వివాదంలో రూపొందిన కొత్త బీజగణితం

అనాదిగా భారతీయులు బీజగణితంలోనూ, గ్రీకులు రేఖాగణితంలోనూ ముందుండేవారనీ కిందటి సంచికలో లైబ్నిజ్ వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. యూరోపియన్లు పదిహేనో శతాబ్దందాకా విజ్ఞానాంధకారంలో ఉన్నా బీజ, రేఖా గణితాలు నేర్చుకొని బీజగణితాన్ని రేఖాగణితానికి అన్వయించి ఓ విప్లవం సృష్టించి ముందుకెళ్ళారు. ఆ ఊపుతో యూరప్ ఇక వెనక్కి చూడలేదు. బీజగణితాన్ని మనమందరం చిన్నప్పుడు చదువుకుని ఉంటాము. – పువ్వులెన్ని, తుమ్మెదలెన్ని లాంటి లెక్కల్లో, పువ్వులు X, తుమ్మెదలు Y అనుకొని సమీకరణాలు సాధించి వాటి విలువలు తెలుసుకునే వాళ్ళం. దానికి కొన్ని సూత్రాలు వాడేవాళ్ళం. సంకేతాలు తారుమారయినా తేడా ఉండదని ఒక సూత్రం: (Commutative law) X + Y = Y + X; ఉదా. 2 + 3 = 3 + 2. అలాగే X.Y = Y.X ఉదా. 2 . 3 = 3 . 2. (ఇక్కడ చుక్క గుణకారాని(multiplication)కి గుర్తు. ఆ గుర్తుని తీసేసి రాయడం కూడా మామూలు.)

బూల్ కాలం నాటికి బ్రిటన్ లో కొంతమంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, ముఖ్యంగా జార్జ్ పీకాక్ (George Peacock) లాంటి వారు, బీజగణితం లో వాడే సంకేతాలు-– X, Y, Z, +, . -– (symbols) ఇవి అంకెలకీ, కూడికలకీ, గుణకారాలకీ మాత్రమే వర్తిస్తాయా లేక ఇతరత్రా వేటికైనా వర్తిస్తాయా అని ఆలోచనలో పడ్డారు. అవి అంకెలకే పరిమితం కానవసరం లేదని తేల్చారు. దీనితో బూల్ కి కూడా తర్కంలో సంకేతాలు వాడి వాటి మీద కొన్ని సూత్రాలని ప్రతిపాదించవచ్చనే ఆలోచన వచ్చింది.

దానికి స్ఫూర్తి స్కాటిష్ తత్వవేత్త హామిల్టన్ (Sir William Hamilton, 9th Baronet), గణిత శాస్త్రవేత్త అగస్టస్ డీ మోర్గన్ (Augustus De Morgan)ల మధ్య వచ్చిన వివాదం. డీ మోర్గాన్ బూల్ కి దగ్గర స్నేహితుడు. డీ మోర్గన్ 1806 లో భారత దేశంలో మధురైలో పుట్టాడు. చిన్నప్పుడే ఒక కన్ను పోగొట్టుకున్నందువల్ల తోటిపిల్ల హేళనకి గురయేవాడు. అందువల్ల ఆటపాటల కన్నా చదువులో ఎక్కువగా నిమగ్నమయి ఉండేవాడు. కేంబ్రిడ్జ్ లో ముందు లా చదివాడు. ఇష్టం లేక దానిని వదిలేసి గణితం అధ్యయనం చేసి జార్జ్ పీకాక్ ప్రభావంలో పడ్డాడు. అయితే మతసంబంధమైన అపనమ్మకాల వలన కేంబ్రిడ్జ్, ఆక్స్‌ఫర్డ్ యూనివర్సిటీలలో ఉద్యోగం రాలేదు. (అప్పట్లో ఆ యూనివర్సిటీల్లో క్రైస్తవులు కానివారికి విద్యార్థిగా కానీ, అధ్యాపకుడిగా కానీ ప్రవేశం లేదు.) అప్పుడు కొత్తగా స్థాపించిన లండన్ యూనివర్సిటీ మత ప్రాతిపదికలకి అతీతంగా ఉండేది. 22 ఏళ్ళ డీ మోర్గన్ అందులో గణిత, తర్కశాస్త్ర అధ్యాపకుడిగా చేరాడు.

హామిల్టన్ తర్కం గురించి కొన్ని ప్రతిపాదనలు చేశాడు. అప్పట్లో తర్కశాస్త్రం అరిస్టాటిల్ తరువాత అంతగా అభివృద్ధి చెందలేదు. అప్పట్లో తర్కం సముదాయాల (sets)కి సంబంధించిన నాలుగు రకాల ప్రతిపాదనలకి మాత్రమే పరిమితమై ఉండేది. హామిల్టన్ వీటికి కొన్ని కొత్తవాటిని కలిపి తర్కశాస్త్ర పరిధిని పెంచడానికి పూనుకున్నాడు. కానీ, హామిల్టన్‌కి గణితశాస్త్రమన్నా, గణితశాస్త్రవేత్తలన్నా చిన్నచూపు. అదే సమయంలో డీ మోర్గన్ తర్కశాస్త్ర లక్షణాలని సంకేతాలద్వారా సూత్రీకరించవచ్చని (Quantification of the predicate) చెప్పాడు. ఇది హామిల్టన్ సూత్రీకరించిన దానికి కొంచెం దగ్గరగా ఉంది. హామిల్టన్ వెంటనే డీ మోర్గన్ గ్రంథచౌర్యం చేశాడని వివాదం లేవదీశాడు. (ఈ ఆరోపణలో నిజం లేదని తరువాత ఋజువయింది.) ఈ వివాదాన్ని పక్కనుండి తిలకిస్తున్న బూల్ వీళ్ళిద్దరి ఆలోచనల్లోని మంచి చెడ్డలని బేరీజు వేశాడు.

హామిల్టన్ కి లెక్కలంటే పడకపోయినా, ఆయన ఆలోచనలకి తగినట్లు సముదాయాలని కలపడానికి సమీకరణాలు వాడి ఉండవచ్చు. డీ మోర్గన్ సంకేతాలని తార్కిక ప్రక్రియలకి వాడటం గజిబిజి వ్యవహారం; కాని సముదాయాలకి సంకేతాలని (symbols) వాడి, సముదాయాల సంబంధాలకి సమీకరణాలు వాడవచ్చనే అమోఘమైన ఆలోచన బూల్‌కి వచ్చింది. ఇక వెంటనే దాని గురించి రాయడం మొదలెట్టాడు. అతి వేగంతో కొద్ది నెలలలోనే దీని మీద పుస్తకం, “The Mathematical Analysis of Logic, being an Essay Towards a Calculus,” రాసి 1847 లో ప్రచురించాడు. (ఈ పుస్తకం, డీ మోర్గన్ రాసిన “ఫార్మల్ లాజిక్” (“Formal Logic”) అన్న పుస్తకం ఒకే రోజున ప్రచురించబడింది.) బూల్ తరవాత దానిని తొందరపడి ప్రచురించానని భావించి, 1854లో “An Investigation of the Laws of Thought, on which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities” పేరిట సవరించి తన మాస్టర్‌పీస్ ప్రచురించాడు.

కొన్ని వేల సంవత్సరాలుగా గణితశాస్త్రం అంకెలకీ, ఆకారాలకీ (రేఖాగణితంలో త్రిభుజం, చతురస్రం మొదలైనవి)మాత్రమే పరిమితమై ఉండేది. బీజగణితంలో సంకేతాలు వాడినా అవి సంఖ్యలకే వాడతాం. బూల్ కొత్తగా సంకేతాలని వస్తు సముదాయాలకి వర్తించాడు. ఇదే బూల్ బీజగణితానికి నాంది అయింది. దాని వల్ల ఇంతకు ముందు పరిధిలోకి రాని వాటినెన్నిటిగురించో గణితశాస్త్ర పరంగా ఆలోచించే అవకాశం కలిగింది. ఈ కొత్త గణితాన్ని కనుగొన్నవిధం కూడా ఊహించలేనిది – దానికి స్ఫూర్తి నిచ్చింది సాధారణ వాడుక భాష !

ఆలోచనా సూత్రాలు

లైబ్నిజ్ మానవ వివేచనని యాంత్రికం చెయ్యాలని కలుగన్నాడు. బూల్ దీనిని పరిశీలించిన విధం మనల్ని చకితులని చేస్తుంది. మనం మాట్లాడే భాష మన భావాలని వ్యక్తపరచే వాహిక మాత్రమే కాదు – వివేచనకి సాధనం అన్న విషయం అందరూ అంగీకరిస్తారు. భాషకీ గుణం ఎలా వస్తుందో బూల్ ఆలోచించాడో చూద్దాం.

బీజగణితంలో లాగానే, X, Y లాంటి సంకేతాలని మనం ఆలోచించే వాటికి గుర్తుగా పెట్టుకుందాం. అలాగే, +, – గుర్తుల్ని, భావనలని కలపడానికీ, విడదీయడానికీ, కొత్త భావనలని సృష్టించడానికీ వాడదాం. అందమైన వాళ్ళ వర్గం X అనుకుందాం. అంటే, అందమైన ప్రతివాళ్ళూ X అనే వర్గానికి (class) చెందుతారన్నమాట. అమ్మాయిల వర్గాన్ని Y అందాం. కొందరు X వర్గానికీ, కొందరు Y వర్గానికీ చెందుతారు. కొందరు – అందం, ఆడతనం అన్న రెండు గుణాలూ కలవాళ్ళు – ఈ రెండు వర్గాలకీ చెందుతారు. ఆ వర్గాన్ని, అంటే X, Y వర్గాలు రెంటిలోనూ ఉన్న వాళ్ళ వర్గాన్ని, X.Y అని బూల్ సూచించాడు. ఇక్కడ వాడిన చుక్క గుర్తు సంఖ్యలతో చేసే గుణకారానికి వాడే (X కి బదులు) చుక్క లాంటి గుర్తు. ఒక్కొక్కప్పుడు ఆ గుర్తుని వదిలేసి XY అని రాస్తారు. కానీ, ఇక్కడ చేస్తున్నది గుణకారం కాదు, ఈ వర్గానికీ, ఆ వర్గానికీ చెంది ఉన్న వారిని సూచించడానికి వాడే సంకేతం.

అదే విధంగా, అమ్మాయిల్లో అందమైన వాళ్ళు అన్న వర్గానికి సంకేతం YX. ఈ రెండు వర్గాలూ సమానమే కదా. ఇది ఏ సూత్రాన్ని తెలుపుతుంది? XY = YX. ఇది మనం అంకెలతో చేసే గుణకార సూత్రం – సంకేతాలని తారుమారు చేస్తే తేడా ఉండదన్న (ఉదా: 2 x 3 = 3 x 2)సూత్రం లాంటిదే! దీనిని అంకగణితంలో (Arithmetics) కామ్యుటేటివ్ లా (Commutative Law) అంటారు. కానీ, గుణకారానికీ, దీనికీ ఓ ముఖ్యమైన తేడా ఉంది. Y అమ్మాయిల వర్గాన్ని సూచిస్తే, YY దేనిని సూచిస్తుంది? అమ్మాయిల అమ్మాయిల వర్గం! అమ్మాయిలు, అమ్మాయిలు అన్నా, వట్టి అమ్మాయిలన్నా ఒకటే గదా! అంటే, YY = Y. అంకగణితంలో ఏ సంఖ్యనైనా దానితో హెచ్చిస్తే అదే వస్తుందా? 5 x 5 = 25 కాని 5 కాదు. అయితే ఒక్క క్షణం ఆగండి. 1 x 1 = 1, 0 x 0 = 0! అంటే, కొత్త గణితంలో “0”, “1” అన్న రెండే రెండు సంఖ్యలుంటే అప్పుడు మన బీజగణిత సూత్రాలు ఈ కొత్త గణితానికీ వర్తిస్తాయి!

మనం ఇక్కడ వర్గాల గురించి మాట్లాడుకుంటున్నాం కదా, మరి ఆ సందర్భంలో 0, 1 లకి అర్థం ఏమిటి? బూల్ “0” శూన్య వర్గాన్నీ, “1” విశ్వవర్గాన్నీ సూచిస్తాయన్నాడు. వాటి అర్థం : శూన్య వర్గంలో ఏదీ ఉండదు. విశ్వవర్గంలో ఉండనిదేదీ లేదు. సామాన్య బీజగణితంలో ఉన్న “+”, “-” (కూడిక, తీసివేత) సంకేతాలకి కూడా బూల్ బీజగణితంలో ఇలా అర్థం చెప్పుకోవచ్చు. X+Y వర్గంలో X వర్గం వాళ్ళూ, Y వర్గం వాళ్ళూ అందరూ ఉంటారు. పై ఉదాహరణ ప్రకారం, X+Y వర్గంలో అందమైన వాళ్ళూ, అమ్మాయిలూ ఉంటారు. ఉన్న ప్రతివాళ్ళూ అందమైన వాళ్ళు కాదు, ప్రతివారూ అమ్మాయి కానవసరం లేదు. అమ్మాయైనా అయి ఉండాలి లేదా అందమైనదైనా అయి ఉండాలి. అమ్మాయి కానివారు మాత్రం అందమైన వాళ్ళయి ఉండాలి. సామాన్య గణితంలో లాగానే ఇక్కడా, X, Y లని తారుమారు చెయ్యొచ్చు : X+Y = Y+X. Z పొడవైనవాళ్ళ వర్గాన్ని చూచిస్తే, Y-Z అన్నది పొడుగుకాని అమ్మాయిల వర్గాన్ని సూచిస్తుంది. 1 అన్నది విశ్వ వర్గాన్ని సూచిస్తుంది కనుక, 1 – Y, అమ్మాయిలు కాని వాళ్ళని, అంటే అబ్బాయిలని సూచిస్తుందన్నమాట. అమ్మాయిలూ, అమ్మాయిలు కాని వాళ్ళూ, అంటే, Y + (1-Y) ఎవర్నిసూచిస్తుంది? అందర్నీ, అంటే విశ్వవర్గాన్ని సూచిస్తుంది. Y + (1-Y) = 1 అంటే, అందరూ ఉన్న వర్గం. ఈ సమీకరణాన్ని మనం మామూలు బీజగణితంలో సాధించినట్లే (Y నీ -Y నీ ఒకదాన్నొకటి కొట్టెయ్యడం) గమనించండి.

ఇంకొక్కసారి YY = Y అన్న సమీకరణాన్ని చూద్దాం. దీనినే Y – YY = 0 అనీ Y (1-Y) = 0 అనీ రాయొచ్చు. దీని అర్థం ఏమిటి? Y వర్గానికీ, (1 – Y) వర్గానికీ (అంటే రెండు వర్గాలకీ) చెందినవి శూన్య వర్గం లోనివి – అంటే ఏమీలేని వర్గం. (1 – Y) వర్గానికి చెందడం అంటే, Y వర్గానికి చెందకపోవడం. Y వర్గానికి చెందినదీ, అదే వర్గానికి చెందనిదీ అంటూ ఎక్కడా ఉండదు, అని YY = Y సమీకరణం అర్థం. ఇది బూల్ కి గొప్ప ఉత్సాహాన్నిచ్చింది. ఎందుకంటే అరిస్టాటిల్ తత్వశాస్త్రంలోకెల్లా ముఖ్యమైనదంటూ ప్రతిపాదించిన ప్రాథమిక సూత్రం ఇదే – ఏదయినా ఓ గుణాన్ని పొందీ పొందకపోవడం అసంభవం, అటో ఇటో తేలాలి. దీనినే “వైరుధ్య నియమం” (Principle of Contradiction) అంటారు. బూల్ తన సూత్రాలతో దానినే నిర్థారించాడు.

శాస్త్రజ్ఞులు కొత్త సిద్ధాంతాలు చేసినప్పుడు వాటిని ఉపయోగించి అంతకు ముందే సర్వత్రా అంగీకరీంచిన సిద్ధాంతాలని ఋజువు చేస్తే ఆ సిద్ధాంతం మీద గురి పెరుగుతుంది. అది కనుక్కున్న వాళ్ళకి ఉత్సాహమూ, ప్రోత్సాహమూ కలుగుతాయి. అరిస్టాటిల్ నియమాన్ని తన సిద్ధాంతం సులభంగా ఋజువు చేసినందుకు బూల్ ఎగిరి గంతేసి ఉండాలి.

అరిస్టాటిల్ కాలం నుంచీ తర్కంలో పెద్ద మార్పేమీ లేదు. దానినే అందరూ శిరోధార్యమన్నారు. బూల్ వచ్చి అరిస్టాటిల్ తర్కమంతా ఈ కొత్త బీజగణితంలో ఓ చిన్న భాగం మాత్రమేనని నిరూపించాడు. ఉదాహరణకి, “మానవులు మర్త్యులు”, “సోక్రటిస్ మానవుడు”, “కావున సోక్రటీస్ మర్త్యుడు” అన్న తర్కవాదం ( syllogism )మనందరికీ తెలుసు. ఇప్పుడు దీనిని బూల్ గణితంలో సులభంగా సమీకరణాల ద్వారా నిరూపిద్దాం. మానవుల వర్గాన్ని X, మర్త్యుల వర్గాన్నిY అందాం. X లోని ప్రతిదీ Y లో ఉంటుంది. అంటే X లో ఉండి Y లో లేనిదేదీ లేదు : X (1-Y) = 0. దానిని విస్తరించి రాస్తే, X –XY = 0 లేదా X = XY అని రాయొచ్చు. సోక్రటీస్ వర్గాన్ని Z అందాం. X మానవ వర్గాన్ని సూచిస్తుంది కనుక, 1 – X అన్నది మానవులు కాని వర్గాన్ని సూచిస్తుంది. సోక్రటీస్ ఆవర్గానికి చెందడు కనుక, Z (1-X) = 0. దానిని విస్తరిస్తే, Z – ZX = 0, లేదా, Z = ZX అవుతుంది. పైన, X = XY అని చూపించాం, X బదులు XY రాస్తే, Z = ZXY = (ZX)Y = ZY అవుతుంది. దీనినే Z(1-Y) = 0, అంటే సోక్రటిస్ మర్త్యులు కాని వర్గానికి చెందడు, సోక్రటీస్ మర్త్యుడు అని నిరూపించాం! “ఇది డొంక తిరుగుడుగా ఉందే!” అని మీకనిపించవచ్చు. కానీ, తర్క సంబంధమైన విషయాలని బీజగణితంలో లాగా సమీకరణాల ద్వారా సాధించగలిగాం. అందుకు కొన్ని సూత్రాలని వాడుకున్నాం. ఈ సూత్రాలని ఇంకా ఎన్నో క్లిష్టమైన సమస్యలని యంత్రబద్ధంగా సాధించడానికి వాడుకోవచ్చు. అదీ బూల్ గణితంలోని మహత్తు!

వర్గాలతో సాధించినదాన్నే, బూల్ ప్రతిపాదనలకి గూడా వర్తించాడు. వర్గాలలో 0, 1 లు వరుసగా శూన్య, విశ్వ వర్గాలనిసూచిస్తే, ప్రతిపాదనలలో 1, 0 వరుసగా సత్య, అసత్యాలని సూచిస్తాయి. ప్రతిపాదన X నిజమయితే దానిని X = 1 అనీ, కాకపోతే X = 0 అనీ సమీకరణాలని వాడి రాయచ్చు. X.Y (అంటే X AND Y), లేక చుక్కగుర్తుని వదిలేస్తే వచ్చే, XY ప్రతిపాదన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది? X, Y, రెండూ నిజమయినప్పుడే కదా! అంటే, 0.0 = 0 ; 1.0 = 0 ; 0.1 = 0 ; 1.1 = 1. ఇది అంకగణితంలోని గుణకారం లా ఉందని గ్రహించండి. అలాగే, X+Y (అంటే X లేదా Y) అన్న ప్రతిపాదన ఎప్పుడు నిజమవుతుంది? X, Y – రెండు ప్రతిపాదనలలో ఏ ఒక్కటి నిజమయినా చాలు, X + Y నిజమవుతుంది: 0 + 0 = 0 ; 1 + 0 = 1 ; 0 + 1 = 1 ; 1 + 1 = 1. ఇది అంకగణితంలోని కూడికలా ఉంది. 1 + 1 = 1, అన్నది మాత్రం కొత్తగా ఉంది. అయితే, 1 సత్యాన్ని సూచిస్తుందనీ, సత్యం + సత్యం = సత్యం అన్నది సబబేనని ఒప్పుకుంటాం.

ఒక ప్రతిపాదన X నిజమయితే, దానిమీద ఆధారపడిన వేరే ప్రతిపాదన Y కూడా నిజమయితే (X నిజమయితే Y నిజం – if X then Y అన్నదాన్ని) X(1-Y)=0 అని సూచించవచ్చు. దీనిని ఇలా అర్థం చేసుకోవచ్చు: X సత్యమయి, Y అసత్యమవడం అన్నది అసత్యం – X సత్యమయితే, Y కూడా సత్యం కావాల్సిందే.

ఈ సూత్రాలతో వివేచనని, కనీసం కొన్ని సందర్భాలలోనయినా, సమీకరణాలని సాధించినట్లుగా యాంత్రికంగా చెయ్యొచ్చు. ఉదాహరణకి, “మబ్బులు క్రమ్మితే వర్షం పడుతుంది”, “వర్షం పడితే గొడుగు అవసరం” అన్న ప్రతిపాదనలని తీసుకుందాం. మబ్బులు క్రమ్మడాన్ని X గా, వర్షం పడటాన్ని Y గా, గొడుగు అవసరాన్ని Z గా గుర్తించుదాం. అప్పుడీ ప్రతిపాదనలని X(1-Y) = 0, Y(1-Z) = 0 సమీకరణాలగా రాయొచ్చు. మబ్బులు క్రమ్మాయన్నది నిజమని మనకు తెలిస్తే, X=1. దానిని మొదటి సమీకరణంలో X బదులుగా వాడి Y=1 అనీ, దానిని రెండో సమీకరణంలో Y బదులుగా వాడి, Z=1 అనీ సులభంగా చూపెట్టవచ్చు. అంటే గొడుగు అవసరం అని తేల్చాము!

ఈ చిన్న ఉదాహరణలు డొంకతిరుగుడుగా అనిపించినా, వివేచనని సమీకరణాలతో సాధించడమన్నది విప్లవాత్మకమైన విషయం. ఈ కొత్త గణితాన్ని సంకీర్ణమైన వివేచనకి కూడా అన్వయించవచ్చునన్న ఆశ శాస్త్రజ్ఞులకి కలిగించింది. కానీ, బూల్ పుస్తకంలో ఎక్కడా కంప్యూటింగ్ యంత్రాల ప్రసక్తే లేదు. బూల్ సమకాలికుడైన బాబేజ్‌ బూల్ గణిత ప్రాముఖ్యాన్ని గుర్తించాడు కానీ, అది కంప్యూటింగ్‌కి ఎలా పనికొస్తుందో గ్రహించలేదు. తరువాత కొన్నేళ్ళకి బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ (Bertrand Russell)ఇది ప్యూర్ మేథమేటిక్స్ (Pure Mathematics) కి నాంది పలికిందని బూల్‌ని కొనియాడాడు. బూల్ చనిపోయిన డెబ్భై ఏళ్ళకి “క్లాడ్ షానన్” అనే ఓ అమెరికన్ ఇంజనీరింగ్ విద్యార్థి పుణ్యమా అని ఈ కొత్త గణితాన్ని నిత్యజీవితంలో వాడటం మొదలెట్టాం.