చివరలో, “మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో,” అని వాదించి వైరుధ్యం తొలిగిపోయిందన్నారు. అయితే జీనో దీనిని చాలా సులభంగా తిరస్కరిస్తాడు! కొలవడం, కొలవలేకపోవడం అన్నవి తర్కానికి చెందవు.
ఆ మాటని తార్కికంగా కూడా అన్వయించకోవచ్చు అని నా ఉద్దేశం, ఇంగ్లీషులో “tends to zero” అన్నదానికి సమానార్థకంగా. సున్నకి ఎంత దగ్గరగా ఉన్న చిన్న కొలతనిచ్చినా, అంతకన్నా దగ్గరగా ఉందని నిరూపించడమే కదా “tends to zero”కి అర్థం. జీనో అనంత శ్రేణిని గురించి మాట్లాడాడు కాబట్టి అతనిచ్చినది గణిత సంబంధమైన వివరణ. అంచేత దానికి గణితసంబంధమైన పరిష్కారం చూపిస్తే వైరుధ్యం తొలగి పోయినట్టే కదా. ఇందులో ఇంకా తీరని సమస్య ఏవిటి?
పాఠకుడుగోరూ,
అదేటండీ అలాగనీసేరు. సంపాదకులు రాసీవి సాధారణంగా “సప్పగ” వుంటాయి. ఎందుకంటే అవి “ఖాళీలు పూరింపుము” తరహావి కాబట్టి. ఇదలాటిది కాదే? సృజనాత్మక ప్రక్రియని, ఒకరు పావుకేజీ అని నిర్ణయిస్తే, మరొకరు “అబ్బే, ఇది వంద గ్రాములు” అనడం. ఇంకొహరు “అయ్యా! ఇలాటి సృజనని కేజీల్లో తేలుస్తారా? అన్నేయం. ఇది ఎలాటిదంటే, అత్తరు సాయిబు దుగ్ధతో కోట గోడకేసి అత్తరు బుడ్డీని కొడితే, ఆ దెబ్బకి ప్రభువుల వారి దివ్యాశ్వము పరమానంద భరితయై, మోరా, ముందు కాళ్ళు ఎత్తీసి, ప్రభువుల safety గురించి మర్సిపోయి ఆశ్వాదిస్తూ వుంటే, ప్రభువులు కూడా (రసజ్నుడు కాబట్టి, సచ్చేన్రో అని బయపడకుండా) ” సెబాస్” అనడం లాటిది. అలా అనుభూతించాలి తప్ప, తూకం యెయ్యకూడదు” అని నిర్ణయిస్తే? సాధారణ పాఠకులు ” ఏందార్రా నాయనా?” అనుకోరా?
మొన్నా, నిన్నాతోబాటూ ఇయేల కూడా సాధారణ పాఠకులే కదా “ఫలానా సృజనాత్మక ప్రక్రియ” బావుందో లేదో తేల్చుకోలేక నానా హింసా పడీది. వేలూరి వారు చెప్పిన పధ్ధతో, ఇంకోటో ( ఏ రాయైతేనేటి అనుభూతించడానికి) ఒవులైనా తయారు చేస్తే (సాధారణ పాఠకులు చెయ్యలేరు) సాధారణ పాఠకులు నిబ్బరంగా “సాహిత్య సేవనం” సేస్తారు కదా? అదే కదా రాసీవోళ్ళు కూడా కోరుకునీది.
ఈమాట గురించి గురించి jagannnadharao గారి అభిప్రాయం:
ద్విభాజక విరోధాభాస” తెలుగు అవొచ్చేమో అనుకుంటే నవ్వొచ్చింది.
మహరాజులా నవ్వుకోండి! ఈ ప్రజాస్వామ్య స్వతంత్ర భారతదేశంలో ఎవరికి వారు, భాషకి తమకి నచ్చిన నిర్వచనాన్ని ఇచ్చుకొనే స్వాతంత్యం ఉంది 🙂
అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే”
నాకు తెలిసి, ఇది మాత్రం కరెక్టు కాదు. అట్లా అనిపిస్తుందేమో, కాని కాదు. Do you remember, “Good Scientific Hypotheses Can NOT Be Proven Correct!” ఇది నాది కాదు, ఒక ఫిజిసిస్ట్ ఉవాచ :).
నా వ్యాఖ్యలో Proof of Contradiction గురించిన చెప్పిన కీలక అంశాన్ని ఒకసారి (మరోసారి) చదవండి.
అప్పుడు కూడా “అకిలీసు” తాబేలు ను దాటుకుని వెళ్ళే ప్రసక్తే ఉండదు. కాంతి (కాలం) వేగంతో పోటీ పడితే తప్ప అకిలీసు తాబేలును దాటే ప్రసక్తే ఉండదు.
ఇక్కడ మాట్లాడుతున్నది స్థలాన్ని గురించైతే మధ్యలో మీరు కాలాన్ని తెచ్చి మరింత గడబిడ చెయ్యడం భావ్యమా!
అన్నట్టు, అకిలీసు ప్రస్తుతానికి గ్రీకు వనిత అనుకుందాం :), గ్రీకు వీరుడు, అనే కన్నా! (తెలుగులో “చేరుతుంది” అని రాసినందుకు).
బాగా పట్టేరు సుమండీ! లెక్కలపేపరులో స్పెల్లింగు మిస్టేకు దిద్దిన మా లెక్కల మాస్టారు గుర్తుకువచ్చారు 🙂 ఏదైనా, తప్పు తప్పే!
ద్విభాజక విరోధాభాస: సాధ్యమైనంతవరకు ఇంగ్లీషు వాడకూడదు అన్న సదుద్దేశం చాలా వరకు మేలు చేసినా కొన్ని వేళల్లో కీడు చేస్తుందనడానికి ఇది ఓ నిదర్శనమని ఒప్పుకుంటాను.
సున్నా విషయం: పూర్ణ సంఖ్యల్లో ప్రధాన సంఖ్యలు, అప్రధాన సంఖ్యలు, అని చదువుకోండి. సరిపోతుంది.
“పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?” అని కామేశ్వరరావు గారు అడిగిన ప్రశ్నకి మీరు, “అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా?” అన్నారు. గెలీలియో అన్నడా మాట. కేంటర్ వచ్చి అవి రెండూ సమానమేనన్నాడు. వ్యాసంలో ఒకదానికొకటి జత చేసే విధానం మీద ఉదాహరణలతో వివరాలిచ్చాను. దీని గురించి ఎలాంటి సందేహమూ ఉండకూడదు.
“అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది,” అన్నారు. నిజమే. n సహజ సంఖ్య అయితే, అనంత సంఖ్యల (transfinite numbers) తో కూడికలకీ, గుణింతాలకీ కొన్ని ఉదాహరణలు:
א0 + n = א0
א0 x n = א0
א0 + א0 = א0
א0 x א0 = א0
కామేశ్వరరావు గారు చక్కగా విశదీకరించారు. థాంక్స్. కాని వారు చివరలో, “మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో,” అని వాదించి వైరుధ్యం తొలిగిపోయిందన్నారు. అయితే జీనో దీనిని చాలా సులభంగా తిరస్కరిస్తాడు! కొలవడం, కొలవలేకపోవడం అన్నవి తర్కానికి చెందవు.
సూర్యం గారూ, మీరు జీనో పారడాక్స్ లు గందరగోళంగా అర్థం పర్థం లేకుండా ఉన్నాయన్నారు. కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉన్న మాట వాస్తవమే. మీరు ఈ మధ్యన కనుక్కున్న గణిత సూత్రాల మూలంగా సాధించినదీ నిజమే. కాని జీనో వాదనలో తప్పు ఎక్కడ ఉందో మీరు చూప లేదు. నిజానికి అది అంత సులభం కాదు. అతని పారడాక్స్ లు సూక్ష్మం గానూ లోతుగానూ ఉంటాయి.
అనాది నుండి అనంతం గురించిన ఆలోచనలని స్థూలంగా వివరించి కేంటర్ ని ప్రవేశపెట్టాను. జీనో గురించి మరీ లోతుకు పోయే స్థాయి నాకు లేదు. కాని రస్సెల్ మాటలని మననం చేసుకుంటాను:
“In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity’s lack of judgement is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance, by a German professor, who probably never dreamed of any connection between himself and Zeno”
“Although they have often been dismissed as logical nonsense, many attempts have also been made to dispose of them by means of mathematical theorems, such as the theory of convergent series or the theory of sets. In the end, however, the difficulties inherent in his arguments have always come back with a vengeance, for the human mind is so constructed that it can look at a continuum in two ways that are not quite reconcilable.”
అయ్యా చాలా ఆలశ్యంగా ఈ వ్యాఖ్య రాస్తున్నాను. మీ వ్యాసంలో ప్రస్తావించిన విమర్శలతో గాని, విమర్శకులతో గాని ఏ మాత్రమ్ పోలిక లేకపోయినా, ఒక సామాన్య పాఠకుడిగా ఇతర పాఠకులను బుజ్జగిస్తూ, వినయంగా బతిమాలుకుంటూ గత ఏడాది కాలంగా నేను పుస్తక పరిచయాలను మీరు చదివారా? బ్లాగులో రాస్తున్నాను. దయచేసి అవొక్కసారి చూసి మీరు మీ అభిప్రాయం తెలియజేస్తే, అదో పెద్ద రివార్డుగా మురిసిపోతాను.
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి Kameswara Rao గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 11:21 am
ఆ మాటని తార్కికంగా కూడా అన్వయించకోవచ్చు అని నా ఉద్దేశం, ఇంగ్లీషులో “tends to zero” అన్నదానికి సమానార్థకంగా. సున్నకి ఎంత దగ్గరగా ఉన్న చిన్న కొలతనిచ్చినా, అంతకన్నా దగ్గరగా ఉందని నిరూపించడమే కదా “tends to zero”కి అర్థం. జీనో అనంత శ్రేణిని గురించి మాట్లాడాడు కాబట్టి అతనిచ్చినది గణిత సంబంధమైన వివరణ. అంచేత దానికి గణితసంబంధమైన పరిష్కారం చూపిస్తే వైరుధ్యం తొలగి పోయినట్టే కదా. ఇందులో ఇంకా తీరని సమస్య ఏవిటి?
సువర్ణభూమిలో … గురించి baabjeelu గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 8:03 am
ఈ కవిత “ముక్తసరి” పదగ్రస్తవాఁ?
నేనొక సాధారణ పాఠకుణ్ణి గురించి baabjeelu గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 7:30 am
పాఠకుడుగోరూ,
అదేటండీ అలాగనీసేరు. సంపాదకులు రాసీవి సాధారణంగా “సప్పగ” వుంటాయి. ఎందుకంటే అవి “ఖాళీలు పూరింపుము” తరహావి కాబట్టి. ఇదలాటిది కాదే? సృజనాత్మక ప్రక్రియని, ఒకరు పావుకేజీ అని నిర్ణయిస్తే, మరొకరు “అబ్బే, ఇది వంద గ్రాములు” అనడం. ఇంకొహరు “అయ్యా! ఇలాటి సృజనని కేజీల్లో తేలుస్తారా? అన్నేయం. ఇది ఎలాటిదంటే, అత్తరు సాయిబు దుగ్ధతో కోట గోడకేసి అత్తరు బుడ్డీని కొడితే, ఆ దెబ్బకి ప్రభువుల వారి దివ్యాశ్వము పరమానంద భరితయై, మోరా, ముందు కాళ్ళు ఎత్తీసి, ప్రభువుల safety గురించి మర్సిపోయి ఆశ్వాదిస్తూ వుంటే, ప్రభువులు కూడా (రసజ్నుడు కాబట్టి, సచ్చేన్రో అని బయపడకుండా) ” సెబాస్” అనడం లాటిది. అలా అనుభూతించాలి తప్ప, తూకం యెయ్యకూడదు” అని నిర్ణయిస్తే? సాధారణ పాఠకులు ” ఏందార్రా నాయనా?” అనుకోరా?
మొన్నా, నిన్నాతోబాటూ ఇయేల కూడా సాధారణ పాఠకులే కదా “ఫలానా సృజనాత్మక ప్రక్రియ” బావుందో లేదో తేల్చుకోలేక నానా హింసా పడీది. వేలూరి వారు చెప్పిన పధ్ధతో, ఇంకోటో ( ఏ రాయైతేనేటి అనుభూతించడానికి) ఒవులైనా తయారు చేస్తే (సాధారణ పాఠకులు చెయ్యలేరు) సాధారణ పాఠకులు నిబ్బరంగా “సాహిత్య సేవనం” సేస్తారు కదా? అదే కదా రాసీవోళ్ళు కూడా కోరుకునీది.
ఈమాట గురించి గురించి jagannnadharao గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 6:24 am
చాలా బాగుంది.జగన్నాధ రావు.
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 5:51 am
క్రిందటి నా అభిప్రాయంలో, సున్నా విషయం గురించి, ధన సంఖ్యలు (positive integers) అని ఉండాలి, పూర్ణ సంఖ్యలు అని కాదు.
పురూరవ: శ్రవ్య నాటిక గురించి రాఘవ గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 1:18 am
నిజమే. శారదగారి నవ్వు భలే బాగుంది 🙂
జనరంజని: మహానటి సావిత్రి గురించి Mythili గారి అభిప్రాయం:
11/21/2008 12:09 am
This is truly amazing. Many thanks 🙂
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి Kameswara Rao గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 11:42 pm
విప్లవ్ గారు,
మహరాజులా నవ్వుకోండి! ఈ ప్రజాస్వామ్య స్వతంత్ర భారతదేశంలో ఎవరికి వారు, భాషకి తమకి నచ్చిన నిర్వచనాన్ని ఇచ్చుకొనే స్వాతంత్యం ఉంది 🙂
నా వ్యాఖ్యలో Proof of Contradiction గురించిన చెప్పిన కీలక అంశాన్ని ఒకసారి (మరోసారి) చదవండి.
ఇక్కడ మాట్లాడుతున్నది స్థలాన్ని గురించైతే మధ్యలో మీరు కాలాన్ని తెచ్చి మరింత గడబిడ చెయ్యడం భావ్యమా!
బాగా పట్టేరు సుమండీ! లెక్కలపేపరులో స్పెల్లింగు మిస్టేకు దిద్దిన మా లెక్కల మాస్టారు గుర్తుకువచ్చారు 🙂 ఏదైనా, తప్పు తప్పే!
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 11:07 pm
జీనియస్ జీనో
సూర్యం గారికి,
ద్విభాజక విరోధాభాస: సాధ్యమైనంతవరకు ఇంగ్లీషు వాడకూడదు అన్న సదుద్దేశం చాలా వరకు మేలు చేసినా కొన్ని వేళల్లో కీడు చేస్తుందనడానికి ఇది ఓ నిదర్శనమని ఒప్పుకుంటాను.
సున్నా విషయం: పూర్ణ సంఖ్యల్లో ప్రధాన సంఖ్యలు, అప్రధాన సంఖ్యలు, అని చదువుకోండి. సరిపోతుంది.
“పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?” అని కామేశ్వరరావు గారు అడిగిన ప్రశ్నకి మీరు, “అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా?” అన్నారు. గెలీలియో అన్నడా మాట. కేంటర్ వచ్చి అవి రెండూ సమానమేనన్నాడు. వ్యాసంలో ఒకదానికొకటి జత చేసే విధానం మీద ఉదాహరణలతో వివరాలిచ్చాను. దీని గురించి ఎలాంటి సందేహమూ ఉండకూడదు.
“అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది,” అన్నారు. నిజమే. n సహజ సంఖ్య అయితే, అనంత సంఖ్యల (transfinite numbers) తో కూడికలకీ, గుణింతాలకీ కొన్ని ఉదాహరణలు:
א0 + n = א0
א0 x n = א0
א0 + א0 = א0
א0 x א0 = א0
కామేశ్వరరావు గారు చక్కగా విశదీకరించారు. థాంక్స్. కాని వారు చివరలో, “మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో,” అని వాదించి వైరుధ్యం తొలిగిపోయిందన్నారు. అయితే జీనో దీనిని చాలా సులభంగా తిరస్కరిస్తాడు! కొలవడం, కొలవలేకపోవడం అన్నవి తర్కానికి చెందవు.
సూర్యం గారూ, మీరు జీనో పారడాక్స్ లు గందరగోళంగా అర్థం పర్థం లేకుండా ఉన్నాయన్నారు. కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉన్న మాట వాస్తవమే. మీరు ఈ మధ్యన కనుక్కున్న గణిత సూత్రాల మూలంగా సాధించినదీ నిజమే. కాని జీనో వాదనలో తప్పు ఎక్కడ ఉందో మీరు చూప లేదు. నిజానికి అది అంత సులభం కాదు. అతని పారడాక్స్ లు సూక్ష్మం గానూ లోతుగానూ ఉంటాయి.
అనాది నుండి అనంతం గురించిన ఆలోచనలని స్థూలంగా వివరించి కేంటర్ ని ప్రవేశపెట్టాను. జీనో గురించి మరీ లోతుకు పోయే స్థాయి నాకు లేదు. కాని రస్సెల్ మాటలని మననం చేసుకుంటాను:
“In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity’s lack of judgement is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance, by a German professor, who probably never dreamed of any connection between himself and Zeno”
“Although they have often been dismissed as logical nonsense, many attempts have also been made to dispose of them by means of mathematical theorems, such as the theory of convergent series or the theory of sets. In the end, however, the difficulties inherent in his arguments have always come back with a vengeance, for the human mind is so constructed that it can look at a continuum in two ways that are not quite reconcilable.”
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
పుస్తక సమీక్షల గురించి… గురించి రవికుమార్ గారి అభిప్రాయం:
11/20/2008 9:02 pm
అయ్యా చాలా ఆలశ్యంగా ఈ వ్యాఖ్య రాస్తున్నాను. మీ వ్యాసంలో ప్రస్తావించిన విమర్శలతో గాని, విమర్శకులతో గాని ఏ మాత్రమ్ పోలిక లేకపోయినా, ఒక సామాన్య పాఠకుడిగా ఇతర పాఠకులను బుజ్జగిస్తూ, వినయంగా బతిమాలుకుంటూ గత ఏడాది కాలంగా నేను పుస్తక పరిచయాలను మీరు చదివారా? బ్లాగులో రాస్తున్నాను. దయచేసి అవొక్కసారి చూసి మీరు మీ అభిప్రాయం తెలియజేస్తే, అదో పెద్ద రివార్డుగా మురిసిపోతాను.