డాల్రింపుల్ చరిత్రలోని లోపాలు: 1) చైనీస్ వారి శాస్త్రవిశేషాలను పెద్దగా ప్రస్తావించలేదు; Joseph Needham పేరయినా లేదు. 2) ఇస్లాముల గురించిన భాగంలో ఖయ్యాము లేడు; కవియే గాక (రుబాయత్), గణితంలో ఖగోళంలో విశేషమైన ప్రజ్ఞ చూపెట్టాడు. 3) ఫిబొనాచీ శ్రేణిని ఫిబొనాచీ కన్నా కొన్ని వందల సంవత్సరాల ముందరే ఆర్యభట ప్రస్తావించాడన్నారు; ఆర్యభట కాదు.
ఫిబొనాచీ శ్రేణి గురించి కంప్యూటర్ సైన్స్ వాళ్ళకి తెలుసు కాని కవులకు మిక్కిలి ఆసక్తికరమైన సంగతి. ఈమధ్య మా ఆవిడ, కన్నెగంటి రామారావు ఫేస్బుక్లో బైరాగి మీద రాస్తున్నాడు అని చెప్తే, రామారావు పోస్ట్ చూశాను: “పూవుల నెత్తావి కవిత్వంలోనే కాదు, నాకు ఫిబొనాచీ సీక్వెన్స్లో కూడా కనబడుతుంది.”
మంజుల్ భార్గవకి (2014 ఫీల్డ్ మెడలిస్ట్) చిన్నప్పుడు తాతగారి దగ్గర సంస్కృత కావ్యాలు చదవడాన గణితంపై ఆసక్తి కలిగిందట. క్రీస్తుకు పూర్వమే పింగళ, ఛందస్సులో గురు, లఘువులు ఎన్ని విధాలగా ఉండవచ్చో తెలిపాడంటారు. ఒక్క బీట్లో {(ల)}, రెండు బీట్లలో {(ల, ల), (గు)}, మూడయితే {(ల, ల, ల), (ల, గు), (గు, ల)), నాలుగయితే {(ల, ల, ల, ల), (ల, ల, గు), (ల, గు, ల), (గు, ల, ల), (గు, గు)}… అలా, బీట్లను బట్టి గురు, లఘువులు రక రకాల విన్యాసాలలో లయబద్ధంగా ఉండొచ్చు. ఎన్ని రకాలు? 1, 2, 3, 5, … అదే ఫిబొనాచీ శ్రేణి; దానిని ఫిబొనాచీ కన్నా కొన్ని వందల సంవత్సరాల క్రితమే మన వాళ్ళు కనిపెట్టారన్న విషయం పాశ్చాత్యులకి ఇటీవలదాకా తెలియదు.
Donald Knuth పేరు తెలియని కంప్యూటర్ సైన్స్ వారు ఉండరు. తెలియని వాళ్ళకి. యయాతి మహారాజు తన కుమారుడు పూరునకు బోధించిన ఓ నీతి:
“ఎఱుక గలవారి చరితలు | గఱచుచు, సజ్జనుల గోష్ఠిఁ గదలక ధర్మం
బెఱుఁగుచు, నెఱిఁగిన దానిని | మఱవ కనుష్ఠించునది సమంజసబుద్ధిన్.” — నన్నయ
Knuth కంప్యూటర్ సైన్స్కు ‘బైబిల్’ లాంటిది రాశాడు; రాస్తున్నాడు అనాలి, ఎందుకంటే ఏడు పర్వాలని ఆ యజ్ఞం మొదలెట్టింది 1962లో; మొదటి మూడు, నాలుగోదాంట్లో మొదటి భాగం మాత్రం అచ్చయినాయి. 87 ఏళ్ళ వృద్ధుడు కనుక బహుశా అసంపూర్ణంగానే మిగలొచ్చు. దాని పాత ప్రతులలో, ఫిబొనాచీ శ్రేణి ప్రస్తావనలో మన వాళ్ళ గురించి ఏమీ లేదు. కాని కొత్త ప్రతిలో:
Before Fibonacci wrote his work, the sequence had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns that are formed from one-beat and two-beat notes or syllables. The number of such rhythms having n beats altogether is Fn+1; and the rule for computing those numbers was stated by Virahäka (c. 700) in his work Vttajātisamuccaya, sloka 6.49. Therefore both Gopāla (before 1135) and Hemacandra (c. 1150) mentioned the numbers 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … explicitly.
నేనిది చెప్పడానికి కారణం: సైన్సులో వలసవాదం కరడుగట్టుకొని ఉన్నదనే వాదన ఉంది; కాని గత నాలుగయిదు దశాబ్దాలగా, ఇతర దేశాలలో పూర్వం జరిగిన పరిశోధనలు వెలుగులో కొచ్చేకొలదీ, వాటి విలువ పాశ్చాత్యులు గుర్తిస్తున్నారు.
చివరగా, సైన్సు చరిత్రని గురించిన చర్చ కనుక, Knuth, పదేళ్ళ క్రితం Stanford Universityలో ఇచ్చిన ప్రసంగంతో ముగిస్తాను:
“Why do I, as a scientist, get so much out of reading the history of science? Let me count the ways:
1. To understand the process of discovery—not so much what was discovered, but how it was discovered. Primary sources are best: the words of somebody who discovered something, as they were discovering it. The more examples I see, the more likely I’ll be able to discover something tomorrow.
2. To understand the process of failure. We learn a good deal from historical errors, not only from our own. It also helps to know that even the greatest minds are unable to grasp things that seem obvious to us. Leibniz spent much time working on combinatorics, and most of what he did was underwhelming and totally wrong.
3. To celebrate the contributions of many cultures. There are many ways of thinking, many points of view, and many independent researchers. Fibonacci numbers were discovered in India long before Fibonacci. Catalan numbers were discovered in China, a hundred years before Catalan. Many uneducated people have discovered wonderful patterns in numbers, and I can share their joy of discovery.
4. Telling historical stories is the best way to teach. It’s much easier to understand something if you know the threads it is connected to. Give credit to Fibonacci, but also to Narayana in India. The complete story is of many separate individuals building a magnificent edifice with a series of small steps.
5. To learn how to cope with life. How did other scientists grow up, make friends or enemies, manage their time, find mentors, mentor others, and serve their communities? Balance is important.
6. To become more familiar with the world, and to know how science fits into the overall history of mankind. What was life like on different continents and in different epochs? The main difference between human beings and animals is that people learn from history.”
“ఆర్యభట బ్రాహ్మణుడు కాదు, దళితుడు. బ్రహ్మగుప్తుడు కూడా బ్రాహ్మణుడు కాదు, వైశ్యుడు. పాశ్చాత్యులు యూక్లిడ్ను ఏ రకంగా తెల్లవాడిగా చూపిస్తారో – అదే విధంగా మనవారు ఆర్యభటని తెలిసో తెలియకో ఆర్యభట్టగా రాసి – విషయాన్ని తారుమారు చేస్తారు. మరిన్ని వివరాలకు చూ: Aryabhata dalit, his philosophy of ganita, and its contemporary applications. C. K. Raju. (చంద్ర కాంత రాజు ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన గణిత వేత్త, గణిత శాస్త్ర చరిత్రను కూలంకషంగా ఎరిగిన వారు.)”
CK Rajuగారి పేరు నేనిదే మొదటిసారి వినడం. ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన గణితవేత్త గదా అని AMS (American Mathematical Society) వెబ్సైట్లో వెదికాను. Terence Tao, CR Rao లాంటి వాళ్ళకున్నన్ని పేపర్లు ఆశించలేదు కాని, రాజుగారు ఓ పేరొందిన గణితవేత్తతో తగాదా పడ్డ విషయం మాత్రమే కనబడటం నిరాశ పరచింది.
“గణితశాస్త్ర చరిత్రను కూలంకషంగా ఎరిగిన వారు” అయితే కావచ్చు; “Decolonization of Mathematics” పేరిట వారి రచనలు ఎక్కువే ఉన్నాయి. కాని వాటిల్లోకూడా రాజుగారు తన ప్రచురణలనే ఎక్కువ ఉటంకించడంతో వారి వాదనలకి ఆ రంగంలోని పండితుల ఆదరణ తక్కువని నా అనుమానం. ఆ పండితులంతా పాశ్చాత్యుల భావాలకు దాసులంటే ఇక వాదించలేం.
భూషణ్గారు ప్రస్తావించిన రాజుగారి ప్రచురణనే చూద్దాం. ఆర్యభట్టకీ (విప్రుడు) ఆర్యభటకీ (భటుడు, సేవకుడు) ఉన్న తేడాని చూపి, ఆర్యభట బ్రాహ్మణుడు కాదు, శూద్రుడు అంటారు; అందుకు సాక్ష్యంగా బ్రహ్మగుప్తుడు (వైశ్యుడు), భాస్కరాచార్యుడు (బ్రాహ్మణుడు) ఆర్యభట గురించి నీచంగా పదే పదే వ్యాఖ్యానించడాన్ని ఉదహరిస్తారు. నాకు అవి అంత బలమైన ఆధారాలుగా అనిపించవు. రాజుగారు, అంతటితో ఆగక, ఇద్దరు ఆర్యభటలు ఉన్నారంటే, మన దేశంలో పూర్వకాలంలో కులవ్యవస్థ మరీ క్రూరంగా ఉండేది కాదు (ఉంటే ఒకరు కాదు ఇద్దరు శూద్రులు ఘనమైన గణితవేత్తలు కాగలరా?); వలసపాలన వచ్చిన తర్వాతనే ఆ క్రూరత్వం పెరిగిందంటారు. నాకు తెలిసినంతలో తరతరాలగా, తెల్లవాళ్ళు రాకముందు కూడా, మన కులవ్యవస్థ కారుణ్యరహితం.
సరే, ఈ కులాల గొడవ వదిలి గణితంలోకెళ్దాం. రాజుగారి వాదన – మనం ప్రత్యక్ష నిరూపణ (empirical proof) వాడాలనీ, నిగమిత నిరూపణ (deductive proof) వాడకూడదనీ, యూక్లిడ్ నిరూపణలన్నీ empirical అనీ, వాటిని deductive అని పాశ్చాత్యులు మోసం చేశారనీ, చర్చి ప్రభావంతో formal mathematics మనందరి నెత్తినేశారనీ – ఇలా సాగుతుంది.
ఈ వాదనలకి నాలాంటి సాదా సీదా సాఫ్ట్వేర్ ఇంజనీరు ఎదురు సమాధానం చెప్పలేడు కాని, యూక్లిడ్ నిరూపణలు deductive అనుకుంటాను. ఉదాహరణకి, ప్రథాన సంఖ్యలు అనంతం అన్న దానికి empirical proof ఏమిటి? దానికున్న ప్రఖ్యాతమైన యూక్లిడ్ నిరూపణ deductive కాదా? ఏం చూసి Edna St. Vincent Millay, “Euclid alone has looked on Beauty bare.” అన్నదో కాని, రెండు వేల సంవత్సరాల తర్వాత కూడా ఈ నిరూపణ నవనవలాడుతూ ఉట్టిపడుతోంది అంటాడు హార్డీ తన అపాలజలో. గణితం మీద కాస్తో కూస్తో అభిరుచి ఉన్నవాళ్ళు అది చదివి తన్మయమవాల్సిందే.
రాజుగారు విమర్శించే formal mathematicsకి నేపథ్యం గణితమే; చర్చీ, వలసపాలనా కాదు. యూక్లిడ్ నిరూపణలలోనూ, 18, 19 శతాబ్దాలలో వచ్చిన గణితంలోనూ లొసుగులున్నాయనీ, గణితాన్ని కట్టుదిట్టం చెయ్యకపోతే పరస్పర విరుద్ధాలతో సంక్షోభం తప్పదనీ, గణితాన్ని గట్టి పునాదులతో ఎలాంటి వైరుధ్యాలకీ దారితీయని విధంగా చెయ్యాలనీ, చెయ్యవచ్చనీ హిల్బర్ట్ పట్టుబట్టాడు. అంతిమంగా ఆయన కల సఫలం కాలేదు. చిత్రంగా ఆ విఫల ప్రయత్నం మూలంగానే కంప్యూటర్ సైన్స్ పుట్టింది.
Science at this time was more than just a practical or ideological tool when it came to empire. Since its birth around the same time as Europeans began conquering other parts of the world, modern Western science was inextricably entangled with colonialism, especially British imperialism. And the legacy of that colonialism still pervades science.
“ఏ దేశ సంస్కృతి అయినా ఏనాడు కాదొక స్థిర బిందువు
నైక నదీనదాలు అదృశ్యంగా కలిసిన అంతస్సింధువు.”
— తిలక్, “మన సంస్కృతి,” అమృతం కురిసిన రాత్రి.
ముందుగా విలియమ్ డాల్రింపుల్ పుస్తకాన్ని ఈమాట పాఠకులకి పరిచయం చేసినందుకు రాణి శివశంకరశర్మ గారికి కృతజ్ఞతలు. ప్రాచీనకాలంలో ఇండియా సాంస్కృతిక విజ్ఞాన రంగాలలో సాధించిన వాటికి తగిన గుర్తింపు తేవడానికే ఈ పుస్తకం రాశానన్నాదు డాల్రింపుల్. అనేక వివరాలతో, తగిన ఆధారాలతో ఉన్న చదవదగ్గ రచన. ఆధ్యాత్మిక పరమైన విషయాలకంటె శాస్త్రీయ విజ్ఞానపరంగానే ఇండియా ప్రాభవాన్ని చెప్పుకోవాలంటాడు.
ఈ వ్యాసాన్ని చూస్తే రాణి బహుగ్రంథపఠితులనీ ఆలోచనాపరులనీ తెలుస్తుంది. కాని అనేకుల ఉటంకింపులతో సాగిన ఈ వ్యాసం అకటవికటంగా తయారయింది. ఎందుకిలా రాశారా అని రాణి గారి “ది లాస్ట్ బ్రాహ్మిన్” ఇటీవల హైద్రాబాదు వెళ్ళినప్పుడు నవోదయలో దొరికితే కొని చదివాను. అందులో అంటారు: “నేనా రోజుల్లో ప్రధానంగా ప్రేమ కవిత్వం రాసేవాణ్ణి. ఒకసారి ఒక వ్యంగ్య కవిత రాసి సీతంపేట గ్రంథాలయంలో జరిగిన కవి సమ్మేళనంలో చదివాను. … నా కవిత్వంలో యేదో వుందని నాను నమ్మకం కుదిరింది. ఇందిరాగాంధీ తాత్విక గురువు ధీరేంద్ర బ్రహ్మచారిని కూడా ఆ కవితలో లింకు పెట్టాను యెందుకో. ఇలా దూర సంబంధం కూడా లేనట్టు కనిపించే రెండు దత్తాంశాల్ని ఆకస్మాత్తుగా కలిపి వాటి అన్యోన్య సంబంధాల నుంచి వెల్లడయ్యే నిజాన్ని అతివాస్తవికంగా చెప్పే కవిత్వశైలి ఆది నుంచీ నాకు సహజంగానే వంటబట్టింది. ఇది థీసిస్ యాంటీ థీసిస్ సింథసిస్ అనే ఈక్వేషన్ కి దగ్గరిదని తర్వాత నేను తెలుసుకున్నాను.” (160 పేజి.)
ఆ ప్రత్యేక కవిత్వ ధోరణి ఈ రచనలో కూడా ప్రజ్వరిల్లి వ్యాస ప్రయోజన్నాన్ని దెబ్బతీసింది.
రాణి గారికి అనంతం అంటే మిగుల అభిమానం లాగుంది. (“ది లాస్ట్ బ్రాహ్మిన్” అంకిత వాక్యం: “గడచిపోయిన అనంత కల్పాలలో అనంత జన్మలలో అనంత రూపాలలో ఇదే రూపంలో మీరు లేరు, నాన్న గారూ, రాబోయే అనంత కల్పాలలో అనంత జన్మలలో అనంత రూపాలలో ఇదే రూపంలో మీరు కానరారు.”) కాని అనంతాన్ని సున్నాతో సమానం చేసి (తాత్వికంగానే అయినా) గందరగోళ పరిచారు.
“అనంతాన్ని గ్రీకులు చీకటిగా భావించారు, భయపడ్డారు. అనంతంలో వస్తువులు ఏర్పడవు అని అరిస్టాటిల్ అన్నాడు. భారతీయులు మాత్రమే అనంతాన్ని పాజిటివ్గా చూశారు.”
“ఇలా ఋతువులూ యుగాలూ చక్రాకృతిలో ‘అనంతం’గా పునరావృతి చెందడం అనే భావన జీరో, అనంతం, అనంత విశ్వం, చివరికి భూకేంద్రక సిద్ధాంతాన్ని నిరాకరించే లాజిక్కి దారితీసింది.”
“అనంతం, జీరో అనే భారతీయ ఆవిష్కరణలు పాశ్చాత్య వికాసయుగానికి మూలం అనేంతవరకూ వెళుతున్నారు విలియమ్ డాల్రింపుల్.”
ఇంతకీ డాల్రింపుల్ పుస్తకం సూచికలో అనంతం లేదు.
అనంతం అంటే విస్మయం కలగని వారుంటారా? “అమలిన తారకా సముదాయంబుల నెన్నను … విధాతృకైనను నేరం బోలునే” అంటాడు నన్నయ. మన వాళ్ళు అనంతాన్ని ఆవిష్కరించి గణితపరంగా ఏమి సాధించారో రాణి గారు చెప్పలేదు. గణితపరంగా అనంతాన్ని మొట్టమొదట గ్రహించింది గ్రీకులే:
“There is no smallest amongst the small and no largest among the large; But always something still smaller and something still larger.” – Anaxagoras (500-428 BC)
కాని జీనో (490-430 BC) పారడాక్స్ లు గ్రీకులని కలవర పెట్టాయి. అందుకని అరిస్తాటిల్ (384–322 BC) సంభావ్య అనంతం (potential infinity), సంపూర్ణ అనంతం (completed infinity) అని విడదీసి, గణితంలోనూ, తత్వంలోనూ సంపూర్ణ అనంతాన్ని నిషేధించాడు. అయినా ఆర్కిమెడెస్ (287– 212BC) అనంతాన్ని ఎంత సృజనాత్మకంగా వాడుకున్నాడో “The Man Who Harnessed Infinity” [1] లో చదవచ్చు. (యురేకా! అంటూ వీధుల్లో నగ్నంగా పరిగెత్తాడని చిన్నప్పుడు చదువుకున్నాం.) ఆర్కిమెడెస్ ఆలోచనలకి సరయిన రూపం, న్యూటన్, లైబ్నిజ్ ల, కలన గణితం ద్వారా రావడానికి దాదాపు మరో రెండు వేల సంవత్సరాలు పట్టింది.
జైనులు పెద్ద పెద్ద సంఖ్యల గురించి ఆలోచించారు; కాని అనంతం వాటి కంటె పెద్దదని గుర్తించారు. అంతేకాక రకరకాల అనంతాలుంటాయని భావించారు (సూర్య ప్రజ్ఞాప్తి, 400BC), కాని లోతుగా వెళ్ళేందుకు కావలసిన గణిత పరిజ్ఞానం అప్పట్లో లేదు.
గెలీలియో (1564-1642) అనంతం గురించిన ఓ తాత్విక సమస్యని పేర్కొన్నాడు: “భాగం కంటే మొత్తం ఎక్కువ” కదా. {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} అన్నది {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} దాంట్లో భాగం. కాని ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యనీ, దాని వర్గం తో జత చెయ్యవచ్చు: (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), … అంటే “భాగం మొత్తంతో సమానమే!”
అనంతంతో వచ్చే ఈ సమస్యలకి అత్యంత ప్రతిభతో సరయిన పరిష్కారం చూపించిన వాడు Cantor (1845-1918) [2].
భూకేంద్రక సిద్ధాంతాన్ని మొదట నిరాకరించింది అరిస్టార్కస్ (310-230BC); అయితే గ్రీకులు దానిని అంగీకరించలేదు. కోపెర్నికస్ (1473-1543) అరిస్టార్కస్ ప్రతిపాదనలనే పునరుద్ధరించాడు.
డాల్రింపుల్ ఇండియా తన పూర్వ వైభవాన్ని తిరిగి చేజిక్కిచ్చుకునే స్థానంలో ఉందని ముగిస్తే, రాణి ‘అసలు మానవ ఆలోచనే వినాశకరమయినదేమో’ అని ముగిస్తారు.
“భారతీయ ఖగోళ గణిత విజ్ఞానాలు పాశ్చాత్యానికి వెళ్ళి ప్రాగ్మాటిక్ లక్షణాల్ని క్రమేపీ సంతరించుకున్నాయి. ఆ విజ్ఞానం పాశ్చాత్యంలో అభివృద్ధి చెంది, తిరిగి వచ్చి భారతదేశాన్నే వ్యాపారం పేరుతో ఆక్రమించింది. ఇది భారతీయులపై కేవలం భౌతిక విజయమే కాదు. భావజాల దురాక్రమణ కూడా.”
ఇది చాలా సంకుచిత దృష్టి. డాల్రింపుల్ కూడా యూరప్ లో వచ్చిన శాస్త్రీయ విప్లవం గురించి మాట్లాడడు.
“Science is now international, perhaps the most international aspect of our civilization, but the discovery of modern science happened in what may loosely be called the West. Modern science learned its methods from research done in Europe during the scientific revolution, which in turn evolved from work done in Europe and in Arab countries during the Middle Ages, and ultimately from the precocious science of the Greeks. The West borrowed much scientific knowledge from elsewhere—geometry from Egypt, astronomical data from Babylon, the techniques of arithmetic from Babylon and India, the magnetic compass from China, and so on—but as far as I know, it did not import the methods of modern science.” – [3]
డాల్రింపుల్, రాణి కూడా, మరో ముఖ్య విషయం ప్రస్తావించరు. మధ్యయుగాల ప్రారంభంలో, బాగ్దాద్ లో పెద్దలు గ్రీకు ఫిలాసఫీ గురించి చర్చించుకుంటూంటే, యూరప్ లో పెద్దలు సంతకం చెయ్యడమెలాగో నేర్చుకుంటున్నారట. అలాంటి స్థితి నుండి యూరప్ ఎలా పైకొచ్చింది?
జయంత్ నర్లీకర్ సామాన్యులకి సైన్సు గురించి తెలియజేయడానికి బాగా కృషిచేసిన పేరున్న భౌతిక శాస్త్రవేత్త. సైన్సూ గణితం పరస్పర ప్రభావంతో నాగరికతకి ఎలా దోహదమయ్యాయో ఓ మరాఠీ పుస్తకంలో వివరిస్తే దానికి పాఠకుల నుంచి మంచి ఆదరణ వచ్చింది, మహారాష్ట్ర ప్రభుత్వం ఓ బహుమతి నిచ్చింది. ఆ ప్రోత్సాహంతో, దానిని కాస్త విపులీకరించి ఇంగ్లీషులో “Science and Mathematics: From Primitive to Modern Time,” అన్న పేరిట Jayant Narlikar ప్రచురించారు.
దానిలో నాలుగో అధ్యాయంలో ఆసక్తికరమైన చర్చ ఉంది. పాకిస్తాన్ కి చెందిన అబ్దుస్ సలాం (1926-1996, మొదటి ముస్లిం నోబెల్ గ్రహీత) ఓ ప్రశ్న లేవదీశాడు – గొప్ప శిల్ప కట్టడాలయిన ఆగ్రా లోని తాజ్ మహల్, లండన్ లోని సెయింట్ పాల్ కేథడ్రల్ దాదాపు ఒకే కాలంలో నిర్మించారు. అదే సమయంలో యూరప్ లో సైన్సు అనూహ్యంగా పెరిగితే భారత ఉపఖండంలో చాలా అరుదుగా కనిపించింది; ఎందువలన?
“It is good to recall that three centuries ago, around the year 1660, two of the greatest monuments of modern history were erected, one in the West and one in the East; St. Paul’s Cathedral in London and the Taj Mahal in Agra. Between them, the two symbolize, perhaps better than words can describe, the comparative level of architectural technology, the comparative level of craftsmanship and the comparative level of affluence and sophistication the two cultures had attained at that epoch of history. But about the same time there was also created—and this time only in the West—a third monument, a monument still greater in its eventual import for humanity. This was Newton’s Principia, published in 1687. Newton’s work had no counterpart in the India of the Mughals.”
― Abdus Salam, Ideals and Realities: Selected Essays of Abdus Salam
దానికి నర్లీకర్ కొన్ని కారణాలు ఊహిస్తాడు. ఒకటి: మన పాలకులు (చక్రవర్తులు, రాజులు, చిన్న చిన్న జమీందారులు) సంగీత, సాహిత్య, కళా రంగాలకి ఆశ్రయమిచ్చారు కాని, సైన్సుకివ్వలేదు; యూరప్ లో రాయల్ సొసైటీ, ఫ్రాన్సులో ఫ్రెంచ్ అకాడెమీ ఉన్నాయి, మనకలాంటివి లేవు.
ప్రస్తుతానికి ఇంతటితో ముగిస్తాను.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
[1] Steven Strogatz, “Infintie Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe,” HMH, 2019.
[2] Ian Stewart, “Infinity: A Very Short Introduction,” OUP, 2017.
[3] Steven Weinberg, “To Explain the World: The Discovery of Modern Science,” Harper, 2015.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారు, మీ వివరణ, చాలా సంతోషం. నేను వ్యాసం చదివి నా అభిప్రాయం రాస్తున్నప్పుడు మీ గురించి తలచుకున్నాను: కారణం మీరు వ్యాసాల్లో గాని, అభిప్రాయాల్లో గాని ఉట్టంకింపుల విషయంలో రాజీలేని ధోరణి ప్రదర్శిస్తారు. నేను అనుకున్నాను కొడవళ్ళ గారే ఈ వ్యాసం రాసివుంటే – ఆధారాల విషయంలో తన్నుకు చచ్చే పరిస్థితి వచ్చేది కాదు కదా. నేను ఉదహరించిన ప్రఖ్యాత శ్లోకం భాస్కరుని బీజగణితం లోనిదే – అనేకులు ఆ శ్లోకాన్ని లీలావతిలో ప్రసంగవశాత్తు ప్రస్తావించారు. శ్లోకానువాదం ఎవరు చేశారో తెలియడానికి ఆ వివరాలు ఇచ్చాను. బీజగణితంలో ‘ఖషడ్విధం’ అన్న ప్రకరణాంతంలో వస్తుందీ శ్లోకం.
ఉట్టంకింపులో మొదటి భాగానికి మూలమేదో నాకు ఇదమిత్థంగా అర్థం కాలేదు. బీజగణితంలోని ‘ఖషడ్విధం’ అన్న ప్రకరణంలో ఇచ్చిన శూన్య పరికర్మలు అన్ని ప్రస్తారాలను పేర్కొంటాయి.
(ఉదాహరణకు -శూన్యంతో గుణకారం: 0xn =0; nX0 =0; 0X0 = 0) లీలావతిలోని సూత్రాలు దానికి భిన్నంగా, సూటిగా ఉంటాయి, భాష్యాన్ని ఆశించవు). సమీక్షకుల మొదటి వాక్యం లీలావతిలోని మూలానికి దగ్గరగా ఉంది, కాబట్టి, సమీక్షకులు ఉదహరించిన వాక్యాలకు మూలం లీలావతిలోని శూన్య పరికర్మాష్టకంలోనే వెదుక్కోవలసి వచ్చింది.
“ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో గుణించిన శూన్యము అగును. శూన్యమును ఏ సంఖ్యతో భాగించిననూ శూన్యము వచ్చును. కానీ ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో భాగించినచో వచ్చునది అనంతము. ”
(సమీక్షకుల వాక్యాలు)
ఖగుణః ఖః (ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో గుణించిన శూన్యము అగును), ‘శూన్యమును ఏ సంఖ్యతో భాగించిననూ శూన్యము వచ్చును’ అన్న దానికి శూన్య పరికర్మాష్టకం లో చూపడానికి ఆధారం లేదు. కానీ ‘ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో భాగించినచో వచ్చునది అనంతము’ (ఖభాజితో రాశిః ఖహరస్యాత్) అన్నది తప్పుడు భావానువాదం.
(నా వాక్యాలు)
నేను చిన్ననాడు ఆంధ్రప్రభలో ప్రాచీన గణితం గురించి ఎవరో వారం వారం రాసేవారు. ఖహారగణితం గురించి మొట్ట మొదటిసారి అక్కడే చదివాను. ఆనాటి నుండి ఈ పద ప్రయోగం పట్ల వింత ఆకర్షణ ఉండి పోయింది.
“Zero Denominator అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది. వీటి స్వారస్యాన్ని గ్రహించడానికి ఇంచుక గణిత రసజ్ఞత కావాలి” అని రాశాను గానీ, ఎక్కువ వివరాల్లోకి పోలేదు. మీరు జోసెఫ్ గారి పుస్తకం నుండి ఉట్టంకించి నా పని సులువు చేశారు:
“A quantity divided by zero becomes a fraction, the denominator of which is zero (ఖహరం)
This fraction is termed an infinite quantity. (‘అయమనంతో రాశిః ఖహర ఇత్యుచ్యతే’ ఈ యనంత రాశికి ఖహరమని పేరు. )
పై శ్లోకానికి చక్కని అనువాదం:
In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted. [Similarly], no change takes place in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of beings are absorbed or put forth.”
ఇక్కడ భాస్కరుల ఖహరంతో గొడవ వస్తోంది:
This, at its face value may seem approaching correctness, by suggesting that any number when divided by zero is infinity, but then Bhaskara II (b. 1114 CE) suggests that zero multiplied by infinity is any number, and hence all numbers are equal, which is certainly not correct. Emancipated from the role of a mere place-holder, zero joined the family of numbers capable of arithmetical operations.
(కాబట్టే, తొందర పడి మూలంలో లేనివి ఊహించరాదు అని చెప్పడం, అక్కడ ఖహరం అని ఉంటే ఖహరం అనే రాయాలి, తొందరపడి అనంతం అనేయరాదు. ప్రాచీన కవిత్వాన్నిగాని, గణిత శాస్త్రాన్నిగాని అనువదించేటప్పుడు మూలం యథాతథంగా తెలుసుకోవడం ప్రథమ కర్తవ్యం. ఒక్కోసారి, ఇవాళ్టి అర్థాలు ఒకప్పటి అర్థాలు ఒకటి కాకపోయే ప్రమాదం పొంచి ఉంది. కాబట్టే, hermeneutical study అవసరమవుతుంది.)
0 X 1/0 = n (శూన్యం భాజ్యం ఖహరం భాజకం ఐతే వచ్చే లబ్ధం ఒక సంఖ్యయే (zero multiplied by infinity is any number); అందుకే, “Zero Denominator” అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది. వీటి స్వారస్యాన్ని గ్రహించడానికి ఇంచుక గణిత రసజ్ఞత కావాలి” అని రాశాను.
భూషణ్గారు భాస్కరుని లీలావతి లోని శ్లోకంతో శర్మగారి ఉటంకింపు చెల్లదన్నారు. కాని శర్మగారు ఇచ్చినది (భాస్కరునిదే) బీజగణితం లోనిదనుకుంటాను. నేను మా మారుమూల గ్రామంలో ఉండటాన భాస్కరుని మూలాలు అందుబాటులో లేవు. అందుబాటులో ఉన్నదానినుండి:
Take an example from Brahmagupta’s seventh century text Brahmasphutasiddhanta. In it he treats the zero as a separate entity from the positive (dhana) and negative (rhna) quantities, implying that sunya is neither positive nor negative but forms the boundary line between the two kinds, being the sum of two equal but opposite quantities. He states that a number, whether positive or negative, remains unchanged when zero is added to or subtracted from it. In multiplication with zero, the product is zero. Likewise the square and square root of zero is zero. But problems arise when he tries to explain division. When a number is divided by zero, he gives no result but merely repeats that the quotient of any number and zero is a fraction with zero as a denominator. However, Brahmagupta’s is the first attempt by any mathematician to explain the arithmetic operations on natural numbers and zero.
In the ninth century, Brahmagupta’s attempts at defining operations using zero was taken up by Mahavira. Although he correctly states that a number multiplied by zero is zero, but wrongly adds that a number remains unchanged when divided by zero. The next attempt came from Bhaskara II in the 12th century:
This section [in Lilavati] ends with [Verses 45–47] listing the eight operations with zero: addition, subtraction, multiplication, division, square, square root, cube and cube root. These rules had become standard by then, and like Brahmagupta, suggests any quantity divided by zero remained ‘zero-divided’. Bhaskaracharya returns to this topic in the first chapter of Bijaganita, when he infers that division by zero gives khahara (infinity), the first clear statement of this result in the history of mathematics.
In Bijaganita:
“A quantity divided by zero becomes a fraction, the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted. [Similarly] no change takes place in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of beings are absorbed or put forth.”
This, at its face value may seem approaching correctness, by suggesting that any number when divided by zero is infinity, but then Bhaskara II (b. 1114 CE) suggests that zero multiplied by infinity is any number, and hence all numbers are equal, which is certainly not correct. Emancipated from the role of a mere place-holder, zero joined the family of numbers capable of arithmetical operations.
George Gheverghese Joseph. Indian Mathematics: Engaging With The World From Ancient To Modern Times. World Scientific Publishing Company. Kindle Edition.
భూషణ్, “Zero Denominator అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది,” అన్నారు. సున్నా సంఖ్యల్లో ఒకటయినప్పుడు ఎందుకు ఆశ్చర్యం? తంటా అంతా భాగించితే విలువ ఏమిటి అని కదా.
1974 లో “నూట పదహార్లు,” పేరిట తెలుగులోని ఉత్తమ కథలని తాళ్ళూరి నాగేశ్వరరావు, హితశ్రీ సంకలనం చేశారు; మొదటి భాగం మాత్రమే చెయ్యగలిగారు. దానిని తిరిగి ఈ మధ్యనే విశాలాంధ్ర “శత వసంతాల తెలుగు కథ,” గా ప్రచురించింది. నేనివాళ ఉబుసుపోకకై దానిలో జి.వి.కృష్ణరావు గారి కథ “ఉదబిందువులు,” చదివాను. వారి ఇతర రచనలని తిరగేస్తే “భిక్షాపాత్ర” కనిపించింది. ఈ నాటికని ఆకాశవాణి జాతీయ నాటికగా ప్రసారం చేసిందన్నారు హితశ్రీ: https://archive.org/details/sahithichaithrar022777mbp/page/n123/mode/2up
సంపాదకులు వెలిబుచ్చిన కోరికతో నేను కూడా ఏకీభవిస్తున్నాను. కంప్యూటర్ల చరిత్ర గురించి శ్రీహనుమంతరావు గారు గతంలో రాసిన వ్యాసం అసంపూర్ణంగా ఉండిపోయినట్లనిపించింది. అది కొనసాగించమని మనవి!
జీవ, భౌతిక, రసాయన, గణిత శాస్త్రాలన్నిట్లో ఇంత చక్కగా తెలుగులో రాయడం వేమూరి వారికే సాధ్యం. ఈ వ్యాసాల వెనుక ఎంత కృషి ఉండాలి? Labor of loveని తెలుగులో ఏమనాలి?
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
[ఎంతో కృషితో మీరూ అంతే చక్కగా కొంతకాలం కొనసాగించిన ‘కంప్యూటర్ పూర్వాపరాలు – సాధ్యాసాధ్యాలు’ శీర్షికను ఒక ముగింపుకు తెస్తే ఎంత బాగుంటుంది! – సం.]
ఈ మాట సంపాదకులకి తెలుగు సాహిత్య సమావేశాలపై కించిత్ సదభిప్రాయం కూడా లేదనిపిస్తోంది. వారన్నట్లు సాహిత్యం సామూహిక ప్రక్రియ కాదన్న మాట నిజమే; పెంపొందిన సాంకేతిక సౌకర్యాలని ప్రచారాలకీ పైరవీలకీ వాడుకునేవారు పెరిగి ఉండొచ్చు. కాని, ఎన్ని లోపాలతో కూడుకున్నా, సాహితీ సమావేశాల మూలంగా సాహిత్యం చదివేవాళ్ళు పెరుగుతారు, కొత్త రచయితలకి చెయి తిరిగిన రచయితలతో పరిచయాలు కలిగే అవకాశం ఉంది; వాటివలన కలిగే ప్రయోజనాలని కొట్టివెయ్యకూడదు.
నేను సాహితీ సమావేశానికంటూ వెళ్ళి పన్నెండేళ్లవుతోంది; దానిని పెట్టింది కూడా నేనే. జంపాల చౌదరి గారు పాపినేని శివశంకర్ గారు వాళ్ళమ్మాయి ని చూడటానికి మా ఊరు వచ్చారంటే నేను శివశంకర్ గారిని మొదటి సారిగా కలుసుకున్నాను. ఆయన అప్పుడే ప్రచురించిన పుస్తకాన్ని, “తల్లీ! నిన్ను దలంచి: అందాల తెలుగు పద్యాల లోవెలుగులు,” నాకిస్తే చదివి, దాంట్లోని పద్యాల మాధుర్యం గురించి ఓ ప్రసంగం ఇప్పిద్దామని కుతూహలపడితే ఆయన సరేనన్నారు. నేను దగ్గర్లో ఉన్న Redmond Regional Library లో ఓ హాలు బుక్ చేసి, ఆహ్వాన పత్రికని చుట్టుపక్కల మన దేశ కూరగాయల దుకాణాలలో, రెస్టారెంట్లలో పెట్టి, తెలిసిన వాళ్ళకి చెప్పాను. సమావేశం సమయానికి తినుబండారాలతో సహా వెళ్ళాను. శివశంకర్ గారు చక్కని ప్రసంగం చేశారు. ఆ సమావేశం మూలంగా నాకిప్పటికీ గుర్తుకొచ్చే పద్యం మాత్రం ఇది:
To be a boxer, or not to be there
at all. O Muse, where are our teeming crowds?
Twelve people in the room, eight seats to spare
it’s time to start this cultural affair.
Half came inside because it started raining,
the rest are relatives. O Muse.
The women here would love to rant and rave,
but that’s for boxing. Here they must behave.
Dante’s Infemo is ringside nowadays.
Likewise his Paradise. O Muse.
Oh, not to be a boxer but a poet,
one sentenced to hard shelleying for life,
for lack of muscles forced to show the world
the sonnet that may make the high-school reading lists
with luck. O Muse,
O bobtailed angel, Pegasus.
In the first row, a sweet old man’s soft snore:
he dreams his wife’s alive again. What’s more,
she’s making him that tart she used to bake.
Aflame, but carefully-don’t burn his cake!
we start to read. O Muse.
– “Poetry Reading,” by Wislawa Szymborska. Translated by Stanislaw Baranczak and Clare Cavanagh.
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
01/25/2025 12:29 am
డాల్రింపుల్ చరిత్రలోని లోపాలు: 1) చైనీస్ వారి శాస్త్రవిశేషాలను పెద్దగా ప్రస్తావించలేదు; Joseph Needham పేరయినా లేదు. 2) ఇస్లాముల గురించిన భాగంలో ఖయ్యాము లేడు; కవియే గాక (రుబాయత్), గణితంలో ఖగోళంలో విశేషమైన ప్రజ్ఞ చూపెట్టాడు. 3) ఫిబొనాచీ శ్రేణిని ఫిబొనాచీ కన్నా కొన్ని వందల సంవత్సరాల ముందరే ఆర్యభట ప్రస్తావించాడన్నారు; ఆర్యభట కాదు.
ఫిబొనాచీ శ్రేణి గురించి కంప్యూటర్ సైన్స్ వాళ్ళకి తెలుసు కాని కవులకు మిక్కిలి ఆసక్తికరమైన సంగతి. ఈమధ్య మా ఆవిడ, కన్నెగంటి రామారావు ఫేస్బుక్లో బైరాగి మీద రాస్తున్నాడు అని చెప్తే, రామారావు పోస్ట్ చూశాను: “పూవుల నెత్తావి కవిత్వంలోనే కాదు, నాకు ఫిబొనాచీ సీక్వెన్స్లో కూడా కనబడుతుంది.”
మంజుల్ భార్గవకి (2014 ఫీల్డ్ మెడలిస్ట్) చిన్నప్పుడు తాతగారి దగ్గర సంస్కృత కావ్యాలు చదవడాన గణితంపై ఆసక్తి కలిగిందట. క్రీస్తుకు పూర్వమే పింగళ, ఛందస్సులో గురు, లఘువులు ఎన్ని విధాలగా ఉండవచ్చో తెలిపాడంటారు. ఒక్క బీట్లో {(ల)}, రెండు బీట్లలో {(ల, ల), (గు)}, మూడయితే {(ల, ల, ల), (ల, గు), (గు, ల)), నాలుగయితే {(ల, ల, ల, ల), (ల, ల, గు), (ల, గు, ల), (గు, ల, ల), (గు, గు)}… అలా, బీట్లను బట్టి గురు, లఘువులు రక రకాల విన్యాసాలలో లయబద్ధంగా ఉండొచ్చు. ఎన్ని రకాలు? 1, 2, 3, 5, … అదే ఫిబొనాచీ శ్రేణి; దానిని ఫిబొనాచీ కన్నా కొన్ని వందల సంవత్సరాల క్రితమే మన వాళ్ళు కనిపెట్టారన్న విషయం పాశ్చాత్యులకి ఇటీవలదాకా తెలియదు.
Donald Knuth పేరు తెలియని కంప్యూటర్ సైన్స్ వారు ఉండరు. తెలియని వాళ్ళకి. యయాతి మహారాజు తన కుమారుడు పూరునకు బోధించిన ఓ నీతి:
“ఎఱుక గలవారి చరితలు | గఱచుచు, సజ్జనుల గోష్ఠిఁ గదలక ధర్మం
బెఱుఁగుచు, నెఱిఁగిన దానిని | మఱవ కనుష్ఠించునది సమంజసబుద్ధిన్.” — నన్నయ
Knuth కంప్యూటర్ సైన్స్కు ‘బైబిల్’ లాంటిది రాశాడు; రాస్తున్నాడు అనాలి, ఎందుకంటే ఏడు పర్వాలని ఆ యజ్ఞం మొదలెట్టింది 1962లో; మొదటి మూడు, నాలుగోదాంట్లో మొదటి భాగం మాత్రం అచ్చయినాయి. 87 ఏళ్ళ వృద్ధుడు కనుక బహుశా అసంపూర్ణంగానే మిగలొచ్చు. దాని పాత ప్రతులలో, ఫిబొనాచీ శ్రేణి ప్రస్తావనలో మన వాళ్ళ గురించి ఏమీ లేదు. కాని కొత్త ప్రతిలో:
Before Fibonacci wrote his work, the sequence had already been discussed by Indian scholars, who had long been interested in rhythmic patterns that are formed from one-beat and two-beat notes or syllables. The number of such rhythms having n beats altogether is Fn+1; and the rule for computing those numbers was stated by Virahäka (c. 700) in his work Vttajātisamuccaya, sloka 6.49. Therefore both Gopāla (before 1135) and Hemacandra (c. 1150) mentioned the numbers 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … explicitly.
నేనిది చెప్పడానికి కారణం: సైన్సులో వలసవాదం కరడుగట్టుకొని ఉన్నదనే వాదన ఉంది; కాని గత నాలుగయిదు దశాబ్దాలగా, ఇతర దేశాలలో పూర్వం జరిగిన పరిశోధనలు వెలుగులో కొచ్చేకొలదీ, వాటి విలువ పాశ్చాత్యులు గుర్తిస్తున్నారు.
చివరగా, సైన్సు చరిత్రని గురించిన చర్చ కనుక, Knuth, పదేళ్ళ క్రితం Stanford Universityలో ఇచ్చిన ప్రసంగంతో ముగిస్తాను:
“Why do I, as a scientist, get so much out of reading the history of science? Let me count the ways:
1. To understand the process of discovery—not so much what was discovered, but how it was discovered. Primary sources are best: the words of somebody who discovered something, as they were discovering it. The more examples I see, the more likely I’ll be able to discover something tomorrow.
2. To understand the process of failure. We learn a good deal from historical errors, not only from our own. It also helps to know that even the greatest minds are unable to grasp things that seem obvious to us. Leibniz spent much time working on combinatorics, and most of what he did was underwhelming and totally wrong.
3. To celebrate the contributions of many cultures. There are many ways of thinking, many points of view, and many independent researchers. Fibonacci numbers were discovered in India long before Fibonacci. Catalan numbers were discovered in China, a hundred years before Catalan. Many uneducated people have discovered wonderful patterns in numbers, and I can share their joy of discovery.
4. Telling historical stories is the best way to teach. It’s much easier to understand something if you know the threads it is connected to. Give credit to Fibonacci, but also to Narayana in India. The complete story is of many separate individuals building a magnificent edifice with a series of small steps.
5. To learn how to cope with life. How did other scientists grow up, make friends or enemies, manage their time, find mentors, mentor others, and serve their communities? Balance is important.
6. To become more familiar with the world, and to know how science fits into the overall history of mankind. What was life like on different continents and in different epochs? The main difference between human beings and animals is that people learn from history.”
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
01/24/2025 1:30 am
CK Rajuగారి పేరు నేనిదే మొదటిసారి వినడం. ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన గణితవేత్త గదా అని AMS (American Mathematical Society) వెబ్సైట్లో వెదికాను. Terence Tao, CR Rao లాంటి వాళ్ళకున్నన్ని పేపర్లు ఆశించలేదు కాని, రాజుగారు ఓ పేరొందిన గణితవేత్తతో తగాదా పడ్డ విషయం మాత్రమే కనబడటం నిరాశ పరచింది.
“గణితశాస్త్ర చరిత్రను కూలంకషంగా ఎరిగిన వారు” అయితే కావచ్చు; “Decolonization of Mathematics” పేరిట వారి రచనలు ఎక్కువే ఉన్నాయి. కాని వాటిల్లోకూడా రాజుగారు తన ప్రచురణలనే ఎక్కువ ఉటంకించడంతో వారి వాదనలకి ఆ రంగంలోని పండితుల ఆదరణ తక్కువని నా అనుమానం. ఆ పండితులంతా పాశ్చాత్యుల భావాలకు దాసులంటే ఇక వాదించలేం.
భూషణ్గారు ప్రస్తావించిన రాజుగారి ప్రచురణనే చూద్దాం. ఆర్యభట్టకీ (విప్రుడు) ఆర్యభటకీ (భటుడు, సేవకుడు) ఉన్న తేడాని చూపి, ఆర్యభట బ్రాహ్మణుడు కాదు, శూద్రుడు అంటారు; అందుకు సాక్ష్యంగా బ్రహ్మగుప్తుడు (వైశ్యుడు), భాస్కరాచార్యుడు (బ్రాహ్మణుడు) ఆర్యభట గురించి నీచంగా పదే పదే వ్యాఖ్యానించడాన్ని ఉదహరిస్తారు. నాకు అవి అంత బలమైన ఆధారాలుగా అనిపించవు. రాజుగారు, అంతటితో ఆగక, ఇద్దరు ఆర్యభటలు ఉన్నారంటే, మన దేశంలో పూర్వకాలంలో కులవ్యవస్థ మరీ క్రూరంగా ఉండేది కాదు (ఉంటే ఒకరు కాదు ఇద్దరు శూద్రులు ఘనమైన గణితవేత్తలు కాగలరా?); వలసపాలన వచ్చిన తర్వాతనే ఆ క్రూరత్వం పెరిగిందంటారు. నాకు తెలిసినంతలో తరతరాలగా, తెల్లవాళ్ళు రాకముందు కూడా, మన కులవ్యవస్థ కారుణ్యరహితం.
సరే, ఈ కులాల గొడవ వదిలి గణితంలోకెళ్దాం. రాజుగారి వాదన – మనం ప్రత్యక్ష నిరూపణ (empirical proof) వాడాలనీ, నిగమిత నిరూపణ (deductive proof) వాడకూడదనీ, యూక్లిడ్ నిరూపణలన్నీ empirical అనీ, వాటిని deductive అని పాశ్చాత్యులు మోసం చేశారనీ, చర్చి ప్రభావంతో formal mathematics మనందరి నెత్తినేశారనీ – ఇలా సాగుతుంది.
ఈ వాదనలకి నాలాంటి సాదా సీదా సాఫ్ట్వేర్ ఇంజనీరు ఎదురు సమాధానం చెప్పలేడు కాని, యూక్లిడ్ నిరూపణలు deductive అనుకుంటాను. ఉదాహరణకి, ప్రథాన సంఖ్యలు అనంతం అన్న దానికి empirical proof ఏమిటి? దానికున్న ప్రఖ్యాతమైన యూక్లిడ్ నిరూపణ deductive కాదా? ఏం చూసి Edna St. Vincent Millay, “Euclid alone has looked on Beauty bare.” అన్నదో కాని, రెండు వేల సంవత్సరాల తర్వాత కూడా ఈ నిరూపణ నవనవలాడుతూ ఉట్టిపడుతోంది అంటాడు హార్డీ తన అపాలజలో. గణితం మీద కాస్తో కూస్తో అభిరుచి ఉన్నవాళ్ళు అది చదివి తన్మయమవాల్సిందే.
రాజుగారు విమర్శించే formal mathematicsకి నేపథ్యం గణితమే; చర్చీ, వలసపాలనా కాదు. యూక్లిడ్ నిరూపణలలోనూ, 18, 19 శతాబ్దాలలో వచ్చిన గణితంలోనూ లొసుగులున్నాయనీ, గణితాన్ని కట్టుదిట్టం చెయ్యకపోతే పరస్పర విరుద్ధాలతో సంక్షోభం తప్పదనీ, గణితాన్ని గట్టి పునాదులతో ఎలాంటి వైరుధ్యాలకీ దారితీయని విధంగా చెయ్యాలనీ, చెయ్యవచ్చనీ హిల్బర్ట్ పట్టుబట్టాడు. అంతిమంగా ఆయన కల సఫలం కాలేదు. చిత్రంగా ఆ విఫల ప్రయత్నం మూలంగానే కంప్యూటర్ సైన్స్ పుట్టింది.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి Radha అభిప్రాయం:
01/23/2025 7:24 am
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారూ,
Science at this time was more than just a practical or ideological tool when it came to empire. Since its birth around the same time as Europeans began conquering other parts of the world, modern Western science was inextricably entangled with colonialism, especially British imperialism. And the legacy of that colonialism still pervades science.
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
01/19/2025 2:51 am
“ఏ దేశ సంస్కృతి అయినా ఏనాడు కాదొక స్థిర బిందువు
నైక నదీనదాలు అదృశ్యంగా కలిసిన అంతస్సింధువు.”
— తిలక్, “మన సంస్కృతి,” అమృతం కురిసిన రాత్రి.
ముందుగా విలియమ్ డాల్రింపుల్ పుస్తకాన్ని ఈమాట పాఠకులకి పరిచయం చేసినందుకు రాణి శివశంకరశర్మ గారికి కృతజ్ఞతలు. ప్రాచీనకాలంలో ఇండియా సాంస్కృతిక విజ్ఞాన రంగాలలో సాధించిన వాటికి తగిన గుర్తింపు తేవడానికే ఈ పుస్తకం రాశానన్నాదు డాల్రింపుల్. అనేక వివరాలతో, తగిన ఆధారాలతో ఉన్న చదవదగ్గ రచన. ఆధ్యాత్మిక పరమైన విషయాలకంటె శాస్త్రీయ విజ్ఞానపరంగానే ఇండియా ప్రాభవాన్ని చెప్పుకోవాలంటాడు.
ఈ వ్యాసాన్ని చూస్తే రాణి బహుగ్రంథపఠితులనీ ఆలోచనాపరులనీ తెలుస్తుంది. కాని అనేకుల ఉటంకింపులతో సాగిన ఈ వ్యాసం అకటవికటంగా తయారయింది. ఎందుకిలా రాశారా అని రాణి గారి “ది లాస్ట్ బ్రాహ్మిన్” ఇటీవల హైద్రాబాదు వెళ్ళినప్పుడు నవోదయలో దొరికితే కొని చదివాను. అందులో అంటారు: “నేనా రోజుల్లో ప్రధానంగా ప్రేమ కవిత్వం రాసేవాణ్ణి. ఒకసారి ఒక వ్యంగ్య కవిత రాసి సీతంపేట గ్రంథాలయంలో జరిగిన కవి సమ్మేళనంలో చదివాను. … నా కవిత్వంలో యేదో వుందని నాను నమ్మకం కుదిరింది. ఇందిరాగాంధీ తాత్విక గురువు ధీరేంద్ర బ్రహ్మచారిని కూడా ఆ కవితలో లింకు పెట్టాను యెందుకో. ఇలా దూర సంబంధం కూడా లేనట్టు కనిపించే రెండు దత్తాంశాల్ని ఆకస్మాత్తుగా కలిపి వాటి అన్యోన్య సంబంధాల నుంచి వెల్లడయ్యే నిజాన్ని అతివాస్తవికంగా చెప్పే కవిత్వశైలి ఆది నుంచీ నాకు సహజంగానే వంటబట్టింది. ఇది థీసిస్ యాంటీ థీసిస్ సింథసిస్ అనే ఈక్వేషన్ కి దగ్గరిదని తర్వాత నేను తెలుసుకున్నాను.” (160 పేజి.)
ఆ ప్రత్యేక కవిత్వ ధోరణి ఈ రచనలో కూడా ప్రజ్వరిల్లి వ్యాస ప్రయోజన్నాన్ని దెబ్బతీసింది.
రాణి గారికి అనంతం అంటే మిగుల అభిమానం లాగుంది. (“ది లాస్ట్ బ్రాహ్మిన్” అంకిత వాక్యం: “గడచిపోయిన అనంత కల్పాలలో అనంత జన్మలలో అనంత రూపాలలో ఇదే రూపంలో మీరు లేరు, నాన్న గారూ, రాబోయే అనంత కల్పాలలో అనంత జన్మలలో అనంత రూపాలలో ఇదే రూపంలో మీరు కానరారు.”) కాని అనంతాన్ని సున్నాతో సమానం చేసి (తాత్వికంగానే అయినా) గందరగోళ పరిచారు.
“అనంతాన్ని గ్రీకులు చీకటిగా భావించారు, భయపడ్డారు. అనంతంలో వస్తువులు ఏర్పడవు అని అరిస్టాటిల్ అన్నాడు. భారతీయులు మాత్రమే అనంతాన్ని పాజిటివ్గా చూశారు.”
“ఇలా ఋతువులూ యుగాలూ చక్రాకృతిలో ‘అనంతం’గా పునరావృతి చెందడం అనే భావన జీరో, అనంతం, అనంత విశ్వం, చివరికి భూకేంద్రక సిద్ధాంతాన్ని నిరాకరించే లాజిక్కి దారితీసింది.”
“అనంతం, జీరో అనే భారతీయ ఆవిష్కరణలు పాశ్చాత్య వికాసయుగానికి మూలం అనేంతవరకూ వెళుతున్నారు విలియమ్ డాల్రింపుల్.”
ఇంతకీ డాల్రింపుల్ పుస్తకం సూచికలో అనంతం లేదు.
అనంతం అంటే విస్మయం కలగని వారుంటారా? “అమలిన తారకా సముదాయంబుల నెన్నను … విధాతృకైనను నేరం బోలునే” అంటాడు నన్నయ. మన వాళ్ళు అనంతాన్ని ఆవిష్కరించి గణితపరంగా ఏమి సాధించారో రాణి గారు చెప్పలేదు. గణితపరంగా అనంతాన్ని మొట్టమొదట గ్రహించింది గ్రీకులే:
“There is no smallest amongst the small and no largest among the large; But always something still smaller and something still larger.” – Anaxagoras (500-428 BC)
కాని జీనో (490-430 BC) పారడాక్స్ లు గ్రీకులని కలవర పెట్టాయి. అందుకని అరిస్తాటిల్ (384–322 BC) సంభావ్య అనంతం (potential infinity), సంపూర్ణ అనంతం (completed infinity) అని విడదీసి, గణితంలోనూ, తత్వంలోనూ సంపూర్ణ అనంతాన్ని నిషేధించాడు. అయినా ఆర్కిమెడెస్ (287– 212BC) అనంతాన్ని ఎంత సృజనాత్మకంగా వాడుకున్నాడో “The Man Who Harnessed Infinity” [1] లో చదవచ్చు. (యురేకా! అంటూ వీధుల్లో నగ్నంగా పరిగెత్తాడని చిన్నప్పుడు చదువుకున్నాం.) ఆర్కిమెడెస్ ఆలోచనలకి సరయిన రూపం, న్యూటన్, లైబ్నిజ్ ల, కలన గణితం ద్వారా రావడానికి దాదాపు మరో రెండు వేల సంవత్సరాలు పట్టింది.
జైనులు పెద్ద పెద్ద సంఖ్యల గురించి ఆలోచించారు; కాని అనంతం వాటి కంటె పెద్దదని గుర్తించారు. అంతేకాక రకరకాల అనంతాలుంటాయని భావించారు (సూర్య ప్రజ్ఞాప్తి, 400BC), కాని లోతుగా వెళ్ళేందుకు కావలసిన గణిత పరిజ్ఞానం అప్పట్లో లేదు.
గెలీలియో (1564-1642) అనంతం గురించిన ఓ తాత్విక సమస్యని పేర్కొన్నాడు: “భాగం కంటే మొత్తం ఎక్కువ” కదా. {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} అన్నది {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} దాంట్లో భాగం. కాని ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యనీ, దాని వర్గం తో జత చెయ్యవచ్చు: (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), … అంటే “భాగం మొత్తంతో సమానమే!”
అనంతంతో వచ్చే ఈ సమస్యలకి అత్యంత ప్రతిభతో సరయిన పరిష్కారం చూపించిన వాడు Cantor (1845-1918) [2].
భూకేంద్రక సిద్ధాంతాన్ని మొదట నిరాకరించింది అరిస్టార్కస్ (310-230BC); అయితే గ్రీకులు దానిని అంగీకరించలేదు. కోపెర్నికస్ (1473-1543) అరిస్టార్కస్ ప్రతిపాదనలనే పునరుద్ధరించాడు.
డాల్రింపుల్ ఇండియా తన పూర్వ వైభవాన్ని తిరిగి చేజిక్కిచ్చుకునే స్థానంలో ఉందని ముగిస్తే, రాణి ‘అసలు మానవ ఆలోచనే వినాశకరమయినదేమో’ అని ముగిస్తారు.
“భారతీయ ఖగోళ గణిత విజ్ఞానాలు పాశ్చాత్యానికి వెళ్ళి ప్రాగ్మాటిక్ లక్షణాల్ని క్రమేపీ సంతరించుకున్నాయి. ఆ విజ్ఞానం పాశ్చాత్యంలో అభివృద్ధి చెంది, తిరిగి వచ్చి భారతదేశాన్నే వ్యాపారం పేరుతో ఆక్రమించింది. ఇది భారతీయులపై కేవలం భౌతిక విజయమే కాదు. భావజాల దురాక్రమణ కూడా.”
ఇది చాలా సంకుచిత దృష్టి. డాల్రింపుల్ కూడా యూరప్ లో వచ్చిన శాస్త్రీయ విప్లవం గురించి మాట్లాడడు.
“Science is now international, perhaps the most international aspect of our civilization, but the discovery of modern science happened in what may loosely be called the West. Modern science learned its methods from research done in Europe during the scientific revolution, which in turn evolved from work done in Europe and in Arab countries during the Middle Ages, and ultimately from the precocious science of the Greeks. The West borrowed much scientific knowledge from elsewhere—geometry from Egypt, astronomical data from Babylon, the techniques of arithmetic from Babylon and India, the magnetic compass from China, and so on—but as far as I know, it did not import the methods of modern science.” – [3]
డాల్రింపుల్, రాణి కూడా, మరో ముఖ్య విషయం ప్రస్తావించరు. మధ్యయుగాల ప్రారంభంలో, బాగ్దాద్ లో పెద్దలు గ్రీకు ఫిలాసఫీ గురించి చర్చించుకుంటూంటే, యూరప్ లో పెద్దలు సంతకం చెయ్యడమెలాగో నేర్చుకుంటున్నారట. అలాంటి స్థితి నుండి యూరప్ ఎలా పైకొచ్చింది?
జయంత్ నర్లీకర్ సామాన్యులకి సైన్సు గురించి తెలియజేయడానికి బాగా కృషిచేసిన పేరున్న భౌతిక శాస్త్రవేత్త. సైన్సూ గణితం పరస్పర ప్రభావంతో నాగరికతకి ఎలా దోహదమయ్యాయో ఓ మరాఠీ పుస్తకంలో వివరిస్తే దానికి పాఠకుల నుంచి మంచి ఆదరణ వచ్చింది, మహారాష్ట్ర ప్రభుత్వం ఓ బహుమతి నిచ్చింది. ఆ ప్రోత్సాహంతో, దానిని కాస్త విపులీకరించి ఇంగ్లీషులో “Science and Mathematics: From Primitive to Modern Time,” అన్న పేరిట Jayant Narlikar ప్రచురించారు.
దానిలో నాలుగో అధ్యాయంలో ఆసక్తికరమైన చర్చ ఉంది. పాకిస్తాన్ కి చెందిన అబ్దుస్ సలాం (1926-1996, మొదటి ముస్లిం నోబెల్ గ్రహీత) ఓ ప్రశ్న లేవదీశాడు – గొప్ప శిల్ప కట్టడాలయిన ఆగ్రా లోని తాజ్ మహల్, లండన్ లోని సెయింట్ పాల్ కేథడ్రల్ దాదాపు ఒకే కాలంలో నిర్మించారు. అదే సమయంలో యూరప్ లో సైన్సు అనూహ్యంగా పెరిగితే భారత ఉపఖండంలో చాలా అరుదుగా కనిపించింది; ఎందువలన?
“It is good to recall that three centuries ago, around the year 1660, two of the greatest monuments of modern history were erected, one in the West and one in the East; St. Paul’s Cathedral in London and the Taj Mahal in Agra. Between them, the two symbolize, perhaps better than words can describe, the comparative level of architectural technology, the comparative level of craftsmanship and the comparative level of affluence and sophistication the two cultures had attained at that epoch of history. But about the same time there was also created—and this time only in the West—a third monument, a monument still greater in its eventual import for humanity. This was Newton’s Principia, published in 1687. Newton’s work had no counterpart in the India of the Mughals.”
― Abdus Salam, Ideals and Realities: Selected Essays of Abdus Salam
దానికి నర్లీకర్ కొన్ని కారణాలు ఊహిస్తాడు. ఒకటి: మన పాలకులు (చక్రవర్తులు, రాజులు, చిన్న చిన్న జమీందారులు) సంగీత, సాహిత్య, కళా రంగాలకి ఆశ్రయమిచ్చారు కాని, సైన్సుకివ్వలేదు; యూరప్ లో రాయల్ సొసైటీ, ఫ్రాన్సులో ఫ్రెంచ్ అకాడెమీ ఉన్నాయి, మనకలాంటివి లేవు.
ప్రస్తుతానికి ఇంతటితో ముగిస్తాను.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
[1] Steven Strogatz, “Infintie Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe,” HMH, 2019.
[2] Ian Stewart, “Infinity: A Very Short Introduction,” OUP, 2017.
[3] Steven Weinberg, “To Explain the World: The Discovery of Modern Science,” Harper, 2015.
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి తమ్మినేని యదుకుల భూషణ్ అభిప్రాయం:
12/25/2024 6:34 pm
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారు, మీ వివరణ, చాలా సంతోషం. నేను వ్యాసం చదివి నా అభిప్రాయం రాస్తున్నప్పుడు మీ గురించి తలచుకున్నాను: కారణం మీరు వ్యాసాల్లో గాని, అభిప్రాయాల్లో గాని ఉట్టంకింపుల విషయంలో రాజీలేని ధోరణి ప్రదర్శిస్తారు. నేను అనుకున్నాను కొడవళ్ళ గారే ఈ వ్యాసం రాసివుంటే – ఆధారాల విషయంలో తన్నుకు చచ్చే పరిస్థితి వచ్చేది కాదు కదా. నేను ఉదహరించిన ప్రఖ్యాత శ్లోకం భాస్కరుని బీజగణితం లోనిదే – అనేకులు ఆ శ్లోకాన్ని లీలావతిలో ప్రసంగవశాత్తు ప్రస్తావించారు. శ్లోకానువాదం ఎవరు చేశారో తెలియడానికి ఆ వివరాలు ఇచ్చాను. బీజగణితంలో ‘ఖషడ్విధం’ అన్న ప్రకరణాంతంలో వస్తుందీ శ్లోకం.
ఉట్టంకింపులో మొదటి భాగానికి మూలమేదో నాకు ఇదమిత్థంగా అర్థం కాలేదు. బీజగణితంలోని ‘ఖషడ్విధం’ అన్న ప్రకరణంలో ఇచ్చిన శూన్య పరికర్మలు అన్ని ప్రస్తారాలను పేర్కొంటాయి.
(ఉదాహరణకు -శూన్యంతో గుణకారం: 0xn =0; nX0 =0; 0X0 = 0) లీలావతిలోని సూత్రాలు దానికి భిన్నంగా, సూటిగా ఉంటాయి, భాష్యాన్ని ఆశించవు). సమీక్షకుల మొదటి వాక్యం లీలావతిలోని మూలానికి దగ్గరగా ఉంది, కాబట్టి, సమీక్షకులు ఉదహరించిన వాక్యాలకు మూలం లీలావతిలోని శూన్య పరికర్మాష్టకంలోనే వెదుక్కోవలసి వచ్చింది.
“ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో గుణించిన శూన్యము అగును. శూన్యమును ఏ సంఖ్యతో భాగించిననూ శూన్యము వచ్చును. కానీ ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో భాగించినచో వచ్చునది అనంతము. ”
(సమీక్షకుల వాక్యాలు)
ఖగుణః ఖః (ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో గుణించిన శూన్యము అగును), ‘శూన్యమును ఏ సంఖ్యతో భాగించిననూ శూన్యము వచ్చును’ అన్న దానికి శూన్య పరికర్మాష్టకం లో చూపడానికి ఆధారం లేదు. కానీ ‘ఏ సంఖ్యనైననూ శూన్యముతో భాగించినచో వచ్చునది అనంతము’ (ఖభాజితో రాశిః ఖహరస్యాత్) అన్నది తప్పుడు భావానువాదం.
(నా వాక్యాలు)
నేను చిన్ననాడు ఆంధ్రప్రభలో ప్రాచీన గణితం గురించి ఎవరో వారం వారం రాసేవారు. ఖహారగణితం గురించి మొట్ట మొదటిసారి అక్కడే చదివాను. ఆనాటి నుండి ఈ పద ప్రయోగం పట్ల వింత ఆకర్షణ ఉండి పోయింది.
“Zero Denominator అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది. వీటి స్వారస్యాన్ని గ్రహించడానికి ఇంచుక గణిత రసజ్ఞత కావాలి” అని రాశాను గానీ, ఎక్కువ వివరాల్లోకి పోలేదు. మీరు జోసెఫ్ గారి పుస్తకం నుండి ఉట్టంకించి నా పని సులువు చేశారు:
“A quantity divided by zero becomes a fraction, the denominator of which is zero (ఖహరం)
This fraction is termed an infinite quantity. (‘అయమనంతో రాశిః ఖహర ఇత్యుచ్యతే’ ఈ యనంత రాశికి ఖహరమని పేరు. )
అస్మిన్ వికారః ఖహరే న రాశా
వపి ప్రవిష్టే ష్వపి నిస్సృతేషు
బహుష్వపి స్యా ల్లయ సృష్టికాలేఽ
నంతేఽచ్యుతే భూత గణేషు యద్వత్
పై శ్లోకానికి చక్కని అనువాదం:
In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted. [Similarly], no change takes place in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of beings are absorbed or put forth.”
ఇక్కడ భాస్కరుల ఖహరంతో గొడవ వస్తోంది:
This, at its face value may seem approaching correctness, by suggesting that any number when divided by zero is infinity, but then Bhaskara II (b. 1114 CE) suggests that zero multiplied by infinity is any number, and hence all numbers are equal, which is certainly not correct. Emancipated from the role of a mere place-holder, zero joined the family of numbers capable of arithmetical operations.
(కాబట్టే, తొందర పడి మూలంలో లేనివి ఊహించరాదు అని చెప్పడం, అక్కడ ఖహరం అని ఉంటే ఖహరం అనే రాయాలి, తొందరపడి అనంతం అనేయరాదు. ప్రాచీన కవిత్వాన్నిగాని, గణిత శాస్త్రాన్నిగాని అనువదించేటప్పుడు మూలం యథాతథంగా తెలుసుకోవడం ప్రథమ కర్తవ్యం. ఒక్కోసారి, ఇవాళ్టి అర్థాలు ఒకప్పటి అర్థాలు ఒకటి కాకపోయే ప్రమాదం పొంచి ఉంది. కాబట్టే, hermeneutical study అవసరమవుతుంది.)
0 X 1/0 = n (శూన్యం భాజ్యం ఖహరం భాజకం ఐతే వచ్చే లబ్ధం ఒక సంఖ్యయే (zero multiplied by infinity is any number); అందుకే, “Zero Denominator” అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది. వీటి స్వారస్యాన్ని గ్రహించడానికి ఇంచుక గణిత రసజ్ఞత కావాలి” అని రాశాను.
భారతీయతను ఎలా నిర్వచించాలి? గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
12/25/2024 10:25 am
భూషణ్గారు భాస్కరుని లీలావతి లోని శ్లోకంతో శర్మగారి ఉటంకింపు చెల్లదన్నారు. కాని శర్మగారు ఇచ్చినది (భాస్కరునిదే) బీజగణితం లోనిదనుకుంటాను. నేను మా మారుమూల గ్రామంలో ఉండటాన భాస్కరుని మూలాలు అందుబాటులో లేవు. అందుబాటులో ఉన్నదానినుండి:
Take an example from Brahmagupta’s seventh century text Brahmasphutasiddhanta. In it he treats the zero as a separate entity from the positive (dhana) and negative (rhna) quantities, implying that sunya is neither positive nor negative but forms the boundary line between the two kinds, being the sum of two equal but opposite quantities. He states that a number, whether positive or negative, remains unchanged when zero is added to or subtracted from it. In multiplication with zero, the product is zero. Likewise the square and square root of zero is zero. But problems arise when he tries to explain division. When a number is divided by zero, he gives no result but merely repeats that the quotient of any number and zero is a fraction with zero as a denominator. However, Brahmagupta’s is the first attempt by any mathematician to explain the arithmetic operations on natural numbers and zero.
In the ninth century, Brahmagupta’s attempts at defining operations using zero was taken up by Mahavira. Although he correctly states that a number multiplied by zero is zero, but wrongly adds that a number remains unchanged when divided by zero. The next attempt came from Bhaskara II in the 12th century:
This section [in Lilavati] ends with [Verses 45–47] listing the eight operations with zero: addition, subtraction, multiplication, division, square, square root, cube and cube root. These rules had become standard by then, and like Brahmagupta, suggests any quantity divided by zero remained ‘zero-divided’. Bhaskaracharya returns to this topic in the first chapter of Bijaganita, when he infers that division by zero gives khahara (infinity), the first clear statement of this result in the history of mathematics.
In Bijaganita:
“A quantity divided by zero becomes a fraction, the denominator of which is zero. This fraction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted. [Similarly] no change takes place in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of beings are absorbed or put forth.”
This, at its face value may seem approaching correctness, by suggesting that any number when divided by zero is infinity, but then Bhaskara II (b. 1114 CE) suggests that zero multiplied by infinity is any number, and hence all numbers are equal, which is certainly not correct. Emancipated from the role of a mere place-holder, zero joined the family of numbers capable of arithmetical operations.
George Gheverghese Joseph. Indian Mathematics: Engaging With The World From Ancient To Modern Times. World Scientific Publishing Company. Kindle Edition.
భూషణ్, “Zero Denominator అన్న ఊహే ఆశ్చర్యం గొలుపుతుంది,” అన్నారు. సున్నా సంఖ్యల్లో ఒకటయినప్పుడు ఎందుకు ఆశ్చర్యం? తంటా అంతా భాగించితే విలువ ఏమిటి అని కదా.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
ముష్టి పలురకములు గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
09/08/2024 11:58 pm
శాయి గారన్నమాట: “వీరిలాంటి గురువులకు/అధ్యాపకులకు భృతి సమాజమే కల్పించాలి.”
1974 లో “నూట పదహార్లు,” పేరిట తెలుగులోని ఉత్తమ కథలని తాళ్ళూరి నాగేశ్వరరావు, హితశ్రీ సంకలనం చేశారు; మొదటి భాగం మాత్రమే చెయ్యగలిగారు. దానిని తిరిగి ఈ మధ్యనే విశాలాంధ్ర “శత వసంతాల తెలుగు కథ,” గా ప్రచురించింది. నేనివాళ ఉబుసుపోకకై దానిలో జి.వి.కృష్ణరావు గారి కథ “ఉదబిందువులు,” చదివాను. వారి ఇతర రచనలని తిరగేస్తే “భిక్షాపాత్ర” కనిపించింది. ఈ నాటికని ఆకాశవాణి జాతీయ నాటికగా ప్రసారం చేసిందన్నారు హితశ్రీ: https://archive.org/details/sahithichaithrar022777mbp/page/n123/mode/2up
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
మధుమేహం – రక్తపోటు 2 గురించి Rao Vemuri అభిప్రాయం:
08/25/2024 11:00 am
సంపాదకులు వెలిబుచ్చిన కోరికతో నేను కూడా ఏకీభవిస్తున్నాను. కంప్యూటర్ల చరిత్ర గురించి శ్రీహనుమంతరావు గారు గతంలో రాసిన వ్యాసం అసంపూర్ణంగా ఉండిపోయినట్లనిపించింది. అది కొనసాగించమని మనవి!
మధుమేహం – రక్తపోటు 2 గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
08/23/2024 2:51 pm
జీవ, భౌతిక, రసాయన, గణిత శాస్త్రాలన్నిట్లో ఇంత చక్కగా తెలుగులో రాయడం వేమూరి వారికే సాధ్యం. ఈ వ్యాసాల వెనుక ఎంత కృషి ఉండాలి? Labor of loveని తెలుగులో ఏమనాలి?
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు
[ఎంతో కృషితో మీరూ అంతే చక్కగా కొంతకాలం కొనసాగించిన ‘కంప్యూటర్ పూర్వాపరాలు – సాధ్యాసాధ్యాలు’ శీర్షికను ఒక ముగింపుకు తెస్తే ఎంత బాగుంటుంది! – సం.]
ఆగస్ట్ 2024 గురించి కొడవళ్ళ హనుమంతరావు అభిప్రాయం:
08/04/2024 3:22 pm
ఈ మాట సంపాదకులకి తెలుగు సాహిత్య సమావేశాలపై కించిత్ సదభిప్రాయం కూడా లేదనిపిస్తోంది. వారన్నట్లు సాహిత్యం సామూహిక ప్రక్రియ కాదన్న మాట నిజమే; పెంపొందిన సాంకేతిక సౌకర్యాలని ప్రచారాలకీ పైరవీలకీ వాడుకునేవారు పెరిగి ఉండొచ్చు. కాని, ఎన్ని లోపాలతో కూడుకున్నా, సాహితీ సమావేశాల మూలంగా సాహిత్యం చదివేవాళ్ళు పెరుగుతారు, కొత్త రచయితలకి చెయి తిరిగిన రచయితలతో పరిచయాలు కలిగే అవకాశం ఉంది; వాటివలన కలిగే ప్రయోజనాలని కొట్టివెయ్యకూడదు.
నేను సాహితీ సమావేశానికంటూ వెళ్ళి పన్నెండేళ్లవుతోంది; దానిని పెట్టింది కూడా నేనే. జంపాల చౌదరి గారు పాపినేని శివశంకర్ గారు వాళ్ళమ్మాయి ని చూడటానికి మా ఊరు వచ్చారంటే నేను శివశంకర్ గారిని మొదటి సారిగా కలుసుకున్నాను. ఆయన అప్పుడే ప్రచురించిన పుస్తకాన్ని, “తల్లీ! నిన్ను దలంచి: అందాల తెలుగు పద్యాల లోవెలుగులు,” నాకిస్తే చదివి, దాంట్లోని పద్యాల మాధుర్యం గురించి ఓ ప్రసంగం ఇప్పిద్దామని కుతూహలపడితే ఆయన సరేనన్నారు. నేను దగ్గర్లో ఉన్న Redmond Regional Library లో ఓ హాలు బుక్ చేసి, ఆహ్వాన పత్రికని చుట్టుపక్కల మన దేశ కూరగాయల దుకాణాలలో, రెస్టారెంట్లలో పెట్టి, తెలిసిన వాళ్ళకి చెప్పాను. సమావేశం సమయానికి తినుబండారాలతో సహా వెళ్ళాను. శివశంకర్ గారు చక్కని ప్రసంగం చేశారు. ఆ సమావేశం మూలంగా నాకిప్పటికీ గుర్తుకొచ్చే పద్యం మాత్రం ఇది:
To be a boxer, or not to be there
at all. O Muse, where are our teeming crowds?
Twelve people in the room, eight seats to spare
it’s time to start this cultural affair.
Half came inside because it started raining,
the rest are relatives. O Muse.
The women here would love to rant and rave,
but that’s for boxing. Here they must behave.
Dante’s Infemo is ringside nowadays.
Likewise his Paradise. O Muse.
Oh, not to be a boxer but a poet,
one sentenced to hard shelleying for life,
for lack of muscles forced to show the world
the sonnet that may make the high-school reading lists
with luck. O Muse,
O bobtailed angel, Pegasus.
In the first row, a sweet old man’s soft snore:
he dreams his wife’s alive again. What’s more,
she’s making him that tart she used to bake.
Aflame, but carefully-don’t burn his cake!
we start to read. O Muse.
– “Poetry Reading,” by Wislawa Szymborska. Translated by Stanislaw Baranczak and Clare Cavanagh.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు