సూర్యం గారు,
విరోధాభాసలు అర్థం లేనివిగా అనిపించడంలో ఆశ్చర్యమేమీ లేదు. వీటిని నా మాటల్లో వివరించే ప్రయత్నం చేస్తాను (హనుమంతరావుగారికి అభ్యంతరం ఉండదనే ధైర్యంతో).
మొదట అకిలీసు తాబేలు విషయం తీసుకుందాం. మీరు చెప్పినట్టు చూస్తే కచ్చితంగా అకిలీసు తాబేలుని దాటుతుంది, సందేహం లేదు (ఇది మనందరికీ ప్రత్యక్షమైన విషయం కూడాను).
అయితే, మీరు చెప్పినట్టు కాకుండా వేరే రకంగా (ఈ వ్యాసంలో చెప్పినట్టు) ఆలోచిద్దాం. అకిలీసు తాబేలు కన్నా వెనకన ఉంది (అకిలీసు A అన్న చోట, తాబేలు B అన్న చోట). రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది. అప్పుడు తాబేలు B1 దగ్గరకు చేరిందనుకుందాం. అకిలీసు మళ్ళీ Bనుంచి B1కి వెళ్ళాలి. దీనికి మళ్ళీ కొంత సమయం పడుతుంది. ఈ సమయంలో మళ్ళీ తాబేలు B1నుంచి B2కి వెళ్ళిపోతుంది. మళ్ళీ అకిలీసు B1నుంచి B2కి వచ్చేసరికి తాబేలు B2నుంచి B3కి, అకిలీసు B2నుంచి B3కి వచ్చేసరికల్లా తాబేలు B3నించి B4కి… ఇలా సాగుతునే ఉంటుంది. అంచేత అకిలీసు తాబేలుని అసలు చేరుకోలేదు కదా!
ఒకలా చూస్తే సాధ్యమై, మరోలా చూస్తే సాధ్యం కాదనీ అనిపించడమే విరోధాభాస. అంటే వైరుధ్యమున్నట్టు కనిపిస్తుంది, నిజంగా ఉండదు, ఉండడానికి వీల్లేదు. ఈ విరోధాభాస కలగడానికి రెండు కారణాలు: ఒకటి, మన లాజిక్కుకి ఆధారంగా మనం నమ్మిన సూత్రాలు(axioms) తప్పు కావచ్చు. రెండు మన లాజిక్కులో పొరపాటో (లేదా కీలకమైన విషయాన్ని విస్మరించడమో) ఉండవచ్చు.
యీ ఉదాహరణలో, మనం గుర్తించాల్సిన కీలకమైన విషయం B1నుంచి B2కి, B2నుంచి B3కి ఆ శ్రేణీలో వెళ్ళే కొద్దీ, వాటి మధ్యనున్న దూరం తగ్గుతూ పోతుంది. అంతే కాదు, కొంత సేపయ్యాక ఆ దూరం సున్నకి అతిదగ్గరగా వస్తుంది కూడా. అది మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో, అప్పుడు అకిలీసు తాబేలుని చేరుకుంటుందని మనం గుర్తిస్తాం. ఇప్పుడు ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం. కాబట్టి వైరుధ్యం తొలిగిపోయింది. ఇది గణిత పరంగా ఈ విరోధాభాసకి పరిష్కారం. దీనికి మరోలా (తార్కికంగా) కూడా కొంతమంది పరిష్కారం చెప్పారు. అది ప్రస్తుతానికి అనవసరం.
రెండో విరోధాభాస కూడా ఇలాటిదే. అక్కడ కీలకం 50+25+12.25+6.125+3.625+… అన్నది 100కి సమానం అన్న విషయం. కాబట్టి ఆ రకంగా గెంతుతూ ప్రయాణించినా 100 మీటర్లు చేరుకుంటాం.
Proof by contradiction గురించి హనుమంతరావు గారు మళ్ళీ వివరించారు, అర్థమయ్యే ఉంటుంది. ఇందులోని గుర్తుంచుకోవలసిన కీలకమైన అంశం ఏవిటంటే, మన ప్రతిపాదన “సత్య”మైనా అవ్వాలి “అసత్య”మైనా అవ్వాలి. కాబట్టి “సత్యం కాదు” అని నిరూపించినా, “అసత్యం” అని నిరూపించినా ఒకటే. అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే” అని నిరూపించినా ఒకటే.
ఈ వ్యాసం పాఠకులందరికీ ఒక చిక్కు ప్రశ్న 🙂
పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?
నా వ్యాసాలు నచ్చాయని చెప్తే నాకు ప్రోత్సాహం కలుగుతంది. అర్థం కాలేదంటే, ముందు ముందన్నా ఎలా వివరించాలా అని ఆలోచన మొదలయి, అదీ ప్రోత్సాహాన్నే ఇస్తుంది. ఏ స్పందనా లేకపోతే, వీటివలన ఉపయోగమేమన్నా ఉందా అన్న సందేహం కలుగుతుంది. కాబట్టి మీరు మీ అభిప్రాయాలు నిష్కర్షగా చెప్తే లాభమే కాని ఏమాత్రం నష్టం లేదు. విరుద్ధ నిరూపణా విధానం అర్థం చేసుకోవడం అత్యవసరం కాబట్టి మరోసారి వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.
“అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు,” అన్నారు. మళ్ళీ మీరే, “ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది,” అన్నారు. నిజానికి ఈ రెంటికీ విధానంలో తేడా లేదు! రెండిట్లోనూ ఓ ఊహ (assumption) తో మొదలెట్టి ఓ వైరుధ్యాన్ని చేరుకున్నాం కనుక ఆ ఊహ తప్పు అని తీర్మానిస్తున్నాం. మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకమైనదానిని ఊహ గా తీసుకోవడమే ఈ నిరూపణా విధానం.
దీనికి ఓ మంచి ఉదాహరణ ఇస్తాను. అందరూ, ముఖ్యంగా కవులు:-), చదవాల్సిన పుస్తకం, మన రామానుజన్ ప్రతిభ ప్రపంచానికి వెల్లడి చేసిన GH Hardy రాసిన “A Mathematician’s Apology,” లోనిది. నిరూపించి రెండు వేల ఏళ్ళు దాటినా చెక్కు చెదరని అందం, కొత్తదనం కలిగి, అందరికీ సులభంగా అర్థమయే సిద్ధాంత నిరూపణ అని Hardy దీనిని వర్ణించాడు.
సంఖ్యలు రెండు రకాలు: ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers), అప్రధాన సంఖ్యలు (non-prime numbers). ప్రధాన సంఖ్యని అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11. ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యా (ఒకటిని మినహాయించి) కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలని గుణిస్తే వచ్చే ఫలితమే. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5. అంటే ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యనీ కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినా నిశ్శేషంగా విభజిస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా? కాదా? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ఇవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగుతుందా? లేక కొన్ని సంఖ్యల తర్వాత అంతమవుతుందా? అనంతం అని ప్రతిపాదిద్దాం. ఇది నిజమో కాదో నిరూపించడం ఎలా?
అనంతం కాదు అనే ఊహతో మొదలెడదాం. అనంతం కాకపోతే, అన్నిటికన్నాపెద్దదైన ప్రధాన సంఖ్య ఒకటుండి తీరాలి. దానిని P అందాం. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … P తో ఆగిపోతుంది. ఇప్పుడో కొత్త సంఖ్య Q ని తయారుచేద్దాం:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x …x P) + 1
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలనీ హెచ్చించి, ఫలితానికి ఒకటి కలిపితే వచ్చే సంఖ్య Q. ఈ కొత్త సంఖ్య P కంటె పెద్దది; కాని P ప్రధాన సంఖ్యలలో కెల్లా పెద్దది కావడాన, Q ప్రధాన సంఖ్య కాదు. అలాగని Q అప్రధాన సంఖ్య కాదు; ఏ ప్రధాన సంఖ్యా దానిని నిశ్శేషంగా విభజించలేదు – శేషం ఒకటి వస్తుంది కనుక! Q ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, అప్రధాన సంఖ్యా కాదు! అది వైరుధ్యం. ఈ వైరుధ్యానికి దారి తీసినదేమిటి? ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం కాదు అన్న ఊహ. ఆ ఊహే తప్పు. అంటే ఆ ఊహకి వ్యతిరేకమైనది ఒప్పు. అనగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది రుజువయింది!
మీ ఆక్రోశం బావుంది. కవితావేదనా నచ్చింది. కథల పోటీల ద్వారా మంచి కథలొస్తాయో లేదో తెలీదు. కొత్త కథకులు పుడతారో లేదో తెలీదు. సాహిత్యానికి ఏం ఒరిగినా, ఒరగక పోయినా పత్రికలకి ఏడాదికి సరిపడా ముడిసరుకు లభిస్తుంది. కథలకోసం ఎవరి వెంటా పడనవసరం లేదు. పాతికేళ్ళ క్రితం నాటి ( 1970 – 80 ల మధ్యకాలం ) నాటి కథలపోటీలకీ, ఇప్పటి కథల పోటీలకీ, కథల పరంగానూ, బహుమతులు పంచే తీరులోనూ చాలా తేడా ఉంది. కథల నాణ్యత పడిపోయినంత వేగంగానూ ఇవన్నీ పడిపోయాయి.
చాలా కాలం నాటి మాట. ఆంధ్రప్రభలో చివుకుల పురుషోత్తం ” ఏది పాపం?” నవలకి మొదటి బహుమతి ఇస్తే అది ప్రధమ బహుమతికి ఎంపిక ఎందుకు చేసారో మూడు పేజీల సమీక్ష రాసారు. అదే ఆంధ్రప్రభ ( యాజమాన్యం మారారులెండి ) రెండేళ్ళ క్రితం కథల పోటీలో బహుమతిచ్చిన కథలు నాసిరకం కన్నా హీనంగా ఉన్నాయి. పైగా పేరుమోసిన రచయిత ( త్రు ) లూ (అందులో ఒకరు కేంద్ర సాహిత్య అకాడమీ అవార్డు గ్రహీత కూడా ) ఆ పోటీకి గుణనిర్ణేతలు. వచ్చిన చెత్తలోంచి మంచి చెత్తని ఏరి మనముందు పోసారంతే! ఆ కథల్లో కథనం లేదు. శిల్పం లేదు. పాత్రోచితం అంతకన్నా లేదు. కేవలం వస్తువు ఆధారంగా బహు”మతులు” ఇచ్చారు. దళిత పీడిత కథకొకటీ, స్త్రీల సమస్యలకొకటీ, ప్రాంతీయతత్వానికొకటీ, గ్లోబలైజేషన్ ప్రభావం మీదొకటీ ఇలా అన్ని వస్తువులూ ఏరారు. రాశి తప్ప వాసి లేదంటూ సరిపుచ్చుకున్నారు.
ఇలాంటివాటినెవరూ ప్రశ్నించరు! అడిగితే వచ్చే జవాబు తెలుసు. ఆంధ్రభూమి వాళ్ళు ఏటా ఉగాది కథల పోటీ పెడతారు. ఎందుకొచ్చిన పోటీలనీ ఆ పత్రిక సంపాదకులతో అంటే – ఎవరి వెంటా పడనవసరం లేకుండా ఈ పోటీ ద్వారా మాకు ఏడాదికి సరిపడా కథలొస్తాయంటూ నిజాయితీగానే చెప్పారు. మీరు ఓ విషయం గమనించారో లేదో తెలీదు. గత అయిదేళ్ళగా కథల పోటీలు చూస్తే అవే రచయితలు అన్ని పోటీల్లోనూ బహుమతులు కొట్టేస్తున్నారు. నిజాయితీ, నిబద్ధతా అందరికీ లోపిస్తోంది. మనం ఎంత గట్టిగా అరిచినా వారి చెవుల్ని చేరదు. ఆ మధ్య విపుల వాళ్ళు కథల పోటీ పెట్టారు. అందులో మొదటి బహుమతొచ్చిన “అతడు మనిషి” అనే కథ నిజంగా మొదటి బహుమతికి అర్హతున్న కథ. మిగతా కధలు షరా మామూలే! ఇలాంటి పోటీల ద్వారా మంచి కథలొస్తాయనుకోడం మన వెర్రితనం అంతే! పత్రికలు పదికాలల పాటూ నడుపుకోడానికిదొక పద్దతి. ఎంతకాదన్నా ప్రస్తుతం జరుగుతున్నదిదే! గొంతు చించుకొని ప్రయోజనం లేదు.
“అర్థమశాశ్వతమ్ము” అనే ఉత్పలమాల వెయ్యేళ్ళ కింద శిలాశాసనం లో కాక, మూడేళ్ళ కింద “ఈ మాట” లోనో ఇంకో చోటనో ఎవరైనా వ్రాసివుంటే దానికి ఏ మాత్రం ప్రాముఖ్యం వచ్చేది అని సందేహం. శిలపైన కాబట్టి నిలిచింది కాని, జనాల నాలుకపై అది ఇంత పాతది అని చెప్పినా కూడా నిలుస్తుందా అని చెడ్డ అనుమానం. ఏదో మనకూ పాత పద్యాలున్నాయి, vintage wine లాగా అని చెప్పుకోవడానికి తప్ప, ఒక్కరైనా ఎప్పుడైనా, ఎక్కడైనా దీనిని ఉదహరించి ఉటంకించే అవకాశం ఉంటుందా అని కూడా అనుమానమే.
ఏమాటకు ఆమాటే చెప్పుకోవాలి. అటువంటి సందర్భమే వస్తే, పద్యమే చెప్పవలసి వస్తే దీన్ని వదిలి “కారే రాజులు రాజ్యముల్ గెలువరే.. వారేరీ సిరి మూటాగట్టుకొని పోవంజాలిరే..” లాంటి వెన్నో రసవంతమైన, బలవంతమైన వి స్ఫురిస్తాయి కాని ఇది తట్టుతుంది అనే ఆశ మాత్రం లేదు. కాదంటారా?
——-
విధేయుడు
-Srinivas
మీ వ్యాసం చదువుతుంటే, ఎన్నెన్నో సందేహాలు, ఎన్నెన్నో మాటలు.
అన్యధా భావించరనే భావిస్తూ, బుర్రలో అనిపించినవి రాస్తున్నాను మీకు తెలియాలని.
ద్విభాజక విరోధాభాస (ఏం తెలుగు పదాలు బాబూ, నోరు తిరిగటం లేదు సరిగా) గురించి చదివాను. మీరు రాసిన సూత్రం, “చలనంలో ఉన్న వస్తువేదైనా తన గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి గమ్యానికి గల దూరంలో సగం దూరం ముందు ప్రయాణించాలి. ” అర్థమయింది. అలాగే 100 మీటర్లు ప్రయాణించాలంటే వచ్చే అనంత శ్రేణి 50+25+12.25+6.125+3.625+… కూడా అర్థం అయింది. ఇది ఎంత థియరిటికలో కూడా అర్థం అయింది.
దీని ప్రకారం 100 మీటర్లు ఎప్పుడూ చేరలేము. కానీ చేరాల్సిన చోటు 200 మీటర్లు అని మొదట అబద్ధం ఆడాలి. అందులో సగం 100 మీటర్లు పూర్తవగానే, “తూచ్చి” అని చెప్పి ఆగిపోవాలి. ఈ ప్రకారం ఈ థీరీ కూడా కరెక్టే, మనం నిజంగా గమ్యం చేరడం కూడా కరెక్టే. ఒక థీరీ అనేది సరైన చోట సరైన విధంగా అన్వయించకపోతే, ఎంత గందరగోళంగా వుంటుందో అర్థం అవుతోంది.
మీరు “గమన విరోధాభాస” గురించి రాసింది ఏమీ అర్థం కాలేదు. అందులోనూ అకిలీసూ, తాబేలూ వుదాహరణ మరీనూ.
అకిలీసూ, తాబేలూ వేర్వేరు స్థిర వేగాలతో ప్రయాణం చేస్తున్నారనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. వుదాహరణకి అకిలీసు నిమిషానికి 100 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ, తాబేలు నిమిషానికి 10 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ నడుస్తున్నారనుకుందాం. వారిద్దరి మధ్య 100్ అడుగుల దూరం కూడా వుందనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. అకిలీసు వున్న చోటు A అనీ, తాబేలు వున్న చోటు B అనీ అనుకుందాం. రెండు నిముషాల తర్వాత అకిలీసు C అనే చోటూని చేరుకుంటాడు. A నించి C కి వుండే దూరం 200 అడుగులు అని మనకు అకిలీసు వేగాన్ని బట్టి అర్థ మవుతుంది. అదే రెండు నిమిషాల్లో తాబేలు D అనే చోటుని చేరుతుంది తన స్థిర వేగంతో. A నించి D కి దూరం 120 అడుగులు అని కూడా అర్థం అవుతుంది. ఎందుకంటే A నించి B కి 100 అడుగుల దూరం, B నించి C కి 20 అడుగుల దూరం కాబట్టి. అంటే D అనే పాయింటు, A కీ, C కీ మధ్యలో వుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. మరి ఈ పారడాక్సుకి అర్థం ఏమిటీ?
అకిలీసు 200 అడుగులు నడిచే లోపు, తాబేలు 20 అడుగులు మాత్రమే నడుస్తుంది. తాబేలు ఒకే చోట వుండనక్కర్లేదు. 20 అడుగుల దూరం 200 అడుగుల దూరం కన్నా తక్కువ కాబట్టి, అకిలీసు తాబేలుని దాటుతాడు. ఇది మనం ప్రత్యక్షంగా చూస్తున్నాం కూడా.
అందుకని ఈ పారడాక్సు బొత్తిగా అర్థం, పర్థం లేనిదిగా కనబడుతోంది. ఏమంటారూ?
అలాగే అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది. అనంతం ప్లస్ అనంతం ఈక్వల్టు అనంతం అన్నదా దీనర్థం?
మీరు, “ఏదైనా ఒక ప్రతిపాదన సత్యమని నిరూపించడానికి “ఆ ప్రతిపాదన అసత్యం అని మొదట ప్రతిపాదించి, చివరకి ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని నిరూపించి, అందువలన మొదటి ప్రతిపాదన అసత్యం కాదు” అని తీర్మానించే విధానం (Proof by contradiction) పరోక్షమైనది” అని రాశారు.
ఇందులో తప్పు ఏమన్నా వుందా, లేక నాకు సరిగా అర్థం కాలేదా అన్నది ఇక్కడ పాయింటు.
ఒక ప్రతిపాదన అసత్యం అని ప్రతిపాదించాక, ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారి తీస్తే, దానర్థం అది అసత్యం కాబట్టే కదా? అసత్యమైన ప్రతిపాదనలే కదా వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తాయి? సత్యమైన ప్రతిపాదనలు ఎటువంటి వైరుధ్యాలకీ చోటివ్వకూడదు కదా? అలాంటప్పుడూ, దాన్ని అసత్యం కాదు అని ఎలా అంటాము? అర్థం కాలేదు.
ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది.
అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు నా లాంటి మామూలు బుర్రకి. కొంచెం వివరించగలరా దయచేసి?
అసలేమీ అర్థం కాలేదా? కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉండటాన అనంతం తో కూడిన వ్యవహారం ముందర నమ్మబుద్ధి కాదు. అలాగని వదిలెయ్య కూడదు. “పట్టుపట్టరాదు పట్టి విడువగరాదు” అని వేమన చెప్పినట్లు, మీరు చదవడానికి ఉపక్రమించారు కనుక అర్థమయిందాకా వదలకూడదు:-). ఈ వ్యాసంలో ఉన్నవి నాలుగు అంశాలు:
1. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు ({1, 2, 3, …}) ఉన్నాయో అన్నిసరి సంఖ్యలు ({2, 4, 6, …}) ఉన్నాయి! ఇది “మొత్తం, భాగం కన్నా పెద్దది” అన్న సామాన్య భావానికి విరుద్ధంగా ఉండటాన చాలా ఆశ్చర్యమయినది. ఒకదానికొకటి జతపరచే విధానం ద్వారా వివరించాను. దీనినే సంభాషణల ద్వారా తెలుసుకోవాలంటే గెలీలియో డయలాగ్స్ చదవండి. ఇది అర్థం అయేదాకా ముందుకు వెళ్ళకండి.
2. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలున్నాయో, అన్ని సరి సంఖ్యలు, బేసి సంఖ్యలు, వర్గ సంఖ్యలు, … ఉన్నాయని తెలుస్తుంది. అంతే కాదు, భిన్న సంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలన్నే ఉన్నాయని కేంటర్ చూపాడు. దీనితో అనంతం ఒకే ఒక సైజులో (సహజ సంఖ్యలెన్ని ఉన్నాయో ఆ సైజులో) ఉన్నదన్న అనుమానం వస్తుంది. అలా కాదు, వాస్తవ సంఖ్యలు (real numbers – వీటిని దశాంశ పద్ధతిలో రాస్తాం) సహజ సంఖ్యల (natural numbers) కన్నా ఎక్కువ ఉన్నాయని కేంటర్ రుజువు చేశాడు – వికర్ణ విధానం (diagnonal proof) ద్వారా. (ఇది మీకు ఎక్కడ అర్థం కాలేదో చెప్తే, మళ్ళీ ప్రయత్నిస్తాను.)
3. దానితో అనంతం కనీసం రెండు సైజుల్లో ఉందన్నది విశదమయింది. కేంటర్ అంతటితో ఆగక అనంతం అనంత సైజుల్లో ఉన్నదని power sets ని తీసుకొని మళ్ళీ వికర్ణ విధానం ద్వారా నిరూపించాడు. (దీనికి అవసరమయిన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని క్లుప్తంగా పరిచయం చేశాను.)
4. కేంటర్ నిరూపణలకి విరుద్ధాలని (proof by contradiction) వాడుకున్నాడు. A అన్న ప్రతిపాదన ఉందనుకోండి. మనకి తెలిసిన, అంతకు ముందే నిరూపించిన వాటి ఆధారంగా A ని రాబట్టితే, దానిని నిర్మాణాత్మక నిరూపణ (constructive proof) అంటారు. మనం హైస్కూల్లో నేర్చుకున్న చాలా రేఖా గణితపు సిద్ధంతాలు అలాంటివే. proof by contradiction వేరే విధానం: A అసత్యం అని మొదలెట్టి, మనం అంతకు ముందే నిజమని తెలుసుకున్న దానికి విరుద్ధమైన దానితో ముగించడం. అంటే ఏమిటి? మనం మొదట్లో అనుకున్నది – A అసత్యం – తప్పన్న మాట – అదే విరుద్ధానికి దారి తీసింది; అది తప్పయితే A నిజమని ఒప్పుకొని తీరాలి! కాని ఈ విధమైన నిరూపణని అనంత సమితులకి వర్తించడాన్ని చాలా మంది గణిత మేధావులు ఖండించారు. ఆ విధంగా గణితంలో కలహాలొచ్చాయి. చిత్రంగా అవి కంప్యూటర్ కనుక్కోడానికి కారణమయ్యాయి.
అదీ విషయం. 1, 4 సులభంగానే అర్థం అవుతాయి; 2 కూడా అర్థం కావాలి – మళ్ళీ ప్రయత్నించండి. 3 కి చిన్నప్పుడు చదివిన వాటిని కాస్త గుర్తు తెచ్చుకోవాలి.
కనీసం చదివి అర్థం చేసుకోడానికి ప్రయత్నించినందుకు కృతజ్ఞతలు.
“చాలా మంది ప్రస్తుతం తెలుగు “కవులు” ‘తెలియని వన్ని తప్పులని…” చెప్పడం పరిపాటి అయ్యింది. మీరలా కాదనుకొన్నాను. ” -గరికపాటి
‘అర్ధ మశాశ్వతమ్ము…’ పద్యం అర్థం తెలుపమంటే, మీరు ఎందుకో నన్ను గురించి ఆలోచిస్తున్నారే. 🙂 మీ పై మాటలు ఈ పద్యం అర్థం తెలుసుకోటానికి, ఎవరికీ (నాతో సహా) ఉపకరించవు. మీకు పద్యం అర్థం తెలిస్తే ఇప్పటికీ చెప్పవచ్చు. మరి నాకిప్పటికీ ఈ ఉత్పలమాలకు అర్థం లేదనే అనిపిసున్నది.
“(మోహన గారి వివరణ తర్వాత అసలు ఈ పద్యానికి ఇంకా వివరణ అనవసరమనుకున్నాను. )”-గరికపాటి
ఈ రచయిత వ్యాసం నేను చదివాను. చదువుతున్నాను. ఎన్నో విషయాలు తెలిసికుంటున్నాను. తరువాత అభిప్రాయాల్లో – ఈ పద్యం, తొలి ఉత్పలమాలల్లో ఒకటి ఐవుండవచ్చునని చారిత్రక పరమైన కుతూహలంతో దీన్ని మనకు ఇప్పుడు తెలిపారు. చరిత్ర మీద దృష్టితో కొందరు చర్చ సాగించుకోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో పద్యానికి వివరణ ఇవ్వటం వ్యాస రచయిత ఉద్దేశం కాదనుకుంటాను. వారు, పద్యం లో ఉన్న మాటలను వచనంలో పేర్చారు. వాడిన కొన్ని మాటలు పద్యం లో ఉన్న మాటలంత కఠినంగానూ ఉన్నాయి. ఈ వచనము పద్యభావాన్ని తెలుసుకోటానికి పనికి రాలేదు.
కుతూహలంతో, వేమన శతకం తీసి మొదటి పేజీ చూశాను. అందులో మొదటి పద్యము 🙂
ఆ. నిక్కమైన మంచి నీలమొక్కటి చాలు
తళ్కుబెళ్కు రాళ్ళు తట్టెడేల?
చదువు పద్యమరయ జాలదా యొకటైన
విశ్వదాభిరామ వినురవేమ.
ఈ పద్యానికి నా వద్దనున్న పుస్తకం లో ముందు టీక ఇచ్చారు. అందువల్ల పద్యములోని ప్రతి పదమునకు గల అర్థము తెలిసినది. తర్వాత ఈ కింది విధంగా తాత్పర్యము ఇచ్చారు.
తా. అన్నియును ఇచ్చునట్టి పరమాత్మ యందు ఒప్పిన వేమన్నా వినుము. ఏ రీతిగా వట్టి రంగులు కల మట్టిరాళ్ళు గంపెడయినను ఇంద్రనీలమణితో సాటిగావో ఆ రీతిగానే, మంచిపద్యము ఒక్కటి యయినను చాలును అని భావము.
ఈ వేమన పద్యపు భావము నాకు తెలిసినది. మరి ఇప్పుడు మనము చర్చిస్తున్న పద్యము ఒక పాత ఉత్పలమాల. ఆ పాత దనానికి “antique value” ఉందేమో. ఉండొచ్చు. కాని ఇది గులక రాయా? ఇంద్రనీలమణియా ? అని నేను అడుగుతున్నాను.
“లైలా గారు అప్పుడప్పుడు కొంచెం భారతీయ సాహిత్యం చదువుతూ ఉండండి నిదానంగా అదే అర్దమవటం మొదలవుతుంది.”-గరికపాటి
చిత్తము. నేను ఇక్కడ చేస్తున్న పనే అది. ఈ ఉత్పలమాల పద్యము భారతీయ సాహిత్యము లోనిదే గదా. ఈ పద్యం తెలుసుకుంటే కొంత చదివినట్లే. మరి నా అనుమానం ఈ పద్యానికి అర్థం లేదని. అర్థరహితమైన పద్యము ఎప్పుడైనా కాని గణనీయమెలా అవుతుంది?
ఈ ఉత్పలమాల పద్యానికి టికా తాత్పర్యాలు ఇచ్చి, పద్య చర్చకు దోహదం చెయ్యండి. చక్కని భావమున్నదా పలువురు ఆనందిస్తాను. లేదా ఈ పద్యం అందంగా వినవస్తుంది కాని, అసలు అర్థం పర్థం లేదు అన్న విజం నిరూపించబడుతుంది. నిదానంగానే చదువుకుంటాను సాహిత్యాన్ని. నాకు తొందరేం లేదు. ఒకవేళ నాలో ఉన్న దోషాల వల్ల నాకు తెలియక పోయినా – పద్యానికి అర్థమంటూ ఉంటే, వేరే కొందరికైనా తెలుస్తుంది కాదా.
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి Kameswara Rao అభిప్రాయం:
11/20/2008 4:59 am
సూర్యం గారు,
విరోధాభాసలు అర్థం లేనివిగా అనిపించడంలో ఆశ్చర్యమేమీ లేదు. వీటిని నా మాటల్లో వివరించే ప్రయత్నం చేస్తాను (హనుమంతరావుగారికి అభ్యంతరం ఉండదనే ధైర్యంతో).
మొదట అకిలీసు తాబేలు విషయం తీసుకుందాం. మీరు చెప్పినట్టు చూస్తే కచ్చితంగా అకిలీసు తాబేలుని దాటుతుంది, సందేహం లేదు (ఇది మనందరికీ ప్రత్యక్షమైన విషయం కూడాను).
అయితే, మీరు చెప్పినట్టు కాకుండా వేరే రకంగా (ఈ వ్యాసంలో చెప్పినట్టు) ఆలోచిద్దాం. అకిలీసు తాబేలు కన్నా వెనకన ఉంది (అకిలీసు A అన్న చోట, తాబేలు B అన్న చోట). రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది. అప్పుడు తాబేలు B1 దగ్గరకు చేరిందనుకుందాం. అకిలీసు మళ్ళీ Bనుంచి B1కి వెళ్ళాలి. దీనికి మళ్ళీ కొంత సమయం పడుతుంది. ఈ సమయంలో మళ్ళీ తాబేలు B1నుంచి B2కి వెళ్ళిపోతుంది. మళ్ళీ అకిలీసు B1నుంచి B2కి వచ్చేసరికి తాబేలు B2నుంచి B3కి, అకిలీసు B2నుంచి B3కి వచ్చేసరికల్లా తాబేలు B3నించి B4కి… ఇలా సాగుతునే ఉంటుంది. అంచేత అకిలీసు తాబేలుని అసలు చేరుకోలేదు కదా!
ఒకలా చూస్తే సాధ్యమై, మరోలా చూస్తే సాధ్యం కాదనీ అనిపించడమే విరోధాభాస. అంటే వైరుధ్యమున్నట్టు కనిపిస్తుంది, నిజంగా ఉండదు, ఉండడానికి వీల్లేదు. ఈ విరోధాభాస కలగడానికి రెండు కారణాలు: ఒకటి, మన లాజిక్కుకి ఆధారంగా మనం నమ్మిన సూత్రాలు(axioms) తప్పు కావచ్చు. రెండు మన లాజిక్కులో పొరపాటో (లేదా కీలకమైన విషయాన్ని విస్మరించడమో) ఉండవచ్చు.
యీ ఉదాహరణలో, మనం గుర్తించాల్సిన కీలకమైన విషయం B1నుంచి B2కి, B2నుంచి B3కి ఆ శ్రేణీలో వెళ్ళే కొద్దీ, వాటి మధ్యనున్న దూరం తగ్గుతూ పోతుంది. అంతే కాదు, కొంత సేపయ్యాక ఆ దూరం సున్నకి అతిదగ్గరగా వస్తుంది కూడా. అది మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో, అప్పుడు అకిలీసు తాబేలుని చేరుకుంటుందని మనం గుర్తిస్తాం. ఇప్పుడు ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం. కాబట్టి వైరుధ్యం తొలిగిపోయింది. ఇది గణిత పరంగా ఈ విరోధాభాసకి పరిష్కారం. దీనికి మరోలా (తార్కికంగా) కూడా కొంతమంది పరిష్కారం చెప్పారు. అది ప్రస్తుతానికి అనవసరం.
రెండో విరోధాభాస కూడా ఇలాటిదే. అక్కడ కీలకం 50+25+12.25+6.125+3.625+… అన్నది 100కి సమానం అన్న విషయం. కాబట్టి ఆ రకంగా గెంతుతూ ప్రయాణించినా 100 మీటర్లు చేరుకుంటాం.
Proof by contradiction గురించి హనుమంతరావు గారు మళ్ళీ వివరించారు, అర్థమయ్యే ఉంటుంది. ఇందులోని గుర్తుంచుకోవలసిన కీలకమైన అంశం ఏవిటంటే, మన ప్రతిపాదన “సత్య”మైనా అవ్వాలి “అసత్య”మైనా అవ్వాలి. కాబట్టి “సత్యం కాదు” అని నిరూపించినా, “అసత్యం” అని నిరూపించినా ఒకటే. అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే” అని నిరూపించినా ఒకటే.
ఈ వ్యాసం పాఠకులందరికీ ఒక చిక్కు ప్రశ్న 🙂
పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?
తెలుగు కథల పోటీ గురించి Bhushan అభిప్రాయం:
11/20/2008 2:00 am
కధల పోటీకో, కవితల పోటీకో రాసేవాళ్ళ మనసుల్లో మొదట, ఆ పోటీ నడిపేవాళ్ళు ప్రకటించిన బహుమతులే మెదులుతూవుంటాయి. బహుమతి వొచ్చిన కధలు/కవితలు ఒక్కోసారి బావున్నా, స్వలాభాపేక్ష లేకుండా, సహజంగా రాసినట్టు పాఠకులకి అనిపిస్తుందా? మామూలుగా వొచ్చే పారితోషికం వేరు, బహుమతి వేరు. ఆశాజీవిగారి కవిత బావుంది అని వూరుకోవడంకన్నా, కవితలో చెప్పినట్టు పాఠకులే పోటీసంస్కృతిని రూపుమాపడానికి క్రుషి చెయ్యాలి. – భూషణ్
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
11/19/2008 10:43 pm
Proof by Contradiction
సూర్యం గారికి,
నా వ్యాసాలు నచ్చాయని చెప్తే నాకు ప్రోత్సాహం కలుగుతంది. అర్థం కాలేదంటే, ముందు ముందన్నా ఎలా వివరించాలా అని ఆలోచన మొదలయి, అదీ ప్రోత్సాహాన్నే ఇస్తుంది. ఏ స్పందనా లేకపోతే, వీటివలన ఉపయోగమేమన్నా ఉందా అన్న సందేహం కలుగుతుంది. కాబట్టి మీరు మీ అభిప్రాయాలు నిష్కర్షగా చెప్తే లాభమే కాని ఏమాత్రం నష్టం లేదు. విరుద్ధ నిరూపణా విధానం అర్థం చేసుకోవడం అత్యవసరం కాబట్టి మరోసారి వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.
“అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు,” అన్నారు. మళ్ళీ మీరే, “ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది,” అన్నారు. నిజానికి ఈ రెంటికీ విధానంలో తేడా లేదు! రెండిట్లోనూ ఓ ఊహ (assumption) తో మొదలెట్టి ఓ వైరుధ్యాన్ని చేరుకున్నాం కనుక ఆ ఊహ తప్పు అని తీర్మానిస్తున్నాం. మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకమైనదానిని ఊహ గా తీసుకోవడమే ఈ నిరూపణా విధానం.
దీనికి ఓ మంచి ఉదాహరణ ఇస్తాను. అందరూ, ముఖ్యంగా కవులు:-), చదవాల్సిన పుస్తకం, మన రామానుజన్ ప్రతిభ ప్రపంచానికి వెల్లడి చేసిన GH Hardy రాసిన “A Mathematician’s Apology,” లోనిది. నిరూపించి రెండు వేల ఏళ్ళు దాటినా చెక్కు చెదరని అందం, కొత్తదనం కలిగి, అందరికీ సులభంగా అర్థమయే సిద్ధాంత నిరూపణ అని Hardy దీనిని వర్ణించాడు.
సంఖ్యలు రెండు రకాలు: ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers), అప్రధాన సంఖ్యలు (non-prime numbers). ప్రధాన సంఖ్యని అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11. ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యా (ఒకటిని మినహాయించి) కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలని గుణిస్తే వచ్చే ఫలితమే. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5. అంటే ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యనీ కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినా నిశ్శేషంగా విభజిస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా? కాదా? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ఇవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగుతుందా? లేక కొన్ని సంఖ్యల తర్వాత అంతమవుతుందా? అనంతం అని ప్రతిపాదిద్దాం. ఇది నిజమో కాదో నిరూపించడం ఎలా?
అనంతం కాదు అనే ఊహతో మొదలెడదాం. అనంతం కాకపోతే, అన్నిటికన్నాపెద్దదైన ప్రధాన సంఖ్య ఒకటుండి తీరాలి. దానిని P అందాం. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … P తో ఆగిపోతుంది. ఇప్పుడో కొత్త సంఖ్య Q ని తయారుచేద్దాం:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x …x P) + 1
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలనీ హెచ్చించి, ఫలితానికి ఒకటి కలిపితే వచ్చే సంఖ్య Q. ఈ కొత్త సంఖ్య P కంటె పెద్దది; కాని P ప్రధాన సంఖ్యలలో కెల్లా పెద్దది కావడాన, Q ప్రధాన సంఖ్య కాదు. అలాగని Q అప్రధాన సంఖ్య కాదు; ఏ ప్రధాన సంఖ్యా దానిని నిశ్శేషంగా విభజించలేదు – శేషం ఒకటి వస్తుంది కనుక! Q ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, అప్రధాన సంఖ్యా కాదు! అది వైరుధ్యం. ఈ వైరుధ్యానికి దారి తీసినదేమిటి? ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం కాదు అన్న ఊహ. ఆ ఊహే తప్పు. అంటే ఆ ఊహకి వ్యతిరేకమైనది ఒప్పు. అనగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది రుజువయింది!
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
తెలుగు కథల పోటీ గురించి Sai Brahmanandam అభిప్రాయం:
11/19/2008 8:29 pm
ఆశాజీవి గారూ,
మీ ఆక్రోశం బావుంది. కవితావేదనా నచ్చింది. కథల పోటీల ద్వారా మంచి కథలొస్తాయో లేదో తెలీదు. కొత్త కథకులు పుడతారో లేదో తెలీదు. సాహిత్యానికి ఏం ఒరిగినా, ఒరగక పోయినా పత్రికలకి ఏడాదికి సరిపడా ముడిసరుకు లభిస్తుంది. కథలకోసం ఎవరి వెంటా పడనవసరం లేదు. పాతికేళ్ళ క్రితం నాటి ( 1970 – 80 ల మధ్యకాలం ) నాటి కథలపోటీలకీ, ఇప్పటి కథల పోటీలకీ, కథల పరంగానూ, బహుమతులు పంచే తీరులోనూ చాలా తేడా ఉంది. కథల నాణ్యత పడిపోయినంత వేగంగానూ ఇవన్నీ పడిపోయాయి.
చాలా కాలం నాటి మాట. ఆంధ్రప్రభలో చివుకుల పురుషోత్తం ” ఏది పాపం?” నవలకి మొదటి బహుమతి ఇస్తే అది ప్రధమ బహుమతికి ఎంపిక ఎందుకు చేసారో మూడు పేజీల సమీక్ష రాసారు. అదే ఆంధ్రప్రభ ( యాజమాన్యం మారారులెండి ) రెండేళ్ళ క్రితం కథల పోటీలో బహుమతిచ్చిన కథలు నాసిరకం కన్నా హీనంగా ఉన్నాయి. పైగా పేరుమోసిన రచయిత ( త్రు ) లూ (అందులో ఒకరు కేంద్ర సాహిత్య అకాడమీ అవార్డు గ్రహీత కూడా ) ఆ పోటీకి గుణనిర్ణేతలు. వచ్చిన చెత్తలోంచి మంచి చెత్తని ఏరి మనముందు పోసారంతే! ఆ కథల్లో కథనం లేదు. శిల్పం లేదు. పాత్రోచితం అంతకన్నా లేదు. కేవలం వస్తువు ఆధారంగా బహు”మతులు” ఇచ్చారు. దళిత పీడిత కథకొకటీ, స్త్రీల సమస్యలకొకటీ, ప్రాంతీయతత్వానికొకటీ, గ్లోబలైజేషన్ ప్రభావం మీదొకటీ ఇలా అన్ని వస్తువులూ ఏరారు. రాశి తప్ప వాసి లేదంటూ సరిపుచ్చుకున్నారు.
ఇలాంటివాటినెవరూ ప్రశ్నించరు! అడిగితే వచ్చే జవాబు తెలుసు. ఆంధ్రభూమి వాళ్ళు ఏటా ఉగాది కథల పోటీ పెడతారు. ఎందుకొచ్చిన పోటీలనీ ఆ పత్రిక సంపాదకులతో అంటే – ఎవరి వెంటా పడనవసరం లేకుండా ఈ పోటీ ద్వారా మాకు ఏడాదికి సరిపడా కథలొస్తాయంటూ నిజాయితీగానే చెప్పారు. మీరు ఓ విషయం గమనించారో లేదో తెలీదు. గత అయిదేళ్ళగా కథల పోటీలు చూస్తే అవే రచయితలు అన్ని పోటీల్లోనూ బహుమతులు కొట్టేస్తున్నారు. నిజాయితీ, నిబద్ధతా అందరికీ లోపిస్తోంది. మనం ఎంత గట్టిగా అరిచినా వారి చెవుల్ని చేరదు. ఆ మధ్య విపుల వాళ్ళు కథల పోటీ పెట్టారు. అందులో మొదటి బహుమతొచ్చిన “అతడు మనిషి” అనే కథ నిజంగా మొదటి బహుమతికి అర్హతున్న కథ. మిగతా కధలు షరా మామూలే! ఇలాంటి పోటీల ద్వారా మంచి కథలొస్తాయనుకోడం మన వెర్రితనం అంతే! పత్రికలు పదికాలల పాటూ నడుపుకోడానికిదొక పద్దతి. ఎంతకాదన్నా ప్రస్తుతం జరుగుతున్నదిదే! గొంతు చించుకొని ప్రయోజనం లేదు.
చంపకోత్పలమాలల కథ గురించి Srinivas Nagulapalli అభిప్రాయం:
11/19/2008 7:01 pm
“అర్థమశాశ్వతమ్ము” అనే ఉత్పలమాల వెయ్యేళ్ళ కింద శిలాశాసనం లో కాక, మూడేళ్ళ కింద “ఈ మాట” లోనో ఇంకో చోటనో ఎవరైనా వ్రాసివుంటే దానికి ఏ మాత్రం ప్రాముఖ్యం వచ్చేది అని సందేహం. శిలపైన కాబట్టి నిలిచింది కాని, జనాల నాలుకపై అది ఇంత పాతది అని చెప్పినా కూడా నిలుస్తుందా అని చెడ్డ అనుమానం. ఏదో మనకూ పాత పద్యాలున్నాయి, vintage wine లాగా అని చెప్పుకోవడానికి తప్ప, ఒక్కరైనా ఎప్పుడైనా, ఎక్కడైనా దీనిని ఉదహరించి ఉటంకించే అవకాశం ఉంటుందా అని కూడా అనుమానమే.
ఏమాటకు ఆమాటే చెప్పుకోవాలి. అటువంటి సందర్భమే వస్తే, పద్యమే చెప్పవలసి వస్తే దీన్ని వదిలి “కారే రాజులు రాజ్యముల్ గెలువరే.. వారేరీ సిరి మూటాగట్టుకొని పోవంజాలిరే..” లాంటి వెన్నో రసవంతమైన, బలవంతమైన వి స్ఫురిస్తాయి కాని ఇది తట్టుతుంది అనే ఆశ మాత్రం లేదు. కాదంటారా?
——-
విధేయుడు
-Srinivas
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి సూర్యం అభిప్రాయం:
11/19/2008 3:36 pm
మీ వ్యాసం చదువుతుంటే, ఎన్నెన్నో సందేహాలు, ఎన్నెన్నో మాటలు.
అన్యధా భావించరనే భావిస్తూ, బుర్రలో అనిపించినవి రాస్తున్నాను మీకు తెలియాలని.
ద్విభాజక విరోధాభాస (ఏం తెలుగు పదాలు బాబూ, నోరు తిరిగటం లేదు సరిగా) గురించి చదివాను. మీరు రాసిన సూత్రం, “చలనంలో ఉన్న వస్తువేదైనా తన గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి గమ్యానికి గల దూరంలో సగం దూరం ముందు ప్రయాణించాలి. ” అర్థమయింది. అలాగే 100 మీటర్లు ప్రయాణించాలంటే వచ్చే అనంత శ్రేణి 50+25+12.25+6.125+3.625+… కూడా అర్థం అయింది. ఇది ఎంత థియరిటికలో కూడా అర్థం అయింది.
దీని ప్రకారం 100 మీటర్లు ఎప్పుడూ చేరలేము. కానీ చేరాల్సిన చోటు 200 మీటర్లు అని మొదట అబద్ధం ఆడాలి. అందులో సగం 100 మీటర్లు పూర్తవగానే, “తూచ్చి” అని చెప్పి ఆగిపోవాలి. ఈ ప్రకారం ఈ థీరీ కూడా కరెక్టే, మనం నిజంగా గమ్యం చేరడం కూడా కరెక్టే. ఒక థీరీ అనేది సరైన చోట సరైన విధంగా అన్వయించకపోతే, ఎంత గందరగోళంగా వుంటుందో అర్థం అవుతోంది.
– సూర్యం
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి సూర్యం అభిప్రాయం:
11/19/2008 11:49 am
మీరు “గమన విరోధాభాస” గురించి రాసింది ఏమీ అర్థం కాలేదు. అందులోనూ అకిలీసూ, తాబేలూ వుదాహరణ మరీనూ.
అకిలీసూ, తాబేలూ వేర్వేరు స్థిర వేగాలతో ప్రయాణం చేస్తున్నారనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. వుదాహరణకి అకిలీసు నిమిషానికి 100 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ, తాబేలు నిమిషానికి 10 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ నడుస్తున్నారనుకుందాం. వారిద్దరి మధ్య 100్ అడుగుల దూరం కూడా వుందనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. అకిలీసు వున్న చోటు A అనీ, తాబేలు వున్న చోటు B అనీ అనుకుందాం. రెండు నిముషాల తర్వాత అకిలీసు C అనే చోటూని చేరుకుంటాడు. A నించి C కి వుండే దూరం 200 అడుగులు అని మనకు అకిలీసు వేగాన్ని బట్టి అర్థ మవుతుంది. అదే రెండు నిమిషాల్లో తాబేలు D అనే చోటుని చేరుతుంది తన స్థిర వేగంతో. A నించి D కి దూరం 120 అడుగులు అని కూడా అర్థం అవుతుంది. ఎందుకంటే A నించి B కి 100 అడుగుల దూరం, B నించి C కి 20 అడుగుల దూరం కాబట్టి. అంటే D అనే పాయింటు, A కీ, C కీ మధ్యలో వుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. మరి ఈ పారడాక్సుకి అర్థం ఏమిటీ?
అకిలీసు 200 అడుగులు నడిచే లోపు, తాబేలు 20 అడుగులు మాత్రమే నడుస్తుంది. తాబేలు ఒకే చోట వుండనక్కర్లేదు. 20 అడుగుల దూరం 200 అడుగుల దూరం కన్నా తక్కువ కాబట్టి, అకిలీసు తాబేలుని దాటుతాడు. ఇది మనం ప్రత్యక్షంగా చూస్తున్నాం కూడా.
అందుకని ఈ పారడాక్సు బొత్తిగా అర్థం, పర్థం లేనిదిగా కనబడుతోంది. ఏమంటారూ?
అలాగే అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది. అనంతం ప్లస్ అనంతం ఈక్వల్టు అనంతం అన్నదా దీనర్థం?
– సూర్యం
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి సూర్యం అభిప్రాయం:
11/19/2008 11:21 am
మీరు, “ఏదైనా ఒక ప్రతిపాదన సత్యమని నిరూపించడానికి “ఆ ప్రతిపాదన అసత్యం అని మొదట ప్రతిపాదించి, చివరకి ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని నిరూపించి, అందువలన మొదటి ప్రతిపాదన అసత్యం కాదు” అని తీర్మానించే విధానం (Proof by contradiction) పరోక్షమైనది” అని రాశారు.
ఇందులో తప్పు ఏమన్నా వుందా, లేక నాకు సరిగా అర్థం కాలేదా అన్నది ఇక్కడ పాయింటు.
ఒక ప్రతిపాదన అసత్యం అని ప్రతిపాదించాక, ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారి తీస్తే, దానర్థం అది అసత్యం కాబట్టే కదా? అసత్యమైన ప్రతిపాదనలే కదా వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తాయి? సత్యమైన ప్రతిపాదనలు ఎటువంటి వైరుధ్యాలకీ చోటివ్వకూడదు కదా? అలాంటప్పుడూ, దాన్ని అసత్యం కాదు అని ఎలా అంటాము? అర్థం కాలేదు.
ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది.
అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు నా లాంటి మామూలు బుర్రకి. కొంచెం వివరించగలరా దయచేసి?
– సూర్యం
కంప్యూటింగ్ పూర్వాపరాలు, సాధ్యాసాధ్యాలు – 6: అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
11/19/2008 8:47 am
సూర్య గారూ,
అసలేమీ అర్థం కాలేదా? కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉండటాన అనంతం తో కూడిన వ్యవహారం ముందర నమ్మబుద్ధి కాదు. అలాగని వదిలెయ్య కూడదు. “పట్టుపట్టరాదు పట్టి విడువగరాదు” అని వేమన చెప్పినట్లు, మీరు చదవడానికి ఉపక్రమించారు కనుక అర్థమయిందాకా వదలకూడదు:-). ఈ వ్యాసంలో ఉన్నవి నాలుగు అంశాలు:
1. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు ({1, 2, 3, …}) ఉన్నాయో అన్నిసరి సంఖ్యలు ({2, 4, 6, …}) ఉన్నాయి! ఇది “మొత్తం, భాగం కన్నా పెద్దది” అన్న సామాన్య భావానికి విరుద్ధంగా ఉండటాన చాలా ఆశ్చర్యమయినది. ఒకదానికొకటి జతపరచే విధానం ద్వారా వివరించాను. దీనినే సంభాషణల ద్వారా తెలుసుకోవాలంటే గెలీలియో డయలాగ్స్ చదవండి. ఇది అర్థం అయేదాకా ముందుకు వెళ్ళకండి.
2. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలున్నాయో, అన్ని సరి సంఖ్యలు, బేసి సంఖ్యలు, వర్గ సంఖ్యలు, … ఉన్నాయని తెలుస్తుంది. అంతే కాదు, భిన్న సంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలన్నే ఉన్నాయని కేంటర్ చూపాడు. దీనితో అనంతం ఒకే ఒక సైజులో (సహజ సంఖ్యలెన్ని ఉన్నాయో ఆ సైజులో) ఉన్నదన్న అనుమానం వస్తుంది. అలా కాదు, వాస్తవ సంఖ్యలు (real numbers – వీటిని దశాంశ పద్ధతిలో రాస్తాం) సహజ సంఖ్యల (natural numbers) కన్నా ఎక్కువ ఉన్నాయని కేంటర్ రుజువు చేశాడు – వికర్ణ విధానం (diagnonal proof) ద్వారా. (ఇది మీకు ఎక్కడ అర్థం కాలేదో చెప్తే, మళ్ళీ ప్రయత్నిస్తాను.)
3. దానితో అనంతం కనీసం రెండు సైజుల్లో ఉందన్నది విశదమయింది. కేంటర్ అంతటితో ఆగక అనంతం అనంత సైజుల్లో ఉన్నదని power sets ని తీసుకొని మళ్ళీ వికర్ణ విధానం ద్వారా నిరూపించాడు. (దీనికి అవసరమయిన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని క్లుప్తంగా పరిచయం చేశాను.)
4. కేంటర్ నిరూపణలకి విరుద్ధాలని (proof by contradiction) వాడుకున్నాడు. A అన్న ప్రతిపాదన ఉందనుకోండి. మనకి తెలిసిన, అంతకు ముందే నిరూపించిన వాటి ఆధారంగా A ని రాబట్టితే, దానిని నిర్మాణాత్మక నిరూపణ (constructive proof) అంటారు. మనం హైస్కూల్లో నేర్చుకున్న చాలా రేఖా గణితపు సిద్ధంతాలు అలాంటివే. proof by contradiction వేరే విధానం: A అసత్యం అని మొదలెట్టి, మనం అంతకు ముందే నిజమని తెలుసుకున్న దానికి విరుద్ధమైన దానితో ముగించడం. అంటే ఏమిటి? మనం మొదట్లో అనుకున్నది – A అసత్యం – తప్పన్న మాట – అదే విరుద్ధానికి దారి తీసింది; అది తప్పయితే A నిజమని ఒప్పుకొని తీరాలి! కాని ఈ విధమైన నిరూపణని అనంత సమితులకి వర్తించడాన్ని చాలా మంది గణిత మేధావులు ఖండించారు. ఆ విధంగా గణితంలో కలహాలొచ్చాయి. చిత్రంగా అవి కంప్యూటర్ కనుక్కోడానికి కారణమయ్యాయి.
అదీ విషయం. 1, 4 సులభంగానే అర్థం అవుతాయి; 2 కూడా అర్థం కావాలి – మళ్ళీ ప్రయత్నించండి. 3 కి చిన్నప్పుడు చదివిన వాటిని కాస్త గుర్తు తెచ్చుకోవాలి.
కనీసం చదివి అర్థం చేసుకోడానికి ప్రయత్నించినందుకు కృతజ్ఞతలు.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
చంపకోత్పలమాలల కథ గురించి lyla yerneni అభిప్రాయం:
11/19/2008 8:07 am
‘అర్ధ మశాశ్వతమ్ము…’ పద్యం అర్థం తెలుపమంటే, మీరు ఎందుకో నన్ను గురించి ఆలోచిస్తున్నారే. 🙂 మీ పై మాటలు ఈ పద్యం అర్థం తెలుసుకోటానికి, ఎవరికీ (నాతో సహా) ఉపకరించవు. మీకు పద్యం అర్థం తెలిస్తే ఇప్పటికీ చెప్పవచ్చు. మరి నాకిప్పటికీ ఈ ఉత్పలమాలకు అర్థం లేదనే అనిపిసున్నది.
ఈ రచయిత వ్యాసం నేను చదివాను. చదువుతున్నాను. ఎన్నో విషయాలు తెలిసికుంటున్నాను. తరువాత అభిప్రాయాల్లో – ఈ పద్యం, తొలి ఉత్పలమాలల్లో ఒకటి ఐవుండవచ్చునని చారిత్రక పరమైన కుతూహలంతో దీన్ని మనకు ఇప్పుడు తెలిపారు. చరిత్ర మీద దృష్టితో కొందరు చర్చ సాగించుకోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో పద్యానికి వివరణ ఇవ్వటం వ్యాస రచయిత ఉద్దేశం కాదనుకుంటాను. వారు, పద్యం లో ఉన్న మాటలను వచనంలో పేర్చారు. వాడిన కొన్ని మాటలు పద్యం లో ఉన్న మాటలంత కఠినంగానూ ఉన్నాయి. ఈ వచనము పద్యభావాన్ని తెలుసుకోటానికి పనికి రాలేదు.
కుతూహలంతో, వేమన శతకం తీసి మొదటి పేజీ చూశాను. అందులో మొదటి పద్యము 🙂
ఆ. నిక్కమైన మంచి నీలమొక్కటి చాలు
తళ్కుబెళ్కు రాళ్ళు తట్టెడేల?
చదువు పద్యమరయ జాలదా యొకటైన
విశ్వదాభిరామ వినురవేమ.
ఈ పద్యానికి నా వద్దనున్న పుస్తకం లో ముందు టీక ఇచ్చారు. అందువల్ల పద్యములోని ప్రతి పదమునకు గల అర్థము తెలిసినది. తర్వాత ఈ కింది విధంగా తాత్పర్యము ఇచ్చారు.
తా. అన్నియును ఇచ్చునట్టి పరమాత్మ యందు ఒప్పిన వేమన్నా వినుము. ఏ రీతిగా వట్టి రంగులు కల మట్టిరాళ్ళు గంపెడయినను ఇంద్రనీలమణితో సాటిగావో ఆ రీతిగానే, మంచిపద్యము ఒక్కటి యయినను చాలును అని భావము.
ఈ వేమన పద్యపు భావము నాకు తెలిసినది. మరి ఇప్పుడు మనము చర్చిస్తున్న పద్యము ఒక పాత ఉత్పలమాల. ఆ పాత దనానికి “antique value” ఉందేమో. ఉండొచ్చు. కాని ఇది గులక రాయా? ఇంద్రనీలమణియా ? అని నేను అడుగుతున్నాను.
చిత్తము. నేను ఇక్కడ చేస్తున్న పనే అది. ఈ ఉత్పలమాల పద్యము భారతీయ సాహిత్యము లోనిదే గదా. ఈ పద్యం తెలుసుకుంటే కొంత చదివినట్లే. మరి నా అనుమానం ఈ పద్యానికి అర్థం లేదని. అర్థరహితమైన పద్యము ఎప్పుడైనా కాని గణనీయమెలా అవుతుంది?
ఈ ఉత్పలమాల పద్యానికి టికా తాత్పర్యాలు ఇచ్చి, పద్య చర్చకు దోహదం చెయ్యండి. చక్కని భావమున్నదా పలువురు ఆనందిస్తాను. లేదా ఈ పద్యం అందంగా వినవస్తుంది కాని, అసలు అర్థం పర్థం లేదు అన్న విజం నిరూపించబడుతుంది. నిదానంగానే చదువుకుంటాను సాహిత్యాన్ని. నాకు తొందరేం లేదు. ఒకవేళ నాలో ఉన్న దోషాల వల్ల నాకు తెలియక పోయినా – పద్యానికి అర్థమంటూ ఉంటే, వేరే కొందరికైనా తెలుస్తుంది కాదా.
లైలా