గత శతాబ్దం మొదట్లో ప్రపంచంలోని గణితవేత్తలంతా పెట్టే బేడా సర్దుకుని జర్మనీలో చిన్న యూనివర్సిటీ పట్టణమైన గోటింగెన్ (Göttingen) కి వెళ్ళాలని తహతహలాడేవాళ్ళు. తర్వాత మరో పాతికేళ్ళకి హేమాహేమీలయిన శాస్త్రజ్ఞులు సయితం ప్రాణాలు అరచేతిలో పెట్టుకొని జర్మనీ నుండి పారిపోయారు. గణితవేత్తలు గోటింగెన్ యూనివర్సిటీకి రావడానికి కారకుడు ప్రపంచ ప్రఖ్యాత గణితశాస్త్రవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ అయితే, వాళ్ళు పారిపోవడానికి కారకులు అప్పటి జర్మనీ నియంత అడోల్ఫ్ హిట్లర్, అతనికి సర్వాధికారాలూ కట్టబెట్టిన జర్మన్ ప్రజలు.

డేవిడ్ హిల్బర్ట్
1862-1943

డేవిడ్ హిల్బర్ట్ 1862లో కోనిగ్స్‌బర్గ్ (ఇప్పటి కలినిన్‌గ్రాడ్, రష్యా) నగరంలో పుట్టాడు. నీతిశాస్త్రాన్నీ, విజ్ఞాన శాస్త్రాన్నీ సమన్వయపరచడానికి కృషి చేసిన ప్రముఖ జర్మన్ తత్వవేత్త ఇమాన్యుయల్ కాంట్ (Immanuel Kant) పుట్టింది కూడా కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ లోనే. కాంట్ తరవాత 138 ఏళ్ళకి పుట్టినా, హిల్బర్ట్ కాంట్ వల్ల ఎంతో ప్రభావితుడయ్యాడు. అలాగే హిల్బర్ట్ సిద్ధాంతాలని ఎంతగానో వ్యతిరేకించిన బ్రోవర్ కూడా కాంట్ వల్ల ప్రభావితుడైనవాడే.

(ఒక పిట్టకథ: కోనిగ్స్‌బర్గ్‌(Königsberg) నగరానికి చాలా చరిత్ర ఉంది. కాంట్ గురించి తెలియకముందే నేను కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ గురించి కంప్యూటర్ సైన్సు చదివే మొదటి రోజుల్లో తెలుసుకున్నాను. ఈ నగరం పేరుతో కంప్యూటర్ సైన్సులో కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ వంతెనలు అనే ఒక ఆసక్తికరమైన సమస్య ఉంది. ఈ పట్టణాన్ని ప్రెగోల్ నది రెండు పాయలుగా ప్రవహిస్తూ, మధ్యలో ద్వీపంతో నాలుగు భాగాలుగా విభజించింది. వాటిని కలుపుతూ ఏడు వంతెనలు ఉండేవి. పట్టణ ప్రజలు “దాటిన వంతెన దాటకుండా అన్ని వంతెనలనీ దాటగలమా?” అని ప్రశ్నించుకునేవారు. వందేళ్ళకు పైగా ఆ ప్రశ్నకి సమాధానం తెలియలేదు. 1736లో ఆయ్‌లెర్ (Euler) అన్న గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు “దాటిన వంతెన దాటకుండా అన్ని వంతెనలనీ దాటలేము” అని నిరూపించాడు. అంతేకాదు, దానితో టొపాలజీ (Topology) అన్న ఓ కొత్త గణితశాస్త్రానికి నాంది పలికాడు. ఈ కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ వంతెనల సమస్యని కంప్యూటర్ సైన్సు చదివే వాళ్ళంతా గ్రాఫ్ థియరీలో చదువుకుంటారు.)

హిల్బర్ట్ తండ్రి జడ్జి. తల్లి తాత్విక భావనలు కలది. ప్రతి సంవత్సరం కాంట్ సంస్మరణ రోజున సమాధి దగ్గరకి వెళ్ళినపుడు హిల్బర్ట్‌ని కూడా తీసుకెళ్ళేది. హిల్బర్ట్ కూడా కాంట్ చదివిన ఫ్రీడ్‌రిక్స్‌కొల్లేగ్ గిమ్నాజియుం (Friedrichskolleg Gymnasium, మనం జిమ్నాసియం అంటాం) అనే బడిలోనే చదివాడు. ఆ బడిలో భాష, వ్యాకరణం, కవిత్వం, చరిత్ర – వీటి మీద ఎక్కువ శ్రద్ధ చూపేవాళ్ళు. వీటితో జ్ఞాపకశక్తి, భావ వ్యక్తీకరణ సామర్థ్యం, రసవివేచన, ప్రపంచ జ్ఞానం పెరుగుతాయనీ అప్పటి విద్యాబోధకుల అభిప్రాయం. గిమ్నాజియుంలో ఎక్కువగా లాటిన్, గ్రీకుల మీద దృష్టి సారిస్తూ, చదివిన దానిని బట్టీ వేయించేవాళ్ళు. గణితంలో ఆసక్తి ఉండే హిల్బర్ట్‌కి అది ఏ మాత్రం నచ్చేది కాదు. అందుచేత హిల్బర్ట్ గణితంలో ప్రతిభావంతుడి గానూ, మిగిలినవాటిల్లో పరవాలేదన్నట్టు గానూ గుర్తింపుతో బడి చదువు ముగించి కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో ఉన్న యూనివర్సిటీలో చేరాడు.

హిల్బర్ట్‌కి యూనివర్సిటీ వాతావరణం బడికన్నా చాలా తేడాగా ఉండి, రకరకాల విషయాలని నేర్చుకోడానికి స్వాతంత్ర్యం కలిగించింది. కొడుకు న్యాయశాస్త్రంలో పట్టభద్రుడు కావాలని తండ్రి ఆకాంక్ష. కాని హిల్బర్ట్ అప్పటికే గణితమే తన జీవిత ధ్యేయమని నిర్ణయించుకొన్నాడు. బాల్య స్నేహితుడయిన హెర్మన్ మింకాఫ్‌స్కీ (Hermann Minkowski) కూడా అదే యూనివర్సిటిలో చేరాడు. బాల మేధావి, ఆజన్మాంతమూ హిల్బర్ట్‌కి ప్రాణస్నేహితుడు అయిన మింకాఫ్‌స్కీ గణితం, భౌతికశాస్త్రాలలో గణనీయమైన పరిశోధనలు చేశాడు. వీరిద్దరికీ యూనివర్సిటీలో కొత్తగా చేరిన ప్రొఫెసర్ అడోల్ఫ్ హుర్విట్జ్ (‌Adolf Hurwitz)తో మైత్రి కుదిరింది. ముగ్గురూ కలిసి ప్రతీ సాయంత్రం అయిదు గంటలకి ఓ యాపిల్ చెట్టు దగ్గరికి నడుచుకుంటూ వెళ్ళేవాళ్ళు. అలా నడుస్తూ వాళ్ళు చర్చించని గణితశాస్త్ర విషయాలు లేవు. ఈ చర్చలే హిల్బర్ట్ గణితంలో ఎదగడానికి చాలా దోహదం చేశాయి.

హిల్బర్ట్ డాక్టరేట్ సంపాదించి కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ యూనివర్సిటీలోనే లెక్చరరుగా పని చేయడం మొదలుపెట్టాడు. 1888 లో యూరప్ లోని ప్రముఖ గణితవేత్తలని కలవాలని ఉత్సాహంగా బెర్లిన్, పారిస్ నగరాలకెళ్ళి పేరున్న గణితవేత్తలని కలిసి వచ్చాడు. స్థిర సిద్ధాంతం (Invariant Theory) అన్న గణితాంశంలో ఎవరూ సాధించని ఓ సమస్య ఉంది. దానిని అది ప్రతిపాదించిన గణితవేత్త పేరిట ‘గోర్డన్ సమస్య’ అంటారు. గోర్డన్‌ని (Paul Gordan) కలుసుకున్నప్పటి నుండీ ఆ సమస్య హిల్బర్ట్ మనసు నొదిలిపెట్టలేదు. ఆరు నెలల తర్వాత హిల్బర్ట్ ఆ సమస్యని సాధించాడు. హఠాత్తుగా గణిత ప్రపంచమంతా హిల్బర్ట్ పేరు విన్నది. ఈ సమస్యని సాధించిన తీరు సంచలనం కలిగించింది. స్థిర సిద్ధాంతం లోకి వెళ్ళనవసరం లేదు కానీ, ఈ నిరూపణ మార్గాన్ని సరిగా అర్థం చేసుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది కనుక దానిని సామాన్య బీజగణితానికి అన్వయించి చెప్తాను.

మనకెవరైనా x, y లతో కూడిన ఓ సమీకరణాన్నిచ్చి, దీనిని సహజ సంఖ్యలతో సాధించవచ్చు అని సిద్ధాంతీకరించారనుకోండి. దానిని నిరూపించడానికి వైరుధ్యాన్ని వాడామనుకోండి. అంటే, అలా సాధించలేకపోతే మనం సంఖ్యాగణితంలో ఓ వైరుధ్యాన్ని (contradiction) ఎదుర్కోవలసి వస్తుంది అని నిరూపిస్తాం. అందువల్ల ఆ సమీకరణాన్ని సాధించవచ్చు అని తీర్మానిస్తాం. ఆ సమీకరణాన్ని సహజ సంఖ్యలతో సాధించి చూపకపోయినా కానీ, అది సాధ్యమేనని నిరూపించాం. గోర్డన్ సమస్యని కూడా హిల్బర్ట్ అలాగే సాధించాడు. కొందరు దీనిని చాలా అందమైన నిరూపణ అని మెచ్చుకుంటే, మరి కొందరు “ఇది గణితం కాదు మతం” (“This is not mathematics; this is theology”)అని ఖండించారు. అలా ఖండించిన వాళ్ళలో ప్రముఖుడు లియోపోల్డ్ క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker). ఇతడే కేంటర్ అనంత సిద్ధాంతాలని కూడా వ్యతిరేకించాడని మునుపటి “అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం” వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. గణితశాస్త్రంలో నిరూపణలు నిర్మాణాత్మకంగా (constructive analysis) ఉండాలని క్రోనెకర్ శాసించాడు. అంటే, పై సమీకరణ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తే, x, y ల విలువలు ఏమిటో చెప్పగలగాలి, లేకపోతే ఆ నిరూపణని ఒప్పుకోకూడదు అని ఆయన వాదన. అడవిలో నిధి ఎక్కడ ఉందో చూపకుండా అది ఉందని నిరూపించడం నిరూపణే కాదనీ, ఆ నిధి స్థానానికి చేరే మార్గం కూడా తెలిపితేనే అది ఉన్నట్లు నిరూపించినట్లని క్రోనెకర్ వాదన. “నా క్లాసులో అందరికంటె తక్కువ వెంట్రుకలున్నవాడు ఒకడున్నాడు – అన్నది సత్యమని నమ్మడానికి, ఎవరికెన్ని వెంట్రుకలున్నాయో కనుక్కోవాల్సిన అవసరం లేదు కదా!” అని హిల్బర్ట్ ప్రతివాదన చేశాడు.

గోటింగెన్‌లో ప్రవేశం

హిల్బర్ట్ తన స్నేహితురాలు కేథె (Käthe Jerosch) ని పెళ్ళి చేసుకొన్నాడు. వాళ్ళకి ఒక అబ్బాయి పుట్టాడు. భార్యాభర్తలిద్దరూ ప్రొద్దున్నే కాఫీ తాగుతూ గణితవేత్తలెవరయినా చనిపోయారా అని కుతూహలంతో పేపర్ చదివేవాళ్ళు. ఎందుకంటే, అప్పట్లో గణితంలో ప్రొఫెసర్‌గా ఉద్యోగం రావాలంటే పనిచేస్తున్న వారెవరైనా మరణిస్తేనే గతి! క్రొనెకర్ చనిపోవడంతో, గోటింగెన్‌లో క్రోనెకర్ పదవిలో హిల్బర్ట్, కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో హిల్బర్ట్ స్థానంలో అతని బాల్య మిత్రుడు మింకాఫ్‌స్కీ చేరడం జరిగింది. 1894 లో హిల్బర్ట్ కుటుంబసమేతంగా గ్యోటింగెన్ చేరాడు. తన ఉద్యోగకాలంలో 69 మందికి పీహెచ్‌.డీ.లని ఇప్పించి 1930 లో రిటైరయి, అక్కడే 1943 లో మరణించాడు.

రేఖాగణిత బోధన

హిల్బర్ట్ యూనివర్సిటీలో ప్రతి సంవత్సరం చెప్పిన సబ్జెక్ట్ తిరిగి చెప్పకుండా బోధించేవాడు. ఆ విధంగా తనుగూడా కొత్త సంగతులు నేర్చుకునేవాడు. 1898 లో, అప్పటికి రెండువేల సంవత్సరాల క్రితం యూక్లిడ్ (Euclid) నిర్మించిన రేఖాగణితాన్ని హిల్బర్ట్ యూనివర్సిటీ స్థాయిలో బోధించడమే కాక, రేఖాగణితశాస్త్ర పునాదులమీదే కొత్త వెలుగులు ప్రసరించాడు.

యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో బిందువు, రేఖ, సమతలం (point, line, planes) లాంటి కొన్ని పరిమితమైన పదాలని నిర్వచించి, వాటికి సంబంధించిన కొన్ని స్వయంసిద్ధ సూత్రాలని (axioms) ప్రతిపాదించాడు. ఈ సూత్రాలకి వేరే నిరూపణ లేదు, వాటిని చదివితే అవి మనకు సహజంగానే సత్యమని తెలుస్తుంది. ఉదాహరణకి రెండు బిందువులని కలుపుతూ ఒకే ఒక్క రేఖని గీయగలమన్న సూత్రం. ఈ స్వయంసిద్ధ సూత్రాల ఆధారంగా యూక్లిడ్ కొన్ని వందల సిద్ధాంతాలని (theorems) నిరూపించాడు (axiomsకీ theoremsకీ చాలా తేడా ఉంది.) వాటిలో కొన్ని మనం చిన్నప్పుడు హైస్కూలులో చదువుకున్నవే. ఈ సిద్ధాంతాలలో చాలావరకు అవి ఎందుకు నిజమో మనకు వెంటనే బోధపడదు. ఉదాహరణకి ఏ త్రిభుజంలో నయినా మూడు కోణాల మొత్తం రెండు లంబకోణాలకి (180 డిగ్రీలకి) సమానం అన్న సిద్ధాంతం. అది ఎందుకు సత్యమో వెంటనే తెలియదు. కానీ, చాలా సులభంగా హైస్కూలు పిల్లలు నిరూపించగలరు. ఆ నిరూపణ విధానం స్వయంసిద్ధ సూత్రాల మీదా, అప్పటికే నిరూపించిన ఇతర సిద్ధాంతాల మీదా, ఆధారపడి ఉంటుంది కనుక ఆ నిరూపణని నమ్ముతాం.

కానీ, అవే సూత్రాలు సిద్ధాంతాలు, లేదా వేరే నిరూపణ మార్గాలు ఉపయోగించి మూడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకి సమానం కాని త్రిభుజం ఒకటి ఉందని ఎవరన్నా కనుక్కుంటే అప్పుడు ఈ యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో వైరుధ్యం (contradiction) ఉందన్నమాట. ఒక వైరుధ్యం వచ్చిందంటే శాస్త్రంలో మిగిలినదేదీ నమ్మలేము. గత రెండు వేల ఏళ్ళ నుండీ రేఖాగణితంలో వైరుధ్యాలు ఎదురవలేదు. అలా అని సంతృప్తి పడటానికి వీలులేదు. ఇంతకుముందు వ్యాసాలలో వివరించినట్లు 18, 19 శతాబ్దాలలో గణితంలో వైరుధ్యాలుండవచ్చునని ఆందోళన పడి, సరయిన పునాదులు ఏర్పరచాలని కొందరు గణితవేత్తలు ఉద్యమించారు.

లైబ్నిజ్ మీద వ్యాసంలో, యూరప్ విజ్ఞానశాస్త్రాలలో ప్రపంచంలోకెల్లా ముందంజ వేయడానికి కారణం సైన్సుల్లో గణితం ప్రధాన పాత్ర వహించడమనీ, అందుకు డెకార్త్ (Descartes) రేఖాగణితాన్ని బీజగణితంతో సమన్వితం చెయ్యడం దోహదం చేసిందనీ తెలుసుకున్నాం.

పదే పదే కంప్యూటర్ సైన్సులో వాడుకునే సూత్రం – కుదింపు (reduction): ఉదాహరణకి A అనే ఒక సమస్యని సాధించాలి. వేరే సాధించాల్సిన సమస్య B కూడా ఉంది. B కి సమాధానం తెలిస్తే, A ని సాధించగలమని నిరూపించామనుకోండి. అప్పుడు Aని Bకి “కుదించాం” (A is reduced to B) అంటాం. ఎవరైనా Bని సాధిస్తే, యాంత్రికంగా Aకి కూడా సమాధానం దొరికినట్లే.

అదే రీతిలో హిల్బర్ట్ సంఖ్యాగణితానికి సాపేక్షంగా రేఖాగణితం వైరుధ్యరహితం (consistent) అని నిరూపించాడు. సంఖ్యాగణితం (B) వైరుధ్యరహితమైతే, రేఖాగణితం (A) కూడా వైరుధ్యరహితమే. మరి సంఖ్యాగణితం వైరుధ్యరహితమని చూపించడం ఎలా? ఈ సమస్యని మరికొన్నేళ్ళ తర్వాత సాధించడానికి ప్రయత్నించాడు. రేఖా గణితపు పునాదులపై హిల్బర్ట్ రాసిన “The Foundations of Geometry” అనే చిన్న పుస్తకానికి గణిత ప్రపంచంలో అధిక ప్రచారం దొరికింది. ‘పునాదుల సమస్య’ అతి ముఖ్యమైన సమస్య అని హిల్బర్ట్ గుర్తించాడు.

హిల్బర్ట్ ప్రతిపాదించిన సమస్యలు

కొత్త శతాబ్దం మొదలయేటప్పటికి హిల్బర్ట్ పేరు గణిత ప్రపంచంలో మారుమోగుతోంది. 1900 లో పారిస్‌లో జరిగిన అంతర్జాతీయ గణిత సమావేశంలో హిల్బర్ట్‌ కీలకోపన్యాసం ఇచ్చాడు. హిల్బర్ట్ ఆ ఉపన్యాసాన్ని “మన ముందర దాగి ఉన్న భవిష్యత్తుపై తెరతీసి గణితశాస్త్రంలో దాగివున్న రహస్యాలని వెలికి తీయడానికి ఉబలాటపడని వారెవరు”? అంటూ ప్రారంభించాడు. ఆ తరువాత, “విస్తారమైన గణితశాస్త్రంలో సమస్యలకి కొదవ లేదు. గత యుగపు సమస్యలు వచ్చే యుగపు సమస్యలు కానవసరం లేదు. ఏ సమస్యయితే వర్ణించడానికి సులభమో, సామాన్యుడికి కూడా అర్థమవుతుందో, సాధించడానికి కష్టమయినా నిర్భేద్యం కాదో, ఆ సమస్యల మీద మన దృష్టి సారించాలి” అంటూ తన ఉపన్యాసంలో 23 సమస్యల జాబితా (Hilbert’s Problems) ఇచ్చాడు.

వాటిల్లో మొదటిది: కేంటర్ చివరివరకూ ప్రయత్నించి సాధించలేకపోయిన సమస్య – א₀ (Aleph-Null) కీ c (continuum) కీ మధ్య వేరే అనంతం ఉందా? రెండవది: సంఖ్యా గణితంలో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపణ. పదవది: Diophantine సమీకరణాలని సాధించే విధానం ఉందా లేదా? ఆ సమస్యలు సాధించడంలో మేధావులు ఆ తరువాత ఒక శతాబ్దం గడిపారు. ఆ ఇరవై మూడు సమస్యల్లో ఏ ఒక్కటి సాధించినా గణితశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతి సాధించినట్లే!

హిల్బర్ట్‌ని వ్యతిరేకించిన బ్రోవర్

పందొమ్మిదో శతాబ్దం నాటికి హాలండ్ (The Netherlands) దేశం సాంకేతికంగా అభివృద్ధి సాధించలేదు. ఆ లోటుని పూరించాలనే ఆకాంక్షతో ఆ దేశప్రజలు సాంకేతిక శాస్త్రాల మీద శ్రద్ధ చూపారు. దాంట్లో టీచర్లు ప్రముఖ పాత్ర వహించి, పిల్లలని ఉన్నత విద్యకు ప్రోత్సహించారు. అలాంటి ఓ టీచరు కొడుకు, లూయిట్సెన్ బ్రోవర్ (L. E. J. Brouwer).

లూయిట్సెన్ బ్రోవర్
1881-1966

బ్రోవర్ యూనివర్సిటీలో తత్వశాస్త్రం మీదా గణితం మీదా చాలా మక్కువతో గణితశాస్త్రపు పునాదుల మీద డాక్టరేట్ డిగ్రీ కోసం పరిశోధన మొదలెట్టాడు. అతడు జీవితం మీద చిత్రమైన మార్మిక, తాత్విక భావాలు కలవాడు. తన వివాదాస్పదమైన భావాల వల్ల ప్రొఫెసర్‌తో ఘర్షణకి గురయ్యాడు. గణితశాస్త్రపు పునాదుల అంశం అప్పుడు చాలా వివాదాస్పదమైనది. కేంటర్ అనంత సంఖ్యల పరిశోధనలతో గణితవేత్తలు అప్పటికి రెండు వర్గాలుగా చీలిపోయారు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలని బ్రోవర్ తీవ్రంగా వ్యతిరేకించాడు. అవి గణితశాస్త్రానికి పట్టిన చెదలుగా తీర్మానించి, మొత్తం గణితాన్నే పునరుద్ధరించాలనుకున్నాడు. అందుకు చాలా వివాదాస్పదమైన భావాల నేర్పరచుకున్నాడు. అప్పటికే అతని పీహెచ్. డీ. థీసిస్ మూలంగా వచ్చిన అభ్యంతరాలను దృష్టిలో పెట్టుకొని ముందర కొన్నాళ్ళు సాంప్రదాయక గణితంలో పేరు తెచ్చుకుంటే మంచిదని అతని ప్రొఫెసర్ సలహా ఇచ్చాడు.

ఆ సలహా మేరకు టొపాలజీ (Topology) లో కొన్ని సిద్ధాంతాలని నిరూపించి బాగా పేరు సంపాదించాడు. బ్రోవర్ కనుక్కున్న వాటిల్లో అతి ముఖ్యమైనది స్థిర బిందు సిద్ధాంతం (Fixed Point Theorem). ఓ గళ్ళకాగితాన్ని తీసుకొని గడులని వేర్వేరు సంఖ్యలతో గుర్తుపెట్టండి. ఆ కాగితాన్ని కాపీ తీసి, ఒక గళ్ళ కాగితాన్ని నేలమీద పెట్టి, రెండో దాన్ని ఉండలాగా చేసి మొదటిదాని మీదకి విసరండి. నేలమీద కాగితంలో ఏ గడుల మీద ఉండ వాలిందో చూడండి. 5, 6, 7 అనుకుందాం. ఈ మూడిట్లో ఒకదానికైనా పై ఉండలో నిటారుగా అదే సంఖ్య ఉన్న గడి ఉంటుంది! ఉండ ఆకారం ఎలా ఉన్నా, గడులెన్ని ఉన్నా, ఇది మాత్రం ఖాయం. ఇది స్థిర బిందు సిద్ధాంతానికొక ఉదాహరణ.

స్థిర బిందు సిద్ధాంతానికి మరొక సులభమైన ఉదాహరణ: ఓ కప్పు కాఫీ తీసుకొని నెమ్మదిగా, మొత్తమంతా కలిసేలా కలపండి. కాఫీ నిశ్చల స్థితికి చేరుకున్న తర్వాత, స్థానం మారని అణువు కాఫీ మొత్తంలో కనీసం ఒక్కటైనా ఉంటుది. అంటే, ఆ అణువు స్థానం కాఫీ కలపకముందు, కలిపిన తరవాత ఒకటే ఉంటుంది. స్థిర బిందు సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇటువంటి అణువు కనీసం ఒకటైనా ఉంటుంది. దీని వలన ఏమిటి ఉపయోగం అని తీసిపారేయకండి. 1994లో ఆర్థికశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతిని పంచుకున్న జాన్ నాష్ (John Nash) ఈ సిద్ధాంతాలని వాడుకున్నాడు. (మన తెలుగు వారయిన ప్రొఫెసర్ గద్దె ఆనందస్వరూప్ కాలేజీలో విద్యార్థిగా ఈ సిద్ధాంతాల అందానికి ముగ్ధుడై టొపాలజీకి అంకితమయ్యారు.)

ఈ సిద్ధాంతాల నిరూపణతో బ్రోవర్ మేధని హిల్బర్ట్ గ్రహించాడు. అతనిని గోటింగెన్‌కి తీసుకురావాలని ప్రయత్నించాడు. తన సంపాదకత్వంలో నడుస్తున్న ఓ గణితశాస్త్రపు జర్నల్‌లో సంపాదక సభ్యుడిగా చేర్చుకున్నాడు. బ్రోవర్‌కి హిల్బర్ట్‌పై ఎనలేని గౌరవమున్నా, అతనితో అనేక విషయాలలో విభేదించి అతనికి తలనొప్పి కలిగించాడు. తరవాత హిల్బర్ట్ నానా పన్నాగాలు పన్ని బ్రోవర్‌ని సంపాదక బృందం నించి తొలగించాడు. హిల్బర్ట్, బ్రోవర్‌ల వివాదం చివరికి అయిన్‌స్టైన్ “గణితవేత్తల మధ్య ఏమిటీ కప్పల ఎలుకల పోట్లాట” అనేదాకా వెళ్ళింది.

బ్రోవర్ తన విప్లవాత్మకమైన గణిత సిద్ధాంతాలని మళ్ళీ బయటకి తీసుకొచ్చాడు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలతో, రస్సెల్ తర్కంతో, హిల్బర్ట్‌తో తీవ్రంగా విభేదించి గణితాన్ని సంస్కరించి సరైన మార్గంలో పెట్టడానికి నడుం కట్టాడు. ఇప్పుడు బ్రోవర్ ‘పునాదుల సిద్ధాంతం’ గురించి కొంచెం తెలుసుకుందాం.

సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతం (Intuitionism)

ఫ్రేగె, రస్సెల్, మొదలైన వాళ్ళు గణితం తర్కంలో ఓ భాగమని కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతాల ఆధారంగా చూపడానికి ప్రయత్నించారు. దీనినే తార్కికవాదం (Logicism) అంటారు. వాళ్ళు ఆ దిశగా వెళ్ళి కొన్ని వైరుధ్యాలని ఎదుర్కొన్నారు.

కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతం అనేక చోట్ల వాడటం, అనంత సమితులు కొన్ని వైరుధ్యాలకి దారితీయడంతో గణితపు పునాదులనే పరామర్శించవలసిన అవసరం ఉందని సహజ జ్ఞాన వాదులు అభిప్రాయపడ్డారు. వారి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మానవునికి సహజ సంఖ్యల గురించిన అంతఃజ్ఞానం ఉంది. 1, 2, 3, …, n ఇలా ఒక్కొక్కటే మనం ఒకదాని తర్వాత ఒకటి మనస్సులో నిర్మించుకోగలం. దీనికి కారణం తత్వవేత్త కాంట్ (Kant) చెప్పినట్లు మానవునికి కాలం గురించిన భావన సహజంగానే ఉంది. దాని నుండే సహజ సంఖ్యల జ్ఞానం వస్తోంది. ఈ విధంగా ఎంత పెద్ద సంఖ్యనయినా మనసులో నిర్మించుకోగలం. కాని అనంతమైన సంఖ్యని నిర్మించలేం. అందువలన పూర్తయిన అనంతం అన్న భావనని ఈ వాదం ఒప్పుకోదు.

గణితం అంటేనే, మనసు ఈ విధంగా చేసే నిర్మాణాలు. అంతే కాని ఏవో సంకేతాలతో చేసే నిరూపణలు కాదు. గణితమే మౌలికం. అది తర్కం మీద ఆధారపడి లేదు. తార్కిక భావనలు గణితంలో భాగం – అవి నిర్మాణాత్మకమైనవి కావడాన. కాని కొన్ని తార్కిక భావనలు నిర్మాణాత్మకమైనవి కాదు. వాటిల్లో గణితవేత్తలు తరచుగా వాడేది ‘నిషిద్ధమధ్య సూత్రం’ (Principle of Excluded Middle). ఇది చాలా వివాదాలకి మూలం కనుక వివరంగా చూద్దాం.

నిషిద్ధమధ్య సూత్రం (Principle of Excluded Middle)

ఏ ప్రతిపాదననయినా తీసుకోండి. అదీ, దాని వ్యతిరేకమూ – రెండిట్లో ఏదో ఒకటే సత్యం, రెండోది అసత్యం. ‘వర్షం కురుస్తున్నది’ అన్నది సత్యమయితే, ‘వర్షం కురవడం లేదు’ అన్నది అసత్యం కావాలి. ఓ సంఖ్యని మరో సంఖ్య నిశ్శేషంగా విభజిస్తుందన్నది సత్యమన్నా కావాలి, అసత్యమన్నా కావాలి. మధ్యేమార్గం లేదు. ఇది అరిస్టాటిల్ కాలం నుండీ వివేచనకి సంబంధించినంత వరకూ అన్ని రంగాలకూ వర్తిస్తుందని అందరూ ఒప్పుకున్న మౌలిక తార్కిక సూత్రం. ఈ సూత్రాన్ని నిరూపించవలసిన అవసరం లేదు – ఇది సహజం గానే వాస్తవమని మనం అంగీకరిస్తాం.

కానీ, బ్రోవర్ దీనిని ప్రశ్నించాడు. అసలు దీనిని మనం ఎందుకు నమ్ముతున్నామో విచారిద్దాం అన్నాడు. ‘S అన్న సమితిలో P గుణం ఉన్న సభ్యురాలు ఉంది’ అన్న ప్రతిపాదనని తీసుకుందాం. ఇది పరిమితమైన సమితి (finite set) అయితే, ఆ సమితిలోని ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించి, S లో P గుణం కలిగి ఒక్కరైనా ఉన్నారా? లేదా, అసలెవరికీ ఆ గుణం లేదా అన్నది నిర్ణయించగలం. అంటే పై ప్రతిపాదన సత్యమో కాదో తెలుసుకోగలం. దీనికి సంబంధించి మధ్యే మార్గం నిషిద్ధమంటే బ్రోవర్ ఒప్పుకుంటాడు. అందుకు కారణం (ఒక్కో సభ్యురాలినీ పరిశీలించగలగడం) ఈ నిరూపణ మార్గం నిర్మాణాత్మకైనది (constructive proof) కావడం.

కానీ, S అనంత సమితి (infinite set) అయితే, మనం ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించే అవకాశం లేదు. P గుణం కలిగిన సభ్యురాలు ఎదురైతే పై ప్రతిపాదన నిజమవుతుంది కానీ ఎదురవకపోతే, మనమే విషయమూ తేల్చలేము, ఎందుకంటే అనంత సమితిలో ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించడం అసాధ్యం.

కాబట్టి అనంత సమితులకి సంబంధించిన కొన్ని ప్రతిపాదనలు సత్యం, అసత్యం కాక మూడో మార్గం – అజ్ఞాతంగా ఉండవచ్చని బ్రోవర్ అభిప్రాయం. అందువల్ల కేంటర్ అనంత సంఖ్యలని గురించి చేసిన చాలా సిద్ధాంతాలని కొట్టివెయ్యాల్సి వస్తుంది! బ్రోవర్ అనేక రకాలైన అనంతాలున్నాయన్న కేంటర్ సిద్ధాంతం మన సహజజ్ఞానానికి విరుద్ధంగా ఉండడంవల్ల హాస్యాస్పదం అన్నాడు. అంతే కాదు, సాంప్రదాయిక గణితంలో అనేక అందమైన నిరూపణాలు కూడా చెల్లవని తీర్మానించాడు. ఇది చాలా మందికి మింగుడుపడలేదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రాన్ని అనంత సమితుల్లో వాడకూడదనడం ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులు టెలిస్కోపునీ, మల్లయుద్ధంలో వస్తాదులు పిడికిలినీ వాడకూడదనడం లాంటిదని హిల్బర్ట్ బ్రోవర్‌ని హేళన చేశాడు.

మనం సాధించలేని సమస్యలున్నాయన్నాడు బ్రోవర్. ఉదాహరణకి, π (పై) విస్తరణలో ఏ అంకె అయినా మిగిలిన అంకెలకన్నా ఎక్కువసార్లు వస్తుందా? దీనికి ఇప్పటికీ సమాధానం తెలియదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రం ప్రకారం దీనికి సమాధానం అవునో, కాదో తెలియాలి. కాని మనకిప్పుడు తెలియదు, ఎప్పటికైనా తెలుసుకోగలమో లేదో తెలియదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రం వాస్తవమయితే, మనకి తెలియని సమస్యలుండవు. కానీ, మనకి తెలియని సమస్యలున్నాయి కనుక, ఈ సూత్రం సార్వత్రికం కాదు అని బ్రోవర్ తీర్మానించాడు. ఇక్కడ బ్రోవర్ చిత్తశుద్ధిని మెచ్చుకోవాలి. పైన స్థిర బిందు సిద్ధాంతం నిరూపించి బ్రోవర్ పేరు గడించాడని తెలుసుకున్నాం. ఆ సిద్ధాంత నిరూపణలో ఇదే నిషిద్ధమధ్య సూత్రాన్ని వాడుకున్నాడు! ఇప్పుడు అది వాడటం తప్పు, ఆ నిరూపణలు వేరే మార్గాల ద్వారా చేస్తే కాని ఆ నిరూపణ వొప్పుకోరాదని అన్నాడు. తను గడించిన ఖ్యాతి వదులుకోడానికి ఏమాత్రం సంకోచించలేదు.

ఈ భావాలు ఎవరో అనామకుడి నుండి వస్తే గణిత శాస్త్రవేత్తలెవరూ పట్టించుకునేవారు కాదు. కానీ, బ్రోవర్ ప్రజ్ఞాపాటవాలున్న గణితశాస్త్రవేత్తగా పేరున్నవాడు. అతనికి తోడుగా మరో పేరున్న గణిత శాస్త్రవేత్త, హిల్బర్ట్ ప్రియ శిష్యుడు అయిన హెర్మన్ వేల్ (Hermann Weyl) జతకూడటంతో అగ్నికి ఆజ్యం పోసినట్లయింది.

గురువుని ధిక్కరించిన శిష్యుడు

గత శతాబ్దంలో మిక్కిలి పేరున్న గణితవేత్తలలో ఒకడు హెర్మన్ వేల్(Hermann Weyl). అతను బహుముఖ ప్రజ్ఞావంతుడు. గణితమే కాక, భౌతిక శాస్త్రం, తత్వశాస్త్రం, కళలని కూడా అధ్యయనం చేశాడు. అతనికి అయిన్‌స్టైన్‌తో పరిచయం ఉంది. వేల్ సాపేక్ష సిద్ధాంతాన్ని సామాన్యప్రజలకి బోధపడేలా రాసిన ఓ పుస్తకం బహుళ ప్రజాదరణ పొందింది. గోటింగెన్ యూనివర్సిటీలో హిల్బర్ట్‌కి అతణ్ణే వారసుడిగా భావించేవాళ్ళు. సైన్సులో సత్యానికీ (Truth), అందానికీ (Beauty) ప్రాముఖ్యత ఇచ్చి, రెండిట్లో ఎన్నుకోవాల్సినప్పుడు అందం వైపే తాను మొగ్గానని చెప్పుకున్నవాడు.

వేల్‌కి అప్పటి గణిత పునాదులని చూస్తే నమ్మకం కలగలేదు. గణితాన్ని ఇసుక పునాదుల మీద నిర్మించిన హర్మ్యంగా అభివర్ణించాడు. గణితానికి పట్టిన దుర్దశని తొలగిస్తే తప్ప ముందుకు వెళ్ళలేమని నిర్ధారించాడు. బ్రోవర్‌తో చెయ్యి కలిపాడు. వేల్‌లో వచ్చిన ఈ మార్పు చూసి హిల్బర్ట్ హతాశుడయ్యాడు.

ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన ఆ ఇద్దరు గణితవేత్తలు గణితంలో ఓ విప్లవమే అవసరం అని తీర్మానించారు. గణితం అంతా తిరగదోడటం మొదలెట్టారు. సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతాలలో ఇమడని గణితం అసలు గణితం కాదన్నారు. మరి చాలా చోట్ల ఉపయోగపడుతుంది కదా అంటే, సరయిన పునాదులు లేని భవనం వదిలెయ్యడమెలా మంచిదో, అలాగే ఆ పాత గణితాన్ని వదిలేయడమే శ్రేయస్కరమన్నారు. కొత్త నిరూపణలు క్లిష్టమయ్యాయి. ఇంతకు ముందున్న అందమైన నిరూపణల స్థానంలో వికారమైన నిరూపణలు వచ్చాయి. మునుపు అరపేజీ ఉండే నిరూపణలు పది పేజీలకి విస్తరించాయి. అందుకు వేల్‌కి కాస్త బాధ కలిగినా, బ్రోవర్ పక్షానే నిలిచాడు.

వీళ్ళిద్దరూ గణితానికి చేస్తున్న హానిని హిల్బర్ట్ సహించలేక పోయాడు. గణితానికి తీరని నష్టం కలుగుతుందని కలతచెంది, ‘పునాదుల సమస్య’ని శాశ్వతంగా పరిష్కరించాలని దీక్ష పూనాడు.

హిల్బర్ట్ ప్రణాళిక – క్రోడీకరణ (Hilbert Program – Formalism)

కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతంతో కొన్ని వైరుధ్యాలొచ్చాయని “అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం” వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. “అన్ని సమితులూ ఉన్న సమితి” లాంటి భావాలను బహిష్కరించడం ద్వారా వాటిని నివారించవచ్చునని హిల్బర్ట్ విశ్వసించాడు. అలాంటి భావనలు లేని గణితం సంపూర్ణమనీ (complete), వైరుధ్యరహితమనీ (consistent) అతను నమ్మాడు. కాని అలాంటి నమ్మకాలు తప్పయిన సందర్భాలు గణిత చరిత్రలో ఉన్నాయి.

గణితపు పునాదులని పరిశోధించడానికి హిల్బర్ట్ వేరే భాష నొకదానిని ప్రతిపాదించాడు. ఆ భాషలో, మనం మాట్లాడుకునే భాషలో లాగానే ఓ పదకోశం (vocabulary) ఉంటుంది. ఈ పదకోశాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్వచించవచ్చు:

1. కొన్ని పదాలు (a list of variables)
2. వాటిని రకరకాలుగా కలపడానికి సంకేతాలు: If … then … అన్నదానిని ⊃తో, మరియు (and) ని ⋀ తో, లేక (or) ⋁ని తో, ఖండించడాన్ని (not) ¬.
3. సమానత్వానికి గుర్తు: =
4. ∀, ∃అని రెండు ప్రత్యేక సంకేతాలు. (∀x) అంటే for all x – సార్వత్రిక రాశివాచకం (universal quantifier). (∃x) అంటే there exists x such that – అస్తిత్వ రాశివాచకం (existential quantifier).
5. గణితశాస్త్రానికి సంబంధించిన మౌలిక భావాల సంకేతాలు: రేఖాగణితమయితే, బిందువు, రేఖ, వాటి సంకేతాలు; సంఖ్యా గణితమయితే, 0, +, x.

పై పదకోశంతో మనం ఓ గణితశాస్త్రాన్ని (రేఖా గణితాన్నో, సంఖ్యా గణితాన్నో) క్రోడీకరించవచ్చు. ఆ గణితశాస్త్రాన్ని T అనీ, దానికి సంబంధించిన భాషని L అనీ పిలుద్దాం. T లోని నిర్వచనాల(definitions)నీ, స్వయంసిద్ధ సూత్రాల(axioms) నీ, సిద్ధాంతాల(theorems)నీ L లో వ్యక్తపరచవచ్చు – పై పదకోశం ద్వారా. అంతే కాదు, T లోని ప్రతి నిరూపణని (proof) కూడా L లో వ్యక్తపరచవచ్చు. (నిరూపణలో ప్రతి మెట్టుకీ వాడే వివేచనా సూత్రాలు కూడా పై పదకోశంతో వ్యక్తీకరించగలం కనుక.)

L లో వ్యక్తపరచేవన్నీ స్పష్టంగా వివిధార్థాలు లేకుండా ఉంటాయి. కానీ, L లో వ్యక్తీకరించినవాటి అర్థం భాషకి సంబంధించినదే కాని గణితపరమైనది కాదు. దీనికో ఉదాహరణ: 2 + 3 = 5 అన్నది T లో రెండు, మూడు కలిపితే అయిదు వస్తుందన్న సంఖ్యాగణిత యదార్థాన్ని తెలిపేది. అదే L లో వ్యక్తీకరించినప్పుడు, ’2 + 3 = 5’ అన్నది కేవలం ఓ వ్యాకరణబద్ధమైన పదసమూహమే కాని అదేదో కూడికకి సంబంధించిన సూత్రమని కాదు! ఈ తేడా స్పష్టమయితే కాని హిల్బర్ట్ ప్రణాళిక అర్థమవదు; కాబట్టి పైది మరో సారి చదవండి.

దీనివలన ఉపయోగమేమిటి? ఆసక్తికరమైన, నలుగురికీ ఉపయోగపడే సిద్ధాంతాలని T లో కన్నా L లోనే కనుగొనగలమా? అంటే ఎంత మాత్రమూ కాదు. నిజానికి L లో గణితపరమైన అర్థంతో మాట్లాడలేం కనుక అది అందుకు పనికిరాదు. మరీ క్రోడీకరణ ఎందుకు?

తెలుగు భాషలో వ్యాకరణ సూత్రాల ప్రకారం వాక్యాలు రాస్తాం. రాముడు, లక్ష్మణుడు బడికి వెళ్ళాడు అన్న వాక్యం తెలుగు భాషలో సాధ్యమా అని ప్రశ్నిస్తే, కాదు అని ఘంటాపథంగా చెప్పగలం. అలాగే, L లో “౦ <> ౦” అన్న పదసమూహం సాధ్యమా? అని ప్రశ్నిస్తే, అవునో కాదో చెప్పగలమా? చెప్పగలం అని హిల్బర్ట్ ఆశ. (మరో సారి T కీ L కీ గల తేడాని గుర్తు తెచ్చుకుందాం: ఆ పద సమూహం అర్థం T లో సున్నా సున్నాకి సమానం కాదు అని. అదే L లో అర్థం తో నిమిత్తం లేకుండా, సంకేతాలతో – 0 తర్వాత <, దాని తర్వాత >, దాని తర్వాత 0 – కూర్చిన ఓ పద సమూహం.)

ఇది చాలా కీలకమైన ప్రశ్న. తెలుగు భాష వ్యాకరణం ప్రకారం పై వాక్యం సాధ్యమో కాదో చెప్పగలిగినట్లే, L లో పై పద సమూహం సాధ్యమో కాదో చెప్పగలమా?

సాధ్యం అని చూపెడితే, T లో గణితశాస్త్రాల ఆధారంగా కూడా 0 <> 0 అని తేలినట్లు! (T సూత్రాలని క్రోడికరిస్తేనే కదా L ఏర్పడింది.) అంటే T లో వైరుధ్యాలున్నాయని నిరూపించినట్లు. సాధ్యం కాదు అని చూపెడితే, T లో 0 <> 0 అసాధ్యం అని నిరూపించినట్లు. అంటే T లో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపించినట్లు.

ఒక వైరుధ్యం లేదని చూపెడితే మరో వైరుధ్యం లేదని నమ్మడమెట్లా? ఒక వైరుధ్యం ఉంటే, ఇక మని పని అయిపోయినట్లే – మనం ఏది కావలంటే అది నిరూపించవచ్చు. (దీని గురించి రస్సెల్ చమత్కారమొకటి చెప్తాను. 1 = 2 అయితే నువ్వూ, పోపూ (Pope) సమానమని చూపెట్టగలవా అని ఎవరో ఒక ప్రశ్న వేశారు. అది చాలా సులభం: పోపూ నేనూ ఇద్దరం. రెండూ ఒకటీ సమానమవడాన, పోపూ నేనూ ఒకటే! అన్నాడట.) గణితంలో ఏ వైరుధ్యమున్నా అది 0 <> 0 అన్న వైరుధ్యానికి దారి తీస్తుంది. ఒక గణితంలో 0 <> 0 అసాధ్యం అని నిరూపిస్తే, ఆ గణితంలో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపించినట్లే!

మరో ముఖ్యమైన నియమం. ఈ నిరూపణకి, సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంత వాదులు వాడే మార్గాలని మాత్రమే వాడాలి. ఆ విధంగా వాళ్ళ నియమాలకి కట్టుబడే, సంఖ్యా గణితం వైరుధ్య రహితమని నిరూపించి, వాళ్ళ నోరు మూయించవచ్చునని హిల్బర్ట్ నమ్మాడు.

దీంట్లో హిల్బర్ట్ విజయవంతుడవుతాడనే అనుకున్నారు. గణితవేత్తలు అప్పటికే తార్కిక గణితంలో ఓ భాగమయిన First Order Predicate Logic ని క్రోడీకరించి, హిల్బర్ట్ ఆశించినట్లు అది వైరుధ్యరహితమని నిరూపించారు. ఇంకొన్నేళ్ళలో సంఖ్యాగణితం కూడా అలాగే వైరుధ్యరహితమని నిరూపించగలరని హిల్బర్ట్‌తో పాటు చాలా మంది నమ్మారు. బ్రోవర్‌కి ఈ ప్రణాళికలో అసలు నమ్మకమే లేదు. హిల్బర్ట్ సఫలీకృతుడయితే కావొచ్చు కాని, ఇది కేవలం గణితాన్ని ఓ ఆటగా మార్చేస్తుందనీ, కోర్టు రుజువు చేసినా చెయ్యకపోయినా, నేరం నేరమే అని బ్రోవర్ వాదించాడు.

హిల్బర్ట్ వ్యక్తిత్వం

సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతవాదులకీ (intuitionists), క్రోడీకరణ వాదులకీ (formalists) మధ్య బహిరంగ యుద్ధం జరిగింది. అప్పుడు ప్రపంచంలో నెలకొని వున్న యుద్ధ వాతావరణం గణిత సమావేశపు ఉపన్యాసాలలో కూడా ప్రతిధ్వనించింది. కానీ హిల్బర్ట్ శాంతి కాముకుడు. నైతిక విలువలకి ప్రాధాన్యత ఇచ్చినవాడు. మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం తెలివితక్కువ అని ప్రకటించాడు. తన దేశమైన జర్మనీని గుడ్డిగా బలపరచలేదు. 1917 లో శత్రుదేశమైన ఫ్రెంచి గణితవేత్త జాఁ గాతోఁ దార్బూ (Jean Gaston Darboux) చనిపోతే స్మారక సందేశాన్ని ప్రచురించాడు. అది చూసి హిల్బర్ట్ ఇంటి ముందు జర్మన్ విద్యార్థులు శత్రుదేశపు గణితవేత్తని శ్లాఘించడం దేశద్రోహమని నిరసిస్తూ ప్రదర్శన చేశారు. ఆగ్రహించిన హిల్బర్ట్, తనకు సంజాయిషీ ఇవ్వకపోతే రాజీనామా చేస్తానని బెదిరించాడు. వాళ్ళు వెంటనే క్షమాపణ కోరుకున్నారు.

యుద్ధ సమయంలో ఎమ్మీ నోయ్‌థర్ (Emmy Noether) అన్న ఓ యువతి గోటింగెన్ లో లెక్చరరుగా ఉద్యోగానికి దరఖాస్తు పెట్టింది. స్త్రీలలో గణనీయమైన గణిత పరిశొధనలు చేసినవారిలో ఈవిడకి ప్రథమ స్థానం ఉంది. జర్మనీలో స్త్రీలకు డాక్టరేట్ ప్రదానం చేసిన మొదటి యూనివర్సిటీ గోటింగెన్. కానీ, అదే యూనివర్సిటీ ఆమెని ఉద్యోగంలోకి తీసుకోడానికి సందేహించింది. “ఓ స్త్రీని ఎలా చేర్చుకుంటాం? ఇప్పుడు లెక్చరరు అయితే, కొన్నాళ్ళకి ప్రొఫెసరు అవుతుంది. ఆ తరువాత యూనివర్సిటీ సెనెట్ లో సభ్యురాలవుతుంది. ఓ స్త్రీకి సెనెట్ లోకి ప్రవేశించే అర్హత ఉందా? యుద్ధం నుండి తిరిగివచ్చే మన విద్యార్థులు, తామొక స్త్రీ దగ్గర పాఠాలు నేర్చుకోవాలంటే ఏమనుకుంటారు?” ఈ విధంగా యూనివర్సిటీ అధికారులు, విద్యావేత్తలు తర్జనభర్జనలు పడ్డారు.

వాళ్ళందరికీ హిల్బర్ట్ “పాఠాలు చెప్పడానికి ఆడయితేనేమిటి, మగయితేనేమిటి? యూనివర్సిటీ స్నానాలగది కాదు గదా!” అని సమాధానం చెప్పాడు. అయినా, యూనివర్సిటీ అధికారులు ఆమెకి ఉద్యోగం ఇవ్వలేదు. ఆ సమస్యని హిల్బర్ట్ తనదైన మార్గంలో సాధించాడు. హిల్బర్ట్ లెక్చర్లు ఇస్తున్నట్లుగా ప్రకటించి, పాఠాలు మాత్రం న్యోటర్ చేతనే చెప్పించాడు అలా రెండేళ్ళు గడిచింతర్వాత యూనివర్సిటీ ఆమెని లెక్చరరుగా తీసుకుంది.

హిల్బర్ట్ అనారోగ్యం

హిల్బర్ట్ వైవాహిక జీవితం సాఫీగా గడిచింది. అతని భార్యే అతని పేపర్లు సాపు రాసేది. దురదృష్టవశాత్తూ వాళ్ళకు కలిగిన ఒకే ఒక కొడుకు మానసికంగా అస్థిమితకు లోనయ్యాడు. ఏ ఉద్యోగంలోనూ స్థిరపడలేకపోయాడు. దయ్యాలూ, భూతాలూ తమ కుటుంబానికి హాని తలపెడుతున్నాయని నానారకాలుగా ఊహించుకునేవాడు. విసిగిపోయిన హిల్బర్ట్ తనకసలు కొడుకే లేడనుకుంటానని విరక్తి చెందాడు. అది హిల్బర్ట్ భార్య కెంతో మనస్తాపం కలగజేసింది. ఉన్న ఒక్క సంతానాన్నీ కాదనలేకపోయింది.

1925 లో హిల్బర్ట్ ఆరోగ్యం క్షీణించింది. మరణానికి దారితీసే “పాండురోగం” (pernicious amnesia – రక్తంలో ఎర్ర కణాలు తక్కువ కావడం) అని డాక్టర్లు నిర్ధారించారు. కొన్ని నెలలకి మించి బ్రతకడన్నారు. హిల్బర్ట్ మాత్రం తనకున్నది మరీ అంత ప్రమాదకరమైన వ్యాధి కాదు, భయపడనవసరం లేదని ఆప్తులతో అనేవాడు.

ఈ వ్యాధికి అప్పుడే అమెరికాలోని సైంటిస్టులు మందు కనుక్కున్నారు. కాని ఆ మందు అందరికీ అందుబాటులో లేదు. హార్వర్డ్ యూనివర్సిటీలో హిల్బర్ట్ ఒకప్పటి విద్యార్థులు ప్రొఫెసర్లుగా ఉన్నారు. వాళ్ళు హిల్బర్ట్‌కి మందు ఇవ్వాలని అక్కడి డాక్టర్లని కోరారు. కాని హార్వర్డ్ చుట్టుపక్కలే అనేకమంది ఆ మందు అందుబాటులో లేక చనిపోతున్నారు. అలాంటప్పుడు ఎక్కడో జర్మనీలో ఉన్న హిల్బర్ట్ కివ్వడం డాక్టర్లకి నైతికమనిపించలేదు.

ఆ లెక్కల ప్రొఫెసర్లలో బాగా పేరున్న జార్జ్ బిర్క్‌హోఫ్ (George Birkhoff) అప్పుడే బెర్నార్డ్ షా నాటకం – The Doctor’s Dilemma చూశాడు. నాటకంలో డాక్టరు ఓ సందిగ్ధంలో పడతాడు: ఎంతోమంది రోగులలో పది మంది రోగులని మాత్రమే మృత్యువు నుండి రక్షించగలిగే అవకాశం ఉంటే ఆ పది మందిని ఎలా ఎన్నుకోవాలి? మానవాళికి వారి విలువని బట్టి ఆ పది మందీని ఎన్నుకోవాలని నాటక రచయిత బెర్నార్డ్ షా సూచన. బిర్క్‌హోఫ్ ఆ నాటకాన్ని ప్రస్తావించి, డాక్టర్లని ఒప్పిస్తే, అప్పుడు డాక్టర్లు ఆ అరుదైన మందుని జర్మనీకి పంపించి హిల్బర్ట్ ని బ్రతికించారు.

అదే సమయంలో గోటింగెన్‌లో క్వాంటమ్ మెకానిక్స్ మీద పరిశోధనలు మొదలయ్యాయి. తరువాత నోబెల్ బహుమతినందుకున్న హైజెన్‌బెర్గ్ (Heisenberg), మ్యాక్స్ బోర్న్ (Max Born) లాంటి పేరున్న శాస్త్రవేత్తలక్కడే ఉన్నారు. వారి విప్లవాత్మక సిద్ధాంతాలకి హిల్బర్ట్ గణితశాస్త్రం అవసరమయింది. అప్పుడే ఫాన్ నోయ్‌మాన్ (Von Neumann) అన్న హంగేరియన్ యువకుడు హిల్బర్ట్ దగ్గర చేరాడు. హిల్బర్ట్‌తో కలసి క్వాంటమ్ మెకానిక్స్ మీదా, గణితపు పునాదుల మీదా పరిశోధనలు చేశాడు. ముందరి వ్యాసాలలో ఫాన్ నోయ్‌మాన్‌ని కంప్యూటర్ యుగానికి పితామహుడిగా ఎందుకు గుర్తిస్తారో తెలుసుకుందాం.

హిట్లర్ అధికారారోహణ

1930 నాటికి హిల్బర్ట్ గోటింగెన్ నుండి రిటైరయ్యాడు. జర్మనీలో ఆర్థికమాంద్యం భరించలేని స్థాయికి చేరింది. 1933లో నాజీలు అధికారంలోకి వొచ్చారు. కొన్ని నెలలలో హిట్లర్ యూదుల వ్యాపారాల్ని బహిష్కరించమనీ, వారిని ప్రభుత్వోద్యోగాలనుండి తీసివెయ్యమనీ ఆదేశించాడు.

యూనివర్సిటీలలో ఎవరు బోధించాలో, బోధించకూడదో నాజీలు నియంత్రించడం మొదలెట్టారు. యూదుల వారసత్వమున్న వాళ్ళందరూ అనుమానాస్పాదులయ్యారు. యూదులు జర్మనీలో ఉండటం వాళ్ళ ప్రాణాలకే ముప్పుతెచ్చే విధంగా తయారయింది. ఒక్కొక్కరే వేరే చోట్లకి వెళ్ళడం మొదలెట్టారు. హిల్బర్ట్ శిష్యుడు వేల్ ‘ఆర్యుడు’ అయినా, అతని భార్య యూదు కావడంతో అక్కడ ఉండటం మంచిది కాదని అమెరికా వచ్చి ప్రిన్స్‌టన్‌లో అయిన్‌స్టైన్‌తో చేరాడు. గ్యోటింగన్ లో చక్కటి గణిత విభాగపు భవన నిర్మాణంలో కీలకపాత్ర వహించిన ప్రొఫెసర్ రిచర్డ్ కూరంట్ ( Richard Courant) ఒకప్పుడు జర్మనీ సైన్యంలో పనిచేసినా, యూదు కావడాన సరయిన గౌరవం లభించక అమెరికా వచ్చాడు. అమెరికాలో Courant Institute అని ఓ గొప్ప గణితశాస్త్ర పరిశోధనా సంస్థని స్థాపించాడు. హిల్బర్ట్ మొదటి పీ. హెచ్.డీ. విద్యార్థి అయిన బ్లూమెన్థాల్‌ని (Otto Blumenthal) పాఠాలు చెప్పకూడదని నిర్దేశించారు. బ్లూమెంథాల్ హాలండ్ పారిపోతే, మ్యాక్స్ బోర్న్‌ తన ప్రొఫెసర్ గిరీ రద్దు చేయగానే ఇంగ్లాండుకి తరలిపోయాడు.

అనూహ్యంగా యూదులయిన శాస్త్రవేత్తలు జర్మనీ వదలి వెళ్ళిపొయ్యారు. ఓ సభలో పక్కనే కూర్చున్న ఒక జర్మన్ మంత్రి హిల్బర్ట్‌ని అడిగాడు: “ఇప్పుడు గోటింగెన్ లో యూదుల పీడ వదిలింది కదా, గణితశాస్త్రం ఎలా ఉంది?” దానికి హిల్బర్ట్ సమాధానం “గోటింగెన్ లో గణితశాస్త్రమా? రూపు లేకుండా మాసిపోయింది!” అని. గణిత, భౌతిక శాస్త్రాల పరిశోధనలో ప్రపంచంలో ఉన్నతస్థాయిని చేరుకున్న గోటింగెన్ గతవైభవాన్ని మరలా అందుకోలేదు.

వయసు పెరిగే కొద్దీ, హిల్బర్ట్ ఆరోగ్యం క్షీణించింది. జ్ఞాపకశక్తి లోపించింది. రెండో ప్రపంచ యుద్ధం మధ్యలో, 1943లో హిల్బర్ట్ మరణించాడు. గణితపు ‘పునాదుల’ గురించి తన ప్రణాళిక పైనున్న ప్రగాఢ నమ్మకానికి సూచనగా ఆయన అన్న “మనం తెలుసుకోవాలి. మనం తెలుసుకుంటాం” మాటలు ఆయన సమాధిని అలంకరించాయి. ఇక బ్రోవర్ విషయానికి వస్తే, కాలం గడచే కొలదీ సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతాలకి అనుచరులు తగ్గినా, బ్రోవర్ చివరిదాకా తన నమ్మకాలని అంటిపెట్టుకునే ఉన్నాడు. 1966 లో, 85 ఏళ్ళ వయసులో, తన ఇంటి ముందే కారు ప్రమాదంలో మరణించాడు.

ముగింపు

ఈ వ్యాసం ముగించేముందు మళ్ళీ కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ నగరాన్ని సందర్శిద్దాం. 1930 లో కోనిగ్స్‌బర్గ్ ప్రజలు హిల్బర్ట్‌ని విశిష్టపౌరుడిగా సత్కరించారు. హిల్బర్ట్ ఆ సందర్భంగా ప్రసంగిస్తూ గణితపు పునాదుల సమస్యలని సాధించగలమన్న అచంచలమైన నమ్మకాన్ని ప్రకటించాడు. ప్రసంగమయిన తర్వాత, హిల్బర్ట్‌ని స్థానిక రేడియో స్టేషన్ కొచ్చి మాట్లాడమన్నారు. మైక్రోఫోన్లూ, రేడియో స్టేషన్లూ అప్పట్లో చాలా కొత్త. హిల్బర్ట్ రేడియోలో ఉత్సాహంగా మాట్లాడాడు:

“తత్వవేత్త కాంటే (Comte) అనంత విశ్వంలోని వస్తు సముదాయాల రసాయన సమ్మేళనాన్ని మానవుడు సాధించలేని సమస్యలకి ఉదాహరణగా ఇచ్చాడు. కానీ మరి కొన్ని ఏళ్ళలోనే మానవుడా రహస్యాన్ని కనుక్కున్నాడు! అసాధ్యమైన సమస్యలని కాంటే కనుక్కోలేకపోవడానికి అసలు కారణం, అవి లేకపోవడమే.”

మైక్రోఫోన్లో చివరన అన్న మాటలు, జర్మన్లో: “Wir müssen wissen. Wir werden wissen.” ఇంగ్లీషులో అర్ధం “We must know. We will know.”

రమారమి అదే సమయంలో కోనిగ్స్‌బర్గ్ లోనే మరో గణితశాస్త్రవేత్తల సమావేశం జరిగింది. అందులో ఓ పాతికేళ్ళ యువకుడు ఓ పేపరు చదివాడు. దాని ప్రాముఖ్యతని అక్కడ ఉన్నవారెవరూ అప్పుడు అర్థం చేసుకోలేదు – ఒక్క ఫాన్ నోయ్‌మన్ తప్ప! ఆ యువకుడి పేరు గోడెల్ (Kurt Gödel). అతని సిద్ధాంతాలు హిల్బర్ట్ ప్రణాళికను చావుదెబ్బ తీశాయి. గోడెల్ హిల్బర్ట్ ప్రణాళికకే కాదు, అలాంటి ఆశయం – సంఖ్యాగణితంలో వైరుధ్యాలున్నాయా లేవా అని కనుక్కునే ఆశయం – ఉన్న మరెవరి ప్రణాళికకయినా అదే గతి పడుతుందన్నాడు. ఊరికే అనడం కాదు, గణితపరంగా నిరూపించాడు. హిల్బర్ట్ కల వమ్ము అయింది. గణిత ప్రపంచం ఒణికిపోయింది. ఆ ప్రకంపనాల నుండి ఆధునిక కంప్యూటర్ ఆవిర్భవించింది. గోడెల్ నిరూపణ గురించి వచ్చే సంచికలో తెలుసుకుందాం.

నేనీ వ్యాసం రాయడానికి ఉపయోగించుకున్నవాటిలో కొన్ని పుస్తకాలు:

1. “Mathematics at Gottingen under the Nazis,” by Saunders Mac Lane. Notices of the American Mathematical Society, Volume 42, Number 10. October 1995. దశాబ్దాలగా పేరు ప్రఖ్యాతులున్న గోటింగెన్ యూనివర్సిటీ అతి కొద్ది కాలంలో నాజీల వశాన పడి తన ప్రతిష్టాత్మక స్థానాన్ని శాశ్వతంగా ఎలా కోల్పోయిందో అప్పడు అక్కడ చదువుకోడానికి వెళ్ళిన అమెరికన్ గణితవేత్త ప్రత్యక్షంగా చూసి గుర్తు చేసుకున్న వివరాలు.
2. “The Mathematician,” by John von Neumann. Published in “Works of the Mind,” Volume 1, Number 1. University of Chicago Press, Chicago, 1947. Pages 180-196. పునాదుల గురించీ, గణితం స్వభావాన్ని గురించి గత శతాబ్దపు మరో గణిత మేధావి ఆలోచనలు.
3. “The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism,” by Ernst Snapper. Mathematics Magazine, Volume 52, Number 4, September 1979. గత శతాబ్దంలో గణితంలో చెలరేగిన మూడు సంక్షోభాలనీ సామాన్యులకి వివరించే రీతిలో రాసిన వ్యాసం.
4. “Hilbert,” by Constance Reid. Springer-Verlag, 1970. ఇది హిల్బర్ట్ సాధికారిక జీవిత చరిత్ర. హిల్బర్ట్ పదో సమస్యని సాధించిన వారిలో ఒకరైన జులియా రాబిన్సన్ ఈ రచయిత్రి చెల్లెలు.
5. “జర్మన్ తత్వవేత్త కాంట్ రచనలు,” వాడ్రేవు చినవీరభద్రుడు అనువాదం. పీకాక్ క్లాసిక్స్, 2008. చెప్పుకోదగ్గ అనువాదం.
6. “The Scientist as Rebel,” by Freeman Dyson. NYRB, New York, 2006. డైసన్ ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి చెందిన గణిత భౌతికశాస్త్రవేత్త. నా వ్యాసంలో ప్రస్తావించిన కొందరు గొప్ప శాస్త్రవేత్తల వలనే ప్రిన్స్‌టన్లోని ఇన్స్టిట్యూట్ ఫర్ అడ్వాన్సెడ్ స్టడీ లో పనిచేశాడు. ఆయన రాసిన వ్యాసాల సంపుటి ఇది. శీర్షిక పేరుతో ఉన్న వ్యాసం మే 1995 లో New York Review of Books లో వెలువడింది. దాంట్లో డైసన్ శాస్త్రవేత్తల గురించి రాస్తూ కొందరు చివరకి reductionism ని ఆశ్రయిస్తారనీ, అంటే అన్నిటికీ సంధానించే ఓ పరమ సిద్ధాంతం కోసం కలలు గంటారనీ, దానితో సృజనత్వం కోల్పోతారనీ, చివరకు విఫలులవుతారనీ, అందుకు అయిన్‌స్టైన్, హిల్బర్ట్ లని ఉదహరించాడు. అక్టోబరులో డైసన్ని తీవ్రంగా ఖండిస్తూ, అమెరికా లో పేరున్న గణితవేత్త, సాండర్స్ మెక్ లేన్ (Saunders Mac Lane) ఆ పత్రికకి ఉత్తరం రాశాడు. హిల్బర్ట్ ని డైసన్ అర్థం చేసుకోలేదనీ, హిల్బర్ట్ ప్రణాళిక లేకుండా, గాడెల్ సిద్ధాంతం లేదు, టూరింగ్ మెషీన్ లేదు, కంప్యూటర్ లేదు, అని విమర్శించాడు. Mac Lane అంతటి వాడు తనని విమర్శించినందుకుకు గర్వపడి ఆ ఉత్తరంలో భాగాన్ని డైసన్ పుస్తకంలో ప్రచురించాడు!
7. “Hilbert to the Rescue,” in “The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing,” by Martin Davis. W. W. Norton and Company, 2000. నా వ్యాస పరంపరకి స్ఫూర్తిదాయకమైన పుస్తకం.
8. “The Honors Class: Hilbert’s Problems and Their Solvers,” by Benjamin H. Yandell. A. K. Peters Ltd. 2002. హిల్బర్ట్ 1900 లో ఇచ్చిన సమస్యలను ఎవరు ఎలా సాధించారో వివరించిన పుస్తకం.
9. “The Ascent of Man,” by Jacob Bronowski. Little, Brown and Company, 1973. BBC వారి కోరికపై సైన్సు పురోగతిని TV ప్రేక్షకులకి పరిచయం చేసిన ప్రోగ్రాంకి ఇది పుస్తకరూపం. ప్రతి ఒక్కరూ చదవదగ్గది. దీంట్లో కొన్ని గోటింగెన్ విశేషాలు కూడా ఉన్నవి.
10. “Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of L. E. J. Brouwer,” Volume 1, “The Dawning Revolution,” Volume 2, “Hope and Disillusion,” by Dirk Van Dalen. Oxford University Press, 1999, 2005. ఇది బ్రోవర్ సాధికారిక జీవిత చరిత్ర.
11. “Intuitionism and Formalism,” by L. E. J. Brouwer. Inaugural address at the University of Amsterdam, read October 14, 1912. Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 37, Number 1, Pages 55-64.
12. “Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann,” by Ioan James. Cambridge University Press, 2004. అరవై మంది గణితవేత్తలని పరిచయం చేసే సంక్షిప్త జీవిత చరిత్రల పుస్తకం.
13. బ్రోవర్ చిత్రం మ్యాక్ ట్యూటర్స్ వెబ్‌పేజీ నుంచి తీసుకోబడింది.