ఎన్నో లక్షల లీటర్ల గంగా జలం ప్రతి క్షణం సముద్రం పాలవుతుంది. దానిలో ఏ కొంతైనా తెలుగువారికి అందించగలిగితే ఎంతో మేలు జరుగుతుంది, ఎన్నో తరాల తెలుగువారికి ఉపయోగపడుతుంది. కాని అది సాధ్యమయ్యే పనేనా? అయితే ఒక్క మనిషితో ఏ మేరకు సాధ్యం? ఆ ప్రశ్నలకు జవాబు ఆచార్య శ్రీ పుల్లెల శ్రీ రామచంద్రుడుగారి జీవితం అనిపిస్తుంది. సంస్కృతగంగలో ఉన్న ఎన్నో గ్రంథాలు, వేలాది శ్లోకాలు కాలప్రవాహంలో తెలుగువారికి అందకుండా పోతూండడం చూసి, వాటిని తెలుగులోకి అనువదించి, అర్థతాత్పర్యాలు ఇచ్చి, సంస్కృతంలో ఉన్న సూక్ష్మాలకు “బాలానందినీ” అను పేరుతో వ్యాఖ్యానాన్ని వ్రాసి తెలుగు వారందరు వాటిని సుళువుగా చదువుకొని అర్థం చేసుకోవడానికి వారు జీవితాంతం అవిశ్రాంతంగా చేసిన కృషి ఇప్పటిదాకా ఎవ్వరూ చేయలేదేమో అనిపిస్తుంది. ఒక్కచేతితో వాల్మీకి రామాయణాన్ని ఎలా వ్రాసాడో తెలియదు, కాని ఒక్క చేతితో మొత్తం వాల్మీకి రామాయణానికి తెలుగులో అర్థ తాత్పర్యాలు, వ్యాఖ్యానంతో శ్రీ పుల్లెల వారు అందించడం ఈ తరం, రాబోయే తరాల తెలుగువాళ్ళ అదృష్టం. సంస్కృతంలో ఆది శంకరులు భగవద్గీతకు వ్రాసిన భాష్యాన్ని తెలుగులో అందించిన ఘనత కూడా శ్రీ పుల్లెల వారిదే.
ఎంతో సుదీర్ఘమైన కృషి తో వాల్మీకి రామాయణ వ్యాఖ్యానం అందించి చివరలో వారు చెప్పిన శ్లోకం
“దేవతానుగ్రహః పిత్రోస్తప శ్చాచార్యసత్కృపా
కర్తాస్మద్గ్రంథజాతస్య కరణం కేవలం వయం”
తను రచించిన కృతులకు దేవతానుగ్రహము, తల్లిదండ్రుల తపస్సు, ఆచార్యుల కృప కారణమని, తాను కేవలం ఒక పనిముట్టు ఉపకరణం మాత్రమే అని చెప్పుకోవడం వారి నిరాడంబరత.
వారి “వాల్మీకి రామాయణం”, “శ్రీ భగవద్గీతాశాంకర భాష్యం” ఎప్పుడు చదివినా, మూలం ఎప్పుడో వాల్మీకి, ఆది శంకరుల వైనా, ఇప్పుడు మన మధ్యలో ఉన్న శ్రీ పుల్లెల శ్రీరామచంద్రుడుగారి అనువాదాలు అని అనుకునే భావం, భాగ్యం వారు లేరనే వార్తతో లోటుగా మారిపోయింది. వారిని తలుచుకున్నప్పుడు ఎన్నో గ్రంథాలకు ఒక్క మనిషి ఇంత కృషి చేసారా అని ఆశ్చర్యం కలుగుతుంది. సమాజ శ్రేయస్సుకోసం సలిపే ఏ కృషికైనా వారి కృషి ఒక ఆదర్శంగా ఎప్పటికీ ఒక స్ఫూర్తిగా నిలుస్తుంది. ఎన్నో వేల పేజీల బృహత్ రచనలు చేసినా, అక్షరదోషాలు, టైపోలు దొర్లకుండా శ్రద్ధ వహించడం వారి విశిష్టత. ఆచార్యుల వారు ఉదాహరణ పూర్వకంగా అందించే అదనపు పాఠం. వారి రచనలు అందించే వెలుగులను అందుకోవడం, మరింతగా మరెందరితోనో వాటిని పంచుకోవడం వారికిచ్చే నివాళి అని అనిపిస్తుంది. వారి ఆత్మకు హృదయపూర్వక కృతజ్ఞతాంజలి.
———————-
విధేయుడు
-శ్రీనివాస్
వాసుదేవరావుగారి అభిప్రాయంతో నేను ఏకీభవిస్తాను. ఇలాంటి వ్యాసాలలో భాషాంతరీకరణ గురించిన చర్చ అసలు విషయాన్ని దారి తప్పించినదే అవుతుంది. కానీ యీ భాషాంతరీకరణకి ఒక పద్ధతి అంటూ ఏర్పడేదాకా/ఏర్పరచుకొనే దాకా బహుశా అలాంటి చర్చ తప్పదు!
ఇలాంటి పాపులర్ వ్యాసాలు (ఈమాటలో లెక్కల గురించిన వ్యాసాలు పాపులర్ వ్యాసాల లెక్కలోకే వస్తాయని అనుకొంటాను) పాఠకులకి ఎంత సులువుగా అర్థమయితే అంత బాగుంటాయి. దానికి ఇంగ్లీషులోని పడికట్టు పదాలని డు,ము,వు,లు చేర్చి తెలుగులోకి తెచ్చుకోడం ఒక పరిష్కారమయితే అదే తక్షణకర్తవ్యం! బహుశా అలా చేస్తే ఎక్కువ తర్జనభర్జనలు పడే అవసరం కూడా ఉండదు. అసలు డు,ము,వు,లు చేర్చకుండా (అసలు అన్యదేశ్యాలు తెలుగులోకి వచ్చేప్పుడు హలంతాలు ఉకారాంతాలుగా మారడం తప్ప వేరే ప్రత్యయాలేమీ రావు) ఉన్నవున్నట్టుగా కూడా వాడుకోవచ్చు – హోల్ నెంబర్లు, ప్రైమ్ నెంబర్లు, పెర్ఫెక్ట్ నెంబర్లు – ఇలా. “least upper bound” వంటి పదబంధాల విషయంలో, తెలుగులో అర్థం మాత్రమే వివరించి ఇంగ్లీషు పదబంధాలని అలాగే ఉంచేయాలి.
ఇవి తెలుగు వాక్యాలలో ఒదిగిపోతాయా, పంటికింద రాళ్ళలా అడ్డు తగులుతాయా అనేది కొన్ని వ్యాసాల తర్వాత పాఠకులే తేలుస్తారు.
—
‘ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే పాతము పరిబద్ధమైనది లేదా ‘సీమితము’ (bounded) అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు.
—
దీన్ని కొంచెం వివరించాల్సిన అవసరం ఉందని నాకనిపించింది.
లెక్కలలో “bounded”, “having limit” అనే రెండు పదాలు సమానార్థకాలు కావని తెలియకపోతే, ఇక్కడ చెపుతున్న విషయాన్ని తప్పుగా అర్థం చేసుకొనే అవకాశం ఉంది.
“ఎంత పెద్ద ప్రైమ్ నెంబర్ల జంటను తీసుకొన్నా, వాటి మద్య దూరం ఒక అవధిని దాటదు” అంటే
lim n->infinity, { p(n+1) – p(n) } < N
అని అర్థం వస్తుంది. ఇది తప్పు. ప్రైమ్ జంటల మధ్య దూరం అనంతంగా పెరుగుతునే పోతుంది!
అంచేత జాంగ్ నిరూపించింది అది కాదు.
ఒక కచ్చితమైన దూరాన్ని (అవధి) తీసుకొంటే, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రైమ్ జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. అది 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది. ఆ తర్వాత 16 కన్నా తక్కువ అని కూడా నిరూపించారు! అంటే ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకొన్నా, ఆ సంఖ్య కన్నా పైన – "16 కన్నా తక్కువ దూరం ఉన్న" ప్రైమ్ జంటలు మనకి దొరుకుతాయి. బహుశా ఈ విషయం వ్యాసంలో స్పష్టంగానే ఉండి ఉండవచ్చు, అయినా నా అవగాహనకోసం మళ్ళీ ఇక్కడ నా మాటల్లో చెప్పానంతే!
చాలా బాగుంది కానీ “ఒక సీసపద్య పాదం మధ్యలో రెండుగా విరుగుతుంది. ఒకటి, నాలుగు ఇంద్రగణాలున్న పొడుగు భాగం. రెండవది, మూడు ఇంద్రగణాలూ ఒక సూర్యగణం ఉన్న పొట్టి భాగం” కాదు. సీస పద్యం పాదం రెండవ భాగం రెండు ఇంద్రగణాలూ రెండు సూర్యగణాలు.
నేను అడిగిన ప్రశ్నను తహః తహః గారు, కామేశ్వర రావు గారు సరిగ్గా వివరించటం వల్ల నేను మళ్ళీ ఆ ప్రశ్నను వివరించను.
వేమూరి గారు శుద్ధ గణితంలో ఒక భాగం అయిన సంఖ్యా గణితానికి ఏ ఉపయోగమూ లేదంటూ, సంఖ్యా గణితంలో ఒక ఉపశాఖ అయిన ప్రధాన సంఖ్యలు ఎవ్వరికి, ఎప్పుడు, ఎందుకు పనికొస్తాయో తెలియదు అన్నారు. అలా అంటూనే, అంతర్జాలంలో వార్తలని నిక్షిప్తంగా పంపటానికి ప్రధాన సంఖ్యలు ఉపయోగపడతాయని సూక్షంగా ఒక్క వాక్యంలో చెప్పి ఊరుకున్నారు.
శుద్ధగణితంలో “బొత్తిగా పనికిమాలిన శాఖ” అయిన ప్రధానసంఖ్యల ఉపయోగం ఎంత గొప్పదో చెప్పటానికే ఈ క్రింది వివరణ!
రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని తీసుకొని (ఆ సంఖ్యలు ఎమిటో గుప్తంగా ఉంచబడతాయి)వాటిని గుణించగా వచ్చే సంఖ్యను (ఈ సంఖ్య ఎంత పెద్దదైతే క్లిష్టత అంత ఎక్కువ)అందరికీ తెలియపరిస్తే, ఆ రెండు ప్రధానసంఖ్యలు ఎమిటో కనుక్కోటం దాదాపు అసంభవం.
ఉదాహరణకి, 175,828,273 అన్న సంఖ్య రెండు ప్రధానసంఖ్యల గుణకారఫలం అని చెప్పి, ఆ ప్రధాన సంఖ్యలు కనుక్కోండి అన్నాం అనుకోండి. ఆ ప్రధానసంఖ్యలు కనుక్కోటానికి ఎంత సమయం పడుతుందో తెలుసా?
ఈ నాటి సాంకేతిక సహకారం దృష్టిలో పెట్టుకున్నా, ఆ రెండు ప్రాధమిక సంఖ్యలని కనుక్కోటానికి కొన్ని సంవత్సరాలు పడుతుంది. ఇప్పుడు చెప్పిన పద్ధతిలో, తీసుకోబడ్డ రెండు ప్రధానసంఖ్యలు ఎంత పెద్దవైతే, వాటిని కనుక్కొనే క్లిష్టత అంత ఎక్కువౌతుంది.
పైన ఉదాహరించిన సంఖ్య 175,828,273 ప్రధానసంఖ్యలయిన 17,179 X 10,247 గుణకారఫలం.
రెండు ప్రధానసంఖ్యలను గుణకారించడం సులభం. కానీ, ఆ గుణకార ఫలాన్ని మాత్రమే ఇచ్చి, ఆ సంఖ్య ప్రధాన కారణాంకాలు (prime factors) కనుక్కోవటం కష్టం అన్న “సంకేత నిక్షిప్త ఏకదిశ ప్రమేయం”(encryption with one-way function) అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తూ నిక్షిప్త సందేశాలు పంపటం జరుగుతోంది.
ఈ విషయాన్ని వెలికితెచ్చి, ప్రాధమికసంఖ్యల ఉపయోగాన్ని ప్రపంచానికి చాటి చెప్పిన వాళ్ళు ముగ్గురు అమెరికన్లు.
ఆ ముగ్గురు, MIT లో కంప్యూటర్ సైన్సు విభాగంలో పరిశోధకులయిన Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman.
ప్రయాణాలలో తిరుగుతూ ఉండడమువల్ల ఈమాట సంచిక చూచేవఱకు ఈ విషాద వార్త నాకు తెలియలేదు. మహనీయులు, పండితులు అంతకన్న తాము ఆర్జించిన విజ్ఞానాన్ని ఇతరులకు అంందజేయాలన్న విశాల దృక్పథము కలిగినవారు. వారి వ్యాఖ్యానముతో విరాజిల్లే “సువృత్తతిలకము”ను నేను నా ఛందస్సు పరిశోధనల రీత్యా తరచుగా చదువుతూ ఉంటాను. వారి “నయమంజరి”ని సంపాదించాలి. వారి ఆత్మకు భగవంతుడు శాంతినిచ్చి తనలో లీనము చేసికొనుగాక! విధేయుడు – మోహన
ఇంత సవివరమైన అభ్యాసగ్రంథమును గురించిన విస్తారమైన వ్యాసం బాగుంది. ప్రబంధాల్లోనూ, వ్యాకరణగ్రంథాల్లోనూ ఉన్న అభ్యాస రహస్యాలను ఆవిష్కరించడం వల్ల విద్యార్థిలోకానికి ఎంతో ఉపయోగకరంగా ఉంది. పద్యాలను, ఛందస్సును, శిల్పాన్ని, పర్యాయపదాలను, ప్రతీదాన్నీ అభ్యాసం చేయడానికి లోతులను తెలుసుకోడానికి ఉపయోగపడే ఈ గ్రంథానికి సమగ్ర వ్యాఖ్యానగ్రంథం కూడా రావలసి ఉందనిపిస్తుంది.
ఈమాట లో ఇటువంటి వ్యాసం -కొత్తది- వచ్చినప్పుడల్లా, వ్యాసంలో చెప్పిన విషయాల మీద కన్నా భాషాంతరీకరణ మీద చర్చ జరగటం చూస్తున్నాము. ప్రాథమికంగా ఇటువంటి తెలుగు వ్యాసాలను ఇంగ్లిష్ లో వచ్చిన శాస్త్రసాహిత్యాన్ని గానీ, శాస్త్రవిషయాలను ప్రజా బాహుళ్యానికి వివరించటానికై ఇంగ్లిష్ లో వెలయించిన సాహిత్యాన్ని గానీ అధారం చేసుకునే రాయటం జరుగుతోంది. శాస్త్రవిషయాలకు సంబంధించి ఇంగ్లిష్ కు ప్రపంచం లో ఉన్నప్రాముఖ్యతనీ ,భారతీయులకు ఇంగ్లిష్ భాష తొ ఉన్న పరిచయాన్నీ,ఇంగ్లిష్ మాటలను తెలుగులోకి డు,ము,వు,లు ల తో అచ్చమైన తెలుగు మాటలుగా మలుచుకోగలగటాన్నీ మనసులో ఉంచుకున్నట్లయితే ఇంగ్లిష్ లో ఉన్న పడికట్టు పదాలను డు,ము,వు,లు ల తో తెలుగులోకి తెచ్చేసుకోవటం, [వాటిని సంస్కృతీకరించి తెలుగు చేశాం అని అనుకోవటం కన్నా] శాస్త్రానికీ, భాషకీ ,ఆధునిక విజ్ఞాన విషయాలను మాతృభాష లో నేర్చుకుంటే వచ్చే లాభాలేవైనా ఉంటే పాఠకులు అటువంటి లాభాలను పొందే అవకాశాన్ని పెంచి వారి ఆసక్తిని పెంపొందించటానికీ, భావి రచయితలకీ యెంతో మేలుచేస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి విష్ణుభొట్ల లక్ష్మన్న అభిప్రాయం:
07/05/2015 11:10 am
నేను సంధించిన ప్రశ్న ఇది:
ఒక సంఖ్యని, రెండు నుండి ఆరు వరకూ ఉన్న సంఖ్యల చేత భాగిస్తే శేషం ఒకటి (సంఖ్య) మిగులుతూ, ఏడు చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడే అతి చిన్న సంఖ్య ఏమిటి?
ఈ ప్రశ్నకి సమాధానం సూచిస్తూ, కామెశ్వరరావు గారు 300 పైలుకే అన్నారు!
అడిగిన ప్రశ్నకి సమాధానం – 301
విష్ణుభొట్ల లక్ష్మన్న
పుల్లెల శ్రీరామచంద్రుడు గురించి Srinivas Nagulapalli అభిప్రాయం:
07/05/2015 10:55 am
ఎన్నో లక్షల లీటర్ల గంగా జలం ప్రతి క్షణం సముద్రం పాలవుతుంది. దానిలో ఏ కొంతైనా తెలుగువారికి అందించగలిగితే ఎంతో మేలు జరుగుతుంది, ఎన్నో తరాల తెలుగువారికి ఉపయోగపడుతుంది. కాని అది సాధ్యమయ్యే పనేనా? అయితే ఒక్క మనిషితో ఏ మేరకు సాధ్యం? ఆ ప్రశ్నలకు జవాబు ఆచార్య శ్రీ పుల్లెల శ్రీ రామచంద్రుడుగారి జీవితం అనిపిస్తుంది. సంస్కృతగంగలో ఉన్న ఎన్నో గ్రంథాలు, వేలాది శ్లోకాలు కాలప్రవాహంలో తెలుగువారికి అందకుండా పోతూండడం చూసి, వాటిని తెలుగులోకి అనువదించి, అర్థతాత్పర్యాలు ఇచ్చి, సంస్కృతంలో ఉన్న సూక్ష్మాలకు “బాలానందినీ” అను పేరుతో వ్యాఖ్యానాన్ని వ్రాసి తెలుగు వారందరు వాటిని సుళువుగా చదువుకొని అర్థం చేసుకోవడానికి వారు జీవితాంతం అవిశ్రాంతంగా చేసిన కృషి ఇప్పటిదాకా ఎవ్వరూ చేయలేదేమో అనిపిస్తుంది. ఒక్కచేతితో వాల్మీకి రామాయణాన్ని ఎలా వ్రాసాడో తెలియదు, కాని ఒక్క చేతితో మొత్తం వాల్మీకి రామాయణానికి తెలుగులో అర్థ తాత్పర్యాలు, వ్యాఖ్యానంతో శ్రీ పుల్లెల వారు అందించడం ఈ తరం, రాబోయే తరాల తెలుగువాళ్ళ అదృష్టం. సంస్కృతంలో ఆది శంకరులు భగవద్గీతకు వ్రాసిన భాష్యాన్ని తెలుగులో అందించిన ఘనత కూడా శ్రీ పుల్లెల వారిదే.
ఎంతో సుదీర్ఘమైన కృషి తో వాల్మీకి రామాయణ వ్యాఖ్యానం అందించి చివరలో వారు చెప్పిన శ్లోకం
“దేవతానుగ్రహః పిత్రోస్తప శ్చాచార్యసత్కృపా
కర్తాస్మద్గ్రంథజాతస్య కరణం కేవలం వయం”
తను రచించిన కృతులకు దేవతానుగ్రహము, తల్లిదండ్రుల తపస్సు, ఆచార్యుల కృప కారణమని, తాను కేవలం ఒక పనిముట్టు ఉపకరణం మాత్రమే అని చెప్పుకోవడం వారి నిరాడంబరత.
వారి “వాల్మీకి రామాయణం”, “శ్రీ భగవద్గీతాశాంకర భాష్యం” ఎప్పుడు చదివినా, మూలం ఎప్పుడో వాల్మీకి, ఆది శంకరుల వైనా, ఇప్పుడు మన మధ్యలో ఉన్న శ్రీ పుల్లెల శ్రీరామచంద్రుడుగారి అనువాదాలు అని అనుకునే భావం, భాగ్యం వారు లేరనే వార్తతో లోటుగా మారిపోయింది. వారిని తలుచుకున్నప్పుడు ఎన్నో గ్రంథాలకు ఒక్క మనిషి ఇంత కృషి చేసారా అని ఆశ్చర్యం కలుగుతుంది. సమాజ శ్రేయస్సుకోసం సలిపే ఏ కృషికైనా వారి కృషి ఒక ఆదర్శంగా ఎప్పటికీ ఒక స్ఫూర్తిగా నిలుస్తుంది. ఎన్నో వేల పేజీల బృహత్ రచనలు చేసినా, అక్షరదోషాలు, టైపోలు దొర్లకుండా శ్రద్ధ వహించడం వారి విశిష్టత. ఆచార్యుల వారు ఉదాహరణ పూర్వకంగా అందించే అదనపు పాఠం. వారి రచనలు అందించే వెలుగులను అందుకోవడం, మరింతగా మరెందరితోనో వాటిని పంచుకోవడం వారికిచ్చే నివాళి అని అనిపిస్తుంది. వారి ఆత్మకు హృదయపూర్వక కృతజ్ఞతాంజలి.
———————-
విధేయుడు
-శ్రీనివాస్
నాకు నచ్చిన పద్యం: రెండు అందమైన పద్యశిల్పాలు గురించి కామేశ్వరరావు అభిప్రాయం:
07/04/2015 11:05 am
పినాకపాణిగారూ,
ధన్యవాదాలు. సీసపద్యం పొట్టిపాదం రెండు ఇంద్రగణాలు, రెండు సూర్యగణాలే. ద్వీపద పాదాన్ని పొరపాటున సీసంలో కలిపేసాను! (నాలిక కరుచుకుకొంటూ) పొరపాటును సరిదిద్దమని సంపాదకులకు విజ్ఞప్తి.
[తప్పు సరిదిద్దాము – సం.]
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి కామేశ్వరరావు అభిప్రాయం:
07/04/2015 9:53 am
వాసుదేవరావుగారి అభిప్రాయంతో నేను ఏకీభవిస్తాను. ఇలాంటి వ్యాసాలలో భాషాంతరీకరణ గురించిన చర్చ అసలు విషయాన్ని దారి తప్పించినదే అవుతుంది. కానీ యీ భాషాంతరీకరణకి ఒక పద్ధతి అంటూ ఏర్పడేదాకా/ఏర్పరచుకొనే దాకా బహుశా అలాంటి చర్చ తప్పదు!
ఇలాంటి పాపులర్ వ్యాసాలు (ఈమాటలో లెక్కల గురించిన వ్యాసాలు పాపులర్ వ్యాసాల లెక్కలోకే వస్తాయని అనుకొంటాను) పాఠకులకి ఎంత సులువుగా అర్థమయితే అంత బాగుంటాయి. దానికి ఇంగ్లీషులోని పడికట్టు పదాలని డు,ము,వు,లు చేర్చి తెలుగులోకి తెచ్చుకోడం ఒక పరిష్కారమయితే అదే తక్షణకర్తవ్యం! బహుశా అలా చేస్తే ఎక్కువ తర్జనభర్జనలు పడే అవసరం కూడా ఉండదు. అసలు డు,ము,వు,లు చేర్చకుండా (అసలు అన్యదేశ్యాలు తెలుగులోకి వచ్చేప్పుడు హలంతాలు ఉకారాంతాలుగా మారడం తప్ప వేరే ప్రత్యయాలేమీ రావు) ఉన్నవున్నట్టుగా కూడా వాడుకోవచ్చు – హోల్ నెంబర్లు, ప్రైమ్ నెంబర్లు, పెర్ఫెక్ట్ నెంబర్లు – ఇలా. “least upper bound” వంటి పదబంధాల విషయంలో, తెలుగులో అర్థం మాత్రమే వివరించి ఇంగ్లీషు పదబంధాలని అలాగే ఉంచేయాలి.
ఇవి తెలుగు వాక్యాలలో ఒదిగిపోతాయా, పంటికింద రాళ్ళలా అడ్డు తగులుతాయా అనేది కొన్ని వ్యాసాల తర్వాత పాఠకులే తేలుస్తారు.
—
‘ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే పాతము పరిబద్ధమైనది లేదా ‘సీమితము’ (bounded) అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు.
—
దీన్ని కొంచెం వివరించాల్సిన అవసరం ఉందని నాకనిపించింది.
లెక్కలలో “bounded”, “having limit” అనే రెండు పదాలు సమానార్థకాలు కావని తెలియకపోతే, ఇక్కడ చెపుతున్న విషయాన్ని తప్పుగా అర్థం చేసుకొనే అవకాశం ఉంది.
“ఎంత పెద్ద ప్రైమ్ నెంబర్ల జంటను తీసుకొన్నా, వాటి మద్య దూరం ఒక అవధిని దాటదు” అంటే
lim n->infinity, { p(n+1) – p(n) } < N
అని అర్థం వస్తుంది. ఇది తప్పు. ప్రైమ్ జంటల మధ్య దూరం అనంతంగా పెరుగుతునే పోతుంది!
అంచేత జాంగ్ నిరూపించింది అది కాదు.
ఒక కచ్చితమైన దూరాన్ని (అవధి) తీసుకొంటే, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రైమ్ జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. అది 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది. ఆ తర్వాత 16 కన్నా తక్కువ అని కూడా నిరూపించారు! అంటే ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకొన్నా, ఆ సంఖ్య కన్నా పైన – "16 కన్నా తక్కువ దూరం ఉన్న" ప్రైమ్ జంటలు మనకి దొరుకుతాయి. బహుశా ఈ విషయం వ్యాసంలో స్పష్టంగానే ఉండి ఉండవచ్చు, అయినా నా అవగాహనకోసం మళ్ళీ ఇక్కడ నా మాటల్లో చెప్పానంతే!
నాకు నచ్చిన పద్యం: రెండు అందమైన పద్యశిల్పాలు గురించి ఇంద్రకంటి పినాకపాణి అభిప్రాయం:
07/04/2015 3:07 am
చాలా బాగుంది కానీ “ఒక సీసపద్య పాదం మధ్యలో రెండుగా విరుగుతుంది. ఒకటి, నాలుగు ఇంద్రగణాలున్న పొడుగు భాగం. రెండవది, మూడు ఇంద్రగణాలూ ఒక సూర్యగణం ఉన్న పొట్టి భాగం” కాదు. సీస పద్యం పాదం రెండవ భాగం రెండు ఇంద్రగణాలూ రెండు సూర్యగణాలు.
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి విష్ణుభొట్ల లక్ష్మన్న అభిప్రాయం:
07/03/2015 4:08 pm
నేను అడిగిన ప్రశ్నను తహః తహః గారు, కామేశ్వర రావు గారు సరిగ్గా వివరించటం వల్ల నేను మళ్ళీ ఆ ప్రశ్నను వివరించను.
వేమూరి గారు శుద్ధ గణితంలో ఒక భాగం అయిన సంఖ్యా గణితానికి ఏ ఉపయోగమూ లేదంటూ, సంఖ్యా గణితంలో ఒక ఉపశాఖ అయిన ప్రధాన సంఖ్యలు ఎవ్వరికి, ఎప్పుడు, ఎందుకు పనికొస్తాయో తెలియదు అన్నారు. అలా అంటూనే, అంతర్జాలంలో వార్తలని నిక్షిప్తంగా పంపటానికి ప్రధాన సంఖ్యలు ఉపయోగపడతాయని సూక్షంగా ఒక్క వాక్యంలో చెప్పి ఊరుకున్నారు.
శుద్ధగణితంలో “బొత్తిగా పనికిమాలిన శాఖ” అయిన ప్రధానసంఖ్యల ఉపయోగం ఎంత గొప్పదో చెప్పటానికే ఈ క్రింది వివరణ!
రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని తీసుకొని (ఆ సంఖ్యలు ఎమిటో గుప్తంగా ఉంచబడతాయి)వాటిని గుణించగా వచ్చే సంఖ్యను (ఈ సంఖ్య ఎంత పెద్దదైతే క్లిష్టత అంత ఎక్కువ)అందరికీ తెలియపరిస్తే, ఆ రెండు ప్రధానసంఖ్యలు ఎమిటో కనుక్కోటం దాదాపు అసంభవం.
ఉదాహరణకి, 175,828,273 అన్న సంఖ్య రెండు ప్రధానసంఖ్యల గుణకారఫలం అని చెప్పి, ఆ ప్రధాన సంఖ్యలు కనుక్కోండి అన్నాం అనుకోండి. ఆ ప్రధానసంఖ్యలు కనుక్కోటానికి ఎంత సమయం పడుతుందో తెలుసా?
ఈ నాటి సాంకేతిక సహకారం దృష్టిలో పెట్టుకున్నా, ఆ రెండు ప్రాధమిక సంఖ్యలని కనుక్కోటానికి కొన్ని సంవత్సరాలు పడుతుంది. ఇప్పుడు చెప్పిన పద్ధతిలో, తీసుకోబడ్డ రెండు ప్రధానసంఖ్యలు ఎంత పెద్దవైతే, వాటిని కనుక్కొనే క్లిష్టత అంత ఎక్కువౌతుంది.
పైన ఉదాహరించిన సంఖ్య 175,828,273 ప్రధానసంఖ్యలయిన 17,179 X 10,247 గుణకారఫలం.
రెండు ప్రధానసంఖ్యలను గుణకారించడం సులభం. కానీ, ఆ గుణకార ఫలాన్ని మాత్రమే ఇచ్చి, ఆ సంఖ్య ప్రధాన కారణాంకాలు (prime factors) కనుక్కోవటం కష్టం అన్న “సంకేత నిక్షిప్త ఏకదిశ ప్రమేయం”(encryption with one-way function) అన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తూ నిక్షిప్త సందేశాలు పంపటం జరుగుతోంది.
ఈ విషయాన్ని వెలికితెచ్చి, ప్రాధమికసంఖ్యల ఉపయోగాన్ని ప్రపంచానికి చాటి చెప్పిన వాళ్ళు ముగ్గురు అమెరికన్లు.
ఆ ముగ్గురు, MIT లో కంప్యూటర్ సైన్సు విభాగంలో పరిశోధకులయిన Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman.
విష్ణుభొట్ల లక్ష్మన్న
పుల్లెల శ్రీరామచంద్రుడు గురించి మోహన అభిప్రాయం:
07/03/2015 8:03 am
ప్రయాణాలలో తిరుగుతూ ఉండడమువల్ల ఈమాట సంచిక చూచేవఱకు ఈ విషాద వార్త నాకు తెలియలేదు. మహనీయులు, పండితులు అంతకన్న తాము ఆర్జించిన విజ్ఞానాన్ని ఇతరులకు అంందజేయాలన్న విశాల దృక్పథము కలిగినవారు. వారి వ్యాఖ్యానముతో విరాజిల్లే “సువృత్తతిలకము”ను నేను నా ఛందస్సు పరిశోధనల రీత్యా తరచుగా చదువుతూ ఉంటాను. వారి “నయమంజరి”ని సంపాదించాలి. వారి ఆత్మకు భగవంతుడు శాంతినిచ్చి తనలో లీనము చేసికొనుగాక! విధేయుడు – మోహన
తోపులో పిల్లలు గురించి S A Rahman. అభిప్రాయం:
07/03/2015 2:01 am
ఒక్క మాటలో చెప్పాలంటే కవిత ముచ్చటగా చాలా చాలా బాగుంది.
సాహిత్యచరిత్రలో అపూర్వమైన పర్యాయకావ్యం: గణపవరపు వేంకటకవి ప్రబంధరాజ వేంకటేశ్వర విజయవిలాసము – 2. గురించి లక్ష్మీదేవి అభిప్రాయం:
07/02/2015 9:59 pm
ఇంత సవివరమైన అభ్యాసగ్రంథమును గురించిన విస్తారమైన వ్యాసం బాగుంది. ప్రబంధాల్లోనూ, వ్యాకరణగ్రంథాల్లోనూ ఉన్న అభ్యాస రహస్యాలను ఆవిష్కరించడం వల్ల విద్యార్థిలోకానికి ఎంతో ఉపయోగకరంగా ఉంది. పద్యాలను, ఛందస్సును, శిల్పాన్ని, పర్యాయపదాలను, ప్రతీదాన్నీ అభ్యాసం చేయడానికి లోతులను తెలుసుకోడానికి ఉపయోగపడే ఈ గ్రంథానికి సమగ్ర వ్యాఖ్యానగ్రంథం కూడా రావలసి ఉందనిపిస్తుంది.
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి వాసుదేవ రావు ఎరికలపూడి అభిప్రాయం:
07/02/2015 4:56 pm
ఈమాట లో ఇటువంటి వ్యాసం -కొత్తది- వచ్చినప్పుడల్లా, వ్యాసంలో చెప్పిన విషయాల మీద కన్నా భాషాంతరీకరణ మీద చర్చ జరగటం చూస్తున్నాము. ప్రాథమికంగా ఇటువంటి తెలుగు వ్యాసాలను ఇంగ్లిష్ లో వచ్చిన శాస్త్రసాహిత్యాన్ని గానీ, శాస్త్రవిషయాలను ప్రజా బాహుళ్యానికి వివరించటానికై ఇంగ్లిష్ లో వెలయించిన సాహిత్యాన్ని గానీ అధారం చేసుకునే రాయటం జరుగుతోంది. శాస్త్రవిషయాలకు సంబంధించి ఇంగ్లిష్ కు ప్రపంచం లో ఉన్నప్రాముఖ్యతనీ ,భారతీయులకు ఇంగ్లిష్ భాష తొ ఉన్న పరిచయాన్నీ,ఇంగ్లిష్ మాటలను తెలుగులోకి డు,ము,వు,లు ల తో అచ్చమైన తెలుగు మాటలుగా మలుచుకోగలగటాన్నీ మనసులో ఉంచుకున్నట్లయితే ఇంగ్లిష్ లో ఉన్న పడికట్టు పదాలను డు,ము,వు,లు ల తో తెలుగులోకి తెచ్చేసుకోవటం, [వాటిని సంస్కృతీకరించి తెలుగు చేశాం అని అనుకోవటం కన్నా] శాస్త్రానికీ, భాషకీ ,ఆధునిక విజ్ఞాన విషయాలను మాతృభాష లో నేర్చుకుంటే వచ్చే లాభాలేవైనా ఉంటే పాఠకులు అటువంటి లాభాలను పొందే అవకాశాన్ని పెంచి వారి ఆసక్తిని పెంపొందించటానికీ, భావి రచయితలకీ యెంతో మేలుచేస్తుంది.
వాసుదేవ రావు ఎరికలపూడి