గత శతాబ్దం మొదట్లో ప్రపంచంలోని గణితవేత్తలంతా పెట్టే బేడా సర్దుకుని జర్మనీలో చిన్న యూనివర్సిటీ పట్టణమైన గోటింగెన్ (Göttingen) కి వెళ్ళాలని తహతహలాడేవాళ్ళు. తర్వాత మరో పాతికేళ్ళకి హేమాహేమీలయిన శాస్త్రజ్ఞులు సయితం ప్రాణాలు అరచేతిలో పెట్టుకొని జర్మనీ నుండి పారిపోయారు. గణితవేత్తలు గోటింగెన్ యూనివర్సిటీకి రావడానికి కారకుడు ప్రపంచ ప్రఖ్యాత గణితశాస్త్రవేత్త డేవిడ్ హిల్బర్ట్ అయితే, వాళ్ళు పారిపోవడానికి కారకులు అప్పటి జర్మనీ నియంత అడోల్ఫ్ హిట్లర్, అతనికి సర్వాధికారాలూ కట్టబెట్టిన జర్మన్ ప్రజలు.

డేవిడ్ హిల్బర్ట్
1862-1943

డేవిడ్ హిల్బర్ట్ 1862లో కోనిగ్స్‌బర్గ్ (ఇప్పటి కలినిన్‌గ్రాడ్, రష్యా) నగరంలో పుట్టాడు. నీతిశాస్త్రాన్నీ, విజ్ఞాన శాస్త్రాన్నీ సమన్వయపరచడానికి కృషి చేసిన ప్రముఖ జర్మన్ తత్వవేత్త ఇమాన్యుయల్ కాంట్ (Immanuel Kant) పుట్టింది కూడా కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ లోనే. కాంట్ తరవాత 138 ఏళ్ళకి పుట్టినా, హిల్బర్ట్ కాంట్ వల్ల ఎంతో ప్రభావితుడయ్యాడు. అలాగే హిల్బర్ట్ సిద్ధాంతాలని ఎంతగానో వ్యతిరేకించిన బ్రోవర్ కూడా కాంట్ వల్ల ప్రభావితుడైనవాడే.

(ఒక పిట్టకథ: కోనిగ్స్‌బర్గ్‌(Königsberg) నగరానికి చాలా చరిత్ర ఉంది. కాంట్ గురించి తెలియకముందే నేను కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ గురించి కంప్యూటర్ సైన్సు చదివే మొదటి రోజుల్లో తెలుసుకున్నాను. ఈ నగరం పేరుతో కంప్యూటర్ సైన్సులో కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ వంతెనలు అనే ఒక ఆసక్తికరమైన సమస్య ఉంది. ఈ పట్టణాన్ని ప్రెగోల్ నది రెండు పాయలుగా ప్రవహిస్తూ, మధ్యలో ద్వీపంతో నాలుగు భాగాలుగా విభజించింది. వాటిని కలుపుతూ ఏడు వంతెనలు ఉండేవి. పట్టణ ప్రజలు “దాటిన వంతెన దాటకుండా అన్ని వంతెనలనీ దాటగలమా?” అని ప్రశ్నించుకునేవారు. వందేళ్ళకు పైగా ఆ ప్రశ్నకి సమాధానం తెలియలేదు. 1736లో ఆయ్‌లెర్ (Euler) అన్న గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు “దాటిన వంతెన దాటకుండా అన్ని వంతెనలనీ దాటలేము” అని నిరూపించాడు. అంతేకాదు, దానితో టొపాలజీ (Topology) అన్న ఓ కొత్త గణితశాస్త్రానికి నాంది పలికాడు. ఈ కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ వంతెనల సమస్యని కంప్యూటర్ సైన్సు చదివే వాళ్ళంతా గ్రాఫ్ థియరీలో చదువుకుంటారు.)

హిల్బర్ట్ తండ్రి జడ్జి. తల్లి తాత్విక భావనలు కలది. ప్రతి సంవత్సరం కాంట్ సంస్మరణ రోజున సమాధి దగ్గరకి వెళ్ళినపుడు హిల్బర్ట్‌ని కూడా తీసుకెళ్ళేది. హిల్బర్ట్ కూడా కాంట్ చదివిన ఫ్రీడ్‌రిక్స్‌కొల్లేగ్ గిమ్నాజియుం (Friedrichskolleg Gymnasium, మనం జిమ్నాసియం అంటాం) అనే బడిలోనే చదివాడు. ఆ బడిలో భాష, వ్యాకరణం, కవిత్వం, చరిత్ర – వీటి మీద ఎక్కువ శ్రద్ధ చూపేవాళ్ళు. వీటితో జ్ఞాపకశక్తి, భావ వ్యక్తీకరణ సామర్థ్యం, రసవివేచన, ప్రపంచ జ్ఞానం పెరుగుతాయనీ అప్పటి విద్యాబోధకుల అభిప్రాయం. గిమ్నాజియుంలో ఎక్కువగా లాటిన్, గ్రీకుల మీద దృష్టి సారిస్తూ, చదివిన దానిని బట్టీ వేయించేవాళ్ళు. గణితంలో ఆసక్తి ఉండే హిల్బర్ట్‌కి అది ఏ మాత్రం నచ్చేది కాదు. అందుచేత హిల్బర్ట్ గణితంలో ప్రతిభావంతుడి గానూ, మిగిలినవాటిల్లో పరవాలేదన్నట్టు గానూ గుర్తింపుతో బడి చదువు ముగించి కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో ఉన్న యూనివర్సిటీలో చేరాడు.

హిల్బర్ట్‌కి యూనివర్సిటీ వాతావరణం బడికన్నా చాలా తేడాగా ఉండి, రకరకాల విషయాలని నేర్చుకోడానికి స్వాతంత్ర్యం కలిగించింది. కొడుకు న్యాయశాస్త్రంలో పట్టభద్రుడు కావాలని తండ్రి ఆకాంక్ష. కాని హిల్బర్ట్ అప్పటికే గణితమే తన జీవిత ధ్యేయమని నిర్ణయించుకొన్నాడు. బాల్య స్నేహితుడయిన హెర్మన్ మింకాఫ్‌స్కీ (Hermann Minkowski) కూడా అదే యూనివర్సిటిలో చేరాడు. బాల మేధావి, ఆజన్మాంతమూ హిల్బర్ట్‌కి ప్రాణస్నేహితుడు అయిన మింకాఫ్‌స్కీ గణితం, భౌతికశాస్త్రాలలో గణనీయమైన పరిశోధనలు చేశాడు. వీరిద్దరికీ యూనివర్సిటీలో కొత్తగా చేరిన ప్రొఫెసర్ అడోల్ఫ్ హుర్విట్జ్ (‌Adolf Hurwitz)తో మైత్రి కుదిరింది. ముగ్గురూ కలిసి ప్రతీ సాయంత్రం అయిదు గంటలకి ఓ యాపిల్ చెట్టు దగ్గరికి నడుచుకుంటూ వెళ్ళేవాళ్ళు. అలా నడుస్తూ వాళ్ళు చర్చించని గణితశాస్త్ర విషయాలు లేవు. ఈ చర్చలే హిల్బర్ట్ గణితంలో ఎదగడానికి చాలా దోహదం చేశాయి.

హిల్బర్ట్ డాక్టరేట్ సంపాదించి కోనిగ్స్‌బర్గ్‌ యూనివర్సిటీలోనే లెక్చరరుగా పని చేయడం మొదలుపెట్టాడు. 1888 లో యూరప్ లోని ప్రముఖ గణితవేత్తలని కలవాలని ఉత్సాహంగా బెర్లిన్, పారిస్ నగరాలకెళ్ళి పేరున్న గణితవేత్తలని కలిసి వచ్చాడు. స్థిర సిద్ధాంతం (Invariant Theory) అన్న గణితాంశంలో ఎవరూ సాధించని ఓ సమస్య ఉంది. దానిని అది ప్రతిపాదించిన గణితవేత్త పేరిట ‘గోర్డన్ సమస్య’ అంటారు. గోర్డన్‌ని (Paul Gordan) కలుసుకున్నప్పటి నుండీ ఆ సమస్య హిల్బర్ట్ మనసు నొదిలిపెట్టలేదు. ఆరు నెలల తర్వాత హిల్బర్ట్ ఆ సమస్యని సాధించాడు. హఠాత్తుగా గణిత ప్రపంచమంతా హిల్బర్ట్ పేరు విన్నది. ఈ సమస్యని సాధించిన తీరు సంచలనం కలిగించింది. స్థిర సిద్ధాంతం లోకి వెళ్ళనవసరం లేదు కానీ, ఈ నిరూపణ మార్గాన్ని సరిగా అర్థం చేసుకోవాల్సిన అవసరం ఉంది కనుక దానిని సామాన్య బీజగణితానికి అన్వయించి చెప్తాను.

మనకెవరైనా x, y లతో కూడిన ఓ సమీకరణాన్నిచ్చి, దీనిని సహజ సంఖ్యలతో సాధించవచ్చు అని సిద్ధాంతీకరించారనుకోండి. దానిని నిరూపించడానికి వైరుధ్యాన్ని వాడామనుకోండి. అంటే, అలా సాధించలేకపోతే మనం సంఖ్యాగణితంలో ఓ వైరుధ్యాన్ని (contradiction) ఎదుర్కోవలసి వస్తుంది అని నిరూపిస్తాం. అందువల్ల ఆ సమీకరణాన్ని సాధించవచ్చు అని తీర్మానిస్తాం. ఆ సమీకరణాన్ని సహజ సంఖ్యలతో సాధించి చూపకపోయినా కానీ, అది సాధ్యమేనని నిరూపించాం. గోర్డన్ సమస్యని కూడా హిల్బర్ట్ అలాగే సాధించాడు. కొందరు దీనిని చాలా అందమైన నిరూపణ అని మెచ్చుకుంటే, మరి కొందరు “ఇది గణితం కాదు మతం” (“This is not mathematics; this is theology”)అని ఖండించారు. అలా ఖండించిన వాళ్ళలో ప్రముఖుడు లియోపోల్డ్ క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker). ఇతడే కేంటర్ అనంత సిద్ధాంతాలని కూడా వ్యతిరేకించాడని మునుపటి “అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం” వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. గణితశాస్త్రంలో నిరూపణలు నిర్మాణాత్మకంగా (constructive analysis) ఉండాలని క్రోనెకర్ శాసించాడు. అంటే, పై సమీకరణ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తే, x, y ల విలువలు ఏమిటో చెప్పగలగాలి, లేకపోతే ఆ నిరూపణని ఒప్పుకోకూడదు అని ఆయన వాదన. అడవిలో నిధి ఎక్కడ ఉందో చూపకుండా అది ఉందని నిరూపించడం నిరూపణే కాదనీ, ఆ నిధి స్థానానికి చేరే మార్గం కూడా తెలిపితేనే అది ఉన్నట్లు నిరూపించినట్లని క్రోనెకర్ వాదన. “నా క్లాసులో అందరికంటె తక్కువ వెంట్రుకలున్నవాడు ఒకడున్నాడు – అన్నది సత్యమని నమ్మడానికి, ఎవరికెన్ని వెంట్రుకలున్నాయో కనుక్కోవాల్సిన అవసరం లేదు కదా!” అని హిల్బర్ట్ ప్రతివాదన చేశాడు.

గోటింగెన్‌లో ప్రవేశం

హిల్బర్ట్ తన స్నేహితురాలు కేథె (Käthe Jerosch) ని పెళ్ళి చేసుకొన్నాడు. వాళ్ళకి ఒక అబ్బాయి పుట్టాడు. భార్యాభర్తలిద్దరూ ప్రొద్దున్నే కాఫీ తాగుతూ గణితవేత్తలెవరయినా చనిపోయారా అని కుతూహలంతో పేపర్ చదివేవాళ్ళు. ఎందుకంటే, అప్పట్లో గణితంలో ప్రొఫెసర్‌గా ఉద్యోగం రావాలంటే పనిచేస్తున్న వారెవరైనా మరణిస్తేనే గతి! క్రొనెకర్ చనిపోవడంతో, గోటింగెన్‌లో క్రోనెకర్ పదవిలో హిల్బర్ట్, కోనిగ్స్‌బర్గ్‌లో హిల్బర్ట్ స్థానంలో అతని బాల్య మిత్రుడు మింకాఫ్‌స్కీ చేరడం జరిగింది. 1894 లో హిల్బర్ట్ కుటుంబసమేతంగా గ్యోటింగెన్ చేరాడు. తన ఉద్యోగకాలంలో 69 మందికి పీహెచ్‌.డీ.లని ఇప్పించి 1930 లో రిటైరయి, అక్కడే 1943 లో మరణించాడు.