గాట్‍లోబ్ ఫ్రేగె
(1848-1925)

మనలో ఇంజనీర్లకీ, సైంటిస్టులకీ అప్పడప్పుడయినా అనుభవంలోకొచ్చే విషయం ఒకటి చెప్తాను. పనిదగ్గర జటిలమైన సమస్య ఏదో తగులుతుంది. సాధించామనుకుంటాం; అంతలోనే తప్పు తెలుసుకుంటాం. అది జలగలాగా మన మనస్సుని పట్టుకొని వదలదు. అలా నాలుగయిదు రోజులపాటు నలిగినా ఆశ్చర్యం లేదు. ఇంట్లో వాళ్ళతో మాట్లాడుతున్నా మనసు మాత్రం దానిమీదే లగ్నం. అంట్లు కడిగేటప్పుడో, మొక్కలకి నీళ్ళుపెట్టేటప్పుడో, హఠాత్తుగా ఏదో ఉపాయం తట్టుతుంది. ఎక్కడివక్కడ పడేసి, జాగ్రత్తగా లెక్కేస్తాం. సాధించామని తేల్చుకుంటాం. ఎగిరి గంతేసి, ఉత్సాహం ఆపుకోలేక, మిత్రడికి ఫోన్ చేసి మరీ వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాం. అతనేమో, “అర్థం కావడం లేదు, రేఫు ఆఫీసులో మాట్లాడదాం,” అని ఫోన్ పెట్టేస్తాడు. మర్నాడు, ఆఫీసులో బోర్డు మీద బొమ్మలేసి వివరిస్తాం. అతనొక్క క్షణం ఆలోచించి మన వాదనలో తప్పు కనిపెడతాడు. మనం నీరుగారిపోతాం. వారం రోజులు పడ్డ శ్రమ వృధా అయిందే అని విచారిస్తాం. అది సహజం.

జూన్ 1902లో యాభై రెండేళ్ళ వయసున్న గాట్‍లోబ్ ఫ్రేగె అనే జర్మన్ గణితశాస్త్రజ్ఞుడికి, బ్రిటిష్ వాస్తవ్యుడైన బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ నుండి అనుకోని ఉత్తరం ఒకటొచ్చింది. తన పని గొప్పతనాన్ని మెచ్చుకుంటూ వేరే దేశం నుండి వచ్చిన జాబు చూసి ఫ్రేగె సహజంగానే ఆనందిస్తూ చదివాడు:

 డియర్ కొలీగ్,

తర్కంలో మీరు చేసిన పరిశోధన అమోఘమైనది. గణితానికి సరయిన పునాదులు వెయ్యాలన్న మీ సంకల్పం మెచ్చుకోదగ్గది. ఇదే ఆశయంతో నేను కూడ కొన్నాళ్ళుగా పనిచేస్తున్నాను. మీ పరిశోధన వివరాలు నాకీ మధ్యనే తెలిశాయి. నాకు మీ పుస్తకాలు కొన్ని అందుబాటులో లేవు. ఇబ్బంది కాకపోతే వాటిని నాకు పంపండి. మీ Fundamentals of Arithmetic రెండో భాగం ఇంకా ఎందుకు ప్రచురించలేదు? 

ఉత్సాహంగా సాగుతున్న ఉత్తరంలో తరవాతి వాక్యం ఫ్రేగె నెత్తిమీద పిడుగులా పడింది:

 మీరు నిర్వచించిన అయిదో సూత్రం వైరుధ్యానికి (contradiction) కి దారితీస్తుంది. 

వారం కాదు, నెల కాదు, సంవత్సరం కాదు; ముప్ఫై సంవత్సరాలు, జీవితాన్ని ధారపోసి గట్టి పునాదులతో కట్టుదిట్టంగా కట్టిన సుందరమైన సౌధం, కేవలం పేకమేడ అని ఓ ఉత్తరంలో నిరూపిస్తే, మనమెలా స్పందిస్తాం?

ఫ్రేగె వారం తిరగకుండానే రస్సెల్‍కి తిరుగు జాబు రాశాడు:

 డియర్ రస్సెల్,

మీ ఉత్తరం నన్నెంతో సంతోషపరచింది. మీకు అందుబాటులో లేని నా పుస్తకాలని ఈ టపాలో పంపిస్తున్నాను. నా అయిదో సూత్రం మూలాన వచ్చిన వైరుధ్యం నన్నాశ్చర్యపరిచింది. కాదు, నిశ్చేష్టుణ్ణి చేసింది. ఇది చాలా సీరియస్ విషయం. గణితానికి సరయిన పునాదులు వెయ్యాలన్న నా సంకల్పం నెరవేరదనుకుంటాను. నాకేకాదు, ఇతరులకి కూడా అసాధ్యమేమో. నా పుస్తకం రెండో భాగం అచ్చు కాబోతోంది. మీరు కనుగొన్న వైరుధ్యం దాంట్లో తెలియజెయ్యడం నా బాధ్యత. ఈ విషయం నాకు ముందే తెలిస్తే ఎంత బావుండేది! 

ప్రెస్సులో దాదాపు పూర్తయిన తన పుస్తకానికి ఫ్రేగె ఓ అనుబంధం చేర్చి ఇలా ప్రారంబించాడు:

 ఏ సైంటిస్టుకయినా తన జీవితాన్ని అర్పించి చేసిన పరిశోధన పూర్తవుతుండగా అది తన కళ్ళెదుటే పునాదులతో సహా కూలిపోవడం కన్నా తీవ్రమైన దెబ్బ మరొకటి లేదు. బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ రాసిన ఉత్తరం నన్నా స్థితిలో పెట్టింది. 

ఫ్రేగె చనిపోయిన చాలా ఏళ్ళకి రస్సెల్ ఈ ఉత్తరాల గురించి ఇలా రాశాడు:

 నిజాయితి, నిర్మల హృదయం గురించి తలపోస్తే, సత్యానికి అంకితమైన ఫ్రేగె ప్రవర్తనకి సాటయినదేదీ నాకు తటస్థ పడలేదు. అతని జీవితకాలపు శ్రమ పూర్తికాబోతోంది, దానిని పట్టించుకున్న నాధుడు లేడు. పుస్తకం ప్రచురణ కావడనికి షాపులో ఉంది. ఇంతలో అతను చేసిన ఓ మౌలిక భావన తప్పని తెలిసి, పెల్లుబికే నిరాశానిస్పృహలని దిగమింగి మేధావిగా సంతోషం వెలిబుచ్చాడు. అది సామాన్య మానవులకి అసాధ్యం. పేరు ప్రతిష్ఠలకీ, పరులని శాసించడానికీ కాక సృజనకీ, జ్ఞానసముపార్జనకీ జీవితాన్ని అంకితం చేసిన వాళ్ళేం సాధించగలరన్నదానికి ఫ్రేగె ఉత్తమ నిదర్శనం. 

జీవితాంతమూ అనాదరణకి గురైన ఫ్రేగె ఆధునిక కంప్యూటర్ కి మూలమైన తార్కిక గణితానికి సంస్థాపకుడిగా, అరిస్టాటిల్ స్థాయి మేధావిగా, వైశ్లేషిక తత్వానికి (analytic philosophy) మూలపురుషుడిగా గుర్తిస్తారు. అతని పరిశోధనలని పరామార్శించే ముందు, అతని జీవితం గురించి తెలుసుకుందాం.

జీవిత సంగ్రహం

గాట్‍లోబ్ ఫ్రేగె జర్మనీలో బాల్టిక్ తీరాన విస్మర్ అనే చిన్న పట్టణంలో 1848లో జన్మించాడు. తండ్రికి ఆడపిల్లల బడి ఒకటుండేది కాని 18 ఏళ్ళ వయసులోనే తండ్రిని కోల్పోయాడు. తల్లి బడిని నడిపి ఫ్రేగె చదువుకోడానికి ఆర్థికంగా తోడ్పడింది. కొన్నాళ్ళు జేనా యూనివర్సిటీలో చదివి, తర్వాత పేరున్న గోటిం‍గెన్ యూనివర్సిటీకి వెళ్ళి 1873లో గణితంలో డాక్టరేట్ సంపాదించాడు. దానితో జేనా యూనివర్సిటీలో ఉద్యోగం వచ్చింది – జీతం లేకుండా పాఠాలు చెప్పేందుకు. తల్లి ఆర్థిక సాయంతో పనిచేస్తూ, చేసిన పరిశోధనలని ప్రచురిస్తే, అయిదేళ్ళ తర్వాత జీతమున్న ప్రొఫెసరుగా నియమించారు. దాదాపు నలభై ఏళ్ళ పాటు అక్కడే పనిచేసి 1918లో రిటైరయ్యాడు. సహోద్యోగుల గుర్తింపు లేకపోవడాన అసిస్టెంట్ ప్రొఫెసరు స్థాయిని కూడా దాటిపోలేదు.

హైకింగ్ కోసం తరచుగా వెళ్ళేవాడు. అలా కలుసుకున్న మార్గరేట్ ని 1887లో పెళ్ళిచేసుకున్నాడు. అప్పటికి అతనికి 38 ఏళ్ళు, ఆమెకు 35. చాలా మంది పిల్లలు కలిగారు కాని పిన్న వయసులోనే అందరూ చనిపోయారు. అనారోగ్యంతో భార్య 1905లో మరణించింది. 1908లో బంధువొకరు సహాయం అడిగారు: ఆల్ఫ్రెడ్ అనే అయిదేళ్ళ పిల్లవాడి తల్లి తీవ్రమైన జబ్బున పడింది, తండ్రి మనస్థిమితం కోల్పోయాడు. ఫ్రేగె ఆ పిల్లవాడికి సంరక్షకుడిగా ఉండాటానికి ఒప్పుకున్నాడు. పెద్దయింతర్వాత దత్తత తీసుకొన్నాడు. తండ్రిగా ప్రేమానురాగాలు చూపెట్టాడు.

ఫ్రేగె జీవితం చివరి దశలో యూరప్ అల్ల కల్లోలమై ఉంది. విపరీతమైన ద్రవ్యోల్బణం మూలాన జర్మనీలో డబ్బు విలువ బాగా పడిపోయింది. రిటైర్మెంట్ కోసం పొదుపు చేసుకున్నది ఖర్చులకే మాత్రమూ చాలడం లేదు. దారిద్ర్యంలో పడి, ఫ్రేగె బంధువులనాశ్రయించాడు. 1925 లో 76 ఏళ్ళ వయసులో చనిపోయాడు. దానికి ఆరు నెలల ముందర కొడుక్కి రాసిన విల్లులో ఇలా ఉంది:

 డియర్ ఆల్ఫ్రెడ్,

నా రాతలని హీనంగా చూడకు. అవన్నీ విలువైనవి కాకపోవచ్చు. కాని కొన్ని మాత్రం బంగారంతో సమానం. ఇవాళ వాటికి గుర్తింపు లేదు కాని, ప్రపంచం ఎప్పుడో ఒకప్పుడు వాటిని గుర్తిస్తుంది. అవి నాలో పెద్ద భాగం. నీకిస్తున్నాను. భద్రం.

నీ ప్రియమైన నాన్న 

ఫ్రేగె చనిపోయినప్పుడు పండిత లోకం పెద్దగా గమనించలేదు. కొన్నేళ్ళలో ఇరవయ్యో శతాబ్దంలోకెల్లా ముఖ్యమైన తత్వశాస్త్రానికి ఆద్యుడిగా పేరుపొందాడు!

రస్సెల్ ఫ్రేగె ని ఎంతగా పొగిడాడో పైన తెలుసుకున్నాం. మన కాలంలో మరో బ్రిటిష్ తత్వవేత్త, మైకెల్ డమ్మెట్ పై ఫ్రేగె ప్రభావం ఎంతో ఉంది. డమ్మెట్ తత్వవేత్తయే కాక సాంఘిక ఉద్యమకారుడు. జాతి వివక్షణ చూపే పథకాలకి వ్యతిరేకంగా కృషి చేశాడు. అయితే, ఫ్రేగె తన కొడుక్కి ఇచ్చిన రాతల్లో తన డైరీ కూడా ఉంది. 1924 లో రాసిన డైరీ 1996 లో బయటపడినప్పుడు, అది చదివి డమ్మెట్ హతాశుడయ్యాడు:

 దురదృష్టవశాత్తూ నా జీవితంలో ఎంతో భాగం ఎవరి ఆలోచనలని తలపోస్తూ గడిపానో, అతను, జీవితం చివరి భాగంలో, ఉగ్రవాది, జాత్యహంకారి అని తెలిసి నేను నివ్వెరపొయ్యాను. అతని డైరీ చూస్తే, ఫ్రేగె పార్లమెంటరీ పద్ధతికీ, డెమొక్రాట్స్, లిబరల్స్, క్యాథలిక్స్, ఫ్రెంచ్, అందరికీ మించి యూదులకీ బద్ధ వ్యతిరేకి అని తెలుస్తుంది. వాళ్ళకెవరికీ ప్రాధమిక హక్కులు ఇవ్వకూడదనీ, వీలయితే, జర్మనీ నుండీ బహిష్కరించాలనీ కోరుకున్నాడు. ఇది నాకు అఘాతంలా తగిలింది. నేను ఇన్నాళ్ళూ ఫ్రేగె విచక్షణ గల మేధావిగా భావించాను. 

ఈ డైరీ వెలుగులోకొచ్చినప్పుడు అది ఫ్రేగె రాశాడంటే నమ్మలేకపోయారు. కాని ఆ కాలంలో జర్మనీలో అలాంటి భావనలు సర్వసాధారణం! దానిని బట్టి జర్మనీలో యూదుల జీవితం ఎంత దుర్భరంగా ఉండేదో ఊహించుకోవచ్చు. అతని జీవితాన్నవతల బెట్టి తర్కంలో, గణితంలో అతని విప్లవాత్మకమైన రచనలని గురించి తెలుసుకుందాం.

భావం – రూపం

ఫ్రేగె 1879లో తనకి ముప్ఫై ఏళ్ళు నిండకముందే వంద పేజీలు కూడా లేని కరపత్రం ఒకటి ప్రచురించాడు. రెండు జర్మన్ పదాలని, Begriff (“concept”), Schrift (roughly “script” or “mode of writing”), కలిపి Begriffsschrift అన్న పేరు పెట్టాడు – సంఖ్యాగణితం నమూనాగా రూపొందించిన ఫార్ములా భాష అనే వివరణతో. దీనిని తర్క చరిత్రలోకెల్లా ముఖ్యమైన గ్రంథంగా గుర్తిస్తారు. భావాలకి నిర్దుష్టమైన సంకేతాలతో రూపాన్నిచ్చే ప్రయత్నమని నేనర్థం చేసుకున్నాను.

దీంట్లోకి సంఖ్యాగణితాన్ని ఫ్రేగె ఎందుకు తెచ్చాడో ముందర క్లుప్తంగా చెప్పి తర్వాత వివరిస్తాను. సంఖ్యా గణితం నిజ స్వరూపం ఏమిటో తెలుసుకోవాలన్నది అతని జీవిత ధ్యేయం. మనం ఏ రంగంలో పనిచేసినా, ఆఖరుకి ఇంట్లో వాదన చేసినా తర్కాన్ని నమ్ముకుంటాం. “కారు తాళాలు కనిపించడం లేదు,” అని మా ఆవిడ అంటే, “కోటు జేబులో చూశావా?” అని నేను అడుగుతాను. ఆ సంభాషణ తార్కిక సూత్రం మీద ఆధారపడి ఉన్నదే. సంఖ్యా గణితంలో చిన్న తరగతుల నుండే ఎన్నో సిద్ధాంతాలు నిరూపిస్తాం. ఆ నిరూపణలు పూర్తిగా తర్కం మీదనే ఆధారపడినవా కాదా అన్నది ఫ్రేగె పరిశీలించదలచుకున్నాడు.

అందుకు వేరే కొత్త భాష ఎందుకు వాడటం, మన మామూలు భాష వాడొచ్చు గదా అన్న అనుమానం రావచ్చు. మన భాషలో నిరూపణకి సంబంధించనవి చాలా ఉన్నాయి, వ్యక్తీకరణలో చాలా చోట్ల నిర్దుష్టత ఉండదు. ఈ లోపాలు రాకుండా కొత్త భాషని, మన భావాలని ఉన్నవి ఉన్నట్లుగా నిరలంకారంగా చెప్పడానికి సంకల్పించాడు. ఇదే లైబ్నిజ్ కూడా కోరుకున్నాడు – మన భావాలకి నిర్దుష్టమైన – ప్రతి భావనకీ వేరే సంకేతం ఉండేటట్లుగా – రూపాన్నిస్తే, వాటిని కలిపే నియమాలని కూడా నిర్దేశిస్తే, అప్పుడు మనం వివేచననే యాంత్రికం చెయ్యవచ్చు అని లైబ్నిజ్ భావించాడు.

దీనిని కొంతవరకు బూల్ సాధించాడని పోయిన వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. కాని బూల్ గణితం లోని సంకేతాలని తర్కానికి వాడాడు. ఫ్రేగె కిది నచ్చలేదు – గణితానికే ఆధారం తర్కం అని నిరూపించదలచుకుంటే గణితం మీద ఆధారపడకూడదు. అంతేకాక కొన్ని ప్రతిపాదనలు బూల్ గణితంలో వ్యక్తీకరించలేము. ఉదాహరణకి, “పరీక్షలో తప్పే వాళ్ళంతా మందబుద్ధులో బద్ధకస్తులో అయి ఉంటారు,” అన్నదానిని బూల్ గణితంతో సూచించలేము. ఫ్రేగె తన ఫార్ములా భాషలో ఈ లోపాలు దొర్లకుండా జాగ్రత్తపడ్డాడు.

గణితంలో ప్రమేయం (function) అన్నది అందరూ చదివే ఉంటారు. ఉదాహరణకి, Square(x) = x ** 2, అన్న దాంట్లో Square అన్నది ప్రమేయం. అది x అన్న సంఖ్యని తీసుకొని దానిని స్క్వేర్ చేసి విలువని తిరుగు ఇస్తుంది. దీనినే ఫ్రేగె తర్కంలో, సంఖ్యలకే కాక, అన్ని రకాల భావనలకీ (concepts) వర్తించేటట్లు చేశాడు. ప్రమేయం విలువ మాత్రం అవును (True), కాదు (False) అనే రెండిట్లో ఒక విలువని మాత్రమే ఇస్తుంది.

ఉదాహరణకి, Human(x) అన్న ప్రమేయం తీసుకోండి. x అన్నది దేనికయినా – మనిషికి, జంతువుకి, నిర్జీవ వస్తువుకి – వర్తిస్తుంది. కాని x మనిషయితే, అవును, లేకపోతే కాదు, అన్న విలువని తిరిగి ఇస్తుంది. అలాగే GirlInClass(x), Smart(x), Pretty(x), Loves(x, y) అన్న ప్రమేయాలు వరుసగా, x క్లాసులో అమ్మాయా? x తెలివయినదా? x అందమైనదా? x y ని ప్రేమిస్తుందా? అన్న భావనలకి రూపాలగా నిర్వచించుకోవచ్చు. వీటిని క్లుప్తంగా, G(x), S(x), P(x), L(x, y) అని రాద్దాం.

మనం వాడుకలో కొన్ని అన్నిటికీ (all), కొన్ని కొన్నిటికీ (some) వర్తించేటట్లు మాట్లాడతాం. ఉదాహరణకి, “క్లాసులో అమ్మాయిలు అందరూ తెలివయిన వాళ్ళు,” అనో, “క్లాసులో అమ్మాయిల్లో కొందరు అందమయిన వాళ్ళు,” అనో అంటాము. ఈ వాక్యాలలో తేడాని ఫ్రేగె సంకేతపరంగా తన భాషలో ప్రవేశపెట్టాడు.

మొదటిదానిని, for all x, if x is a girl in class, x is smart, అనీ, రెండో దానిని, for some x, x is a girl in class and x is pretty, అనీ చదువుకోవచ్చు. వాటినే సంకేతపరంగా, (∀x) (if G(x) then S(x)) అనీ, (∃ x) (G(x) and P(x) ) అనీ రాస్తారు. మొదటిదానిని – (∀ x) అంటే for all x – సార్వత్రిక గుణవాచకమనీ (universal qualifier), రెండోదానిని – (∃ x) అంటే there exists x such that – అస్తిత్వ గుణవాచకమనీ (existential qualifier) పిలుస్తారు. అందుకే తలక్రిందులుగా రాసిన A, తిరగేసిరాసిన E సంకేతాలగా వాడుతారు.

ప్రతిపాదనలని కలపడానికి కూడా రకరకాల సంకేతాలున్నాయి: If … then … అన్నదానిని ⊃ తో, మరియు (and) ని ∧ తో, లేక (or) ని ∨తో, ఖండించడాన్ని (not) ¬ తో సూచిస్తారు. వీటితో, అమ్మాయిల గురించి పై రెండు ప్రతిపాదనలనీ ఇలా క్లుప్తంగా రాయొచ్చు:

(∀ x) (G(x) ⊃ S(x))

(∃ x) ((G(x) ∧ P(x))

బూల్ సూత్రాలతో చూపెట్టలేని, “పరీక్షలో తప్పే వాళ్ళంతా మందబుద్ధులో బద్ధకస్తులో అయి ఉంటారు,” అన్నదానిని ఫ్రేగె భాషలో ఇలా రాయొచ్చు:

(∀ x) (Failed(x) ⊃ (Lazy(x) ∨ ¬ Smart(x)))

దానిని, for all x, if x failed then, x is lazy or x is not smart, అని చదువుకోవచ్చు.

ఒక దాని నుండి మరొకటి రాబట్టే (inference) నియమం ఎలా ఉంటుంది? If A then B అన్నదానితో పాటు A కూడా నిజమయితే, B కూడా నిజమని కచ్చితంగా చెప్పొచ్చు. అంటే A ⊃ B అనీ A అనీ కనిపిస్తే, యాంత్రికంగా B అని చెప్పొచ్చు. వీటిల్లో A, B అన్న ప్రతిపాదనలు ఏవైనా కావొచ్చు – మనుషులకి, లెక్కలకి, కెమిస్ట్రీ కి, దేనికి సంబంధించినవయినా సరే మనం B నిజమని తీర్మానించవచ్చు. ఆధునిక కంప్యూటర్ భాషల్లో (C, C#, Java) రాసిన ప్రోగ్రాములు సరయినవో కాదో తేల్చేది ఇలాంటి రూల్స్ ద్వారానే. ఆ విధంగా చూస్తే మనం ఇవాళ వాడే కంప్యూటర్ భాషలన్నిటికీ మూలం ఫ్రేగె కనిపెట్టిన ఈ ఫార్ములా భాషే!

సంఖ్యల నిజ స్వరూపం (Or, What is a number?)

ఫ్రేగె తర్కాన్ని ఇంత గొప్పగా వృద్ధి చేస్తే, రసెల్ దాంట్లో ఏం తప్పు పట్టాడు? అది తెలుసుకోవాలంటే ముందర అప్పట్లో జ్ఞానమీమాంస (epistemology) మీద ఉన్న సిద్ధాంతాలు కొంచం తెలియాలి. మనకి జ్ఞానం ఎలా కలుగుతున్నది? ఆ జ్ఞానంలో పలురకాలున్నాయా? ఇలాంటి ప్రశ్నలకి సమాధానమిచ్చిన గొప్ప తత్వవేత్త ఇమాన్యుయేల్ కాంట్ (Immanuel Kant).

అనుభూతివాదులు, ఇంద్రియానుభవం ద్వారానే జ్ఞానం కలుగుతుందన్నారు. బుద్ధివాదులు ఇంద్రియానుభవం ద్వారా వచ్చే జ్ఞానంలో సార్వత్రికత (universality), నిశ్చయత (certainty) లేవు, వివేచన (reasoning) ద్వారానే సార్వత్రికమైన శాస్త్రజ్ఞానం కలుగుతుందన్నారు.

కాంట్ ఈ రెండు రకాల జ్ఞానం ఉన్నదని ఒప్పుకుంటూనే, సార్వత్రికమైన శాస్త్రజ్ఞానం అనుభవత్పూర్వమైనది (a priori) అన్నాడు. రెండు రెళ్ళు నాలుగన్నది మన అనుభవానికి వర్తిస్తుంది, నిజమే కాని, అది జ్ఞానాన్ని వాడుకోవడం క్రిందకు వస్తుంది కాని జ్ఞానసముపార్జన క్రిందకు రాదన్నాడు.

దీంట్లో మళ్ళీ రెండు రకాల జ్ఞానం ఉన్నదన్నాడు కాంట్ – వైశ్లేషికం (analytic), సంశ్లేషికం (synthetic). విశ్లేషించడం అంటే విడదీయడం. “వృత్తం గుండ్రంగా ఉంటుంది,” అన్న ప్రతిపాదన వృత్తం అర్థాన్ని విశ్లేషిస్తున్నది. దీనివలన మనకి కొత్తగా కలిగిన జ్ఞానం ఏమీ లేదు. సంశ్లేషించడం అంటే ప్రతిపాదనలని కలిపి కొత్త జ్ఞానాన్ని తెలియజెయ్యడం. “ఈ త్రిభుజం సమకోణ త్రిభుజం,” అన్నది సంశ్లేషికమైన ప్రతిపాదన – త్రిభుజాన్ని గురించి కొత్త సమాచారం ఇస్తున్నది. కాని ఆ త్రిభుజం రూపం మనకి ఇంద్రియానుభవం ద్వారా తెలిసి ఉండాలి. అలాంటి జ్ఞానం సార్వత్రికం కాదు.

“త్రిభుజంలో మూడు కోణాలూ కలిపితే 180 డిగ్రీలకి దాటదు,” అన్న ప్రతిపాదన సార్వత్రికమైనది – అన్ని త్రిభుజాలకీ వర్తిస్తుంది, నిశ్చయమైనది. ఇది సంశ్లేషికమైనదే కాని దీనిని అనుభవం ద్వారా తెలుసుకోలేము. అనుభవత్పూర్వమే కలుగుతుంది. ఇలా అనుభవత్పూర్వ సంశ్లేషికమైనదే శాస్త్రజ్ఞానం అన్నాడు కాంట్. గణితశాస్త్రజ్ఞానమంతా దీని క్రిందకే వస్తుందన్నాడు. అనుభవత్పూర్వమే ఎలా కలుగుతుందాంటే సహజజ్ఞానం (intuition) వలన అన్నాడు.

మనం చిన్నప్పుడు రేఖా గణితంలో ఎన్నో సిద్ధాంతాలు నిరూపించే వాళ్ళం. వీటన్నిటికీ మూలం, రెండు వేల ఏళ్ళకి పైనే యూక్లిడ్ నిర్వచించిన అయిదు — అయిదంటే అయిదు — స్వయంసిద్ధ సూత్రాలు (axioms). స్వయంసిద్ధమంటే వాటికి వేరే నిరూపణ అక్కర్లేదు. అవి నిజమని మనకి తెలుసు. ఉదాహరణకి, ఏ రెండు బిందువులయినయినా ఓ సరళరేఖతో కలపొచ్చు అన్నది ఒక స్వయంసిద్ధ సూత్రం. ఆ అయిదు సూత్రాలతో మొదలెట్టి ఓ కొత్త సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించవచ్చు. ఆ సూత్రాలూ, ఈ సిద్ధాంతమూ ఆధారంగా మరో కొత్త సిద్ధాంతం నిరూపించవచ్చు. ఆ విధంగా ఎన్నో వేల సిద్ధాంతాలు రేఖాగణితంలో కొన్ని వందల సంవత్సరాలుగా కనుక్కున్నారు.

మరి సంఖ్యాగణితానికి కూడా అలాంటి స్వయంసిద్ధ సూత్రాలున్నాయా? ఉంటే అవి ఏమిటి? “రెండు రెళ్ళు నాలుగన్నందుకు గూండాలు గండ్రాళ్ళు విసిరే సీమలో,” అంటూ శ్రీశ్రీ ఏదో గీతం రాశాడు. ఫ్రేగె, రెండు రెళ్ళు నాలుగెందుకో నిరూపించమని గణితశాస్త్రజ్ఞులని సవాల్ చేశాడు! మనకే కాదు, అప్పట్లో పెద్ద పెద్ద పండితులంతా పిచ్చిప్రశ్నలేస్తున్నాడని ఫ్రేగె ని ముందర పట్టించుకోలేదు. కాని, ఫ్రేగె వదల్లేదు, “కూడికల దాకా ఎందుకు అసలు సంఖ్య ఒకటి అంటే ఏమిటో చెప్పండి,” అని నిలేశాడు.

కాంట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, 7 + 5 = 12 అన్నది మనకి సహజ జ్ఞానం (intuition) వలన కలుగుతుంది. ఫ్రేగె అందుకు ఒప్పుకోలేదు. 13795 + 11729 = 25524 అన్నది ఇంట్యూషన్ ద్వారా అంటే ఎవరూ నమ్మరు కదా! సంఖ్యాగణితం (arithmetic) అనుభవత్పూర్వ విశ్లేషణ ద్వారా కలుగుతుందని ఫ్రేగె ప్రతిపాదించాడు. సంఖ్యాగణితం రేఖాగణితం కంటె సార్వత్రికమైనదనీ దానిలోని సిద్ధాంతాలన్నీ కొన్ని స్వయంసిద్ధ సూత్రాల ద్వారా నిరూపించవచ్చనీ భావించాడు.

ఈ సూత్రాలు కేవలం వివేచన మీద ఆధారపడి ఉండాలి, మనం వాటిని నిరూపణ లేకుండా ఆమోదించగలిగేలా ఉండాలి. మరయితే అసలు సంఖ్య అంటే ఏమిటో నిర్వచించాలి.

సంఖ్య అన్నది వస్తువుకి సంబంధించి కాదన్నాడు ఫ్రేగె – నాలుగు గుమ్మడికాయలు, నలుగురు కొడుకులు, నాలుగు కవితలు – ఇలా సంఖ్య అన్నది అన్నిటికీ వాడుతుంటాం కదా. మరి దానినెలా నిర్వచించాలి? అదొక భావన (concept) అన్నాడు. ఎలాంటి భావన అంటే, ముందర ఈ భావనలని గురించి ఆలోచించండి:

దశరథుడి కొడుకులు = {రాముడు, లక్ష్మణుడు, భరతుడు, శత్రుఘ్నుడు}; దిక్కులు = {తూర్పు, పడమర, ఉత్తరం, దక్షిణం}; వేదాలు = {ఋగ్వేదం, యజుర్వేదం, సామవేదం, అథర్వవేదం}; మనరాష్ట్రంలోని పెద్ద నదులు = {కృష్ణ, గోదావరి, తుంగభద్ర, పెన్న}; పసిపాప అన్న మాటలో ఉన్న అక్షరాలు = {ప, సి, పా, ప}.

ఒక్కోదాన్ని ఒక సమితి (set) అందాం. ఈ సమితులకన్నిటికీ ఉన్న గుణం ఏమిటి? ప్రతి దాంట్లోనూ నలుగురు సభ్యులున్నారు. వీటిల్లో ఏ రెండు సమితులని తీసుకున్నా, మీకు కూడికలొచ్చినా రాకపోయినా, పండితులయినా కాకపోయినా, వాటిల్లోని సభ్యుల సంఖ్య సమానమని చెప్పగలరు. ఎలా? ఉదాహరణకి మొదటిదాని లోని సభ్యులని చివరదాని సభ్యులతో ఇలా జత చేసి వాటిల్లో సమమైన సభ్యులున్నారని చెప్పొచ్చు: రాముడు -> ప, లక్ష్మణుడు -> సి, భరతుడు -> పా, శత్రుఘ్నుడు -> ప.

విశ్వంలో – వస్తు ప్రపంచం కాన్నివ్వండి, భావ ప్రపంచం కానివ్వండి – నలుగురు సభ్యులున్న సమితులనన్నిటినీ ఊహించుకోండి. ఆ సమితుల సమితిని (set of sets) నాలుగోతనంగా భావించవచ్చు. కాని నాలుగుని, నలుగురు సభ్యులున్న సమితులగా నిర్వచించడం కుదరదు. నాలుగుని నిర్వచించడానికే కదా ఈ తంటా అంతా, నలుగురు అంటే ఏదో నిర్వచించాల్సి ఉంటుంది! నిజమే. కాని సంఖ్యలని నిర్వచించడానికి సమితులని వాడుకున్న తీరుని వివరించడానికి చెప్పాను.

ఫ్రేగె ముందుగా సున్నాని నిర్వచించాడు – సంఖ్యలతో ప్రమేయం లేకుండా, అప్పుడు ఒకటిని సున్నా ఆధారంగా నిర్వచించాడు. అప్పుడు ఏ సంఖ్య నయినా (N అందాం) దాని ముందర వచ్చే సంఖ్యల (0 నుండి N-1) ఆధారంగా నిర్వచించాడు. ఈ వివరాలు వ్యాసం చివర ఇచ్చిన పుస్తకాలలో చదివితే ఫ్రేగె జీనియస్ తెలుస్తుంది.

ఆ విధంగా సంఖ్యని నిర్వచించి, సంఖ్యాగణితం అంతా తర్కం నుండే ఉద్భవిస్తుందని నిరూపించదలచుకున్నాడు. కాని ఈ సమితుల సమితులలో ఓ అంతర్గత వైరుధ్యం (hidden contradiction) దాక్కొని ఉన్నదనీ, అది తన ప్రాజెక్టుకి గొడ్డలిపెట్టు అనీ గ్రహించలేకపోయాడు.

రస్సెల్ పారడాక్స్

ఆ వైరుధ్యమే రస్సెల్ తన ఉత్తరంలో ప్రస్తావించింది. దానిని ఇలా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

1. సమితి తనలో తాను సభ్యురాలిగా ఉండగలదా? ఉదాహరణకి, గణితవేత్తల సమితిని (set of all mathematicians) తీసుకుందాం. ఈ సమితి ఒక గణితవేత్త కాదు కాబట్టి అది తనలోతాను సభ్యురాలిగా ఉండలేదు. ఇలాటి సమితులని, అంటే తమలో తాము సభ్యులు కాని సమితులని, సాధారణ సమితులు (ordinary sets) అందాం.
2. వేరే ఉదాహరణగా, అన్ని ఆలోచనల సమితిని (set of all thoughts) తీసుకుందాం. ఈ సమితిమే ఒక ఆలోచన అని ఒప్పుకుంటారు కదా. కాబట్టి ఇది తనలో తాను సభ్యురాలవుతుంది. అలాంటిదే మరో ఉదాహరణ: కాకులు కాని సభ్యుల సమితి. ఈ సమితి కాకి కాదు కాబట్టి ఇదీ తనలోతాను సభ్యురాలవుతుంది. ఇలాంటి సమితులని, అంటే తమలో తాము సభ్యులయిన సమితులని, అసాధారణ సమితులు (extraordinary sets) అందాం.
3. సాధారణ సమితులన్నీ ఉన్న సమితిని (set of all ordinary sets) తీసుకుందాం – దానిని S అని పిలుద్దాం. ఇప్పుడు రస్సెల్ ఈ ప్రశ్న వేశాడు: S అన్నది సాధారణ సమితా, అసాధారణ సమితా?

సాధారణమైనదయితే, అది S కి చెందాలి – మనం S ని మూడులో అలా నిర్వచించాం కనుక. అంటే అది తనలో తాను సభ్యురాలు. అలాగయితే రెండో నిర్వచానాన్ని బట్టి అది అసాధారణ సమితిమవాలి!

సరే అసాధారణమైనదనుకుందాం. అప్పుడు అది తనలో తాను చెందదు – S లో ఉన్నవన్నీ సాధారణమైనవని నిర్వచించాం కనుక. కాని పైన ఒకటిలో తమలో తాము సభ్యులు కానివి సాధారణ సమితులన్నాం. కాబట్టి అది సాధారణ సమితి అవుతుంది! అవునంటే కాదు, కాదంటే అవును. ఇదీ రస్సెల్ కనుక్కున్న వైరుధ్యం.

రస్సెల్ కి ఇలాటి వైరుధ్యం వేరే సందర్భంలో తెలుసు: ఊళ్ళో ఓ మంగలి ఉన్నాడు. నీతీ, నిజాయితీ కలవాడు. తనకో నియమం ఉంది: తమకు తాము గెడ్డం చేసుకోలేనివాళ్ళకే క్షవరం చేస్తాడు. మంగలి తన క్షవరం తానే చేసుకుంటాడా? అవునంటే కాదనీ, కాదంటే అవుననీ తేలుతుంది. అయితే ఇది మన వాడుక భాషలో ఉన్న వైరుధ్యం. వాడుక భాష అనేక అపార్థాలకి దారితీస్తుందని మనకి అనుభవమే. అందుకనే ఫ్రేగె, రస్సెల్ కూడా గణిత తర్కానికి కచ్చితమైన భాష ని ప్రతిపాదించారు. ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, ఎంతో పకడ్బందీగా నిర్వచించిన తార్కిక భాషలో కూడా ఇలాంటి వైరుధ్యమే ఉంది!

మనకిదేదో సరదాగా ఉండొచ్చు కాని, పాపం, ఫ్రేగె కిది పిడుగుపాటయింది. గణితంలో ఏ నిరూపణ అయినా వైరుధ్యానికి దారితీస్తే, ఆధారాల్లో (premises) ఒకటి తప్పని అర్థం. తను జీవితాంతమూ తపస్సు చేసి ప్రతిపాదించిన స్వయంసిద్ధ సిద్ధాంతాల పునాదుల్లోనే లోపం ఉందన్నమాట. సంఖ్యా గణితాన్ని కేవలం తర్కం ఆధారంగా నిరూపించగలనని ఫ్రేగె తలపెట్టిన భారీ ప్రాజెక్టు కూలిపోక తప్పలేదు. ఫ్రేగె ఆ దెబ్బనుండి ఇక కోలుకోలేదు.

బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్

బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్
(1872-1970)

గత శతాబ్దంలో అసమాన ప్రతిభావంతుడైన గణితశాస్త్రజ్ఞుడిగా, తత్వవేత్తగా, సాంఘికసంస్కరణవాదిగా, శాంతివాదిగా పేరొందిన రస్సెల్ ని నేను మీకు పరిచయం చెయ్యాల్సిన అవసరం లేదు. కాని తార్కిక గణితం (Mathematical Logic) లో అతని కీలక పాత్రని ఇక్కడ క్లుప్తంగా నయినా చెప్పాల్సిన అవసరం ఉంది. రస్సెల్ కి గణితం అంటే ప్రాణం. చిన్నప్పుడే తల్లిదండ్రులు చనిపోవడంతో చాలా ఒంటరిగా ఆవేదనకి లోనయి, గణితమే లేకపోతే చిన్నప్పుడే ఆత్మహత్య చేసుకొని ఉండేవాణ్ణన్నాడు! గణితానికున్న స్పష్టత, నిశ్చయత, శాశ్వతత్వం అతణ్ణి ముగ్ధుణ్ణి చేశాయి. గణిత సత్యాల్లో సౌందర్యం, వైయక్తికం కాని నిబద్ధత, ఎలాంటి మినహాయింపులూ లేని సార్వత్రిక అన్వయం, ఇవి రస్సెల్ ని అమితంగా ఆకర్షించాయి.

కాని అలాంటి గణితం కూడా సరయిన పునాదుల మీద ఉన్నదా, దాని సిద్ధాంతాలు అంతర్గత వైరుధ్యాల బారిపడకుండా ఉంటాయా అన్న సందేహాలు రస్సెల్ ని వేధిస్తూ ఉండేవి. 1900 సంవత్సరంలో ఇటాలియన్ గణితవేత్త పియానొ (Giuseppe Peano) ని కలుసుకున్న తర్వాత, తర్కమూ గణితమూ ఒకటేనని భావించాడు. గణిత పునాదుల మీద అమితోత్సాహంతో పనిచేశాడు. అదే మార్గంలో పరిశోధిస్తున్న ఫ్రేగె గురించి ఆలస్యంగా తెలుసుకున్నాడు. తెలుసుకున్నప్పుడు ఫ్రేగె గొప్పతనాన్ని గుర్తించి ప్రపంచానికి చాటాడు. తను రాస్తున్న “The Principles of Mathematics,” పూర్తయిందాకా ఫ్రేగె పని గురించి తెలియదు. తెలిసినపుడు పుస్తకానికి అనుబంధం వేసి, ముఖ్యమైన విషయాల్లో తమ ఇద్దరికీ అంగీకారముందన్నాడు.

మరి అంగీకారముంటే, ఫ్రేగె ఎదుర్కొన్న రస్సెల్ పారడాక్స్ కి ఉపాయం ఏమాలోచించాడు? వర్గాల వాదం (Theory of Types) అని ఓ జటిలమైన వాదాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీంట్లో ముఖ్యమైన విషయం: “ఏ ప్రతిపాదనయినా అది ఉద్దేశించిన విషయానికే కాని దానినే తిప్పి తనకి వర్తింపచెయ్యకూడదు.” ఆ విధంగా తమలో తాము సభ్యులయే సమితులు లేకుండా జాగ్రత్తపడ్డాడు. తన ఒకప్పటి గురువు Whitehead తో కలిసి, “Principia Mathematica,” అనే ఉద్గ్రంథాన్ని రాశాడు. అయితే వర్గాల వాదం చాలా గజిబిజి గా క్లిష్టంగా తయారయింది. వేరే రకమైన చిక్కులొచ్చాయి. గణితం తర్కం మీద ఆధారపడి ఉన్నదని పూర్తిగా నిరూపించలేకపోయాడు. అలసిపోయాడు. ఇక తన వల్ల కాదు, మరెవరైనా ఈ పని చెయ్యాలి అని తలపోస్తూ ఉన్నాడు.

ఓ రోజు యూనివర్సిటీలో తన ఆఫీసుకి తుఫానులా ఓ జర్మన్ యువకుడొచ్చాడు. శిష్యుడయ్యాడు. గురు శిష్యుల అనుబంధం గాఢమైంది. గురువుని మించిన శిష్యుడు అనుకునే స్థితి కొచ్చాడు. అయితే చివరకి శిష్యుడు గురువు తప్పుద్రోవలో ఉన్నాడని మందలించాడు! గత శతాబ్దంలో అతి ముఖ్యమైన తత్వవేత్తగా పేరుతెచ్చుకున్న ఆ శిష్యుడు లుడ్విగ్ విట్‌గన్‌ష్టైన్.

జీనియస్ జీవిత కర్తవ్యం

Ludwig Wittgenstein
(1889-1951)

లుడ్విగ్ విట్‌గన్‌ష్టైన్ (Ludwig Wittgenstein) 1889 లో ఆస్ట్రియా దేశపు వియన్నా నగరంలో గొప్ప శ్రీమంతుల ఇంట్లో, ప్రతిభావంతులైన కుటుంబంలో ఎనిమిది మంది సంతానంలో ఆఖరువాడిగా పుట్టాడు. తండ్రి ఇనుము, ఉక్కు కర్మాగారాల్లో భాగస్తుడు. తల్లికీ తండ్రికీ సంగీతమంటే గొప్ప అభిరుచి. ఇంట్లో సాయంత్రం క్లాసికల్ సంగీత కచేరీలు జరిగేవి. ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన కళాకారులు వచ్చేవాళ్ళు. వ్యక్తిగతంగా ఉన్నత నైపుణ్య స్థాయిని చిన్నప్పుడే తెలుసుకున్నవాడు కనుక కేవలం సాధారణ స్థాయి అంటే విట్‌గన్‌ష్టైన్ భరించేవాడు కాదు.

కుటుంబసభ్యులంతా చెప్పుకోదగ్గవాళ్ళే. అతని అన్నయ్య ఒకరు యుద్ధంలో ఒక చెయ్యి పోగొట్టుకున్నా పియానో కచేరీ లిచ్చి ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి తెచ్చుకున్నాడు. అయితే కుటుంబంలో ముగ్గురు అన్నలు వేర్వేరు కారణాల వల్ల ఆత్మహత్య చేసుకున్నారు. విట్‌గన్‌ష్టైన్ కూడా జీవితంలో చాలాసార్లు బ్రతకడం వృధా అనుకున్నవాడే. సంగీతం అంటే ఇష్టమున్నా ఉన్నత స్థాయికి చేరుకోలేనని, తండ్రికి సాయంగా ఉండవచ్చునని టెక్నికల్ రంగంపై కొంత ఆసక్తి చూపాడు. కాని చిన్నప్పటి నుండి ఫిలాసఫీ గురించి తలపోసేవాడు; మళ్ళీ దాంట్లో పైస్థాయికి వెళ్ళగలనో లేదో అని భయం.

Russell’s Principles of Mathematics

ఏరోనాటికల్ ఇంజనీరింగ్ చదువుకని ఇంగ్లాండు లోని మాంచెస్టర్ యూనివర్సిటీకి వెళ్ళిన విట్‌గన్‌ష్టైన్ ప్రొపెల్లర్ డిజైన్ చేస్తూ ఉన్న సమయంలో కొన్ని లెక్కల క్లాసులు తీసుకున్నాడు. తోటి స్టూడెంట్ ఒకరు రస్సెల్ పుస్తకం, “The Principles of Mathematics,” చదవమని ఇచ్చారు. ఆ పుస్తకం చివరలో రస్సెల్, మౌలికమైన వివేచన కి సంబంధించిన సమస్యలకి తను కనుగొన్న పరిష్కారాలలో తప్పులున్నాయని చెప్తూ, గణిత విద్యార్థులని లోతుల్లోకి వెళ్ళమని ప్రోత్సహించాడు. విట్‌గన్‌ష్టైన్ కి దీనితో తన జీవితాన్ని అర్పించే గొప్ప సమస్య దొరికినట్లనిపించింది. ఇంజనీరింగ్ కన్నా లెక్కలూ, ఫిలాసఫీ ముఖ్యమనీ మౌలికమైనవనీ భావించాడు. అయితే తనకి వాటిల్లో రాణించే శక్తి ఉందా? అని రెండేళ్ళు తీవ్రంగా మధనపడ్డాడు.

రస్సెల్ పుస్తకంలో ఫ్రేగె గురించి చదివాడు. తను రెండేళ్ళలో ఫిలాసఫి మీద రాసినవాటిని తీసుకొని జర్మనీ వెళ్ళి ఫ్రేగె ని కలిశాడు. గణితం పునాదుల మీద పనిచెయ్యాలంటే కేంబ్రిడ్జ్ వెళ్ళి రస్సెల్ ని కలవమని విట్‌గన్‌ష్టైన్ కి ఫ్రేగె సలహా ఇచ్చాడు.

1911లో ఓ అక్టోబరు రోజున హఠాత్తుగా కేంబ్రిడ్జ్ యూనివర్సిటీలో రస్సెల్ ఆఫీసులో విట్‌గన్‌ష్టైన్ ప్రత్యక్షమయ్యాడు. రస్సెల్ క్లాసులకి హాజరవడం మొదలెట్టాడు. రస్సెల్ ని ప్రశ్నలతో క్లాసులోనూ ఆఫీసులోనూ వేధించేవాడు. కాని ఇంజనీరింగ్ స్టూడెంట్ అయిన తను ఫిలాసఫీలో రాణిస్తాడా? రాణించకపోతే జీవితం వృథా అని తలపోస్తూ ఓ రోజు రస్సెల్ ని నిలదీసి అడిగాడు: “నాకు ఫిలాసఫీ చేసే అర్హత ఉందా? లేక వట్టి వెధవ నవుతానా? పనికి రాకపోతే చెప్పు, పోయి ఇంజనీరింగ్ చేస్తాను.” రస్సెల్ “ఏమో తెలియదు, ఫిలాసఫీ మీద ఏమన్నా రాయి, చూసి చెప్తాను,” అన్నాడు. రెండు నెలల లోపలే 1912 జనవరిలో విట్‌గన్‌ష్టైన్ సెలవుల్లో రాసిన ప్రతిని రస్సెల్ కి చూపించాడు. అది చదివిన రస్సెల్, విట్‌గన్‌ష్టైన్ లో గొప్ప ఫిలాసఫర్ అయ్యే లక్షణాలని కనిపెట్టి, వెంటనే, “ఇంజనీరింగు తప్పక మానెయ్యమని,” సలహా ఇచ్చాడు. ఆ ప్రోత్సాహమే లేకపోతే తొమ్మిదేళ్ళ పాటు తన జీవిత కర్తవ్యమేమిటా అని మధనపడిపోతున్న తనకి ఆత్మహత్యే శరణ్యమయ్యేదని విట్‌గన్‌ష్టైన్ తన స్నేహితుడితో తర్వాత చెప్పాడు.

విట్‌గన్‌ష్టైన్ ని ఇంజనీరింగ్ నుండి తత్వశాస్త్రానికి మరల్చి ప్రపంచానికి ఓ గొప్ప తాత్వికుణ్ణి ప్రసాదించిన ఘనత రస్సెల్ దేనని చెప్పొచ్చు. అతి తక్కువ కాలంలో పట్టుదలతో ఉత్సాహంతో తార్కిక గణితం నేర్చుకున్నాడు. రస్సెల్ విట్‌గన్‌ష్టైన్ ని బాగా ఆదరించాడు. తను చెప్పగలిగిందల్లా చెప్పానన్నాడు. తను తర్కం లో ఎదుర్కొన్న సమస్యలని తీర్చే మేధ విట్‌గన్‌ష్టైన్ కి ఉన్నదనీ తనకి వారసుడనీ సంతోషించాడు.

కేంబ్రిడ్జ్ లో పండితులైన ప్రొఫెసర్ల మధ్యన తనకి ఫిలాసఫీ చెయ్యడం ఇష్టం లేక, విట్‌గన్‌ష్టైన్ నార్వే వెళ్ళి చిన్న గుడిసె లో కొన్నాళ్ళు ఒంటరిగా కాపురమున్నాడు. తన ఆలోచనలని నోట్ బుక్ లో రాసేవాడు. ఇంతలో మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం ఆరంభమయింది. 1914 లో ఆస్ట్రియన్ ఆర్మీలో చేరాడు – మరణాన్ని ఎదుర్కొంటే కాని జీవితం సఫలం కాదని! సైన్యంలో శౌర్యానికి ధైర్యానికి బహుమతులు పొందాడు. యుద్ధంలో ఉండగా భావాల్లో మార్పు వచ్చింది. మతం అంటే అంత ఆకర్షణ లేనివాడు మతం గురించి ఆలోచనలు మొదలెట్టాడు. ఎక్కడకెళ్ళినా టాల్‍స్టాయ్‍ గోస్పెల్స్ పుస్తకం వెంటబెట్టుకుని ఉండేవాడు. ఫిలాసఫీ గురించిన ఆలోచనలని నోట్‍ బుక్‍ లో రాసుకునేవాడు. 1918 లో యుద్ధం చివరన ఇటలీ వాళ్ళు పట్టుకొని ఖైదీగా బంధించారు. ఓ సంవత్సరం తర్వాత విడుదల చేశారు.

యుద్ధం ముగిసేనాటికి ఆస్ట్రియాలో ద్రవ్యోల్బణం విపరీతంగా పెరిగిపోయింది. డబ్బు విలువ బాగా పడిపోయింది. కాని తండ్రి చాకచక్యంగా సంపదని అమెరికన్ బాండులలోకి మార్చడాన, విట్‌గన్‌ష్టైన్ యూరప్ లోకెల్లా గొప్ప ధనవంతుల్లో ఒకడయ్యాడు. అయితే యుద్ధం అతన్ని పూర్తిగా మార్చివేసింది. కుటుంబం నుంచి సంక్రమించిన పేరునీ సంపదనీ వాడుకోగూడదనుకున్నాడు. ఆస్తి మొత్తం అక్కలకీ ఇతర కుటుంబ సభ్యులకీ రాసి ఇచ్చేశాడు – తను మళ్ళి కావాలన్నా తిరిగి ఇచ్చేటట్లు లేకుండా!

తన పుస్తకం ప్రచురణకి ప్రయత్నం చేశాడు. ఎవరూ ముందుకు రాలేదు. సొంతంగా కొంత డబ్బు పెడితే ప్రచురిస్తామన్నారు. అయితే విట్‌గన్‌ష్టైన్ దగ్గర డబ్బు లేదు. రస్సెల్ పుస్తకానికి ముందుమాట రాశాడు – తత్వశాస్త్ర చరిత్రలోనే ఓ మైలురాయి అని. కాని రస్సెల్ తన పుస్తకాన్నసలు అర్థం చేసుకోలెదని విట్‌గన్‌ష్టైన్ విసుక్కున్నాడు. ఎలాగయితేనేం పుస్తకం 1921 లో ప్రచురణయింది. అతని జీవిత కాలంలో ప్రచురించింది ఇదొక్కటే. పేరు – Tractutus Logico-Philosophicus.

దాంట్లో తత్వశాస్త్ర సమస్యలనన్నిటినీ తీర్చానని చెప్పుకున్నాడు మరి ఇక ఫిలాసఫీ చెయ్యాల్సిన పని లేదు కదా! ఓ పల్లెటూరులో బడిపంతులుగా పనిచెయ్యడానికి నిశ్చయించుకున్నాడు. బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్, జాన్ మేనార్డ్ కేన్స్ (John Maynard Keynes) లాంటి ప్రపంచ ప్రఖ్యాత మేధావులతో కలసి పనిచేసిన వాడు, జీనియస్ అని వాళ్ళ చేతనే అనిపించుకున్నవాడు, ఇలా ఓ మారుమూల నిరుపేద గ్రామంలో పిల్లకి పాఠాలు చెప్పడానికి నిశ్చయించుకున్నాడు! కొన్నాళ్ళు పని చేసి పిల్లల తల్లిదండ్రులతో తగాదాపడి విరమించుకున్నాడు. సన్యాసి మఠం (monastery) లో తోటమాలి గా పనిచేశాడు. ఇలా దాదాపు పదేళ్ళు గడిచింతర్వాత, గణిత పునాదుల మీద వియన్నాలో ఒకరి ఉపన్యాసం వింటూ తన Tractutus లో కొన్ని లోపాలున్నాయని మళ్ళీ ఫిలాసఫీ చెయ్యడానికి 1929 లో కేంబ్రిడ్జ్ చేరాడు.

Tractutus ఆధారంగా యూనివర్సిటీ డాక్టరేట్ ఇచ్చింది. అకడెమిక్ ఫిలాసఫీ అంటే ఎప్పుడూ చిన్న చూపే అయినా ఫిలాసఫీ ప్రొపెసర్ గా 1947 దాకా పనిచేశాడు. వివాహం చేసుకోలేదు. ఇద్దరు యువకులతో కొన్నాళ్ళు రొమాంటిక్ సంబంధాలు పెట్టుకున్నాడు. కాన్సర్ పాలయిన రెండేళ్ళకి 1951 లో చనిపోయాడు. అతని చివరి మాటలు, “Tell them [his friends] I’ve had a wonderful life.” తరువాత రెండేళ్ళకి అతని ముఖ్యమైన మరో రచన “Philosophical Investigations,” అచ్చయింది.

పునాదుల సమస్య

వంద పేజీలు కూడా లేని అతని గ్రంథం – Tractutus – గత శతాబ్దపు తత్వశాస్త్రాన్ని భాషాశాస్త్రం వైపు ఓ క్రొత్త మలుపు తిప్పింది. దీంట్లో మిగిలిన పుస్తకాలలో లాగా అధ్యాయాలూ, వివరణలూ ఉండవు. సిద్ధి కలిగిన యోగి చెప్పే బ్రహ్మ వాక్కుల్లా వుంటాయి!

The world is everything that is the case అని మొదలెట్టి Whereof one cannot speak, thereof one must be silent అని ముగుస్తుంది! ఆ రెంటి మధ్యన ఉన్నదానిని అర్థం చేసుకోడం అంత సులభం కాదు. ఫ్రేగె అసలు మొదటి వాక్కు తోనే ఆగిపొయ్యాడు. రస్సెల్ ముందుమాట రాశాడు – దీంట్లో ఏదో ఉంది అన్నట్లు!

1939లో కేంబ్రిడ్జ్ యూనివర్శిటీ లో గణిత పునాదుల (Foundations of Mathematics) మీద విట్‌గన్‌ష్టైన్ ఓ సెమినార్ నిర్వహించాడు. మరెవరి క్లాసులు ఆయన క్లాసుల్లా ఉండేవి కావు – సోక్రటీస్ ని గుర్తు తెప్పించేవి. మన జ్ఞానానికి పునాదులే అవసరం లేదన్నాడు. మన నిజ జీవితంలో ప్రతి దానినీ విశ్లేషిస్తూ జీవితం గడుపుతామా? లేదు కదా. గణితంలో కూడా అంతే. కొన్ని పద్ధతులు వాడుతున్నాం. అవి ప్రయోజనకరంగా ఉన్నంతవరకు వాటిని నమ్ముకుంటాం. వాటిని ఇంకా లోతుగా విశ్లేషించాల్సిన పని లేదు!

తనని ఇంజనీరింగ్ నుండి ఫిలాసఫీ వైపు మళ్ళించడానికి కారణమైన ఫ్రేగె-రస్సెల్ పరిశోధనలని ఇప్పుడు విట్‌గన్‌ష్టైన్ దుయ్యబట్టాడు – పునాదులకోసం వెతకటం బుద్ధి తక్కువ, వైరుధ్యాల వలన వచ్చే నష్టం లేదు, అంటూ. ఒకప్పుడు రస్సెల్ అంతటి వాడు ఎదుర్కొన్న సమస్యలని సాధిస్తాడని ఆశపెట్టుకున్న విట్‌గన్‌ష్టైన్ ఇలా మాట్లాడటం సులభంగా మింగుడుపడలేదు – ముఖ్యంగా గణితశాస్త్రజ్ఞులకి.

వాళ్ళలో ఒకరు యువకుడైన అలన్ టూరింగ్. అదే సమయంలో టూరింగ్ (Alan Turing) అదే పేరుతో మరో సెమినార్ ఇస్తున్నాడు. టూరింగ్ కొన్నాళ్ళు విట్‌గన్‌ష్టైన్ సెమినార్ కొచ్చేవాడు. వైరుధ్యాలున్న సిస్టం ని వాడితే కొంపలు (వంతెనలు) కూలుతాయన్నాడు టూరింగ్. విట్‌గన్‌ష్టైన్ వైరుధ్యాలున్న సూత్రాలు ఎలాగూ వాడవు గదా, ఇక వాటి గురించి ఆలోచంచడం ఎందుకు అన్నాడు. అలా కాదు, సిస్టం లో వైరుధ్యాలుంటే అది తప్పుడు లెక్కలకి దారితీస్తుంది – మనకి తెలియకుండానే, అన్నాడు టూరింగ్. అలా ఒకరికొకరు వాదించుకొని టూరింగ్ కి విసుగొచ్చి హాజరవడం మానుకున్నాడు. గత శతాబ్దానికే గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా, ఆధునిక కంప్యూటర్ ని కనుక్కున్నవాడిగా చరిత్రలో చిరస్థాయిగా నిల్చిపోయే టూరింగ్ గురించి ముందు ముందు విపులంగా తెలుసుకుందాం.

ముగింపు

ఫ్రేగె తర్కానికి సంపూర్ణమైన భాషని కల్పించి ఓ కొత్త రకపు గణితానికి నాంది పలికాడు. అతని పేరు తెలియకపోయినా కంప్యూటర్ సైన్సు చదివే వాళ్ళందరూ అతని రచనలని చదువుతున్నట్లే! అతని ప్రభావం గణితానికే కాక తత్వశాస్త్రంలో కూడా చెప్పుకోదగ్గది. అతనిని తన జీవిత కాలంలో పట్టించుకోపోయినా ఇప్పుడు యూనివర్సిటీలలో ఆయన రచనలని క్లాసిక్స్ గా చదువుతారు.

గణితానికి తార్కిక పునాదులు వెయ్యడంలో కనుక్కున్న వైరుధ్యాల మూలంగా ఫ్రేగె తలపెట్టిన ప్రాజెక్టు మాత్రం విఫలమయ్యింది. అదే పనిలో ఉన్న రస్సెల్ ఆ వైరుధ్యాలని తొలగించడానికి ప్రయత్నించి తనూ విఫలమయ్యాడు. అతని శిష్యుడు విట్‌గన్‌ష్టైన్ వాటిని అధిగమిస్తాడనుకుంటే అతనసలు వాటినే కాక అసలు తత్వసమస్యలతో సహా పునాది ప్రశ్నలు అడక్కపోవడమే వాటికి సమాధానం అన్నాడు! తత్వశాస్త్రం anti-foundational మలుపు తిరగడానికి విట్‌గన్‌ష్టైన్ ముఖ్య కారకుడు.

తత్వశాస్త్రం సంగతెలా ఉన్నా, తమ శాస్త్రానికి అసలు పునాదులేమిటి, జ్ఞానానికే మకుటాయమనుకునే గణితంలో దాక్కొని అంతర్గత వైరుధ్యాలున్నాయా అన్నది గత శతాబ్దపు తొలి భాగంలో గొప్ప గొప్ప గణితవేత్తల్ని వేధించింది. గణిత ప్రపంచం అల్లకల్లోలమయింది. ఆ కల్లోల పరిణామం ఎవరూ ఊహించని విధంగా ఆధునిక కంప్యూటర్ కి దారితీసింది. ఆ కల్లోలాల వివరాలు వచ్చే వ్యాసాల్లో చూద్దాం.

నేనీ వ్యాసం రాయడానికి ఉపయోగించుకున్న పుస్తకాలు

1. The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing లో Frege: From Breakthrough to Despair, Martin Davis. W. W. Norton & Company, 2000. ఫ్రేగె కరపత్రం Begriffsschrift ప్రచురణ శతవార్షికోత్సవ సందర్భంగా డేవిస్ 1979లో ఓ సమావేశంలో కంప్యూటర్ సైన్సు మీద దాని ప్రభావం గురించి ప్రసంగించాడు. ఆ ప్రసంగానికై చేసిన చారిత్రక పరిశోధనలే ఈ విలువైన పుస్తకానికి దారితీశాయి.
2. Frege Explained: From Arithmetic to Analytic Philosophy, Joan Weiner, Open Court Publishing Company, 2004. ఈ పుస్తకం తర్కం లో తత్వశాస్త్రం లో ప్రత్యేకమైన శిక్షణ లేనివాళ్ళకి ఫ్రేగె ఆలోచనలని అందుబాటులోకి తెస్తుంది.
3. Frege: An Introduction to the Founder of Modern Analytic Philosophy, Anthony Kenny, Blackwell Publishers, 2000.
4. The Principles of Mathematics, Bertrand Russell, 1903. Fair Use Repository లో ఉచితంగా దొరుకుతుంది.
5. విశ్వదర్శనం లో ఇమాన్యుయెల్ కాంట్ తాత్విక విప్లవం అధ్యాయం, నండూరి రామమోహనరావు, లిఖిత ప్రచురణలు, 2002.
6. From Frege to Gödel: A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931, Jean van Heijenoort, Harvard University Press, 2002. ఇంగ్లీషులోకి అనువదించిన ఫ్రేగె-రస్సెల్ ఉత్తరాలు, ఫ్రేగె ని పొగుడుతూ రస్సెల్ రాసిన ఉత్తరం ఈ పుస్తకంలో ఉన్నాయి. ఇది స్పెషలిస్టుల కోసమయినా, మూలరచనలకి రచయిత చేసిన పరిచయాలు సామాన్యపాఠకులకి ఆసక్తిని కలిగిస్తాయి. సంభ్రమాశ్చర్యాలతో కూడిన రచయిత జీవిత చరిత్ర ను TrotskyanaNet లో చదవచ్చు.
7. The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism, Ernst Snapper in Mathematics Magazine 52 (Sept. 1979: 207-16). Reprinted in Douglas M. Campbell and John C. Higgins, eds. Mathematics: People, Problems, Results, vol. 2 (Belmont CA: Wadsworth, 1984): 183-193. మూడు భాగాలున్న ఈ పుస్తకం గణితంలో ఆసక్తి గలవాళ్ళకి చాలా నచ్చుతుంది. Snapper వ్యాసం Tom Conklin వెబ్సైట్ లో ఉచితంగా దొరుకుతుంది.
8. Gottlob Frege, Kevin C. Klement, The Internet Encyclopedia of Philosophy, 2006. ఫ్రేగె ని, టెక్నికల్ విషయాలని దాటవెయ్యకుండా, సాధ్యమైనంత సులభంగా పరిచయం చేసే ప్రయత్నాన్ని The Internet Encyclopedia of Philosophy లో ఉచితంగా చదువుకోవచ్చు
9. Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius, Ray Monk, Free Press, 1990. విట్‍గెన్‍స్టైన్ జీవితంలోనూ తాత్వికాలోచనలలోనూ వచ్చిన మార్పులని క్రమంగా చక్కగా చిత్రీకరించిన మంచి పుస్తకం. తప్పక చదవదగ్గది.
10. Ludwig Wittgenstein: A Memoir, Normal Malcolm with contribution from G. H. von wright. విట్‍గెన్‍స్టైన్ కి అంతరింగుకులైన ఇద్దరు – స్టూడెంట్, కొలీగ్ – రాసిన సంస్మరణ ఆయనెలాంటివాడో చెప్తుంది.
11. Tractutus Logico-Philosophicus, Ludwig Wittgenstein. Filepedia లో ఉచితంగా దొరుకుతుంది.
12. Wittgenstein, Anthony Kenny, Blackwell Publishing, 2006.
13. An Illustrated Brief History of Western Philosophy, Anthony Kenny, Blackwell Publishing, 2006.