2.2 రామానుజన్ సంఖ్య 1729

ఎస్. రామానుజన్ (1887 – 1920)

ఈ సందర్భంలో శ్రీనివాస రామానుజన్ టేక్సీ సంఖ్య 1729ని ఒకసారి సందర్శించడం అప్రస్తుతం కాదు. మనందరికీ తెలుసున్న కథే కాని చిన్న మెలికతో చెబుతాను. రామానుజన్ సుస్తీగా ఉంటే హార్డీ పలకరించడానికి టేక్సీలో వెళ్ళేరు. వెళ్ళి, రామానుజన్‌తో, ‘నేను వచ్చిన టేక్సీ సంఖ్య 1729 – చాల చప్పగా ఉంది,’ అన్నారు. ‘ఛ! ఛ! అది చప్పదంటారేమిటి? అది చాల ఆసక్తికరమైన సంఖ్య. రెండు పూర్ణ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తంగా, రెండు విధాలుగా, రాయగలిగే సంఖ్యలలో ఇది అతి చిన్న సంఖ్య,’ అన్నాడుట రామానుజన్! అనగా:

9³ + 10³ = 12³ + 1³ = 1729

ఈ సమీకరణాన్ని ఈ దిగువ విధంగా కూడ రాయవచ్చు.

9³ + 10³ = 12³ + 1

కదా? తత్ఫలితంగా వచ్చిన పై సమీకరణంలో చివర ఉన్న 1ని మినహాయిస్తే, మిగిలినది ఫెర్మా ఇచ్చిన సమీకరణంతో (n = 3 అయిన సందర్భంలో) సరిపోయింది కదా! అనగా, ఈ ఒక్క సందర్భంలోనూ ఫెర్మా సిద్ధాంతం వీగి పోకుండా దరిదాపు నిలబడినట్లే కదా! మరొక ఉదాహరణగా:

65601³ + 67402³ = 83802³ +/- 1

ఈ ఉదాహరణలో +/- అంటే, సమీకరణం నిక్కచ్చిగా చెల్లడానికి 1 కలపడమో, 1 తీసివెయ్యడమో చెయ్యాలి – అని అర్థం. ఇలా దరిదాపుగా చెల్లే ఉదాహరణలు (1 ఇటూ అటుగా సరిపోయేవి) రామానుజన్ పోయిన నోటు పుస్తకంలో (Ramanujan’s Lost Notebook) చాల ఉన్నాయిట. దీనిని బట్టి ఈ సమస్య పరిష్కారానికి రామానుజన్ కూడ వేలు పెట్టేడు అని మనం అనుకోవచ్చా? ఈ విషయం మరొక సందర్భంలో మళ్ళా ప్రస్తావిస్తాను.

3. సోఫీ జెర్మైన్ (Marie-Sophie Germain)

పందొమ్మిదవ శతాబ్దం ఆరంభమయే సమయానికి గణిత ప్రపంచంలో ఫెర్మా ప్రవచించిన చివరి సిద్ధాంతం ఒక కొరకరాని కొయ్య అనే పేరుని సంతరించుకుంది. లొంగకుండా అల్లరి పెడుతూన్న ఈ సిద్ధాంతాన్ని సాధించే నిర్మాణక్రమానికి ఆయిలర్ శంకుస్థాపన చేసి, ఒక పునాది వేసి, అప్పటికే చాల సంవత్సరాలు గడచిపోయింది.

3.1 వివక్ష వాతావరణంలో అబల చేసిన సాహసం

స్త్రీల పట్ల వివక్ష చూపుతూ, స్త్రీల జీవితం పిల్లలని కనడానికి, వంట ఇంటికి పరిమితం అనే పురుషాధిక్య, సంకుచిత భావాలతో విర్రవీగే ఫ్రెంచి సమాజంలో మరీ-సోఫీ జెర్మైన్ (Marie-Sophie Germain) పుట్టింది. గణితం వంటి శాస్త్రాలు అధ్యయనం చెయ్యగలిగే మేథోసంపత్తి స్త్రీలకి లేదని ఆ రోజుల్లో యూరప్ లోనూ, ప్రత్యేకించి ఫ్రాన్స్ లోనూ ఒక గాఢ విశ్వాసం ఉండేది. ఇటువంటి వాతావరణంలో సోఫీ జెర్మైన్ ఆకాశంలో అకస్మాత్తుగా వెలిగిన నవ్యతారలా ప్రకాశిస్తూ ఫెర్మా చివరి సిద్దాంతాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక విప్లవాత్మకమైన దిశానిర్దేశం చేసింది. గణితంలో ఆమె సాధించిన ఫలితాలని ప్రచురించడానికి మగ పేరు పెట్టుకుని దొంగచాటుగా బతకవలసి వచ్చిన ఆ రోజులలో కాకతాళీయంగా ఒక అనూహ్యమైన సంఘటన జరిగి ఉండకపోతే ఈమె అసలు పేరు మనకి తెలిసి ఉండేది కాదేమో!

సోఫీ జెర్మైన్ (1776 – 1831)

సోఫీ జెర్మైన్ ఆంబ్రోస్-ఫ్రాంఁస్వా జెర్మైన్ అనే వ్యాపారస్తుని కూతురు. ఆమెకి 13 సంవత్సరాల వయస్సప్పుడు ఫ్రెంచి విప్లవం పరాకాష్ఠ చేరింది. బేస్టీల్ (Bastille) దుర్గం పతనం అయిపోయి, దేశం అంతా విప్లవ వాతావరణంతో అల్లకల్లోలంగా ఉండడంతో ఈమె ఇల్లు వదలి బయటకి వెళ్ళే అవకాశమే ఉండేది కాదు. ఇంట్లో కాలక్షేపానికి లెక్కల పుస్తకాలు చదువుతూ కూర్చునేది. ఆ రోజులలో ఫ్రాన్స్‌లో రెండు రకాల లెక్కల పుస్తకాలు ఉండేవి: ఒకటి మగధీరులకి, రెండు అబలలకి. మగవారి కోసం రాసిన పుస్తకాలలో నిర్వచనాలు, సిద్ధాంతాలు, ఋజువులు, తర్కం, వగైరా లోతైన భావ పరంపరతో ఉంటే ఆడవారి కోసం రాసే పుస్తకాలు ప్రశ్నోత్తరాల రూపంలో, కొంచెం నాటకీయంగా, ఉండేవి. ఉదాహరణకి న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతం లోని విలోమవర్గ సూత్రం (inverse square law) వివరించడానికి ‘ప్రియుడు ప్రియురాలిని విడచి 8 రోజులు ఉన్నాడంటే వారి మధ్య విరహవేదన 8×8 = 64 రెట్లు పెరిగినట్లన్న మాట,’ వంటి ఉపమానాలు వాడేవారు – ఆడవారికి ఆ భాష తప్ప మరొక విధంగా చెబితే అర్థం కాదన్న భావనతో. కాని సోఫీని ఆకట్టుకున్నది మరొక రకం పుస్తకం; జాఁ మాంటుక్లా (Jean Montucla) రాసిన గణితశాస్త్రపు చరిత్ర. అందులో ఆర్కిమిడీస్ కథ చదివి ఆమె నిర్విణ్ణురాలయింది. ఆర్కిమిడీస్ ఆవిష్కరించిన అనేక కొత్త విషయాలు ఆమెలో కుతూహలాన్ని రేకెత్తించిన విషయం నిజమే కాని, ఆర్కిమిడీస్ మరణించిన తీరు చదివి ఆమె చకితురాలయింది. ఆర్కిమిడీస్ జీవితకాలం అంతా ప్రశాంతంగా సిరక్యూస్ నగరంలో తన పరిశోధనలలో ములిగి తేలుతూ గడిపేడు. ఆయన డెబ్బయ్యో పడిలో పడ్డ తరువాత ఇసకలో, పుల్లతో ఏదో రేఖా చిత్రం గీసి, దానిని తదేక దీక్షతో చూస్తూ, ఆలోచనలో పడి బయటి ప్రపంచాన్నే మరచిపోయేడు. ఆ సమయంలో సిరక్యూస్ మీద దండయాత్ర చేస్తూ అక్కడకి వచ్చిన ఒక రోమన్ సైనికుడు, నువ్వు ఎవ్వరివి? నీ సమాచారం ఏమిటి? అంటూ ఏవో ప్రశ్నలు వేసేడుట. ఆలోచనలో ముణిగిపోయిన ఆర్కిమిడీస్ ఈ సైనికుడి రాకనే గమనించలేదుట. ఏకాగ్రతలో ఉన్న ఆర్కిమిడీస్‌కు సైనికుని ప్రశ్నలే వినిపించి ఉండవు. పదే పదే అడిగినా తన ప్రశ్నకి సమాధానం రాకపోయేసరికి ఆ సైనికుడు ఆగ్రహావేశంతో ఆర్కిమిడీస్‌ని బల్లెంతో పొడిచి చంపేసేడుట!

చేస్తూన్న లెక్క గురించి ఆలోచిస్తూ – తన ప్రాణానికే ముప్పు రాబోతూందనే విషయాన్ని కూడ గమనించకుండా – ఒక వ్యక్తీ ప్రపంచాన్నే మరిచిపోయేడంటే గణితంలో ఏదో ఆకర్షణ ఉండి ఉండాలి అని తర్కించుకుని గణితశాస్త్రాన్ని లోతుగా తరచి చూడాలని నిశ్చయించుకుంది సోఫీ. ముందు సంఖ్యా శాస్త్రం మీద మోజు చూపింది. క్రమేణా కేల్‌క్యులస్ కూడ స్వయంకృషితో నేర్చుకుంది. నడిరాత్రి వరకు దీపం దగ్గర కూర్చుని ఆయిలర్, న్యూటన్ ప్రభృతులు రాసిన పుస్తకాలు ఆపోశన పట్టేసింది. ఇంటి దగ్గర ఇంటి పనులు చేసుకుంటూ ఉండవలసిన పిల్ల రాత్రి, పగలు ఇలా గణితం అధ్యయనం చెయ్యడం ఆమె తండ్రికి నచ్చలేదు. రాత్రి పూట చదవడానికి వీలు లేకుండా ఇంట్లో కొవ్వొత్తులు సోఫీ కంట పడకుండా దాచేసేవాడు. గదిలో వేడి లేకుండా చేసేసేవాడు. తండ్రి చేస్తూన్న కుట్రని పసికట్టి తండ్రికి తెలియకుండా కొవ్వొత్తులు గదిలో దాచుకుని, తలుపు మూసుకుని, ఆ చలిలోనే, చదువుకునేది. హిరణ్యకశిపుడు ప్రహ్లాదుడిని బాధలు పెట్టినట్లు తండ్రి ఎంతలా నిరుత్సాహ పరచినా వాటన్నిటికి తట్టుకుని ఒళ్ళు మరచి గణితం అధ్యయనం చేసేది. చివరికి తల్లిదండ్రులు ఓటమిని ఒప్పుకుని సోఫీ గణితం చదువుతూ ఉంటే అభ్యంతరం పెట్టడం మానేసేరు. సోఫీ వివాహం చేసుకోకుండా జీవితాన్ని గణితానికే అంకితం చేసింది. ఒకప్పుడు అభ్యంతరం పెట్టిన తండ్రే ఇప్పుడు ఆమె ఉదర పోషణకి, పరిశోధనా పోషణకి బాధ్యత తీసుకున్నాడు. సోఫీ గణితంతో ఒంటరి పోరాటం కొనసాగించింది.

ఈ లోగా 1794లో పేరిస్‌లో ఇకోల్ పోలీటెక్నిక్ (Ecole Polytechnique) అనే ప్రతిష్ఠాత్మకమైన విశ్వవిద్యాలయం స్థాపించడం జరిగింది. ఇక్కడ గణితం, భౌతిక, రసాయన శాస్త్రాలు, సాంకేతిక విద్యలు మొదలైన అంశాలని పరిశోధించి, బోధించాలని, అడిగిన వారందరికీ పాఠ్యాంశాలు సరఫరా చెయ్యాలని వ్యవస్థాపకుల ఆశయం. కాని ఇక్కడ స్త్రీలకి ప్రవేశార్హత లేదన్నారు. సహజంగా బిడియస్తురాలైన సోఫీకి అధికారులని ఎదుర్కొని ప్రశ్నించే సాహసం లేదు. కాని అక్కడకి వెళ్ళి చదువుకోవాలనే తపన తగ్గలేదు. అందుకని అంట్వాన్ అగస్ట్ లి బ్లాంక్ అనే మాజీ విద్యార్థి పేరుని, అభిజ్ఞానాన్ని తస్కరించి అతని పేరు మీద దరఖాస్తు పడేసింది. ప్రవేశం లభించింది. పాఠాలు, పాఠ్య పుస్తకాలు, ఇంటి దగ్గర పని చేసి పరిష్కరించవలసిన సమస్యలు, వగైరాలు అన్నీ లి బ్లాంక్‌కి సరఫరా చేస్తున్నారు అధికారులు. ఇంటి పని, పరీక్షలు, అన్నీ లి బ్లాంక్ పేరు మీదుగా జరుగుతున్నాయి. ప్రతి వారం సోఫీ దాఖలు పరుస్తూన్న జవాబులు గణిత శాస్త్రపు ఆచార్యుడు, ఆ రోజుల్లో గణిత శిరోమణి అనదగ్గ జోసెఫ్-లూయీ లగ్రాంజ్ (Joseph-Louis Lagrange) దృష్టిలోకి వచ్చేయి. ఆశ్చర్యం! గత సంవత్సరం బొటాబొటీగా, అత్తెసరు మార్కులతో, నెట్టుకొచ్చిన లి బ్లాంక్ ఈ ఏడు వికసించి పరిమళిస్తున్నాడు! ఒక సారి వచ్చి తనతో ముఖాముఖీ మాట్లాడమని లి బ్లాంక్‌కి వర్తమానం పంపేరు. ఇక గత్యంతరం లేక సోఫీ ముసుగు తీసి బయట పడక తప్పలేదు. లగ్రాంజ్ అపరిమితానందంతో సోఫీని ఆహ్వానించి అక్కున చేర్చుకున్నాడు. ఇన్నాళ్ళకి తన ప్రతిభని గుర్తించగలిగే గురువు దొరికినందుకు, అతను ఆమెని ఆదరించి ఆశీర్వదించినందుకు సోఫీ ఆనందానికి హద్దు లేదు. అప్పటికి సోఫీ వయస్సు 20 సంవత్సరాల లోపే!

ఫ్రీడ్రిక్ గౌస్ (1777 – 1855)

ఇలా అనుకోకుండా ఎదురైన సంఘటనతో సోఫీ ఆత్మవిశ్వాసం పెరిగింది. పాఠ్యాంశాల పరిధుల్ని దాటి సాహసోపేతంగా గణితంలో కొత్త పుంతలు తొక్కడం మొదలు పెట్టింది. ప్రత్యేకించి సంఖ్యాశాస్త్రం లోతులు తరచి చూస్తూ ఉంటే ఫెర్మా చివరి సమస్య ఎదురయింది. కొన్ని ఏళ్ళు శ్రమించిన తరువాత ఆమె కంటికి ఆశాజనకంగా ఉన్న సరికొత్త మార్గం పొడచూపింది. ఉబికి వస్తున్న ఈ ఊహాస్రవంతిని ఎవ్వరితో పంచుకోవాలి? ఇంకెవ్వరు? గణిత పర్వత పంక్తులలో ఉత్తుంగ శిఖరాగ్రం వంటి జెర్మనీ దేశపు కార్ల్ ఫ్రీడ్రీక్ గౌస్(Carl Friedrich Gauss). గణిత సామ్రాజ్యానికి చక్రవర్తి ఆయన. యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ తరువాత అంత ప్రతిష్ఠాత్మకమైన పుస్తకం రాసేడు గౌస్. వ్యాసోచ్ఛిష్టం జగత్ సర్వం అని మనం అనుకున్నట్లే గణిత ప్రపంచంలో గౌస్ స్పృశించని శాఖ లేదు. కాని ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతం గురించి ఆయన అస్సలు పట్టించుకోనే లేదు. ‘నీ అంతటి వాడు ఈ సమస్యని ఛేదించాలి’ అంటూ హైన్రిక్ ఓల్బెర్స్ (Heinrich Olbers) అభ్యర్ధిస్తే, ‘ఈ రకం పనికిమాలిన సమస్యలు నా కుతూహలాన్ని రేకెత్తించవు. కావలిస్తే ఇటువంటి సమస్యలని పుంఖానుపుంఖంగా ప్రతిపాదించగలను,’ అంటూ తిప్పికొట్టేడాయన. మూడొంతులు గౌస్ కూడ ఈ దిశలో ప్రయాణించి, ఫలితం కనిపించక, నిరాశతో అందని ద్రాక్ష పుల్లన అన్న మనస్తత్త్వం ప్రదర్శించేడేమో! మనకి తెలియదు. ఇటువంటి నేపథ్యంలో సోఫీ రాసిన జాబుని గౌస్ అందుకున్నాడు. చదివేడు. అందులో కనిపించిన కొత్తదనానికి ఆశ్చర్యపడి అంతవరకు ఈ సమస్యపై తాను ఏర్పరచుకున్న తూష్ణీభావాన్ని కాసింత సడలించి ఈ ప్రశ్నని మరొకసారి పరిశీలించడానికి మొగ్గు చూపేడు.

డెబ్భయి అయిదు సంవత్సరాల క్రితం ఆయిలర్ ఈ సమస్యని పరిష్కరించే ప్రయత్నంలో మొట్టమొదటి తప్పటడుగు వేసేడు: n = 3 అయిన ఒక్క సందర్భంలో ఈ సమస్యకి పరిష్కారం లేదు అని ఆయన ఋజువు చేసేరు. అటు తరువాత ఇతరులు ఇతర ప్రత్యేక సందర్భాలని, ఒకటీ ఒకటీ చొప్పున పరిశీలించి నేతి, నేతి (ఇది కాదు, ఇది కాదు) అనుకుంటూ తప్పటడుగులు వేసేరు. సోఫీ రంగంలోకి ప్రవేశించి, ఇలా ఒకటీ ఒకటీ సందర్భాల్ని సందర్శిస్తూ పోతే అనంత వాహినిలా ఉన్న సందర్భాలన్నిటిని సందర్శించి పరిష్కరించడం తెమిలే పని కాదు. ఒక్కుమ్మడిగా అనేక సందర్భాలని ఒకేసారి తీసుకుని అవన్నీ పరిష్కరించలేమని ఒక్క దెబ్బతో రుజువు చేస్తే పోలా? అనుకుని ఒక కొత్త పుంత తొక్కింది.

సోఫీ తొక్కిన మార్గాన్ని టూకీగా చెప్పడానికి ప్రయత్నం చేస్తాను. ఒక ప్రత్యేక లక్షణం ఉన్న p అనే ప్రధాన సంఖ్యని తీసుకుందాం. ఏమా ప్రత్యేక లక్షణం? p ప్రధాన సంఖ్య అయినప్పుడు (2p +1) కూడ ప్రధాన సంఖ్య అవాలి. ఉదాహరణకి p = 5 అయినప్పుడు 2p + 1 = 11 అయింది కదా. ఇక్కడ 5, 11 ప్రధాన సంఖ్యలే. ఈ లక్షణం ఉన్న జంటలని సోఫి జెర్మైన్ గౌరవార్థం జెర్మైన్ ప్రధాన సంఖ్యలు (Germaine primes) అంటారు.

ఇప్పుడు ఫెర్మా చివరి సిద్ధాంతంలో n = p అయిన ప్రత్యేక సందర్భాలన్నిటిలో (అనగా n జెర్మైన్ ప్రధాన సంఖ్య అయిన సందర్భాలలో, ఇవి అనంతం అయినన్ని ఉన్నాయి) ఫెర్మా సిద్ధాంతం చెల్లుతుంది అని రుజువు చేసింది. ఈ రుజువు ఎలా సాగుతుందో ఇప్పుడు చెప్పి సాధించేది లేదు కాని, గమనించవలసిన విషయాలు రెండు ఉన్నాయి. మొదటిది, ఫెర్మా చివరి సిద్ధాంతంలో n = 3, 4, 5, 6, 7, … అనుకుంటూ అనంతమైనన్ని సందర్భాలని మనం తనిఖీ చేసి రుజువు చేసుకుంటూ వెళ్ళాలి. ఈ వరుస క్రమంలో 3, 5, 7, 11, 13, 17, … వగైరాలు ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయి. ఈ అనంత శ్రేణిలో సోఫి జెర్మైన్ పేరు మీదుగా చలామణీ అవుతూన్న జంటలు ఒక భాగమే. సోఫీ చూపిన రుజువు ఈ భాగానికే పరిమితం. మిగిలిన సందర్భాల సంగతి ఇక్కడ ప్రస్తావించడం లేదు. రెండవది, జెర్మైన్ జంటలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయి. కనుక సోఫీ ఒక్క వేటున అనంతమైనన్ని సందర్భాలని రుజువు చేసేరన్న విషయం విస్మరించకూడదు. అంటే ఏమిటన్నమాట? సోఫీ అనంతమైనన్ని సందర్భాల్ని ఒక్క వేటున పరిష్కరించినా, ఇంకా అనంతమైనన్ని సందర్భాలు పరిష్కారం లేకుండా మిగిలిపోయాయి. పూర్ణమదః పూర్ణమిదం … శ్లోకం ఒక సారి గుర్తుకి తెచ్చుకొండి.

తరువాత డిరిక్లే (Peter Dirichlet), లెజాండర్ (Adrien-Marie Legendre), ఎవరికీ వారుగా n = 5 సందర్భాన్ని రుజువు చేసేరు. తరువాత గేబ్రియల్ లమే (Gabriel Lamé) n = 7 సందర్భాన్ని ఋజువు చేసేరు. n=7 జెర్మైన్ సంఖ్య కాదు కనుక ప్రత్యేకంగా ఋజువు కావలసి వచ్చింది. ఈ రెండు సందర్భాలని కొంచెం లోతుగా తరచి చూసే ముందు, చిన్న పిట్టకథ.

3.2 గౌస్‌తో పరిచయం

సోఫీ గౌస్‌కి ఉత్తరం రాసే వేళకి ఆమె వయస్సు 20 సంవత్సరాలు. ఆడ పేరుతో జాబు రాస్తే గౌస్ చదవడేమోననే భయంతో ఆమె లి బ్లాంక్ అనే సంతకం పెట్టింది. గౌస్ సమాధానం రాసినప్పుడు మిస్టర్ లి బ్లాంక్ అని సంబోధిస్తూనే రాసేడు.

విధి పోకడ వెయ్యి విధాలు అంటారు. నెపోలియన్ ప్రష్యా మీదకి దండెత్తి ఉండకపోతే మనకి ఈ రోజున సోఫి జెర్మైన్ పేరు ఈ సందర్భంలో తలుచునే అవకాశమే వచ్చి ఉండేది కాదేమో! సా. శ. 1806లో నెపోలియన్ ప్రష్యా మీద దండెత్తినప్పుడు అతని సేనావాహినుల పాదాల కింద జెర్మనీ లోని పట్టణాలు ఒకటొకటీ పేక మేడలలా కూలిపోతున్నాయి. రోమన్ సైనికుల చేతులలో ఆర్కిమిడీస్‌కి పట్టిన గతే ఫ్రెంచి సైనికుల చేతులలో గౌస్‌కి పడుతుందేమోనని సోఫీ ఆరాట పడింది. అలాంటి దిగ్గజం ఒక సాధారణ సైనికుడి చేతులలో కూలిపోతే ఎవరికి నష్టం? అందుకని నెపోలియన్ సైన్యంలో పెద్ద హోదాలో ఉన్న తన స్నేహితుడు అయిన జనరల్ జోసెఫ్-మరీ పెర్నెటీకి స్వహస్తంతో ఉత్తరం రాసి పంపింది – గౌస్ ప్రాణానికి హాని కలగకుండా హామీ ఇమ్మని. ముందుకి కదులుతున్న సైన్యానికి గౌస్ ఎదురు పడ్డప్పుడు ఆయనకి ఎటువంటి హాని కలగకుండా చూసి, ‘అయ్యా! మీ ప్రాణం కాపాడింది మేము కాదు – మేడమ్ సోఫి జెర్మైన్ కోరిక’ అని చెప్పగానే గౌస్ ఈ సోఫి జెర్మైన్ ఎవ్వరో తెలియక చకితుడయ్యాడు.

గౌస్ ప్రాణంతో బయట పడ్డందుకు ఆయనని అభినందిస్తూ సోఫి జెర్మైన్ తన సొంత పేరుతో సంతకం పెట్టిన లేఖ చూసుకుని ఆయన ఎంతగానో సంతోషించి ఆమెకి ధన్యవాదాలు చెబుతూ లేఖ రాసేడు.