్తము’ సున్నా. అంటే సిరీస్ x = 0 దగ్గర కన్వర్జంట్. ఇప్పుడు x = 1 దగ్గర fnలన్నీ 1ⁿలు. అంటే ఒకట్లు. కాబట్టి సిరీస్ 1 + 2 + 3 + …కు ఒక ‘మొత్తము’ రాదు. సిరీస్ డైవర్జంట్. కన్వర్జ్ కాని ఇన్ఫినిట్ సిరీస్‌లను ‘డైవర్జంట్ సిరీస్’ అంటారు. ఏదైనా డైవర్జంట్ సిరీస్ తీసుకుంటే ఒక ‘సక్రమమైన పద్ధతి’లో, కొన్ని నిబంధనలకు లోబడి, ఆ సిరీస్‌కి ఒక మొత్తాన్ని ఆపాదించే గణిత ప్రక్రియ ‘సమబిలిటీ’.

స్విస్ మాథమటిషయన్ ఆయ్‌లర్ (Leonhard Euler, 1707-1783), 1 – 1 + 1 – 1 … సిరీస్‌కి ఒక పద్ధతిలో 1/2 అన్న విలువను ఇచ్చాడు. ఇంకొక పద్ధతిలో మరో విలువ ఇవ్వచ్చు. సమబిలిటీ అన్న అధ్యయనం బాగా తర్వాతి కాలంలో శాస్త్రీయం చేయబడింది. అంటే ‘కొన్ని నిబంధనలకు లోబడి’ అన్నామే ఆ నిబంధనలు మరింత విస్తృతం అయ్యాయి. రక రకాల సమబిలిటీలు ప్రతిపాదింపబడ్డాయి. ప్రతిపాదించిన వారి పేర్లతో ప్రసిద్ధాలయ్యాయి. చిౙారో (Ernesto Cesàro, 1859–1906) సమబిలిటీ, రీమన్ (Bernhard Riemann, 1826-1866) సమబిలిటీ, లెబెగ్ (Léon Lebesgue, 1875-1941) సమబిలిటీ, బోరెల్ (Émile Borel, 1871- 1956) సమబిలిటీ, రైస్ (Marcel Riesz:1886-1969) సమబిలిటీ, మొదలైనవి.

మీనాక్షిసుందరం తన డాక్టరల్ థీసిస్‌కై సమబిలిటీలో చేసిన పరిశోధనలో ఫోరియే సిరీస్ (Fourier Series) అనబడే ఫంక్షన్ సిరీస్‌కి రీమాన్, లెబెగ్ సమబిలిటీలను విస్తృత పరుస్తూ ఒక నూతన సమబిలిటీని ప్రతిపాదించారు. ఆయన దానికి ‘బెసెల్ సమబిలిటీ’ అని పేరు పెట్టారు. బెసెల్ సమబిలిటీ మీద చంద్రశేఖరన్, ఆట్టో సాస్‌, రంగాచారి, బ్రయన్ కుట్నర్ (Brian Kuttner, 1908-1992) తదుపరి కాలంలో పరిశోధనలు చేశారు. 1952లో చంద్రశేఖరన్‌తో కలిసి రైస్ సమబిలిటీలో వచ్చిన నూతన పరిశోధనలను ఒక దగ్గరకు తెస్తూ ‘టిపికల్ మీన్స్’ అన్న పుస్తకాన్ని రచించినట్టు పైన చెప్పాను. ఈ పుస్తకాన్ని రివ్యూ చేస్తూ ప్రొఫెసర్ కుట్నర్ అన్న మాటలు యథాతథంగా:

“The book collects in a convenient form much material which has hitherto been available only in the original papers, and it should prove of great use to anyone who wants to work in this particular field.”

11

ఐగన్ వాల్యూ, ఐగన్ ఫంక్షన్ ఎక్స్‌పాన్షన్ అన్న విభాగంలో మీనాక్షిసుందరం చేసిన కృషి ఇంకొంచెం స్పష్టంగా చెప్పాలంటే అది స్పెక్ట్రల్ థియరీ ఇన్ పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్ అన్న విభాగం లోకి వస్తుందని చెప్పాలి. ఈ విభాగం, బౌండరీ వాల్యూ ప్రాబ్లమ్స్ ఇన్ పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్ అన్న మరికొంత విస్తృతమైన విభాగంలో జేరుతుంది. డాక్టర్ ప్లెయ్‌జల్‌తో కలిసి మీనాక్షిసుందరం చేసిన విఖ్యాతమైన కృషి ఎక్కడ మొదలైందో ఆ పరిణామ క్రమంలో తెలుసుకుంటే అర్థమవటం సంగతి ఎలా ఉన్నా కొంత ఆనందాన్ని చవి చూడవచ్చు. కానీ ఏ అధ్యయనంలో అయినా ఆ అధ్యయన కృషి మూలాలు తెలుసుకోవటం ఋషి మూలాలు తెలుసుకోవటం లాంటిది. నేను ఒక క్రమంలో చెప్పటానికి ప్రయత్నిస్తాను.

పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్, భౌతిక ప్రపంచంలో కనపడుతున్న ప్రక్రియలను — ఘన, ద్రవ వాయు పదార్థాలలో ఉష్ణోగ్రతా వ్యాప్తులు, వాటి మీద ప్రయోగించిన యాంత్రిక శక్తుల వలన వాటిలో వచ్చే రూప వికారాలు, చలనాల వంటి వాటిని — శాస్త్రీయంగా అధ్యయనం చేయటానికి ప్రధానమైన పరికరంగా 18వ శతాబ్దంలో మొదలై, 19వ శతాబ్దంలో అన్ని గణిత శాస్త్రాధ్యయనాలలో తప్పనిసరి అయ్యాయి[2].

ఒక చువ్వలో ఉష్ణోగ్రత వ్యాపించే రీతికి గణిత శాస్త్ర నమూనాగా తయారు చేయబడిన పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్‌ని ‘హీట్ ఈక్వెషన్’ అంటాము. అల్లాగే ఒక తీగలో ధ్వని ప్రయాణించే రీతికి నమూనా ‘వేవ్ ఈక్వెషన్.’ రెండు మూడు పరిశీలనల, ప్రయోగాల ననుసరించి శాస్త్రబద్ధంగా తయారైన నమూనా దాని పరిధి లోని ఇతర సందర్భాలలో వాడుకోవటానికి వీలుగా ఉంటుంది. ఇతర సందర్భాలలో వాడుకోవటం అంటే ఆ ఈక్వెషన్‌ని సందర్భానుసారం సాల్వ్ చెయ్యాలి అని అర్థం.

హీట్ ఈక్వెషన్‌ని ఉదాహరణగా తీసుకుని, ఈ ‘సందర్భానుసారం’ అన్న దానిని ఒక సందర్భంలో కొంత వివరంగా చూద్దాం.

వంకరలు లేకుండా ఒకే మందమున్న ఒక పొడవైన లోహపు చువ్వను (rod) తీసుకుందాము. చువ్వ పొడుగు L యూనిట్లనుకుందాము. చువ్వ మందం ప్రస్తుతం పట్టించుకోనవసరం లేనంత తక్కువ అని అనుకుందాం. చువ్వకు ఉన్న రెండు అంచులలో ఒక అంచుకి 0 అని గుర్తు పెడదాము. 0 నుంచి రెండో అంచు L దూరంలో ఉంది. ఈ రెండో అంచు L అని గుర్తు పెడదాము. చువ్వ పొడుగునా 0 అంచు నుంచి మొదలు పెట్టి పయనిస్తున్నప్పుడు మారుతున్న దూరాన్ని x అన్న అక్షరంతో సూచిద్దాము. చువ్వ రెండు అంచులు 0 డిగ్రీల దగ్గర ఉంచాం అనుకోండి (ఐసు ముక్కలేవో పెట్టి.) ఇప్పుడు ఒక్క క్షణం పాటు – అంచులను వదిలేసి – చువ్వ మధ్యలో ఒక చోట వేడి చేశామనుకుందాం. ఈ వేడి చువ్వలో పాకుతుంది కదా. వేడి చేసిన చోటు నుండి ఎంత సేపటి తరువాత, చువ్వపై ఏ ఒక్క చోటులో అయినా ఎంత వేడి ఉండగలదో హీట్ ఈక్వెషన్ చెపుతుంది.

అంటే, చువ్వని వేడి చేసి వదిలేసిన ఆ క్షణాన్ని t = 0 అని; చువ్వ రెండు అంచులు 0, L కి మధ్యనున్న ఏ చోటునైనా x అని; సమయాన్ని t అని గుర్తిస్తే, t మీద, x మీద ఆధారపడిన టెంపరేచర్ u(t, x) ఎంత ఉన్నదో, హీట్ ఈక్వేషన్‌ని సాల్వ్ చేసి తెలుసుకోవచ్చు. u(t, x) అని రాయటం టెంపరేచర్ అనే ఫంక్షన్ సమయం t మీద, చువ్వలో ఏదో ఒక అంచు నుంచి దూరాన్ని సూచించే చోటు x మీద ఆధారపడిన ఫంక్షను అని చెప్పటానికి. అంటే హీట్ ఈక్వెషన్ నేరుగా టెంపరేచర్‌ని ఇవ్వదు. కాలం తోనూ స్థలం తోనూ — ‘ఇతర వివరాల’కు అనుగుణం గా — ఉష్టోగ్రత ఏ రీతిని వ్యాప్తి చెందుతుందో చెపుతుంది. ఇప్పుడు చెప్పుకున్న హీట్ ఈక్వెషన్ ఉదాహరణకు సంబంధించి ‘ఇతర వివరాల’లో ఉష్ణోగ్రతను అంచుల దగ్గర ముందే నియంత్రించటాన్ని ‘బౌండరీ కండిషన్’ అంటాము. మొదటి క్షణాన, అంచులను మినహాయించి, చువ్వ పొడుగునా ఉష్ణోగ్రత ఎలా ఉండాలన్న నియంత్రణని ‘ఇనీషియల్ కండిషన్’ అంటాము. ఒక పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్‌ని, దానితో పాటు ఇచ్చిన బౌండరీ నియమాలు, ఇనీషియల్ నియమాలతో సాల్వ్ చేయవలసిన సమస్యలను వివిధ కోణాలనుంచి అధ్యయనం చేసే గణిత శాస్త్ర విభాగానికి, ఇనీషియల్ బౌండరీ వాల్యూ ప్రాబ్లమ్స్ ఇన్ పార్షియల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వెషన్స్ అని పేరు. నేను ఇచ్చిన ఈ ఉదాహరణ అత్యంత ప్రాధమిక స్థాయిది. హీట్ ఈక్వేషన్‌ను సాల్వ్ చేస్తున్న సందర్భంలోనే ఫ్రెంచ్ ఫిజిక్స్ వైజ్ఞాని ఫోరియే (Joseph Fourier : 1768 – 1830) ఫోరియే సిరీస్ అన్న ఫంక్షన్ సిరీస్ సృష్టించాడు.

ఇప్పుడిక మీనాక్షిసుందరం చేసిన కృషి గురించి టూకీగా చెపుతాను. రకరకాల ఇనీషియల్ బౌండరీ వాల్యూ సమస్యలు ఉన్నాయి. ఈ సమస్యలను సాల్వ్ చేయటానికి మాథమటికల్ ఫిజిక్స్‌లో రకరకాల పద్ధతులు కనపడతాయి – కొన్ని సందర్భాలలో ఒక ప్రాబ్లమ్ సాల్వ్ చేయటానికి ఒకటి కన్నా ఎక్కువ పద్ధతులు కూడా ఉన్నాయి. అందులో ఒక పధ్ధతి ‘ఐగన్ ఫంక్షన్ ఎక్స్‌పాన్షన్.’ ఐగన్ (Eigen) అన్న జర్మన్ మాటకి స్వాభావిక, విశేష (characteristic) అని అర్థం. మీనాక్షిసుందరం ఐగన్ ఫంక్షన్ ఎక్స్‌పాన్షన్ పద్ధతిని తన పరిశోధనలలో బాగా ఉపయోగించుకున్నాడు. ఈ పధ్ధతిలో ఒక ఇనీషియల్ బౌండరీ వాల్యూ సమస్యకు సమాధానాన్ని, ఆ సమస్యకే ప్రత్యేకమైన ఐగన్ ఫంక్షన్లతో తయారు కాబడిన ఒక అనంతశ్రేణిగా (Infinite series) సాధిస్తారు. ‘ ఇన్ఫినిట్ సిరీస్’ అన్న మాట వినపడినప్పుడు పైన సమబిలిటీ గురించి చెప్పుకున్నది గుర్తు చేసుకుంటే ఈ ‘ఐగన్ ఫంక్షన్లను f1, f2 f3, f4, …, fn, … అని రాసుకోవచ్చని గుర్తొస్తుంది. ఈ సిరీస్‌లో ప్రతి ఐగన్ ఫంక్షనూ తనకు మాత్రమే ప్రత్యేకమైన ఒక సంఖ్యతో ముడి పడి ఉంటుంది. ఈ అనంతమైన సంఖ్యావళిని ఐగన్ వాల్యూస్ అంటారు. (మీనాక్షిసుందరం చేపట్టిన సమస్యలలో ఇవి ఋణ సంఖ్యలు కావు.) వీటిని, వీటిలో అన్నిటికన్నా చిన్నదానితో మొదలు పెట్టి తర్వాత వచ్చేది దాని ముందు దాని కంటే తక్కువ కాని వరుసలో, సాధారణంగా గ్రీక్ అక్షరం λని వాడుకుని λ1, λ2, λ3, …, λn, … అని గుర్తిస్తారు.

ఇప్పడు ఇంకో కోణం నుంచి చూద్దాం. కెర్నల్ (Kernel) అనే పారిభాషిక పదానికి ‘ఫండమెంటల్ సొల్యూషన్’ అని అర్థం . అంటే ఈ కెర్నల్ ఒక తరగతికి చెందిన ఇనిషియల్ బౌండరీ వాల్యు సమస్యలకు మౌలికమైన సాధనం. ఉదాహరణకి, ‘హీట్ కెర్నల్’ హీట్ ఈక్వెషన్‌కి సంబంధించిన ఇనిషియల్ బౌండరీ వాల్యు సమస్యలకు ఫండమెంటల్ సొల్యూషన్. ‘కెర్నల్’ తెలిస్తే దాని తరగతికి చెందిన ఇనిషియల్ బౌండరీ వాల్యూ సమస్యల పరిష్కారం ఈ కెర్నల్ ఉపయోగించుకుని సాధించవచ్చు. కెర్నల్‌కీ ఐగన్ వాల్యూ – ఐగన్ ఫంక్షన్లకీ సంబంధం ఉంటుంది అన్న సంగతి ఇప్పుడు సులువుగా అర్థమవుతుంది. వేవ్ ఈక్వేషన్‌కీ ‘హీట్ ఈక్వేషన్‌కీ పోలికలు ఉన్నాయి అని పైన చెప్పాను. మీనాక్షిసుందరం, ప్లెయ్‌జల్‌తో కలిసి పేపర్ రాయక ముందు – ఐ.ఏ.యస్.లో ఉన్న రోజుల్లోనే – కార్లెమన్ 1934లో వేవ్ ఈక్వేషన్‌తో చేసిన పరిశోధనలను చూచి ఆ పరిశోధనా ఫలితాలను హీట్ కెర్నల్ ద్వారా సాధించి విశ్లేషించ గలిగాడు. మీనాక్షి సుందరం రాసిన ఈ పేపరు 1948లో వచ్చింది. ప్లెయ్‌జల్‌తో కలిసి ఈ సమస్యనే మరింత క్లిష్టమైన భూమికలో అధ్యయనం చేసి కార్లెమన్ ఫలితాలను విస్తృతం చేశాడు.

ఏదైనా ఒక సంఖ్యను తీసుకుంటే ఆ సంఖ్యకు సమానంగా గానీ తక్కువగా గానీ విలువ గల కొన్ని ఐగన్ వాల్యూలు ఉంటాయన్నది λ1, λ2, λ3, … λn, గుర్తింపు చూస్తేనే అర్థమౌతుంది. తీసుకున్న సంఖ్య మరీ మరీ పెద్దదవుతున్న కొద్దీ ఎన్ని విలువలు ఉంటాయి అన్నది (అసిమ్టొటిక్ డిస్ట్రిబ్యుషన్ ఆఫ్ ఐగన్ వాల్యూస్) ఫిజిక్స్‌లో ఉపయోగపడే విషయం. 1911లో ఇటువంటి సమస్యని ఒక పరిధిలో వెయ్‌ల్ సాధించాడు. తర్వాతి తరంలో ఇటువంటి సమస్యలను కార్లెమన్, ఆయన శిష్యుడు ప్లెయ్‌జల్ అధ్యయనం చేశారు. మీనాక్షి సుందరం హీట్ కెర్నల్ వాడి ఈ ప్రశ్నకు కార్లెమన్ పరిధిలో జవాబు తెచ్చాడు. ఇంతకన్నా జటిలమైన అసిమ్టొటిక్ డిస్ట్రిబ్యుషన్ ఆఫ్ ఐగన్ ఫంక్షన్స్ సమస్యను కూడా హీట్ కెర్నల్ ఉపయోగించటం ద్వారా మీనాక్షి సాధించాడు. ఇక్కడ సమస్యని సాధించటం అన్న దానికన్నా ఆ సాధనలో మీనాక్షి హీట్ కెర్నల్ వాడుకున్న పధ్ధతి ఎక్కువ విలువ గలది. ఈ కారణం గానే ‘హీట్ కెర్నల్ ఉపయోగించి’ అని పదే పడే అనటం. ఇక్కడ హెర్మన్ వెయ్‌ల్ మాటలను యథాతథంగా ఉట్టంకించి మరి కొద్ది మాటలతో ఈ అధ్యాయాన్ని ముగిస్తాను.

“Dr Minakshisundaram, who independently of Carleman had just found a modification of Carleman’s method shedding new light on the whole problem[3].”

ఐగన్ ఫంక్షన్ ఎక్స్ పాన్ షన్ పధ్ధతి వాడి ఒక సమస్యా సాధనలో వచ్చిన అనంత సంఖ్యాకమైన ఐగన్ వాల్యుల సమితినే ఆ సమస్యకు స్వాభావికమైన ‘స్పెక్ట్రం’ అంటారు. ఐగన్ విలువలకు అనుగుణంగా అనంత సంఖ్యాకమైన ఐగన్ ఫంక్షన్లుంటాయి. వీటిని అధ్యయనం చేయటం సులువు కాదు. వీటితో ఏర్పడిన ఫంక్షన్లను అధ్యయనం చేయటం కొంత సులువు[4]. అటువంటి ఫంక్షనులను స్పెక్ట్రల్ ఫంక్షన్లని అంటారు. కెర్నల్ అటువంటి స్పెక్ట్రల్ ఫంక్షన్. కెర్నల్‌ను విశ్లేషించితే మరి కొన్ని విషయాలు తెలుస్తాయి. మీనాక్షి హీట్ కెర్నల్‌ను వాడి ఇతర సమస్యలకు సమాధానాలు తేవటమే కాక హీట్ కెర్నల్‌ను కూడా విశ్లేషించి సాధించిన ఫలితాలకు ఫిజిక్స్‌లో పెద్ద గుర్తింపు వచ్చింది. పైన ‘క్లిష్టమైన భూమిక’ అన్నాను. భూమిక అంటే స్థలమనే అర్థం లోనే. స్థలం అనగానే ‘జామెట్రీ’ సహజంగా స్ఫురిస్తుంది. మీనాక్షీ -ప్లెయ్‌జల్‌ల హీట్ కెర్నల్ విశ్లేషణ సమస్యా భూమిక యొక్క జామెట్రీ వివరాలను తెలుసుకోవడానికి కూడా ఉపకరిస్తుంది. ప్రొఫెసర్ ఫులింగ్ ‘జామెట్రిక్ స్పెక్ట్రల్ అసిమ్టొటిక్స్’ అన్న అధ్యయన విభాగం మీనాక్షి తో మొదలైనది అన్నది ఈ కారణం గానే. మీనాక్షిసుందరం ప్లెయ్‌జల్‌ల పేపరు ప్రభావం తన పరిశోధనల మీద ఉన్నది అని సర్ అతియ అన్నది కూడా – వేరొక -దృక్కోణం నుంచి – ఈ హీట్ కెర్నల్ విశ్లేషణ గురించే.

సమకాలీనంగా ఊహించటానికి కూడా వీలు కాని శాస్త్ర శాఖలు కాలాంతరాన పుట్టుకొస్తాయి. ఆ శాఖల అధ్యయనంలో వాడబడటం, వాటి అభివృద్ధికి దోహదపడటం, వ్యాప్తి ముఖ్య లక్షణం: ఈ మాటలు ప్రమాణంగా చూస్తే ‘మీనాక్షిసుందరం’ అన్న మనిషి పేరూ ‘హీట్ కెర్నల్’ అన్న గణిత-భౌతిక పారిభాషిక పదమూ ఒక దానికొకటి పర్యాయ పదాలని ఒక కొత్త విషయం నేర్చుకున్న వాళ్ళమౌతాము.

ఈ రోజున మీనాక్షి:

1. J S Dowker: Sphere Renyi entropies J. Phys. A: Math. Theor. 46 (2013).
2. Kevin Costello: Renormalization and Effective Field Theory, American Mathematical Society (March 2, 2011)
3. Yang Ho Choi:: Curvature Arbitrage A Doctoral Thesis on option pricing models – in finance using heat kernel technique. University of Iowa, July 2007
4. Ivan G. Avramidi: Department of Mathematics, New Mexico Institute of Mining and Technology. Analytic and Geometric Methods for Heat Kernel Applications in Finance (Lecture Notes), March 15-16, 2007.
5. Haim Brezis and Felix Browder: Partial Differential Equations in the 20th Century, Advances in Mathematics 135, 76 144 (1998).

వీటినన్నిటినీ ఇంటర్నెట్‌లో చూడవచ్చు.

12

గిరిజ వివాహ సందర్భంలో

ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం గణితశాస్త్రాధ్యయన శీలిగా, శాస్త్రోపాధ్యాయునిగా తను ఎంత పేరు తెచ్చుకున్నాడో అంతకన్నా ఎక్కువగా తన సంస్థకు ఖ్యాతి చేకూర్చిపెట్టాడు. ఆయన కుటుంబ సంప్రదాయాలను, సామాజిక విలువలను గౌరవించిన వాడు. ఆయనకు ముగ్గురు పిల్లలు. కూతుళ్ళు రాధ, గిరిజలకు ఆయన జీవిత కాలం లోనే వివాహాలు జరిపించారు. కొడుకు డాక్టర్ రాము ఆంధ్ర విశ్వకళా పరిషత్‌లో ఫిజిక్స్‌లో డాక్టరేట్ తీసుకుని కళా పరిషత్‌లో ఇంజనీరింగ్ కాలేజిలో పని చేశారు. మీనాక్షిసుందరం మత పరమైన ఆచారాలనూ సంప్రదాయాలనూ పాటించకపోయినప్పటికీ వాటి సారాన్ని చదివి తెలుసుకున్న వ్యక్తి. ఆయన సిమ్లా ఇన్స్టిట్యూట్‌లో జేరబోతున్నప్పుడు విశ్వకళా పరిషత్‌లో ఆయనకు అభినందనలతో వీడ్కోలు ఇచ్చిన సభలో ఆచార్య మీనాక్షిసుందరానికి సిలబస్, పరీక్షలు వంటి నిబంధనలేవీ అక్కర లేకుండా తత్త్వశాస్త్రంలో మాస్టర్ డిగ్రీ ఇచ్చేయవచ్చనటంలో ఏమాత్రం అతిశయోక్తి లేదని, విశ్వకళా పరిషత్‌ తత్త్వశాస్త్రాచార్యులు కొత్త సచ్చిదానంద మూర్తి అన్నారు. ఐ.ఎ.ఎస్.లో ఉన్నప్పుడు ఆయనతో ఆపెన్ హైమర్, హెర్మన్ వెయ్‌ల్ భారతీయ తత్త్వ విషయాలను ఆయనతో చర్చించే వారు. ఆపెన్ హైమర్ రెండవ ప్రపంచ యుద్ధ కాలంలో అమెరికా ఆటం బాంబ్ ప్రాజెక్టుకు నాయకుడుగా ఉన్నవాడు. మొట్ట మొదటి సారిగా విస్ఫోటనం జరిగినప్పుడు ఆ కాంతిని చూసి భగవద్గీత పదకొండవ అధ్యాయం లోని ‘వేయి సూర్యుల కాంతి’ శ్లోకాన్ని చదివిన వాడు. వెయ్‌ల్ మరీనూ, తన రచనలో ఋగ్వేద నుంచి ఉట్టంకింపులు చేసిన వాడు.

ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం చెట్టెక్కి ఎవరికీ అందకుండా కూర్చోకుండా, కేంపస్ జీవితంతో మమేకమైన వారు. విశ్వక ళాపరిషత్‌లో ఉన్న ఫాకల్టీ క్లబ్‌లో సాయంత్రాలు బ్రిడ్జ్ ఆట ఆడుతూ ఉండేవారు. గణిత శాస్త్రం లోని విషయాలను ముచ్చట్లుగా చెపుతూ తన విద్యార్థులతో కలిసి బీచ్‌కి నడిచి వెళ్ళి వస్తూ ఉండేవారు. అవసరమనుకున్నప్పుడు కాలేజీ సమయాలకు అదనంగా జూనియర్ విద్యార్థులకు సీనియర్ల చేత పాఠాలు చెప్పించేవారు. ఆ పాఠాల మధ్యలో అప్పుడప్పుడు తనూ వచ్చి కూర్చునేవారు. విద్యార్థులలో ఆటలనీ, సాంస్కృతిక కార్యక్రమాలనీ ప్రోత్సహించిన వారు. విద్యార్ధులు పెద్దవాళ్ళైనప్పుడు వాళ్ళను మిత్రులుగా చూచిన వారు. తను సిమ్లాలో ఉన్నప్పుడు చండీఘడ్‌లో ఉన్న పూర్వవిద్యార్థి ముస్లిని చలి కాలంలో మంచు పడటాన్ని చూడటానికి ఆహ్వానించి ఆతిధ్యం ఇచ్చారు మీనాక్షిసుందరం.

ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం ఒక కాన్ఫరన్స్‌కి ఔరంగాబాద్ వెళ్ళారు. అతిథుల కోసం పేరు పేరునా కాన్ఫరన్స్ నిర్వాహకులు వసతి ఏర్పాటు చేశారు గానీ మీనాక్షిసుందరం పేరు మాత్రం ఎక్కడా కనపడలేదు. నిర్వాహకులు ప్రొఫెసర్ మీనాక్షిసుందరాన్ని ఎలా విస్మరించగలిగారని అందరూ ఆశ్చర్యపోయారు. మళ్ళీ మళ్ళీ జాబితాలన్నీ తిరగ తోడిన తర్వాత కనపడింది ఆయన పేరు మహిళా ప్రతినిధులకై ఏర్పాటు చేసిన వసతి సముదాయంలో. మీనాక్షితో పాటు అందరూ నవ్వులే నవ్వులు.

1960ల వరకూ ఎలా గడిచినా విశ్వకళా పరిషత్‌లో యాజమాన్యానికీ ఉపాధ్యాయ వర్గానికీ అభిప్రాయబేధాలు క్రమంగా ఎక్కువ అవుతుండడంతో ఉపాధ్యాయులు తాము సంఘటితం అవవలసిన అవసరాన్ని గుర్తించారు. ఆ తరుణంలోనే ఆంధ్రా యూనివర్సిటీ టీచర్స్ అసోసియేషన్ ఏర్పడింది ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం తొలి అధ్యక్షుడుగా. అటు యాజమాన్యానికీ ఇటు వృత్తి ధర్మానికీ ఆయనే దగ్గరి వాడు.

ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం జీవితం, ‘అధీతి బోధాచరణ ప్రచారణైః’ అన్న కవి వాక్యానికి చెక్కిన పాలరాతి శిల్పం. చిన్నతనంలో మీనాక్షి లెక్కల్లో సున్నా మార్కులతో ఒకటవ తరగతి పరీక్ష తప్పాడు, అయినా ఒకటవ తరగతి చదవటం అయిపోయింది గదా శలవుల తర్వాత మళ్ళీ బడి తెరిచినప్పుడు రెండవ తరగతి లోకి వెళ్ళి కూర్చున్నాడు. పంతులుగారు మీనాక్షిని మళ్ళీ ఒకటవ తరగతిలో కూర్చోమని బయటకు వెళ్ళగొట్టారు. పసి మీనాక్షి ఆనాడు తన గుండెల్లో గుచ్చుకున్న ముల్లుని తన తపస్సుతో పువ్వుగా మార్చుకున్నాడు. ఆ పువ్వుతో గణితశాస్త్ర సరస్వతికి పూజ చేశాడు.

(“వటు మానసాలయములన్ దీపాంకురారాధనల్ గురువుల్ సేతురు” అన్నాడు కాటూరి. ఆచార్యులు వైద్యనాథ స్వామి, ఆనంద రావ్, ఫాదర్ రసీన్, ముహమ్మద్ రజిఉద్దీన్ సిద్దీకిలను మరొకసారి తలుచుకుంటూ… – రచయిత.)

కృతజ్ఞతలు

ప్రప్రథమంగా శ్ర్రేమతి కోట గిరిజ గారికి; అడగంగానే డా. ప్లెయ్‌జల్ బొమ్మ పంపిన Uppsala University గణితశాఖాధిపతి Prof. Johan Tyskకి, వారి సెక్రటరీ Ms. Inga-Lena Assarssonకి; తమ డిపార్ట్‌మెంట్ ప్రకటనని ఉట్టంకించుకోవటానికి అనుమతించిన Prof. Werner Ballmannకి; ఒక ఫోన్ చేసి మీ వ్యాసం కావాలని అడిగినప్పుడు వారి ఇంటికి ఆహ్వానించి ఆ వ్యాసాన్ని నాకు చదివి వినిపించి, నాకు ఆ వ్యాసం ప్రతిని ఇచ్చిన శ్రీ గొల్లపూడి మారుతీరావు గారికి; ఓర్పుతో, నేర్పుతో నాకు సహకరించిన ఈ మాట సంపాదకులకు.

ఆధారాలు

ఈవ్యాస రచనకు ముఖ్యమైన ఆధారాలు, కొన్ని ఫోటోలు ప్రొఫెసర్ మీనాక్షిసుందరం మెమోరియల్ సొసైటీ, వారి వెబ్సైటులో ట్రిబ్యుట్స్ విభాగంలో ఉన్న పలువురి ఆంగ్ల రచనలు. వీటిలో శ్రీమతి గిరిజ గారి వ్యాసం నుంచి ఆచార్య మీనాక్షిసుందరం జీవిత విశేషాలను తీసుకున్నాను. మీనాక్షిసుందరం గారి వృత్తి విశేషాలు డా. G. S. R. శర్మ వ్యాసం లోవి. ఉపోద్ఘాతంలో ఉట్టంకించిన ప్రొఫసర్ ముస్లి అనుభవం ‘ట్రిబ్యూట్స్’లో ఉన్న ఆయన మాటల నుంచే.

ప్రొ. చంద్రశేఖరన్, ఆచార్య కల్యాణ్‌పూర్ వివరాలు ప్రొ. గద్దె స్వరూప్ బ్లాగు నుంచి తీసుకున్నవి. మీనాక్షిసుందరం పాఠంలో ఇంట్యూషన్‌కి ప్రాధాన్యత అన్నది డా. B. సుబ్రమనియన్ వ్యాసం లోది. ఆయన పాఠంలో టెక్స్ట్ పుస్తకాలలో కనపడని మెరుపులాంటి ఆలొచనలుండేవన్నది, ఆయనను ప్రొ. భట్నాగర్, ప్రొ. సేఠ్ వంటి ప్రముఖులు అభిమానించే వారన్నది, డా. విద్యానిధి వ్యాసం లోవి.

ఒక అధ్యయానానికి విలువ కట్టటానికి ప్రమాణాల గురించి చెప్పిన దానికి ‘ట్రిబ్యూట్స్’లో ఉన్న ప్రొ. ఫ్లాయిడ్ విలియమ్స్ రచన ఆధారం. తక్కిన వివరాలు ప్రొఫెసర్లు C. ముస్లి, K. G. రామనాథన్, M. S. రఘునాథన్, S. తంగవేలు, A. సత్యనారాయణ రావు, F. A. ఫులింగ్ వ్యాసాల లోనివి.

మిగిలిన టెక్నికల్ వివరాలకు వ్యాసధారలో సూచించినవి ఈ దిగువన:

1. Vladimir I. Arnold: Lectures on Partial Differential Equations [Translated by Roger Cooke], Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
2. Haim Brezis and Felix Browder: Partial Differential Equations in the 20h Century Advances in Mathematics 135, 76 144 (1998).
3. Hermann Weyl :Ramifications, old and new, of the eigenvalue problem, Bulletin of the American Mathematical Society 56 (1950), 115–139.
4. I M Singer: Eigenvalues of the Laplacian and invariants of Manifolds, Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Vancouver, 1974.