మూడు వేర్వేరు భాషలు
గూడెల్ సిద్ధాంతాలని సరిగా అర్థం చేసుకోవడానికి ముందర మూడు రకాలైన భాషల గురించి స్పష్టమైన అవగాహన ఉండాలి:
- క్రమబద్ధ సంఖ్యాగణితం (Formal Arithmetic or FA): ఇది క్రమబద్ధమైన భాష. కొన్ని సంకేతాలతో వ్యాకరణాన్ని పోలిన సూత్రాలతో దీంట్లో వాక్యాలని (ఫార్ములాలని) యాంత్రికంగా రూపొందించవచ్చు. ఈ భాషలోని వాక్యాలకి అర్థం లేదు. అర్థం కావాలంటే చెప్పుకోవచ్చు. కాని ప్రస్తుతానికి అది కేవలం కొన్ని సూత్రాల ప్రకారం నడిచే భాష అనీ, రూపమే కాని సారం లేని భాష అనీ గుర్తుంచుకోండి. ఉదాహరణ: S0 + SS0 = SSS0. ఇది కేవలం S, 0, +, = అన్న సంకేతాలతో కూడిన పద బంధం గల వాక్యం (ఫార్ములా).
- ఆధిసంఖ్యాగణితం (Meta Arithmetic or MA): FA భాషలోని సంకేతాల, వాక్యాల మధ్య సంబంధం గురించి ఈ భాషలో మాట్లాడుకోవచ్చు. ఉదాహరణ: ‘S0 + SS0 = SSS0’ అన్న ఫార్ములాలో మొదటి సంకేతం ‘S’.
- ప్రాథమిక సంఖ్యాగణితం (Informal Arithmetic or IA): ఇది మనకందరికీ పరిచయమున్నది. సంఖ్యల మధ్య గల సంబంధాల గురించి ప్రతిపాదనలు చేస్తాం. కూడిక, హెచ్చవేతలు ఎలా చెయ్యవచ్చో చెప్పవచ్చు. ఉదాహరణ: 1 + 2 = 3.
క్రమబద్ధ సంఖ్యాగణితం (Formal Arithmetic or FA)
ఏ భాషకైనా మౌలికమైనవి అక్షరాలు. వాటినే సంకేతాలు, లేక గుర్తులు అంటారు. ఈ భాషలోని కొన్ని సంకేతాలు: ౦, S, (, ), =, +, ., ~. వీటిలో కొన్ని ఫార్ములాలలో చలనరాశులు (variables) ఉంటాయి. వాటిని x, y, z, … లతో సూచిద్దాం.
ఈ సంకేతాలను కలిపి ఫార్ములాలని తయారుచెయ్యవచ్చు. ఉదాహరణకి S0 + S0 = SS0. ఈ ఫార్ములాలు తయారుచెయ్యడానికి మార్గమేమిటి? కొన్ని పరిమితమైన ముందుగా నిర్ణయమైన ఫార్ములాలతో మొదలెట్టి క్రమమైన సూత్రాలతో ఆ ఫార్ములాలని మారుస్తూ కొత్త ఫార్ములాలని తయారు చెయ్యవచ్చు. ఈ భాషలో ముందరి ఫార్ములాలు ఇవి. వీటినే స్వయంసిద్ధ సూత్రాలు (Axioms) అంటారు:
| ఫార్ములా సంఖ్య | స్వయంసిద్ధ సూత్రం |
|---|---|
| 1 | (∀x) ~Sx = 0 |
| 2 | (∀x) (x + 0) = x |
| 3 | (∀x) (∀y) (x + Sy) = S (x + y) |
| 4 | (∀x) (x.0) = 0 |
| 5 | (∀x) (∀y) (x.Sy) = ((x.y) + y) |
ప్రస్తుతానికి ఈ ఫార్ములాల అర్థం పట్టించుకోకండి – FA భాషకి రూపమే గాని సారం లేదన్నాం కదా. వీటిని కేవలం సంకేతాల సముదాయంగా గుర్తుపెట్టుకోండి. ఈ ఫార్ములాలని క్రమబద్ధంగా మార్చడానికి ఈ క్రింది సూత్రాలు వాడుకోవచ్చు.
రూపాంతరీకరణ సూత్రాలు (Transformation Rules)
- ప్రత్యేక సూత్రం (Rule of Specification): (∀x) p అన్న ఫార్ములా నుండి, కేవలం p గల ఫార్ములాని గాని, p లో x చలనరాశికి బదులు మరేదైనా పదం వాడి కొత్త ఫార్ములాని గాని సృష్టించవచ్చు.
- సాధారణీకరణ సూత్రం (Rule of Generalization): p ఫార్ములాలో, x చలనరాశిగా ఉంటే, (∀x) p అన్న కొత్త ఫార్ములాని సృష్టించవచ్చు.
- మార్పిడి సూత్రం (Rule of interchange): ఈ రెండు పదబంధాలని, (∀x) ~ మరియు ~(∃x) ఒకదాని బదులు వేరే దానిని వాడి కొత్త ఫార్ములాని సృష్టించవచ్చు.
- అనురూప సూత్రం (Rule of Symmetry): p = q అన్న ఫార్ములాకి బదులు q = p వాడవచ్చు.
- సంక్రమణ సూత్రం (Rule of Transitivity): p = q అనీ q = r అనీ రెండు ఫార్ములాలు ఉంటే p = r అని వాడవచ్చు.
ఈ విధంగా మరికొన్ని సూత్రాలని నిర్వచించవచ్చు. అప్పుడు మనం పై స్వయంబద్ధ సూత్రాలతో మొదలెట్టి, ఈ రూపాంతరీకరణ సూత్రాలని వాడి కొత్త ఫార్ములాలని తయారుచేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకి ‘0 = 0’ అన్న ఫార్ములాని ఈ విధంగా రాబట్టవచ్చు. ప్రస్తుతానికి, ౦, =, ఈ రెండూ కేవలం అర్థంలేని గుర్తులు మాత్రమేనని గుర్తుంచుకోండి:
Step 1: (∀x) (x + 0) = x ; ఇది రెండో స్వయంసిద్ధ సూత్రం
Step 2: (౦ + ౦) = ౦ ; x కి బదులు 0 – ప్రత్యేక సూత్రం
Step 3: 0 = (0 + 0) ; అనురూప సూత్రం
Step 4: ౦ = ౦ ; సంక్రమణ సూత్రం – Steps 2, 3 ఆధారంగా
మరో ఉదాహరణ తీసుకుందాం:
Step 1: (∀x) ~Sx = 0 ; ఇది మొదటి స్వయంసిద్ధ సూత్రం
Step 2: ~S0 = 0 ; x కి బదులు 0 – ప్రత్యేక సూత్రం
ఇంతవరకు FA భాషలోని గుర్తులకి ఎలాంటి అర్థమూ ఆపాదించవద్దని చెప్పాను. కాని ఇప్పుడు ఆ సంకేతాలకి సామాన్య గణితపరమైన అర్థం ఇద్దాం. 0 అంటే సున్నా, + అంటే కూడిక, . అంటే గుణింతం, = అంటే సమానం, S అంటే Successor అలా. IA భాషలో మనకి తెలిసిన ౦ = ౦ అన్నదానికి సమతుల్యమైన FA ఫార్ములా ‘0 = 0’. IA భాషలో అయిదుని 5 గా సూచిస్తే, దానినే FA లో SSSSS0 గా, సున్నా ముందర అయిదుసార్లు S తో, సూచిస్తాం. IA భాషలో 1<> 0 అన్నదానికి FA భాషలో సమతుల్యమైనది ‘~S0 = 0’. దాని అర్థం – Not Successor of zero equals zero, అంటే Not one equals zero. (∀x అంటే for all x అనీ, ∃x అంటే there exists an x అనీ, ~ (టిల్డా) అంటే Not అనీ అర్థం చెప్పుకోవాలి.)
ముక్కు ఎక్కడుందో చూపమంటే, చెయ్యి తల వెనుక తిప్పి చూపెట్టినట్టు ఉంది కదూ. కాని ఇక్కడ రెండు ముఖ్య విషయాలని గమనించాలి. FA సంఖ్యాశాస్త్రాన్ని క్రమబద్ధం చేసేదే కాని, అది సంఖ్యాశాస్త్రం కాదు. అది కేవలం పద బంధాలని కొన్ని కచ్చితమైన సూత్రాల ద్వారా వేరే పద బంధాలుగా మారుస్తుంది. ఈ పద బంధాలని మనం సంఖ్యాశాస్త్రానికి అన్వయించి అర్థం తెలుసుకోవచ్చు, కాని FA కి సంబంధించినంతవరకు, అది పద బంధాలతో సంకేతాలని మారుస్తూ ఆడుకునే ఆట మాత్రమే.