అన్నట్టు, అకిలీసు ప్రస్తుతానికి గ్రీకు వనిత అనుకుందాం :), గ్రీకు వీరుడు, అనే కన్నా! (తెలుగులో “చేరుతుంది” అని రాసినందుకు). అయినా Achilles క్రాస్ డ్రెస్సర్ అని ఎక్కడో విన్నట్టు గుర్తు.
ఇన్ని విషయాలు చెప్పి, ఆ తర్వాత, “నేనొక సాధారణ పాఠకుణ్ణి” అని అంత వినయంగా అనేశారేవిటీ? ఎవరూ నమ్మరు ఆ మాట. “నేనొక అసాధారణ పాఠకుణ్ణి” అని పెట్టాలి పేరు ఈ వ్యాసానికి, ఇందులో వున్న “అసాధారణ విషయాల” వల్ల. అందుకే నా లాంటి పాఠకుడికి ఇదొక పెద్ద సోదిలా అనిపించి, చాలా బోరు కొట్టింది. కాసిన్ని తెలివితేటలుంటేనే గానీ చదివి, హరాయించుకోలేమనిపించింది కూడా. ఈ తప్పు విశ్వనాథ కవిత ప్రకారం అయితే నాదే. వేలూరి గారి మాటల వల్ల అయితే ఆయనదీ. మొత్తానికి చందమామలో రామాయణం సంక్షిప్తంగా ముద్రించినట్టూ, రేడియోలో సంక్షిప్త శబ్ద చిత్రం విన్నట్టూ, లేడిలా గెంతుకుంటూ, వాక్యాలు వదిలేస్తూ చదవాల్సి వచ్చింది.
– పాఠకుడు
“ద్విభాజక విరోధాభాస” తెలుగు అవొచ్చేమో అనుకుంటే నవ్వొచ్చింది.
కామేశ్వర రావు గారు రాసింది:
అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే”
నాకు తెలిసి, ఇది మాత్రం కరెక్టు కాదు. అట్లా అనిపిస్తుందేమో, కాని కాదు. Do you remember, “Good Scientific Hypotheses Can NOT Be Proven Correct!” ఇది నాది కాదు, ఒక ఫిజిసిస్ట్ ఉవాచ :).
కొడవళ్ళ గారి వ్యాసం చదవాలంటే భయమేసి ఆగాను. కానీ ఈ చర్చ మాత్రం చదివాను. Please Continue.
అన్నట్టు కామేశ్వర రావు గారూ:
ఒకవేళ తాబేలు తానున్న చోటు నుండి అసలు కదలదు మెదలదు అనుకుందాం (కాలం అనే ఒక డైమెన్షన్ దాన్ని ఒక చోట ఉండనీయదు అనుకోండి.) “అకిలీసు” ఒక వేళ పడీ పడీ ఎంతో వేగంగా తిరుగుతుందే అనుకుందాం. అప్పుడు కూడా “అకిలీసు” తాబేలు ను దాటుకుని వెళ్ళే ప్రసక్తే ఉండదు. కాంతి (కాలం) వేగంతో పోటీ పడితే తప్ప అకిలీసు తాబేలును దాటే ప్రసక్తే ఉండదు. ఒక వేళ కాంతి వేగాన్ని గనుక అనుకరిస్తే అకిలీసు తమ మధ్య ఉన్న దూరాన్ని పెరక్కుండా చూసుకోగలదేమో. లేకపోతే తాబేలెప్పుడూ ముందే 🙂 –[“ఎక్కడో ఒక చోట” లాంటి కండీషన్స్ వేరే చెప్పాలా!].
పార్వతి వినాయకుడిని తన చుట్టూ తిరిగి పందెం గెలవమనటానికి ఏదో ఒక కారణం ఉండి ఉండాలి, అవిడకి లెక్కలు వచ్చినా రాకపోయినా! Somehow, Indian Economists are vindicated against their western counterparts who argued in favor of a rapid pace in reforms comes to my mind too.
“ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం.”
అన్నట్టు, ఇది అసత్యం అని ప్రూవ్ చేసినంత మాత్రాన నేను చెప్పిందే సత్యం అవదు కదా! 😉
విప్లవ్
P.S. పదేళ్ళ “ఈ మాట” ప్రజల బుర్రలకు పని పెట్టే యాగాన్ని కొనసాగించాలని కోరుకునే వాళ్ళలో నేనూ ఒకడిని.
మీరు హనుమంతరావు గారు రాసిందే మళ్ళీ రాశారు. కొత్త పాయింటు రాయలేదు.
మీరు, ” రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది.” అని రాశారు. అకిలీసు A నించి B కి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టారు. దాని బదులు అకిలీసు C అనే చోటుకి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టండి. C అనేది B1 ని దాటి వుంది అని కూడా అనండి. అప్పుడూ అకిలీసు తాబేలుని చక్కగా దాటొచ్చు. మీరు ఎప్పుడూ తాబేలు వున్న పాత చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకుంటున్నారు. అలా కాకుండా తాబేలు వుండబోయే కొత్త చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకోండి. అప్పుడు అకిలీసు తప్పకుండా తాబేలుని చేరుకుంటాడు. ఈ సమస్యలో కావల్సినంత గందరగోళం తప్ప కావాల్సిన తర్కం కనిపించడం లేదు.
అయినా ఈ లెక్కలకి అసలు సిద్ధాంతం – “కొంత దూరం వెళ్ళాలంటే, ముందు అందులో సగం దూరం వెళ్ళాలి” అన్న దాంట్లోంచే ఈ గందరగోళం అంతా. అందుకే అబద్ధం ఆడాలి అని జోక్ చేశాను. ఈ గణితం ప్రకారం 50+25+12.25+… అన్నది ఎప్పుడూ 100 కాదు. 100 ని చేరుతుంది (అప్రోచెస్) మాత్రమే. మిగిలిన పాయింట్ల గురించి వేరే కామెంట్లో రాశాను.
మీ చిక్కు ప్రశ్న: అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా? మరి మీరు మమ్మల్ని పోల్చమంటారేం?
ప్రతి నిర్దుష్టమైన భావనా, నిజమో కాదో అయిండాలి, మధ్యే మార్గం లేదు. ఇది అరిస్టాటిల్ సంఖ్యలకే కాదు, మానవ వివేచనకే మౌలికమని చెప్పాడు. ఉదాహరణకి, “సోక్రటీస్ మనిషి,” అన్న భావన నిజమో కాదో అయిండాలి. అటూ ఇటూ కాకుండా మధ్యన మరేదో కాలేదు. దీనిని law of excluded middle అంటారు.
అయితే దీనిని మీరన్నట్లే అందరూ అన్నివేళలా అంగీకరించరు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలని ఖండించినది అందుకే. దీని గురించి వచ్చే సంచికలో వివరిస్తాను.
మీరు చెప్పిందంతా మీరు రాసిన వ్యాసం లోంచే అర్థం అయింది. ఇక్కడ అసలు ప్రశ్న ఇది:
“ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దానికి వ్యతిరేకం సరి అయినది అని ఊహించుకోవడం కరెక్టా అని”
ఇది అన్ని వేళలా సరి పోతుందా? ఇంతకీ సున్నా ప్రధాన సంఖ్యో, అప్రధాన సంఖ్యో చెప్పలేదు మీరు. సున్న కూడా ఒక సహజ సంఖ్యే కదా?
సున్నాని వదిలేసినా, మీరు ఇచ్చిన ఉదాహరణ సంఖ్యలకి సరిపోతుంది. కానీ ఈ పద్ధతి అన్ని విషయాల్లోనూ కరెక్టుగా వుంటుందా? అన్నింటిలోనూ, ఒక విషయమూ, దాని వ్యతిరేకమూ మాత్రమే వుంటాయా? ఒక విషయానికి మూడు విలువలు ఎప్పుడూ వుండవా? అలా వున్నప్పుడు, ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దాని వ్యతిరేకం కరెక్టు ఎలా అవుతుంది?
సూర్యం గారు,
విరోధాభాసలు అర్థం లేనివిగా అనిపించడంలో ఆశ్చర్యమేమీ లేదు. వీటిని నా మాటల్లో వివరించే ప్రయత్నం చేస్తాను (హనుమంతరావుగారికి అభ్యంతరం ఉండదనే ధైర్యంతో).
మొదట అకిలీసు తాబేలు విషయం తీసుకుందాం. మీరు చెప్పినట్టు చూస్తే కచ్చితంగా అకిలీసు తాబేలుని దాటుతుంది, సందేహం లేదు (ఇది మనందరికీ ప్రత్యక్షమైన విషయం కూడాను).
అయితే, మీరు చెప్పినట్టు కాకుండా వేరే రకంగా (ఈ వ్యాసంలో చెప్పినట్టు) ఆలోచిద్దాం. అకిలీసు తాబేలు కన్నా వెనకన ఉంది (అకిలీసు A అన్న చోట, తాబేలు B అన్న చోట). రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది. అప్పుడు తాబేలు B1 దగ్గరకు చేరిందనుకుందాం. అకిలీసు మళ్ళీ Bనుంచి B1కి వెళ్ళాలి. దీనికి మళ్ళీ కొంత సమయం పడుతుంది. ఈ సమయంలో మళ్ళీ తాబేలు B1నుంచి B2కి వెళ్ళిపోతుంది. మళ్ళీ అకిలీసు B1నుంచి B2కి వచ్చేసరికి తాబేలు B2నుంచి B3కి, అకిలీసు B2నుంచి B3కి వచ్చేసరికల్లా తాబేలు B3నించి B4కి… ఇలా సాగుతునే ఉంటుంది. అంచేత అకిలీసు తాబేలుని అసలు చేరుకోలేదు కదా!
ఒకలా చూస్తే సాధ్యమై, మరోలా చూస్తే సాధ్యం కాదనీ అనిపించడమే విరోధాభాస. అంటే వైరుధ్యమున్నట్టు కనిపిస్తుంది, నిజంగా ఉండదు, ఉండడానికి వీల్లేదు. ఈ విరోధాభాస కలగడానికి రెండు కారణాలు: ఒకటి, మన లాజిక్కుకి ఆధారంగా మనం నమ్మిన సూత్రాలు(axioms) తప్పు కావచ్చు. రెండు మన లాజిక్కులో పొరపాటో (లేదా కీలకమైన విషయాన్ని విస్మరించడమో) ఉండవచ్చు.
యీ ఉదాహరణలో, మనం గుర్తించాల్సిన కీలకమైన విషయం B1నుంచి B2కి, B2నుంచి B3కి ఆ శ్రేణీలో వెళ్ళే కొద్దీ, వాటి మధ్యనున్న దూరం తగ్గుతూ పోతుంది. అంతే కాదు, కొంత సేపయ్యాక ఆ దూరం సున్నకి అతిదగ్గరగా వస్తుంది కూడా. అది మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో, అప్పుడు అకిలీసు తాబేలుని చేరుకుంటుందని మనం గుర్తిస్తాం. ఇప్పుడు ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం. కాబట్టి వైరుధ్యం తొలిగిపోయింది. ఇది గణిత పరంగా ఈ విరోధాభాసకి పరిష్కారం. దీనికి మరోలా (తార్కికంగా) కూడా కొంతమంది పరిష్కారం చెప్పారు. అది ప్రస్తుతానికి అనవసరం.
రెండో విరోధాభాస కూడా ఇలాటిదే. అక్కడ కీలకం 50+25+12.25+6.125+3.625+… అన్నది 100కి సమానం అన్న విషయం. కాబట్టి ఆ రకంగా గెంతుతూ ప్రయాణించినా 100 మీటర్లు చేరుకుంటాం.
Proof by contradiction గురించి హనుమంతరావు గారు మళ్ళీ వివరించారు, అర్థమయ్యే ఉంటుంది. ఇందులోని గుర్తుంచుకోవలసిన కీలకమైన అంశం ఏవిటంటే, మన ప్రతిపాదన “సత్య”మైనా అవ్వాలి “అసత్య”మైనా అవ్వాలి. కాబట్టి “సత్యం కాదు” అని నిరూపించినా, “అసత్యం” అని నిరూపించినా ఒకటే. అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే” అని నిరూపించినా ఒకటే.
ఈ వ్యాసం పాఠకులందరికీ ఒక చిక్కు ప్రశ్న 🙂
పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?
నా వ్యాసాలు నచ్చాయని చెప్తే నాకు ప్రోత్సాహం కలుగుతంది. అర్థం కాలేదంటే, ముందు ముందన్నా ఎలా వివరించాలా అని ఆలోచన మొదలయి, అదీ ప్రోత్సాహాన్నే ఇస్తుంది. ఏ స్పందనా లేకపోతే, వీటివలన ఉపయోగమేమన్నా ఉందా అన్న సందేహం కలుగుతుంది. కాబట్టి మీరు మీ అభిప్రాయాలు నిష్కర్షగా చెప్తే లాభమే కాని ఏమాత్రం నష్టం లేదు. విరుద్ధ నిరూపణా విధానం అర్థం చేసుకోవడం అత్యవసరం కాబట్టి మరోసారి వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.
“అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు,” అన్నారు. మళ్ళీ మీరే, “ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది,” అన్నారు. నిజానికి ఈ రెంటికీ విధానంలో తేడా లేదు! రెండిట్లోనూ ఓ ఊహ (assumption) తో మొదలెట్టి ఓ వైరుధ్యాన్ని చేరుకున్నాం కనుక ఆ ఊహ తప్పు అని తీర్మానిస్తున్నాం. మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకమైనదానిని ఊహ గా తీసుకోవడమే ఈ నిరూపణా విధానం.
దీనికి ఓ మంచి ఉదాహరణ ఇస్తాను. అందరూ, ముఖ్యంగా కవులు:-), చదవాల్సిన పుస్తకం, మన రామానుజన్ ప్రతిభ ప్రపంచానికి వెల్లడి చేసిన GH Hardy రాసిన “A Mathematician’s Apology,” లోనిది. నిరూపించి రెండు వేల ఏళ్ళు దాటినా చెక్కు చెదరని అందం, కొత్తదనం కలిగి, అందరికీ సులభంగా అర్థమయే సిద్ధాంత నిరూపణ అని Hardy దీనిని వర్ణించాడు.
సంఖ్యలు రెండు రకాలు: ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers), అప్రధాన సంఖ్యలు (non-prime numbers). ప్రధాన సంఖ్యని అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11. ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యా (ఒకటిని మినహాయించి) కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలని గుణిస్తే వచ్చే ఫలితమే. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5. అంటే ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యనీ కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినా నిశ్శేషంగా విభజిస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా? కాదా? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ఇవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగుతుందా? లేక కొన్ని సంఖ్యల తర్వాత అంతమవుతుందా? అనంతం అని ప్రతిపాదిద్దాం. ఇది నిజమో కాదో నిరూపించడం ఎలా?
అనంతం కాదు అనే ఊహతో మొదలెడదాం. అనంతం కాకపోతే, అన్నిటికన్నాపెద్దదైన ప్రధాన సంఖ్య ఒకటుండి తీరాలి. దానిని P అందాం. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … P తో ఆగిపోతుంది. ఇప్పుడో కొత్త సంఖ్య Q ని తయారుచేద్దాం:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x …x P) + 1
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలనీ హెచ్చించి, ఫలితానికి ఒకటి కలిపితే వచ్చే సంఖ్య Q. ఈ కొత్త సంఖ్య P కంటె పెద్దది; కాని P ప్రధాన సంఖ్యలలో కెల్లా పెద్దది కావడాన, Q ప్రధాన సంఖ్య కాదు. అలాగని Q అప్రధాన సంఖ్య కాదు; ఏ ప్రధాన సంఖ్యా దానిని నిశ్శేషంగా విభజించలేదు – శేషం ఒకటి వస్తుంది కనుక! Q ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, అప్రధాన సంఖ్యా కాదు! అది వైరుధ్యం. ఈ వైరుధ్యానికి దారి తీసినదేమిటి? ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం కాదు అన్న ఊహ. ఆ ఊహే తప్పు. అంటే ఆ ఊహకి వ్యతిరేకమైనది ఒప్పు. అనగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది రుజువయింది!
జనరంజని: మహానటి సావిత్రి గురించి himabindu గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 5:39 pm
ఇంత అపురూపమైన బహుమతిని అందించిన మీకు , ఈమాటకి ధన్యవాదాలు.
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి విప్లవ్ గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 2:25 pm
అన్నట్టు, అకిలీసు ప్రస్తుతానికి గ్రీకు వనిత అనుకుందాం :), గ్రీకు వీరుడు, అనే కన్నా! (తెలుగులో “చేరుతుంది” అని రాసినందుకు). అయినా Achilles క్రాస్ డ్రెస్సర్ అని ఎక్కడో విన్నట్టు గుర్తు.
విప్లవ్
నేనొక సాధారణ పాఠకుణ్ణి గురించి పాఠకుడు గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 12:32 pm
ఇన్ని విషయాలు చెప్పి, ఆ తర్వాత, “నేనొక సాధారణ పాఠకుణ్ణి” అని అంత వినయంగా అనేశారేవిటీ? ఎవరూ నమ్మరు ఆ మాట. “నేనొక అసాధారణ పాఠకుణ్ణి” అని పెట్టాలి పేరు ఈ వ్యాసానికి, ఇందులో వున్న “అసాధారణ విషయాల” వల్ల. అందుకే నా లాంటి పాఠకుడికి ఇదొక పెద్ద సోదిలా అనిపించి, చాలా బోరు కొట్టింది. కాసిన్ని తెలివితేటలుంటేనే గానీ చదివి, హరాయించుకోలేమనిపించింది కూడా. ఈ తప్పు విశ్వనాథ కవిత ప్రకారం అయితే నాదే. వేలూరి గారి మాటల వల్ల అయితే ఆయనదీ. మొత్తానికి చందమామలో రామాయణం సంక్షిప్తంగా ముద్రించినట్టూ, రేడియోలో సంక్షిప్త శబ్ద చిత్రం విన్నట్టూ, లేడిలా గెంతుకుంటూ, వాక్యాలు వదిలేస్తూ చదవాల్సి వచ్చింది.
– పాఠకుడు
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి విప్లవ్ గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 10:36 am
“ద్విభాజక విరోధాభాస” తెలుగు అవొచ్చేమో అనుకుంటే నవ్వొచ్చింది.
కామేశ్వర రావు గారు రాసింది:
నాకు తెలిసి, ఇది మాత్రం కరెక్టు కాదు. అట్లా అనిపిస్తుందేమో, కాని కాదు. Do you remember, “Good Scientific Hypotheses Can NOT Be Proven Correct!” ఇది నాది కాదు, ఒక ఫిజిసిస్ట్ ఉవాచ :).
కొడవళ్ళ గారి వ్యాసం చదవాలంటే భయమేసి ఆగాను. కానీ ఈ చర్చ మాత్రం చదివాను. Please Continue.
అన్నట్టు కామేశ్వర రావు గారూ:
ఒకవేళ తాబేలు తానున్న చోటు నుండి అసలు కదలదు మెదలదు అనుకుందాం (కాలం అనే ఒక డైమెన్షన్ దాన్ని ఒక చోట ఉండనీయదు అనుకోండి.) “అకిలీసు” ఒక వేళ పడీ పడీ ఎంతో వేగంగా తిరుగుతుందే అనుకుందాం. అప్పుడు కూడా “అకిలీసు” తాబేలు ను దాటుకుని వెళ్ళే ప్రసక్తే ఉండదు. కాంతి (కాలం) వేగంతో పోటీ పడితే తప్ప అకిలీసు తాబేలును దాటే ప్రసక్తే ఉండదు. ఒక వేళ కాంతి వేగాన్ని గనుక అనుకరిస్తే అకిలీసు తమ మధ్య ఉన్న దూరాన్ని పెరక్కుండా చూసుకోగలదేమో. లేకపోతే తాబేలెప్పుడూ ముందే 🙂 –[“ఎక్కడో ఒక చోట” లాంటి కండీషన్స్ వేరే చెప్పాలా!].
పార్వతి వినాయకుడిని తన చుట్టూ తిరిగి పందెం గెలవమనటానికి ఏదో ఒక కారణం ఉండి ఉండాలి, అవిడకి లెక్కలు వచ్చినా రాకపోయినా! Somehow, Indian Economists are vindicated against their western counterparts who argued in favor of a rapid pace in reforms comes to my mind too.
“ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం.”
అన్నట్టు, ఇది అసత్యం అని ప్రూవ్ చేసినంత మాత్రాన నేను చెప్పిందే సత్యం అవదు కదా! 😉
విప్లవ్
P.S. పదేళ్ళ “ఈ మాట” ప్రజల బుర్రలకు పని పెట్టే యాగాన్ని కొనసాగించాలని కోరుకునే వాళ్ళలో నేనూ ఒకడిని.
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి సూర్యం గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 10:10 am
కామేశ్వర్రావు గారూ,
మీరు హనుమంతరావు గారు రాసిందే మళ్ళీ రాశారు. కొత్త పాయింటు రాయలేదు.
మీరు, ” రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది.” అని రాశారు. అకిలీసు A నించి B కి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టారు. దాని బదులు అకిలీసు C అనే చోటుకి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టండి. C అనేది B1 ని దాటి వుంది అని కూడా అనండి. అప్పుడూ అకిలీసు తాబేలుని చక్కగా దాటొచ్చు. మీరు ఎప్పుడూ తాబేలు వున్న పాత చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకుంటున్నారు. అలా కాకుండా తాబేలు వుండబోయే కొత్త చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకోండి. అప్పుడు అకిలీసు తప్పకుండా తాబేలుని చేరుకుంటాడు. ఈ సమస్యలో కావల్సినంత గందరగోళం తప్ప కావాల్సిన తర్కం కనిపించడం లేదు.
అయినా ఈ లెక్కలకి అసలు సిద్ధాంతం – “కొంత దూరం వెళ్ళాలంటే, ముందు అందులో సగం దూరం వెళ్ళాలి” అన్న దాంట్లోంచే ఈ గందరగోళం అంతా. అందుకే అబద్ధం ఆడాలి అని జోక్ చేశాను. ఈ గణితం ప్రకారం 50+25+12.25+… అన్నది ఎప్పుడూ 100 కాదు. 100 ని చేరుతుంది (అప్రోచెస్) మాత్రమే. మిగిలిన పాయింట్ల గురించి వేరే కామెంట్లో రాశాను.
మీ చిక్కు ప్రశ్న: అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా? మరి మీరు మమ్మల్ని పోల్చమంటారేం?
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 9:21 am
సూర్యం గారికి,
ప్రతి నిర్దుష్టమైన భావనా, నిజమో కాదో అయిండాలి, మధ్యే మార్గం లేదు. ఇది అరిస్టాటిల్ సంఖ్యలకే కాదు, మానవ వివేచనకే మౌలికమని చెప్పాడు. ఉదాహరణకి, “సోక్రటీస్ మనిషి,” అన్న భావన నిజమో కాదో అయిండాలి. అటూ ఇటూ కాకుండా మధ్యన మరేదో కాలేదు. దీనిని law of excluded middle అంటారు.
అయితే దీనిని మీరన్నట్లే అందరూ అన్నివేళలా అంగీకరించరు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలని ఖండించినది అందుకే. దీని గురించి వచ్చే సంచికలో వివరిస్తాను.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి సూర్యం గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 8:09 am
హనుమంతరావు గారూ,
మీరు చెప్పిందంతా మీరు రాసిన వ్యాసం లోంచే అర్థం అయింది. ఇక్కడ అసలు ప్రశ్న ఇది:
“ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దానికి వ్యతిరేకం సరి అయినది అని ఊహించుకోవడం కరెక్టా అని”
ఇది అన్ని వేళలా సరి పోతుందా? ఇంతకీ సున్నా ప్రధాన సంఖ్యో, అప్రధాన సంఖ్యో చెప్పలేదు మీరు. సున్న కూడా ఒక సహజ సంఖ్యే కదా?
సున్నాని వదిలేసినా, మీరు ఇచ్చిన ఉదాహరణ సంఖ్యలకి సరిపోతుంది. కానీ ఈ పద్ధతి అన్ని విషయాల్లోనూ కరెక్టుగా వుంటుందా? అన్నింటిలోనూ, ఒక విషయమూ, దాని వ్యతిరేకమూ మాత్రమే వుంటాయా? ఒక విషయానికి మూడు విలువలు ఎప్పుడూ వుండవా? అలా వున్నప్పుడు, ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దాని వ్యతిరేకం కరెక్టు ఎలా అవుతుంది?
ఇదీ నా అసలు ప్రశ్న.
– సూర్యం
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి Kameswara Rao గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 4:59 am
సూర్యం గారు,
విరోధాభాసలు అర్థం లేనివిగా అనిపించడంలో ఆశ్చర్యమేమీ లేదు. వీటిని నా మాటల్లో వివరించే ప్రయత్నం చేస్తాను (హనుమంతరావుగారికి అభ్యంతరం ఉండదనే ధైర్యంతో).
మొదట అకిలీసు తాబేలు విషయం తీసుకుందాం. మీరు చెప్పినట్టు చూస్తే కచ్చితంగా అకిలీసు తాబేలుని దాటుతుంది, సందేహం లేదు (ఇది మనందరికీ ప్రత్యక్షమైన విషయం కూడాను).
అయితే, మీరు చెప్పినట్టు కాకుండా వేరే రకంగా (ఈ వ్యాసంలో చెప్పినట్టు) ఆలోచిద్దాం. అకిలీసు తాబేలు కన్నా వెనకన ఉంది (అకిలీసు A అన్న చోట, తాబేలు B అన్న చోట). రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది. అప్పుడు తాబేలు B1 దగ్గరకు చేరిందనుకుందాం. అకిలీసు మళ్ళీ Bనుంచి B1కి వెళ్ళాలి. దీనికి మళ్ళీ కొంత సమయం పడుతుంది. ఈ సమయంలో మళ్ళీ తాబేలు B1నుంచి B2కి వెళ్ళిపోతుంది. మళ్ళీ అకిలీసు B1నుంచి B2కి వచ్చేసరికి తాబేలు B2నుంచి B3కి, అకిలీసు B2నుంచి B3కి వచ్చేసరికల్లా తాబేలు B3నించి B4కి… ఇలా సాగుతునే ఉంటుంది. అంచేత అకిలీసు తాబేలుని అసలు చేరుకోలేదు కదా!
ఒకలా చూస్తే సాధ్యమై, మరోలా చూస్తే సాధ్యం కాదనీ అనిపించడమే విరోధాభాస. అంటే వైరుధ్యమున్నట్టు కనిపిస్తుంది, నిజంగా ఉండదు, ఉండడానికి వీల్లేదు. ఈ విరోధాభాస కలగడానికి రెండు కారణాలు: ఒకటి, మన లాజిక్కుకి ఆధారంగా మనం నమ్మిన సూత్రాలు(axioms) తప్పు కావచ్చు. రెండు మన లాజిక్కులో పొరపాటో (లేదా కీలకమైన విషయాన్ని విస్మరించడమో) ఉండవచ్చు.
యీ ఉదాహరణలో, మనం గుర్తించాల్సిన కీలకమైన విషయం B1నుంచి B2కి, B2నుంచి B3కి ఆ శ్రేణీలో వెళ్ళే కొద్దీ, వాటి మధ్యనున్న దూరం తగ్గుతూ పోతుంది. అంతే కాదు, కొంత సేపయ్యాక ఆ దూరం సున్నకి అతిదగ్గరగా వస్తుంది కూడా. అది మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో, అప్పుడు అకిలీసు తాబేలుని చేరుకుంటుందని మనం గుర్తిస్తాం. ఇప్పుడు ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం. కాబట్టి వైరుధ్యం తొలిగిపోయింది. ఇది గణిత పరంగా ఈ విరోధాభాసకి పరిష్కారం. దీనికి మరోలా (తార్కికంగా) కూడా కొంతమంది పరిష్కారం చెప్పారు. అది ప్రస్తుతానికి అనవసరం.
రెండో విరోధాభాస కూడా ఇలాటిదే. అక్కడ కీలకం 50+25+12.25+6.125+3.625+… అన్నది 100కి సమానం అన్న విషయం. కాబట్టి ఆ రకంగా గెంతుతూ ప్రయాణించినా 100 మీటర్లు చేరుకుంటాం.
Proof by contradiction గురించి హనుమంతరావు గారు మళ్ళీ వివరించారు, అర్థమయ్యే ఉంటుంది. ఇందులోని గుర్తుంచుకోవలసిన కీలకమైన అంశం ఏవిటంటే, మన ప్రతిపాదన “సత్య”మైనా అవ్వాలి “అసత్య”మైనా అవ్వాలి. కాబట్టి “సత్యం కాదు” అని నిరూపించినా, “అసత్యం” అని నిరూపించినా ఒకటే. అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే” అని నిరూపించినా ఒకటే.
ఈ వ్యాసం పాఠకులందరికీ ఒక చిక్కు ప్రశ్న 🙂
పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?
తెలుగు కథల పోటీ గురించి Bhushan గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 2:00 am
కధల పోటీకో, కవితల పోటీకో రాసేవాళ్ళ మనసుల్లో మొదట, ఆ పోటీ నడిపేవాళ్ళు ప్రకటించిన బహుమతులే మెదులుతూవుంటాయి. బహుమతి వొచ్చిన కధలు/కవితలు ఒక్కోసారి బావున్నా, స్వలాభాపేక్ష లేకుండా, సహజంగా రాసినట్టు పాఠకులకి అనిపిస్తుందా? మామూలుగా వొచ్చే పారితోషికం వేరు, బహుమతి వేరు. ఆశాజీవిగారి కవిత బావుంది అని వూరుకోవడంకన్నా, కవితలో చెప్పినట్టు పాఠకులే పోటీసంస్కృతిని రూపుమాపడానికి క్రుషి చెయ్యాలి. – భూషణ్
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారి అభిప్రాయం:
11/19/2008 10:43 pm
Proof by Contradiction
సూర్యం గారికి,
నా వ్యాసాలు నచ్చాయని చెప్తే నాకు ప్రోత్సాహం కలుగుతంది. అర్థం కాలేదంటే, ముందు ముందన్నా ఎలా వివరించాలా అని ఆలోచన మొదలయి, అదీ ప్రోత్సాహాన్నే ఇస్తుంది. ఏ స్పందనా లేకపోతే, వీటివలన ఉపయోగమేమన్నా ఉందా అన్న సందేహం కలుగుతుంది. కాబట్టి మీరు మీ అభిప్రాయాలు నిష్కర్షగా చెప్తే లాభమే కాని ఏమాత్రం నష్టం లేదు. విరుద్ధ నిరూపణా విధానం అర్థం చేసుకోవడం అత్యవసరం కాబట్టి మరోసారి వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.
“అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు,” అన్నారు. మళ్ళీ మీరే, “ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది,” అన్నారు. నిజానికి ఈ రెంటికీ విధానంలో తేడా లేదు! రెండిట్లోనూ ఓ ఊహ (assumption) తో మొదలెట్టి ఓ వైరుధ్యాన్ని చేరుకున్నాం కనుక ఆ ఊహ తప్పు అని తీర్మానిస్తున్నాం. మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకమైనదానిని ఊహ గా తీసుకోవడమే ఈ నిరూపణా విధానం.
దీనికి ఓ మంచి ఉదాహరణ ఇస్తాను. అందరూ, ముఖ్యంగా కవులు:-), చదవాల్సిన పుస్తకం, మన రామానుజన్ ప్రతిభ ప్రపంచానికి వెల్లడి చేసిన GH Hardy రాసిన “A Mathematician’s Apology,” లోనిది. నిరూపించి రెండు వేల ఏళ్ళు దాటినా చెక్కు చెదరని అందం, కొత్తదనం కలిగి, అందరికీ సులభంగా అర్థమయే సిద్ధాంత నిరూపణ అని Hardy దీనిని వర్ణించాడు.
సంఖ్యలు రెండు రకాలు: ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers), అప్రధాన సంఖ్యలు (non-prime numbers). ప్రధాన సంఖ్యని అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11. ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యా (ఒకటిని మినహాయించి) కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలని గుణిస్తే వచ్చే ఫలితమే. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5. అంటే ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యనీ కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినా నిశ్శేషంగా విభజిస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా? కాదా? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ఇవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగుతుందా? లేక కొన్ని సంఖ్యల తర్వాత అంతమవుతుందా? అనంతం అని ప్రతిపాదిద్దాం. ఇది నిజమో కాదో నిరూపించడం ఎలా?
అనంతం కాదు అనే ఊహతో మొదలెడదాం. అనంతం కాకపోతే, అన్నిటికన్నాపెద్దదైన ప్రధాన సంఖ్య ఒకటుండి తీరాలి. దానిని P అందాం. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … P తో ఆగిపోతుంది. ఇప్పుడో కొత్త సంఖ్య Q ని తయారుచేద్దాం:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x …x P) + 1
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలనీ హెచ్చించి, ఫలితానికి ఒకటి కలిపితే వచ్చే సంఖ్య Q. ఈ కొత్త సంఖ్య P కంటె పెద్దది; కాని P ప్రధాన సంఖ్యలలో కెల్లా పెద్దది కావడాన, Q ప్రధాన సంఖ్య కాదు. అలాగని Q అప్రధాన సంఖ్య కాదు; ఏ ప్రధాన సంఖ్యా దానిని నిశ్శేషంగా విభజించలేదు – శేషం ఒకటి వస్తుంది కనుక! Q ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, అప్రధాన సంఖ్యా కాదు! అది వైరుధ్యం. ఈ వైరుధ్యానికి దారి తీసినదేమిటి? ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం కాదు అన్న ఊహ. ఆ ఊహే తప్పు. అంటే ఆ ఊహకి వ్యతిరేకమైనది ఒప్పు. అనగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది రుజువయింది!
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు