1. పరిచయం

కేవలం ఆకర్షణీయంగా మాత్రమే ఉండి, భార్యకి ఉండవలసిన ఇతర లక్షణాలు (కార్యేషు మంత్రీ, క్షమయా ధరిత్రీ, వగైరా) మరేవీ లేని వ్యక్తిని ఇంగ్లీషులో ‘ట్రోఫీ వైఫ్’ అంటారు. ఇదే విధంగా ‘పనికొచ్చే లక్షణాలు’ లేని ఒక గణితశాస్త్ర విభాగం ఉంది. దానిని శుద్ధ గణితం (pure mathematics) అంటారు. ఇందులో ‘బొత్తిగా పనికిమాలిన’ శాఖ మరొకటి ఉంది. దానిని సంఖ్యా గణితం (number theory) అంటారు. సంఘంలో ట్రోఫీ వైఫ్ ఎలాంటిదో గణితంలో సంఖ్యా గణితం అలాంటిదని కొందరు చమత్కరిస్తారు. గణితంలో సంఖ్యా గణితాన్ని అధ్యయనం చేసేవారు సౌందర్యోపాసకులు. ఆ గణితంలో వారి కంటికి కనిపించే అందమే వారికి ఆనందదాయకం. ఈ శాఖలో ఉన్న మరొక ఉపశాఖని ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అంటారు. ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు ఎందుకు, ఎవ్వరికి, ఎక్కడ, ఎలా ఉపయోగపడతాయో చెప్పడం కష్టం. కాని ఈ ఉపశాఖలో కనబడే అందం మరెక్కడా లేదేమో అనిపిస్తుంది. గణితంలో ప్రావీణ్యం లేని వారు కూడ, గణితపు లోతులని తరచి చూసే సామర్ధ్యం లేని వారు కూడ, ఈ ప్రధాన సంఖ్యల అందచందాలని చవి చూడకపోతే జీవితంలో ఒక వెలితి మిగిలిపోయినట్లే. అదృష్టవశాత్తు ఈ ప్రధాన సంఖ్యలలోని అందచందాలని చవి చూసి ఆనందించడానికి గణితం లోతుల్లోకి అతిగా వెళ్ళనక్కరలేదు.

1. పాల్ ఎర్డిష్ – టెరెన్స్ టావ్

ఈ అంశాన్ని ఇప్పుడు, ఇక్కడ ప్రస్తావించడానికి ఒక కారణం ఉంది. ఈ మధ్య, అనగా సా. శ. 2013లో, గణిత ప్రపంచంలో ఎన్నో విధాలుగా అసాధారణమైన ఒక సంఘటన జరిగింది. క్రీడారంగంలో ప్రతిభ యువతరానికి ఎలా పరిమితమో అదే విధంగా గణిత రంగంలో ప్రతిభ బాల్యానికీ, యువతకీ పరిమితం. గణితంలో పేరు ప్రతిష్టలు తెచ్చుకున్న వాళ్ళంతా చిన్నతనంలోనే వికసించి పరిమళించేరు. ఒక గౌస్ అనండి, ఒక రామానుజన్ అనండి, ఒక మంజుల్ భార్గవ అనండి – వీరంతా పాతికేళ్ళు నిండే లోపునే ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి పొందేరు. ఉదాహరణగా 1985లో, కొమ్ములు తిరిగిన పాల్ ఎర్డిష్ (Paul Erdos) కేవలం 10ఏళ్ళ టెరెన్స్ టావ్ (Terrance Tao)తో గణితంలో ఎదురయే ఒక సూక్ష్మాన్ని చర్చిస్తూన్న దృశ్యం చూడండి. దరిమిలా, 2007లో అతను సంఖ్యాశాస్త్రంలో చేసిన పనికి గుర్తింపుగా, టావ్‌కి ప్రతిష్టాత్మకమైన ఫీల్డ్స్ మెడల్ (Fields Medal) వచ్చింది. ఈ బాల మేధావి ఇప్పుడు కేలిఫోర్నియా విశ్వవిద్యాలయం, లాస్ ఏంజిలిస్‌లో ఆచార్య పదవి అలంకరించి ఉన్నాడు.

ఇలా పరిమళించిన వారంతా పాతిక, ముప్పయి సంవత్సరాల లోపునే వారు చేరుకోవలసిన శిఖరాగ్రాలు చేరుకున్నారు. ఏభయ్యవ పడి దాటిన తరువాత గణిత శాస్త్రపు పురోగతికి దోహదం చేసిన వ్యక్తులు దరిదాపుగా లేరనే చెప్పాలి. అటువంటిది, 2013లో, ఏభయ్ ఏళ్ళు దాటిన వయోవృద్ధుడు, అంతవరకు గణిత ప్రపంచానికి బొత్తిగా పరిచయం లేని ఒక అనామకుడు, చదువు అయిన తరువాత ఉద్యోగం దొరకక చిల్లర పనులు చేసి పొట్ట నింపుకున్న ఒక అప్రయోజకుడు, అకస్మాత్తుగా తారాపథంలో నవ్యతారలా ఒక్క వెలుగు వెలిగిపోయి అందరినీ ఆశ్చర్యచకితులని చేసిన వైనం ఇక్కడ చెప్పబోతున్నాను.

2. యీటాంగ్ జాంగ్ (1955 – )

మన కథానాయకుడి పేరు యీటాంగ్ జాంగ్ (Yitang Zhang), పుట్టుక 1955లో. చైనాలో ఉన్నతపాఠశాలలో చదువుకునేటప్పుడు ఆల్‌జీబ్రాని చూసి ఎంతో భయపడ్డ ఈ వ్యక్తే ఆ తరువాత పర్డ్యూ యూనివర్సిటీ నుండి 1991లో పిఎచ్. డి. పట్టా పుచ్చుకున్నాడు. ఆయనకి మార్గదర్శిగా ఉన్న ఆచార్యుడితో స్పర్ధలు వచ్చిన కారణంగా, సిఫారసు ఉత్తరం లేనందువల్ల జాంగ్‌కి ఎక్కడా ఉద్యోగం దొరకలేదు. ఈ పంచనీ ఆ పంచనీ చేరి పొట్టపోసుకుంటూ తాడు తెగిన గాలిపటంలా ఉన్న జాంగ్‌ని చూసి జాలిపడి 1999లో ఒక స్నేహితుడు న్యూ హాంప్‌షైర్ విశ్వవిద్యాలయంలో లెక్చరర్ ఉద్యోగం ఇప్పించేడు. అక్కడ కాల్‌క్యులస్ పాఠాలు చెప్పుకుంటూ, 2001లో ఒక పరిశోధనా పత్రం ప్రచురించేడు కాని అది ఆయన, ఆ పత్రికా సంపాదకుడు తప్ప మరెవ్వరూ చదివిన దాఖలాలు లేవు. తరువాత 2013లో ప్రచురించిన రెండవ పత్రంతో దిక్కులు పిక్కటిల్లేలా జాంగ్ పేరు గణిత ప్రపంచంలో మారుమోగిపోయింది. జాంగ్ పరిష్కరించిన సమస్యని నియమిత విరామ సమస్య (the bounded gap problem) అని పిలుస్తారు. ఇది ప్రధాన సంఖ్యల అధ్యయనంలో తారసపడే అతి క్లిష్టమైన సమస్య. పరిష్కారం లేకుండా రెండు శతాబ్దాల నుండి వేధిస్తూన్న సమస్య!

2. ప్రధాన (అభాజ్య) సంఖ్యలు

ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అనేవి 1 చేత గాని, తమ చేతే కాని మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగించడానికి లొంగేవి అని నిర్వచనం. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, వగైరాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలే. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యలకి భాజకాలు (divisors) లేవు. ఈ నిర్వచనంతో సరి సంఖ్యలు (2 తప్ప) ప్రధాన సంఖ్యలు కావు. అదే విధంగా 3 చేత, 4 చేత, 5 చేత, … భాగించబడేవి ఏవీ ప్రధాన సంఖ్యలు కాజాలవు. ఇలా మినహాయించుకుంటూ పోగా మిగిలేవే ప్రధాన సంఖ్యలు.

వీటి గురించి పురాతన కాలంలో గ్రీకులకి తెలుసు. పైథాగరస్ (Pythagoras) కాలంలో (క్రీ. పూ. 500 – 300) వీటికి ఒక రకం పవిత్రత అంటగట్టేరు. ప్రధాన సంఖ్యలలో ప్రత్యేక లక్షణాలు ఉన్న పరిపూర్ణ సంఖ్యలు (perfect numbers) అన్నా, సామరస్య సంఖ్యలు (amicable numbers) అన్నా గ్రీకులకి మరింత మక్కువ.

పరిపూర్ణ సంఖ్యకి 6 ఒక ఉదాహరణ. ఈ 6కి మూడు కారణాంకాలు (factors or divisors), అనగా 1, 2, 3 ఉన్నాయి కదా. ఈ మూడింటిని కూడగా మళ్ళా 6 వచ్చేస్తుంది. ఇదే విధంగా 28 కూడ పరిపూర్ణ సంఖ్యే. ఎందుకంటే 28కి 1, 2, 4, 7, 14 కారణాంకాలు; వీటిని కూడగా 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 వచ్చేసింది. రెండు సంఖ్యలు సామరస్య సంఖ్యలు అవాలంటే ఒక దాని కారణాంకాలని కలిపితే రెండవ సంఖ్య వస్తుంది. ఉదాహరణకి 220, 284 అనే జంట సామరస్య సంఖ్యలు అని చెబుతున్నాను. చదువరులు లెక్క వేసి సరి చూసుకోగలరు.

యూక్లిడ్ (Euclid) రోజుల నాటికి (క్రీ. పూ. 300) ప్రధాన సంఖ్యల గురించి మనకి ఎన్నో విషయాలు తెలిసిపోయాయి. యూక్లిడ్ తన ఎలిమెంట్స్ తొమ్మిదవ పుస్తకంలో ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయని రుజువు చేసేడు. యూక్లిడ్ అంకగణితానికి మూలస్తంభం అనదగ్గ మరొక సిద్ధాంతాన్ని కూడ రుజువు చేసేడు: ప్రతి పూర్ణాంకాన్ని (1ని మినహాయించి) ఏకైక ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా (product) రాయవచ్చు. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3. మరొక ఉదాహరణ 42 = 2 x 3 x 7. కాని 60కి 2, 3, 10 ప్రధాన కారణాంకాలు కావు. కానీ 60ని కూడ ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చు: 60 = 2 x 2 x 3 x 5. నిజానికి ఏ పూర్ణ సంఖ్యని అయినా సరే కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా రాయవచ్చు అని రుజువు చెయ్యవచ్చు.

రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని – ఎంత పెద్దవైనా సరే – కనుక్కోవడం పెద్ద కష్టం కాదు కాని, ఒక సంఖ్యకి ప్రధాన కారణాంకాలు (prime factors) కనుక్కోవడం చాల కష్టం. అంతర్జాలంలో వార్తలని సురక్షితంగా పంపడానికి ఈ లక్షణం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. వివరాలు చెప్పుకుంటూ పోతే దారి తప్పుతాం. ప్రధాన సంఖ్యలు మన జీవితంలో ఉపయోగపడే సందర్భం ఇదొకటి అని చెప్పుకోడానికి ఉదాహరణగా ఈ విషయం ప్రస్తావించేను.

క్రీ. పూ. 200 నాటికి ఇరాటోస్తనీస్ (Eratosthenes) అనే గ్రీకు ఆసామీ అంకెలన్నిటిని ‘ఒక జల్లెడలో వేసి జల్లిస్తే’ పైన ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలే పద్ధతిని కనిపెట్టేడు. తరువాత 17వ శతాబ్దం వచ్చే వరకు ప్రధాన సంఖ్యల గురించి కొత్త విషయాలు ఏవీ ఎవ్వరూ ఆవిష్కరించలేదు. అదొక అంధకార యుగం. తరువాత ప్రధాన సంఖ్యల దశ మళ్ళా పుంజుకుంది. ఈనాటి వరకు మనకి తెలిసిన విషయాలు అన్నీ స్మరించుకుంటూ పోడానికి ఇది స్థలమూ కాదు, వేళా కాదు. కాని కొన్ని ముఖ్యమైన విషయాలని టూకీగా చెప్పుకొస్తాను.

3. సీమిత విరామ సమస్య (Bounded gap problem)

ఒక సరళరేఖ మీద సమాన దూరాలలో చుక్కలు పెట్టి, వాటి పక్క 0, 1, 2, 3, …, అనుకుంటూ నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని సూచించినప్పుడు దానిని సంఖ్యా రేఖ (number line) అంటారు. ఈ సంఖ్యా రేఖ మీద ప్రధాన సంఖ్యలని, మాట వరసకి, ఎర్ర రంగులో రాసేం అనుకుందాం. అప్పుడు గీత మొదట్లో చాల ఎర్ర రంగు సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 అనే పదహారు సంఖ్యలు 50 కంటె చిన్నవయిన ప్రధాన సంఖ్యలు. సంఖ్యారేఖ మీద వంద వరకు వెళితే, అంటే 1 నుండి 100 మధ్యలో, ఇరవై అయిదు ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. లెక్కించి చూసుకొండి. వెయ్యి వరకు వెళితే 168 ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. అంటే, సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపించడం పలచబడుతుంది, లేదా ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత తగ్గుతుంది. ఈ పలచబడడం గురించి చిన్న ఉపమానం చెబుతాను.

ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యల తోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక – పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాల కోసం ఇరుగునా, పొరుగునా మాత్రమే చూస్తే దొరడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం దేశాంతరాలు దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి, గూగోల్‌ప్లెక్స్ (అంటే, 10 గూగోల్ సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన సంఖ్య) దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ గూగోల్ దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, గూగోల్‌ప్లెక్స్ అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)

ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యారేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్ళినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. (The whole number line can be produced using nothing but primes.) ఇటువంటి లక్షణాలు ఉండబట్టే ఈ క్షేత్రాన్ని దున్నుతూన్న కొద్దీ వజ్రాలు పుట్టుకొస్తున్నాయి.

ఇప్పుడు కొన్ని ప్రత్యేకమైన ప్రధాన సంఖ్యల పేర్లు చెబుతాను. వీటి వెనక ఉండే గణిత సూత్రాలు, రుజువులు అర్థం కాకపోయినా పరవాలేదు.

1. ప్రధాన సంఖ్యలు (2 మినహా) అన్నీ బేసి సంఖ్యలే.
2. రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 2 అయితే వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా కవలలు (twins) అంటారు. ఉదా: (3,5); (5,7); (11,13); (17,19); వగైరా. ఈ వరుస క్రమంలో తరువాత వచ్చే కవలలు మరి కొన్ని చెప్పుకోగలరా? ప్రయత్నించండి, కష్టం కాదు.
3. రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 4 అయితే వాటిని జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా జ్ఞాతులు (cousins) అంటారు. ఉదా: (3,7); (7,11); (13,17). మరికొన్ని మీరు రాసి చూడండి.
4. రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 6 అయితే వాటిని షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా షష్ఠ్యంతరాలు. లేటిన్‌లో 6ని సెక్స్ (sex) అంటారు కనుక వీటిని ఇంగ్లీషులో సెక్సీ ప్రైమ్ నంబర్స్ అంటారు. ఉదా: (5, 11); (7, 13); (11, 17). మరి కొన్ని షష్ఠ్యంతరాలు మీరు రాసి చూడండి.

కవలలనీ, జ్ఞాతులనీ, షష్ఠ్యంతరాలనీ, …, వగైరాలని గుత్తగుచ్చి ‘జంట’ ప్రధాన సంఖ్యలు అనొచ్చు. ఇక్కడ ‘కవల’కీ ‘జంట’కీ తేడా ఉంది. జంట ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం మనం నిర్దేశించి చెప్పవచ్చు కాని ‘కవల’ సంఖ్యల మధ్య దూరం ఎప్పుడూ రెండే.