పరిచయము

మనము ప్రతి రోజు ధరించే చీరలలో, పంచెలలో, కండువాలలో, ఇళ్ళల్లో వేలాడదీసే కొన్ని చిత్రపటాలలో అంచులు (borders) ఉంటాయి. ఈ అంచులు మన సంస్కృతి, కళలలోని కొన్ని నమూనాలకు ప్రతిరూపాలు. ఈ వ్యాసపు ముఖ్యోద్దేశము అంచులలోని గణిత సిద్ధాంతాలను, సౌష్ఠవ సామ్యరూపాలను విడమరచి చెప్పడమే. అంచుల పరిమాణము ఒకటి (uni dimensional). అంటే అవి ఒకే దిక్కులో మాత్రమే పునరావృతమౌతుంటాయి. ఏ విధమైన అంచులైనా సరే అవి ఏడు వర్గాలలో ఒక్క దానికి చెందినదిగా ఉండాలి. ఈ వర్గాలను విశ్లేషించి వాటికి ఉదాహరణలుగా నేను తయారు చేసిన కొన్ని అమరికలను చూపడం ఈ వ్యాసపు ఉద్దేశం.

సామ్యరూపము

సామ్యరూపము – అంచులలోని వర్గాలను చెప్పడానికి ముందు సామ్యరూపము లేక సౌష్ఠవము గురించి కొద్దిగా చెప్పడం అవశ్యం. సామ్యరూపము నాలుగు విధాలు, అవి సమాంతర పరివర్తన లేక స్థలాంతరత్వము (translation), భ్రమణము లేక పరిభ్రమణము (rotation), దర్పణము లేక పరావర్తనము (reflection), విలోమ సాదృశ్యము (inversion).

• సమాంతర పరివర్తన (స్థలాంతరత్వము) ఒకే విధంగా ఉండే వస్తువుల మధ్య దూరం మారకుండా ఉండే ఒక అమరిక ఇది.

  
  రామేశ్వర దేవాలయం

  రామేశ్వరం దేవాలయంలోని రాతి స్తంభాలు, వీధులలో ఉండే దీపాలు, ఉద్యానవనాలలో ఉండే చెట్లు వీటికి ఉదాహరణ. ఈ స్థలాంతరత్వం మూడు దిక్కులలో (three dimensions) ఉండవచ్చు. ఈ వ్యాసంలోని అంచలవర్గాలలో దీని పరిమితి ఒకటి మాత్రమే.

• భ్రమణము – భ్రమణము అంటే తిరగడం. ఇలా తిరగడానికి ఒక అక్షము (axis) కావాలి. దీనినే భ్రమణాక్షము (rotation axis) అంటారు. ఒక వస్తువును ఒక అక్షము ద్వారా ఒక కోణములో తిప్పడము ఇందులోని కిటుకు. ఈ కోణాలు 360 డిగ్రీలను విభజించే సంఖ్యగా ఉంటుంది. ఈ సంఖ్య 180 డిగ్రీలు అయితే దానిని ద్విరావృత్త భ్రమణము (two-fold rotation) అంటారు.
   

  
  భ్రమణ సౌష్ఠవం

పట్టిక 1. అక్ష సంఖ్యలు – భ్రమణ కోణాలు

అక్ష సంఖ్య	భ్రమణ కోణం
1	3600
2	1800
3	1200
4	900
5	720
6	600
8	450
9	400
10	360

సమాంతర పరివర్తన, భ్రమణ సౌష్ఠవము రెండూ ఒకే వేళ ఉండాలంటే మనకు లభించే అక్ష సంఖ్యలు ఐదు మాత్రమే, అవి 1, 2, 3, 4, 6. ఈ సమాంతర పరివర్తన లేకుండా ఉంటే అక్ష సంఖ్య ఏదైనా ఉండవచ్చు. ప్రకృతిలో ఐదు రేకులు ఉండే పూలు అసంఖ్యాకము. z axis గుండా ఒక 180 డిగ్రీల భ్రమణము కలిగితే x, y, z coordinatesతో ఉన్న ఒక బిందువు, -x, -y, z coordinatesతో ఉన్న మరొక బిందువుగా మారుతుంది. మరొక ముఖ్యమైన విషయం ఏమంటే భ్రమణ సౌష్ఠవం మాత్రమే ఉంటే దానికి సవ్యాపసవ్య గుణం (Chirality or handedness) తప్పక ఉంటుంది.

• దర్పణ సాదృశ్యము – దర్పణము అంటే అద్దం. అద్దం ఒక బింబాన్ని ప్రతిబింబింప జేస్తుంది. మనం నిత్యం సింగారించుకోడానికి వాడే అద్దంలో బింబం యథార్థమైనది. ప్రతిబింబం మిథ్యాబింబం, అంటే దాన్ని అందుకోలేము. కాని దర్పణసాదృశ్యములోని బింబప్రతిబింబాలు రెండూ నిజమైనవే. ఒక విధంగా చూస్తే ప్రాణుల దేహంలో దర్పణసాదృశ్యము ఉంది.

  
  దర్పణ సాదృశ్యము

  మన శరీరంలోని కుడి ఎడమ భాగాలు సరాసరి బింబప్రతిబింబాలే. ముఖ్యంగా మన చేతులు ఈ దర్పణ సౌష్ఠవానికి ఒక గొప్ప ఉదాహరణ. కుడి ఎడమయితే వచ్చే పొరపాటు ఇంతింత కాదు! x, y, z coordinatesతో ఉండే ఒక బిందువు xy సమతలములో ఉండే అద్దంలో పరావర్తన చెందితే అది x, y, -z coordinates గా మారుతుంది.

• విలోమ సౌష్ఠవము – రెండు వస్తువులు ఒక దాని కొకటి తలకిందులుగా కనిపిస్తే వాటికి ఈ విలోమ సౌష్ఠవము ఉందని చెప్పవచ్చు. భూమిపైన ఉత్తర దక్షిణ ధ్రువాలకు మధ్య ఉండే సంబంధము ఇలాటిదే. x, y, z coordinates తో ఉండే ఒక బిందువు coordinates ఈ విలోమ సౌష్ఠవము ద్వారా -x, -y, -z అవుతుంది.

ఈ సౌష్ఠవాలు వేటికి అవే స్వతంత్రంగా ఉండవచ్చు. లేకపోతే రెంటిని జత చేయవచ్చు కూడా. భ్రమణాన్ని, సమాంతర పరివర్తనను కలిపితే మరమేకు (Screw) సౌష్ఠవము కలుగుతుంది. మరమేకులో భ్రమణ సౌష్ఠవముతోబాటు సమాంతర పరివర్తన కూడా ఉంటుంది (rotation followed by translation). ఒక తీగలోని ఆకుల అమరిక ఇట్టిదే. దర్పణ సౌష్ఠవాన్ని సమాంతర పరివర్తనతో కలిపితే సంసర్ప సౌష్ఠవము (glide reflection symmetry) జనిస్తుంది. మనము నడిచేటప్పుడు మన పాదాల అమరిక ఈ సౌష్ఠవానికి ఒక ఉదాహరణ. సౌష్ఠవ వర్గాలలో (symmetry groups) వీటికి కూడా ఒక స్థానము ఉన్నది.

స్థలాంతరత్వపు పరిమాణము ఒకటయితే మనకు ఏడు వర్గాలు పుడుతాయి (seven one dimensional groups). దీని పరిమాణము రెండయితే మనకు 17 వర్గాలు పుడుతాయి(seventeen two dimensional groups). స్థలాంతరత్వపు పరిమాణము మూడు అయితే మనకు 230 వర్గాలు పుడుతాయి (230 three dimensional groups). ఇందులోని మొదటిది ఈ వ్యాసపు గురి. ఈ ఏడు ఏకపరిమాణ వర్గాలను అంచలవర్గాలు (frieze groups) అంటారు. ఇందులో రెండవ దానిని కుడ్యచిత్ర వర్గాలు (wallpaper groups) అంటారు. ఇందులో మూడవదానిని స్థల వర్గాలు (space groups) అంటారు.

అంచల వర్గములు

అంచుల సౌష్ఠవంలో మూడు విధాలైన సౌష్ఠవ నియమాలను పాటిస్తాం మనం. అవి ద్విరావృత్త భ్రమణ సౌష్ఠవం (180 డిగ్రీల భ్రమణము), దర్పణ సాదృశ్యము (అడ్డు, నిలువు అద్దాలు), సంసర్ప సౌష్ఠవము (glide). వీటితోబాటు ఒకే ఒక దిశలో మాత్రం స్థలాంతర పరివర్తన కూడా ఉంటుంది. ఈ ఏడు వర్గాలను 1920 దశకములో నిగ్లీ (Paul Niggli), పోల్యా (George Polya) కనుగొన్నారు.

ఇప్పుడు చెప్పబోయే వర్గీకరణకు నిరూపక అక్షాలను (coordinate axes, దీనిని భ్రమణ సౌష్ఠవము చిత్రంలో చూడవచ్చును.) మనం ఇలా వూహించుకుందాము. x axis అడ్డంగా, y axis నిలువుగా, z axis తెరకు లంబముగా ఉంటుంది. స్థలాంతరత్వం x axis దిశలో జరుగుతుంది. a అన్నది ఒకే రూపంలో పక్క పక్కన ఉన్న రెండు వస్తువుల మధ్య దూరం. ఇందులో సగం ప్రతిఫలనము జరిగిన తరువాత జరిగే స్థలాంతర దూరం. ఒక అక్షానికి అద్దం లంబముగా ఉంటే దానిని m (mirror) అని పిలుస్తారు. అద్దానికి బదులు సంసర్పము ఉంటే దానిని g (glide) అంటారు. ఈ సంసర్పము x axis దిశలో ఉంటే దానిని a అంటారు. z axis ద్విరావృత్త అక్షము (two-fold axis), దానిని 2 అంటారు. లోతైన విషయాలను, ఉపపత్తులను వదలి ఇందులోని ప్రధానమైనవి మాత్రమే నేను ఇక్కడ తెలియబరుస్తున్నాను.

1. ఇందులో మొదటి వర్గంలో ఎట్టి సౌష్ఠవమూ లేదు. ఒకే ఆకృతి పదే పదే అంచు నిడివిలో కనబడుతుంది. మంత్రాలను ఓంకారముతో ప్రారంభిస్తారు. అదే విధంగా ఈ వర్గాలలోని మొదటిదైన దీనికి ఉదాహరణగా దేవనాగరి లిపిలోని ఓంకారాన్ని అంచులలో రకాలు చిత్రంలో (అంచు1-1)లో చూడవచ్చు. ఒక దిక్కులో స్థలాంతరత్వము తప్ప మరే సౌష్ఠవము లేని ఈ వర్గాన్ని 111 అంటారు. అనగా, మూడు దిక్కులలో 360 డిగ్రీల భ్రమణము తప్ప మరేమీ లేదు ఇందులో. ఈ వర్గంలో ఒకే వస్తువు. ఇందులో పదేపదే వచ్చేటట్లు ఏ సౌష్ఠవము లేదు.
2. ఇందులో ద్విరావృత్త సౌష్ఠవము మాత్రమే ఉంటుంది. దీనిని 112 అనే చిహ్నముతో సూచిస్తారు. z axis ద్విరావృత్త అక్షము ఇందులో. దీనికి ఉదాహరణగా తెలుగులోని శ్రీకారాన్ని (అంచు1-2) నేను ఎన్నుకొన్నాను.

   
   అంచులలో రకాలు 1

3. ఇందులో ఉన్న సౌష్ఠవాంశము సంసర్ప సౌష్ఠవము (1a1). అడ్డంగా ఉండే అద్దంలో పరావర్తన చెందిన ప్రతిబింబం స్థలాంతరం చెందడమే ఇందులోని ప్రధానాంశము (అంచు1-3). మనం నడిచేటప్పుడు మన పాదాల అమరిక ఈ వర్గానికి ఒక చక్కని ఉదాహరణ.
4. ఇందులో ఉన్న సౌష్ఠవము నిలువుటద్దం. దీనిని (m11 – vertical mirror perpendicular to the x axis) అని పిలవవచ్చు. ప్రతి వస్తువుయొక్క బింబప్రతిబింబాలు స్థలాంతరం చెందడమే ఇందులోని ప్రత్యేకత (అంచు1-4). బింబప్రతిబింబ రూపాలలో ఉండే రెండు నల్లటి హంసలను ఉదాహరణగా తీసికొన్నాను. హంసల మెడల మధ్య ఒక హృదయాకారాన్ని చూడ వీలవుతుంది.
5. ఈ వర్గములోని సౌష్ఠవము కూడా అద్దమే. అయితే ఈ అద్దం అడ్డంగా ఉంటుంది. వస్తువుయొక్క బింబప్రతిబింబాలు పైన కింద ఉంటాయి ఇందులో. దీనిని (1m1 – vertical mirror perpendicular to the y axis) అని చెప్పవచ్చు (అంచు2-5).

   
   అంచులలో రకాలు 2

   మంగళకరమైన గుర్తులతో ఉండే పూర్ణకుంభాలను ఈ వర్గానికి ఉదాహరణగా ఎన్నుకొన్నాను. రెండునుండి ఐదవ వర్గం వరకు ఉండే వర్గాలలో ప్రతి వర్గంలో రెండు వస్తువులు మాత్రమే ఉంటాయి (order of the group 2).

6. దీనిని అవగాహన చేసికోవడం కొద్దిగా కష్టం. ఇందులోని సౌష్ఠవాంశాలు రెండు, అవి నిలువుటద్దము, సంసర్పము (ma2).x axis కు లంబముగా ఒక అద్దం, y axis కు లంబముగా అద్దము, తరువాత సంసర్ప సౌష్ఠవము ఇందులోని సౌష్ఠవాంశములు, మొదట నిలువుటద్దంతో బింబప్రతిబింబాలు సృష్టించాలి, అలా సృష్టించిన దానిని అడ్డంగా ఉండే అద్దంలో ప్రతిఫలించి అడ్డ దిక్కులో జరపాలి. ఇలా మనము ఎన్నుకొన్న వస్తువుతోబాటు మొత్తంగా నాలుగు వస్తువులు ఉంటాయి ఈ వర్గంలో (అంచు2-6). పైన చెప్పినట్లు సౌష్ఠవము ఉంటే, ఒక ద్విరావృత్త అక్షము తనంతట తనే వస్తుంది. అందరికీ ప్రియమైన మామిడి పిందెలను (ఇట్టి డిజైనుకు ఆంగ్లంలో paisley అని పేరు) ఈ వర్గానికి ఉదాహరణగా తీసికొన్నాను.
7. ఈ వర్గంలో కూడా ఎన్నుకొన్న వస్తువుతోబాటు మొత్తం నాలుగు ఉంటాయి. ఇందులో నిలువుటద్దము, అడ్డంగా ఉండే అద్దము రెండూ ఉన్నాయి. ఇలా ఈ రెండు ఒకే చోట ఉంటే తనంతటతానే ఒక ద్విరావృత్త అక్షము జనిస్తుంది. దీనిని (mm2) అంటారు అందమైన సర్పిల వృత్తాలను ఈ వర్గాన్ని ఉదహరించడానికి ఎన్నుకొన్నాను (అంచు2-7). ఆరవ, ఏడవ వర్గాలలో మొత్తము నాల్గు వస్తువులు ఉంటాయి (order of the group 4).

పైన వివరించిన వర్గాలలో అన్ని వస్తువుల స్వరూపము ఒక్కటే. కాని ఒక్కొక్కప్పుడు ఒకే ఆకారములో వస్తువు ఉన్నప్పటికీ, దాని రంగు వేరుగా ఉండవచ్చు లేకపోతే దానికి ఒక ప్రత్యేకత (అయస్కాంత భ్రామకము – magnetic moment) ఉండవచ్చు. వీటిని కూడా ఈ అమరికలలో ఉంచితే మనకు వర్ణ వర్గాలు జనిస్తాయి (coloured groups). రెండు రంగులను (నలుపు, తెలుపు) లేక రెండు భ్రామకముల దిశలను (పై దిక్కు, కింది దిక్కు up and down) కూడా మన ఎన్నికలో తీసికొంటే, పై ఏడు వర్గాలు 31 (క్రమమముగా పై వర్గాలలో ఒక్కొక్కదానికి 3, 4, 4, 4, 4, 6, 6 వర్గాలు) వర్గాలవుతాయి.

రంగులతో వర్గాలు

అందులో mm2 సౌష్ఠవముతో ఉండే చివరి వర్గానికి రెండు రంగులతో తయారు చేసిన మామిడి పిందెల అమరికలను చిత్రంలో చూడ వీలగును. ఇందులో మొదటి వరుసలో గులాబి రంగుతో, రెండవ వరుసలో ఊదా-ఆకుపచ్చ రంగుతో ఉండే మామిడి పిందెలు ఉన్నాయి. మూడవ వరుసలో ఇవి రెండూ ఒకటి విడిచి ఒకటి కనబడతాయి. ఒకే రంగుతో ఉండే పిందెల మధ్య దూరం మొదటి రెండు వరుసలలో ఒకే రంగుతో ఉండే వాటికంటె రెండింతలు. నాలుగవ వరుసలో గులాబి రంగు పిందెలకు, పచ్చ రంగు పిందెలకు మధ్య అడ్డంగా ఒక అద్దం ఉంది. కాని మిగిలిన సౌష్ఠవాంశాలు (నిలువుటద్దము, 180 డిగ్రీల భ్రమణము) వేరు వేరు రంగులతో ఉండే పిందెల మధ్య లేవు. ఐదవ వరుసలోని పిందెలకు మధ్య ఉండే సౌష్ఠవము నిలువుటద్దం మాత్రమే. మిగిలినవి (అడ్డంగా ఉండే అద్దం, 180 డిగ్రీల భ్రమణం) రంగు మార్పుతో మాత్రమే వీలవుతుంది. చివరి వరుసలో 180 డిగ్రీల భ్రమణము మాత్రమే ఒకే రంగుతో ఉండే పిందెల మధ్య ఉన్నది. రెండు అద్దాలు రంగు మార్పుతో మాత్రమే వీలవుతుంది.

ముగింపు

అంచులలోని వస్తువులు ఏవైనా కావచ్చు. కాని అవి అంచులలో ఉండాలంటే పైన విశదీకరించిన ఏ ఒక వర్గంలోనైనా ఉండి తీరాలి. అదే గణితశాస్త్రపు గొప్పదనం. భిన్నత్వంలో ఏకత్వాన్ని సృష్టిస్తుంది. చిత్రకళ, చేనేత లాటి పరిశ్రమలలో కూడా గణితం తొంగిచూస్తూనే ఉంటుంది.

గ్రంథసూచి

1. జెజ్జాల కృష్ణ మోహన రావు – ముగ్గులు, కౌముది జూన్ 2007
2. K.V. సుబ్బరామయ్య – స్ఫటిక శాస్త్రం, తెలుగు అకాడెమీ, హైదరాబాదు, 1999.
3. Symmetry, A Unifying Concept, Istvan Hargittai, Magdolna Hargittai, Shelter Publications, Bolinas, California, 1994.