న్యూయార్క్ నగరానికి యాభై మైళ్ళ దూరంలో ఉన్న ప్రిన్స్‌టన్ పట్టణంలో ఎనిమిది వందల ఎకరాల స్థలంలో చెట్లూ, చేమల మధ్య భవంతులతో ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్డ్ స్టడీ (IAS) అన్న ఓ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన పరిశోధనా సంస్థ ఉంది. హిట్లర్ ‘పుణ్యమా’ అని యూరప్ నుండి పారిపోయిన మహామేధావులెందరికో ఆ సంస్థ ఆశ్రయం ఇచ్చింది. 1940-1950 మధ్యలో ఆ సంస్థని చూడటానికి వచ్చే వాళ్ళకి సాయంత్రం ఆఫీసు నుండి ఇంటికి నడచిపోతూ ఇద్దరు వ్యక్తులు కనపడేవారు.

కర్ట్ గూడెల్
1906 – 1978

ఒకాయన లావుగా, పొడవుగా, నలిగిన బట్టలు వేసుకుని చిలిపి కళ్ళతో నవ్వుతూ, తుళ్ళుతూ ఉండేవాడు. ఆయన పక్కనే ఒక బక్క పలచనయిన మనిషి, నలగని బట్టలూ, టోపీ పెట్టుకుని ముభావంగా ఉండేవాడు. ఇన్యూయార్క్ నగరానికి యాభై మైళ్ళ దూరంలో ఉన్న ప్రిన్స్టన్ పట్టణంలో ఎనిమిది వందల ఎకరాల స్థలంలో చెట్లూ, చేమల మధ్య భవంతులతో ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్డ్ స్టడీ (IAS) అన్న ఓ ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన పరిశోధనా సంస్థ ఉంది. హిట్లర్ ‘పుణ్యమా’ అని యూరప్ నుండి పారిపోయిన మహామేధావులెందరికో ఆ సంస్థ ఆశ్రయం ఇచ్చింది. 1940-1950 మధ్యలో ఆ సంస్థని చూడటానికి వచ్చే వాళ్ళకి సాయంత్రం ఆఫీసు నుండి ఇంటికి నడచిపోతూ ఇద్దరు వ్యక్తులు కనపడేవారు.

కర్ట్ గూడెల్
1906 – 1978

ఒకాయన లావుగా, పొడవుగా, నలిగిన బట్టలు వేసుకుని చిలిపి కళ్ళతో నవ్వుతూ, తుళ్ళుతూ ఉండేవాడు. ఆయన పక్కనే ఒక బక్క పలచనయిన మనిషి, నలగని బట్టలూ, టోపీ పెట్టుకుని ముభావంగా ఉండేవాడు. ఇద్దరూ గత శతాబ్దంలో విజ్ఞాన శాస్త్రంలో పాతుకుపోయి ఉన్న నమ్మకాలను పెకలించినవారే. కానీ, ఒకరి గురించి సామాన్య ప్రపంచంలో తెలియని వారుండరు. వేరొకరి పేరు విన్నవాళ్ళు అరుదు. ఒకరు ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి పొందిన భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఆల్బర్ట్ ఐన్‌స్టయిన్, వేరొకరు కర్ట్ గూడెల్.

1979లో ప్రతిష్ఠాకరమైన Pulitzer బహుమతి నందుకున్న ఓ పుస్తకం – డగ్లస్ హాఫ్‌స్టాడర్ రాసిన గూడెల్, ఎషర్, బాక్: ఆన్ ఎటర్నల్ గోల్డెన్ బ్రెయిడ్ – ప్రచురితమైనదాకా గూడెల్ విప్లవాత్మకమైన సిద్ధాంత పరిశోధనల గురించీ ఆయన జీవితం గురించీ సామాన్యులకి తెలిసింది చాలా తక్కువ.

సంపన్న వంశంలో జననం

కర్ట్ ఫ్రీడ్రిష్ గూడెల్ (Kurt Friedrich Gödel) 1906 ఏప్రిల్ 28న అప్పట్లో ఆస్ట్రో-హంగేరియన్ సామ్రాజ్యంలో, బర్నో (Brno) పట్టణంలో పుట్టాడు. మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం తర్వాత ఆ సామ్రాజ్యం కూలిపోయింది. బర్నో చెకొస్లోవేకియా అన్న కొత్త దేశంలో భాగమమయింది. గూడెల్ పూర్వీకులు పొట్టపోషణకై జర్మనీ నుండి వలస వచ్చినవారు. బర్నోలో గూడెల్ కుటుంబమే కాకుండా జర్మన్ మాట్లాడే కుటుంబాలు కొంచెం ఎక్కువగానే వుండేవి. కర్ట్ తండ్రి బట్టల కంపెనీలో మేనేజరు. పనివాళ్ళూ సౌకర్యాలతో గూడెల్ కుటుంబం చుట్టుపక్కల వాళ్ళతో పోలిస్తే ఐశ్వర్యవంతులే.

గూడెల్‌కి చిన్నప్పటి నుండీ కుతూహలం ఎక్కువ. నాలుగేళ్ళప్పుడే, ఇంట్లో అతనిని ‘హెర్ వరుమ్’ (Mr. Why) అని పిలిచేవాళ్ళు. పసి వయసులో వాతరోగం పాలయ్యాడు. దాని వలన శారీరకంగా నష్టం కలగకపోయినా, జీవితాంతమూ తనకి వంట్లో బాగులేదనే మానసిక రుగ్మతకు లోనయ్యాడు. ఇది అతని జీవితంలో చివరకి ప్రాణాంతక పరిస్థితులకి దారితీసింది. బడిలో ప్రతి సంవత్సరం అన్ని సబ్జక్టులలో మంచి మార్కులతో ఉత్తీర్ణుడయే వాడు. పధ్నాలుగేళ్ళ వయసులో వినోద యాత్రకని వేరే ఊరు వెళ్ళినప్పుడు, గర్ట(Goethe) జీవిత చరిత్ర చదివాడు. రంగుల సిద్ధాంతం గురించి గోయ్థ న్యూటన్తో పడిన సంఘర్షణ గురించి చదివిన తర్వాత, అతనికి గణితం పైనా సైన్సు పైనా మక్కువ పెరిగింది. 1924లో యూనివర్సిటీ చదువుకి వియన్నా నగరానికి వెళ్ళాడు. అప్పటికే అన్న రుడోల్ఫ్ అక్కడ మెడిసిన్ చదవడానికి వెళ్ళి ఉన్నాడు.

చదువుకునే రోజుల్లోనే గూడెల్ ఓ డాన్సర్‌ని కలిశాడు. ఆమె పేరు అడేల్(Adele). కర్ట్ కన్నా ఆరేళ్ళు పెద్దది; అప్పటికే పెళ్ళయి విడాకులు కూడా పుచ్చుకున్నది; బార్లలో, కాఫీ హౌస్‌లలో పనిచేసేది. అట్లాంటి డాన్సర్లని, శీలం తక్కువ అని సంఘంలో పై వర్గాల వాళ్ళు చిన్నచూపుతో చూసేవాళ్ళు. అందుకని తమ ప్రణయ జీవితం గురింఛి గూడెల్ సన్నిహితులకి కూడా చెప్పలేదు. కలిసిన పదేళ్ళ దాకా పెళ్ళి ప్రస్తావన తేలేదు. కర్ట్ కుటుంబం అసలే సంపన్న సాంప్రదాయక కుటుంబం; వాళ్ళిద్దరి కలయికకి కర్ట్ కుటుంబం సుతరామూ ఒప్పుకోలేదు. అయినా గోడెల్ ఆవిడనే పెళ్ళి చేసుకున్నాడు.

వియెన్నాలో పై చదువు

వియన్నా అపట్లో యూరపులో పేరున్న సాంస్కృతిక కేంద్రం. కాఫీ హౌసుల్లో కూర్చుని గంటల తరబడి చర్చించుకోవడం సర్వ సాధారణం. కొందరు మేధావులు ఓ పాత కాఫీ హౌసులో వారానికోసారి కలిసి తాత్విక విషయాలు చర్చించుకునేవాళ్ళు. వీటికి తన ప్రొఫెసరు ఆహ్వానం పైన గూడెల్ అప్పుడప్పుడు హాజరయేవాడు; కాని మితంగా మాట్లాడేవాడు. ఆ ముఠాకే వియెన్నా బృందం (Vienna Circle) అని పేరు వచ్చింది.

గూడెల్‌కి 1930లో పీహెచ్.డీ పట్టా వచ్చింది. తన థీసిస్లో ప్రతిపాదనా తర్కం (Propositional Logic) సంపూర్ణం (complete) అనీ, వైరుధ్య రహితమనీ (consistent) రుజువు చేశాడు. ఈ పదాల గురించి క్లుప్తంగా తెలుసుకుందాం. మౌలికమైన వివేచనా సూత్రాలను క్రమబద్ధం చేసే తార్కిక వ్యవస్థని ప్రతిపాదనా తర్కం అంటారు. ఓ వ్యవస్థ (system)లో, ఏ ప్రతిఫాదన ఇచ్చినా అది నిజమో కాదో తేల్చి చెప్పగలిగితే ఆ వ్యవస్థ సంపూర్ణం; దాంట్లో వైరుధ్యాలకి ఆస్కారం లేదని రుజువు చేస్తే అది వైరుధ్య రహితం. ప్రతిపాదనా తర్కంలో మనమడిగే ప్రతి ప్రశ్నకీ – ఓ ప్రతిపాదన నిజమా కాదా అన్న ప్రశ్నకి – ఖచ్చితమైన జవాబు దొరుకుతుంది. అంతేకాదు, ఆ తర్కంలో చేసే వివేచన ఎలాంటి వైరుధ్యాలకీ దారి తీయదు.

డాక్టరేట్ డిగ్రీ ఉన్నంత మాత్రాన మంచి జీతంతో యూనివర్సిటీలో లెక్చరరు ఉద్యోగం వచ్చే అవకాశాలు లేవు. అందుకు మరో పేపరు ప్రచురించాలి. దేని మీద రాయాలి? ఎక్కువమందిని ఆకర్షించాలంటే పేరున్న సమస్యనేదైనా తీసుకోవాలి. నూతన శతాబ్దార్భావం సందర్భంగా 1900లో హిల్బర్ట్ గణిత ప్రపంచానికి సాధించమని ఓ సమస్యల చిట్టా ఇచ్చి వున్నాడు. గూడెల్ ఆ లిస్టులో గణిత పునాదులకి సంబంధించిన రెండో సమస్యను తీసుకొన్నాడు. ప్రతిపాదనా తర్కం లాగే, సంఖ్యాశాస్త్రం కూడా సంపూర్ణమనీ, వైరుధ్యరహితమనీ రుజువు చెయ్యడం ఆ సమస్య ధ్యేయం.

సంఖ్యాశాస్త్రం సంపూర్ణమంటే అర్థం ఏమిటి? సంఖ్యలకి సంబంధించిన ఏ ప్రశ్నకయినా సమాధానం చెప్పగలగాలి. చిన్న తరగతులలోనే ప్రధాన సంఖ్యల గురించి చదువుకుంటాం. ప్రధాన సంఖ్యని, అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … ఇలా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం. ప్రతి సంఖ్యా ప్రధాన సంఖ్య కానీ, ప్రధాన సంఖ్యల గుణిత ఫలం గానీ అయి ఉండాలి. ఉదాహరణకి, 14 ప్రధాన సంఖ్య కాదు; దానిని 2 x 7 గా రాయవచ్చు. ఈ మాత్రం పరిచయంతో ప్రధాన సంఖ్యల గురించి చిన్న పిల్లలకి కూడ అర్థమయే ప్రశ్నలు వెయ్యవచ్చు. వాటిలో కొన్నిటికి తలపండిన మేధావులు కూడా సమాధానం చెప్పలేరు!

ఉదా: రెండు మూడు వందల సంవత్సరాల క్రితం గోల్డ్‌బాఖ్ (Christian Goldbach) అన్నాయన ఇది ప్రతిపాదించాడు: రెండు కన్నా మించిన ప్రతి సరి సంఖ్యా, రెండు ప్రధాన సంఖ్యల కూడికకి సమానం. దీనిని గోల్డ్‌బాఖ్ వితర్కం (Goldbach Conjecture) అంటారు. కొన్ని ఉదాహరణలు: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; 14 = 7 + 7; 16 = 5 + 11. కాని ఎన్ని ఉదాహరణలయినా వివరించడానికే కాని ప్రతిపాదనని రుజువు చెయ్యలేవు. అనంత మయిన సరి సంఖ్యలలో ఏ రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని కలిపినా రాని దేదన్నా దాగి ఉండవచ్చు. అలాంటి సరి సంఖ్య లేదు అని రుజువు చేసిందాకా ఇది కేవలం ప్రతిపాదన మాత్రమే, సిద్ధాంతం కాదు. ఇప్పటికీ ఇది ఎవరికీ కొరుకు పడని సమస్య!

అలాంటిదే మరొకటి. ఈ జంట సంఖ్యలని చూడండి: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), … ఇలాంటి జంటలు – జంటలోని రెండూ ప్రధాన సంఖ్యలే, వాటి మధ్య తేడా రెండు – అనంతంగా ఉన్నాయని చాలా కాలం క్రితమే ప్రతిపాదించారు. దీనినే ప్రధానసంఖ్యాజతి వితర్కం (twin prime conjecture) అంటారు. కాని గొప్పగొప్ప వాళ్ళెంత కష్టపడినా ఇంతవరకూ దీనిని ఎవరూ రుజువు చెయ్యలేకపోయారు!

కాని హిల్బర్ట్ ప్రసంగం నాటికి, ఇలాంటి ప్రతిపాదనలని ఎప్పుడో ఒకప్పుడు గణితవేత్తలు అటో ఇటో తేల్చగలరనుకున్నారు. ఎప్పటికీ తేలని సమస్యలంటూ సంఖ్యాగణితంలో లేవని హిల్బర్ట్‌తో పాటు మిగిలిన గొప్ప గణితవేత్తలంతా నమ్మారు. అంటే సంఖ్యా గణితం సంపూర్ణమని వారి నమ్మిక.

సంఖ్యా గణితంలో వైరుధ్యాలకి తావు లేదని అందరూ నమ్మారు. అంటే సంఖ్యా గణితం లోని సూత్రాలు క్రమంగా ఏ వరుసలో వాడినా, ఎన్నటికీ అవి వైరుధ్యానికి దారితీయలేవు. వైరుధ్యరహితం అంటే, సంఖ్యా గణిత సూత్రాలను ఎలా వాడుకున్నా ఎప్పటికీ ౦ ≠ ౦ (సున్నా సున్నాకి సమానం కాదు) అని నిరూపించడానికి వీలు కాదన్నమాట.

విజ్ఞానశాస్త్రాలలో కెల్లా మకుటాయమైనది గణితశాస్త్రం. దాంట్లోకెల్లా మౌలికమైనది సంఖ్యాగణితం. సంపూర్ణం, వైరుధ్యరహితం, అన్నది నమ్మిక మాత్రమే. దానికి సిద్ధాంతపరమైన రుజువు కనుక్కోమని హిల్బర్ట్ గణితవేత్తలకి సవాలు విసిరాడు. గత శతాబ్దారంభంలో హిల్బర్ట్ చేసిన ప్రముఖ ప్రసంగంలో ఇచ్చిన సమస్యలలో ఇది రెండోది. ఇంతకన్నా పేరున్న సమస్య ఇంకేముంటుంది? గూడెల్ దానినే ఎంచుకున్నాడు.

ఎంచుకున్న సంవత్సరానికే, కాంట్, హిల్బర్ట్‌ల జన్మస్థానమైన కోనిగ్స్‌బర్గ్ పట్టణంలో 1930 సెప్టెంబరులో జరిగిన ఓ సమావేశానికి గూడెల్ హాజరయ్యాడు. ఓ రౌండ్ టేబిల్ చర్చలో గూడెల్ దాదాపు అనాలోచితంగా, “గణితంలో గోల్డ్‌బాఖ్ ప్రతిపాదన లాంటివే కొన్ని వాస్తవమైనా నిరూపించలేనివి ఉన్నాయి”, అన్నాడు. దాని అర్థం సంఖ్యా గణితం అసంపూర్ణం అని!

మరునాడు, అదే నగరంలో, హిల్బర్ట్ తన గౌరవార్థం చేసిన సభలో ఇచ్చిన ప్రఖ్యాత ప్రసంగంలో “రుజువు చెయ్యలేని సమస్యంటూ లేదు”, అని ఉద్ఘాటించాడు. గూడెల్ బహుశా ఆ ప్రసంగం వినే ఉంటాడు. కాని మెదలకుండా ఊరుకున్నాడు. 1931 మార్చి 25న గూడెల్ ‘On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems’ అన్న తన పేపరుని ప్రచురించాడు. దాని పిడుగుపాటు పర్యవసానాల్ని గణిత ప్రపంచం గుర్తించడానికి కొంత సమయం పట్టింది. గూడెల్ నిరూపణా విధానం అందరినీ విస్మయపరచింది. సూక్ష్మాలు తెలుసుకున్న పిదప, గూడెల్ సాధించినది విప్లవాత్మకమైనదనీ, అతని పేపర్ తార్కిక గణితానికే మైలురాయి అనీ, చారిత్రాత్మకమైనదనీ గుర్తించారు. అది రాసేనాటికి గూడెల్‌కి పాతికేళ్ళు కూడా నిండలేదు!

ఈ పేపర్ మూలంగా గూడెల్ పేరు గణిత ప్రపంచంలో నలుమూలలా ప్రాకింది. అమెరికాలో కొన్ని యూనివర్సిటీలు సందర్శించమని గోడెల్కి ఆహ్వానాలు పంపాయి. వాటిల్లో యూనివర్సిటీ కాకపోయినా విశిష్టమైన విద్యా సంస్థ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ అడ్వాన్స్డ్ స్టడీ (IAS). ఇప్పుడు కూడా ఈ సంస్థని గణితంలో ప్రపంచంలో కెల్లా అగ్రగామి సంస్థగా గుర్తిస్తారు. అంతేకాక ప్రపంచంలోకెల్లా మొట్టమొదటగా నిర్మించిన కంప్యూటర్లలో ఒకదానికి అక్కడే అంకురార్పణ జరిగింది.