సమవర్తి గారూ,
విషయానికి అనుగుణంగా మీరు స్త్రీలను సంభోదిస్తూ వ్రాయడంలో ఔచిత్యం ఉంది. మగవాడు చదువుకుంటే, వాడొక్కడే చదువుకుంటాడు, స్త్రీ చదువుకుంటే, కుటుంబం అంతా చదువుకుంటుందని ఇంగ్లీషు సామెత. “మాతృభాష” అన్నందుకు ఏ భాషనైనా నిస్సందేహంగా తల్లులు మాత్రమే పునరిద్ధరించగలరు. కాకపోతే ఇప్పటి చిత్రమైన పరిస్థితి ఏమిటంటే, ఏ భాష మీదా ఎవరికీ అభిమానం గాని సాధికారత గాని లేవు. పాట తెలుగు ఇంటిలోంచి బయటికి పోవడానికి బదులు, బయటనుండి ఇంటిలోకి దిగుమతి అవడం ప్రారంభమయిందో, తెలుగు గొంతుకలోనే కొట్టాడి బయటకు రావడం మానేసింది. జీవిక భాషలూ, లిపి లేని లేదా చిత్రలిపుల కంప్యూటరు భాషలూ దాని నోరు నిక్కేసాయి. సంక్షిప్త సందేశాలు వచ్చేక అటు తెలుగూ లేదు, ఇటు ఇంగ్లీషూ లేక రెంటికీ చెడిన రేవడి తంతు అయింది త్రిలింగ (మరోలా రాస్తే తప్పు అర్థం చేసుకుంటారు) దేశం.
అభివాదములతో
సమస్య, పూరణ, విశ్లేషణ అన్నీ చక్కటి సౌష్టవంతో అమరాయి. ఈ రోజు ఉదయం ఈ వ్యాసం తలవని తలంపుగా చదివి నా మనసు ఎంతో ఆనందించింది.
కామేశ్వరరావు గారు చేసిన ఉపోద్ఘాతం చదువుతుంటే, ఉపోద్ఘాతమే ఇంత బావుంటే ఇంక అసలు వ్యాసం ఇంకెంత బావుంటుందో అని మొత్తం చదివేలా చేసింది.
ఇక పొతే, సమస్య తామ్బూలమన్నారు. పూరణ వడ్డించిన భోజనమన్నారు. ఏల్చూరి మురళీధర రావుగారి పద్యం, వివరణ, భోజనం తాంబూలాలతో సంతృప్తి చెందినా, ఇంక కడుపులో ఏ మాత్రము స్థలం లేక పోయిన కూడా, వదిలిపెట్టలేని ఐసుక్రీము డిసర్ట్ లాగ ఉంది.
ఈ వ్యాసం ప్రచురణ అయే ముందు సంపాదకుడు అందించిన సహాయానికి. ప్రచురణ పొందిన తరువాత పాఠకుల నుండి వచ్చిన అనూహ్యమైన స్పందన నన్ను చకితుణ్ణి చేసింది. నా వ్యాసాన్ని చదివి మెచ్చుకున్నవారందరికీ ఒకొక్క నమస్కారం; తప్పులు ఎత్తి చూపిన పాఠక వర్గానికి వెయ్యి నమస్కారాలు! కేవలం భాషానువాదానికి సంబంధించిన తప్పులని ఎత్తి చూపిన వారు కొందరైతే, గణితపరంగా, మౌలికమైన తప్పులని పట్టి, సవరించిపెట్టినవారు మరికొందరు. వీలయినంత వరకు తప్పులని సరిదిద్దేను. గణితంలోని మూల భావాలని ఇంగ్లీషు నుండి తెలుగులోనికి దింపినప్పుడు నా తెలుగులో ఇంకా వెలితి కనిపించవచ్చు. రెండు విషయాలు జ్ఞాపకం పెట్టుకోమని పాఠకలోకానికి మనవి. ఒకటి, ఇది గణితంలో నిష్ణాతులైన పండితులని ఉద్దేసించి రాసినది కాదు; సామాన్య పాఠకులకి అర్థం అయే రీతిలో పదార్థాన్ని పరిచయం చెయ్యాలని చేసిన ప్రయత్నం. రెండు, తెలుగులో ఇటువంటి వ్యాసాలు రాయడానికి ఒరవడి అంటూ ఒకటి స్థిరపడలేదు. కనుక చదువుతూన్నప్పుడు మీకు కనిపించే లొసుగులు రాస్తున్నప్పుడు నాకు కనిపించవు. ఇంకా అక్కడక్కడ తప్పులు ఉండొచ్చు. తొందరపాటుతో ఒక తప్పుని సరిచేస్తూ మరొక తప్పుని ప్రవేశపెట్టే ప్రమాదం ఉంది కనుక నెమ్మదిగా ఆలోచించి సరి చేస్తాను. అందుకని పాఠకులందరూ ఇదే నిష్టతో నా వ్యాసాలని చదివి మీమీ అమూల్య అభిప్రాయాలు తెలియజేస్తూ ఉండండి. ఈ వ్యాసాన్ని చదివి స్పందించినవారంతా ఒకొక్కరు ఒకొక్క తెలుగు వ్యాసం రాసి దీనిని నా ఒంటరి పోరాటంగా వదిలెయ్యకుండా సమష్టిగా ప్రయత్నం చేస్తే తెలుగు భాషని శాస్త్రీయ అవసరాలకి వీలుగా మలుచుకోవచ్చని నా అభిప్రాయం. ధన్యవాదాలు – వేమూరి
‘ శుద్ధగణితం ‘త్రిశుద్ధి గా ఉపయోగం లేనిదేనా! ఈ కింది మాటలు నాకు నిన్న మొన్నటి బ్రౌజింగ్ లొ కనపడినవి.
” Particular families of special functions, conceived as purely mathematical devices between the end of XVIII and the beginning of XIX centuries, have played a crucial role in the development of many aspects of modern Physics.
This is indeed the case of the Euler gamma function, ……”
‘THE EULER LEGACY TO MODERN PHYSICS’ G. Dattoli
ప్యూర్ మాథమాటిక్స్ ను నిర్వచించ వలిసి వస్తే సంస్కృత సంప్రదాయం లో కనపడే ‘ కవి కర్మ కావ్యం ‘ వంటి
‘Pure mathematics is the work of pure mathematician(s) అని చెప్పుకోవటం మేలని తోస్తుంది. ప్యూర్ మాథమటిషియన్ తన అధ్యయనానికి ఏ రకమైన ఉపయోగాన్నీ ఆశించడు/దు (కొందరు భుక్తిని గూడాఆశించరు). కానీ అతని/ఆమె కృషి ఫలితాలు వాడుకో గలిగినవారెవరైనా వాడుకోవటానికి అందుబాటులో ఉంటాయి .
వాసుదేవ రావు ఎరికలపూడి
దాదాపు తొమ్మిది నెలలు నేను మీ కామెంట్ చూడకుండా ఉన్నందుకు ముందుగా క్షమాపణలు అరుణ్ కుమార్ గారూ…. కథ అండ్ దాని మీద వచ్చిన అభిప్రాయాలు మీకు నచ్చినందుకు సంతోషంగా ఉంది. థాంక్ యు.
ఎంతో ఔదార్యంతో పద్యాలను సమీక్షించి, మనోహరములైన పురోవచనికలతో కేవలం సౌగుణ్యాన్ని మాత్రమే ఉరరీకరించి, స్మృతిమంజూషికలో ఎల్లకాలం దాచికొనదగిన సహృదయోక్తిరత్నాన్ని బహూకరించిన శ్రీ భైరవభట్ల కామేశ్వరరావు గారికి కృతజ్ఞతాంజలిపూర్వకంగా నమస్కృతిని సమర్పిస్తున్నాను.
తొలిపద్యంలోని ప్రసంగరీతిని పురస్కరించికొని పాత్రస్వభావముఖంగా వక్తృసంగతిని ఆవిష్కరించి, తద్రచనకు సార్థకతను ప్రసాదించి, సరసవిమర్శకరదీపికతో భారత భావదీపాన్ని వెలిగించిన అమృతహృదయిని డా. యెర్నేని లైలా గారి వైదుష్యరసజ్ఞతాప్రకాశానికి వేవేల జోతలు!
సువ్యాఖ్యాతలు శ్రీ కెవి శేషకుమార్ గారికి, శ్రీమాన్ తః తః గారికి ధన్యవాదాలు!
ప్రస్తావిక నిండుగా పరచికొని ఉన్న సహృద్భావానికి తోడు ‘త్రిదశేశ్వరీ’ సంజ్ఞకు శ్రీ కామేశ్వరరావు గారు కావించిన అందమైన అన్వయాన్ని బట్టి వారి భావుకతావైభవం నాకు ఎనలేని ఆశ్చర్యానందాలను కలుగజేసింది. విజయవిలాసంలోని ‘మామకాగమనవార్త’కు తాపీ ధర్మారావుగారు సరిక్రొత్త అన్వయాన్ని వివరించినప్పుడు కాశీ కృష్ణాచార్యగారు –
ఈ వ్యాసంలో ఇంకొక చిన్న కరెక్షన్ కూడా అవసరమేమో. వ్యాసం చివర్లో ఇచ్చిన అసమీకరణం కింద ఉన్న మూడో వాక్యంలో “మరెవ్వరైనా ఈ అవధిని రెండుకు కుదించగలిగితే….” అన్న చోట రెండుకు బదులు మూడు ఉండాలనుకుంటాను. (అవధి అన్న మాటని N కి సమానార్థకంగా వాడితే)
ఒకవేళ రెండు అని అనాలంటే పైన అసమీకరణంలో ఉన్న గుర్తు < బదులుగా “Less than or equal to” గుర్తును వాడాలి కదా! ఈ సిద్ధాంతం ద్వారా అవధి అనేది 70 మిలియన్లకన్నా తక్కువ అని నిరూపించబడింది కాబట్టి ట్విన్ ప్రైమ్ కంజెక్చర్ నిజం కావాలంటే రుజువు చేయబడిన అసమీకరణంలో N మూడు ఉండాలి.
వ్యాసం చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంది. ఇంత శ్రమకోర్చి వివరంగా వ్రాసినందుకు వేమూరి వారికి కృతజ్ఞతలు.
ఏ మాత్రం ఏమరిపాటుగా ఈ వ్యాసం చదివినా “ఒక అభాజ్య సంఖ్యకీ దాని తర్వాత వచ్చే అభాజ్య సంఖ్యకీ మధ్య అంతరం 70 మిలియన్లకి మించి ఉండదు” అని పొరపడే ప్రమాదం ఉంది. వ్యాసంలో అసమీకరణానికి ముందు వ్రాసిన ఇంగ్లీషు వాక్యంలో infimum అని ఉన్నా వేమూరి వారు తరవాతleast upper bound అన్న పదం వాడటం వల్ల అస్పష్టత ఏర్పడింది. (infimum ని గూగులించితే పర్యాయపదంగా greatest lower bound అనే వస్తుంది)
కామేశ్వరరావు, కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గార్ల వ్యాఖ్యలు ఈ గందరగోళాన్ని తీసివెయ్యడానికి సహాయపడ్డాయి. అయినా ఈ వ్యాసంలో అస్పష్టతకి కారణం మరొకటి ఉందనిపిస్తుంది. కొన్ని లక్షణాలకు ఒదిగే (తమ మధ్య ఓ రేంజ్ లో ఉన్న తేడాతో ఉండటం – వగైరా) ప్రధాన సంఖ్యల గురించి చెప్తూ “నిరంతర లభ్యత” అన్న విషయాన్ని గట్టిగా నొక్కి చెప్పక పోవడం వల్లే పొరపాటుకి ఆస్కారం ఏర్పడిందేమో! ‘అనంత ప్రాప్యత’ అన్నదే దీన్లో కీలక విషయమని హైలైట్ చెయ్యకపోతే పాఠకుడు చప్పున తప్పుగా అర్థం చేసుకునే ప్రమాదం ఉంది.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారు తన వ్యాఖ్యలో వ్యాసం నించి ఉటంకించిన వాక్యంలో “పైన చెప్పిన అనంతమైన శ్రేఢిలో వచ్చే” అన్న మాటలని వదిలేసి “ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య వచ్చే ఖాళీకి” అన్న దగ్గర్నించే ప్రారంభించడం గమనార్హం అనుకుంటాను. పాఠకుడు విషయాన్ని తప్పుగా అర్థం చేసుకోవడానికి ఎలా ఆస్కారం ఉందో కామేశ్వరరావు గారు వివరిస్తూ వేమూరి వారిచ్చిన అసమీకరణాన్ని ‘INF’ అనే అక్షరాలు లేకుండా వ్రాయడం (ఉటంకింపు కాకపోయినా) కూడా గమనించాలి.
వేమూరి వారి వ్యాసంలో “ఎప్పటికీ తరగకుండా దొరికే గుణం” అన్న విషయానికి ఇవ్వాల్సినంత ప్రాముఖ్యం ఇవ్వకపోవడం వల్లే ఈ అస్పష్టత ఏర్పడిందనిపిస్తోంది.
ఒక నిరి్దష్ట సంఖ్య (70 మిలియన్లో, రెండు వందల నలభై ఆరో, పదహారో) కన్నా తక్కువ అంతరం గల ప్రధాన సంఖ్యలు నిరంతరంగా, నిరవధికంగా, నిర్విరామంగా, ఎడతెగకుండా, సదా, సర్వదా, అనంతంగా సంఖ్యారేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్ళినా దొరుకుతూనే ఉంటాయని చెప్పే సిద్ధాంతం ఇది. ఈ లక్షణాలకు ఒదిగే ప్రధాన సంఖ్యల లభ్యతకు అంతు లేదు అని పర్యాయపదాలు వాడుతూ చెప్తే గాని ఇలాంటి విషయాలు చక్కగా అర్థం కావేమో- గణితంలో శిక్షణ లేకుండా కేవలం క్యూరియాసిటీతో మాత్రమే ఇలాంటి వ్యాసాలు చదివే నాలాంటి పాఠకులకి.
ఈ సిద్ధాంతానికి “అనంత ప్రాప్యత గల జంట ప్రధాన సంఖ్యల అంతరపు మేరని చెప్పే సిద్ధాంతం” లేదా “నిర్దిష్టాంతర ప్రధాన సంఖ్యల నిరంతర లభ్యతా సిద్ధాంతం” లాంటివి శీర్షికలుగా ఉంటే బాగుంటుందేమో.
ఇంకొక చిన్న అచ్చు తప్పు లాంటి దోషం వ్యాసంలో ఉంది. “ 2. ప్రధాన అభాజ్య సంఖ్యలు” అన్న ఉపశీర్షిక కింద రెండో పేరాలో ఉన్న “ప్రధాన సంఖ్యలలో ప్రత్యేక లక్షణాలు ….” అని మొదలయ్యే వాక్యంలో “ప్రధాన సంఖ్యలలో” అన్న మాటలు తీసివేయాలి. లేకపోతే ‘6’ లాంటి పరిపూర్ణ సంఖ్య – ప్రధాన సంఖ్య అన్నట్లుగా తోచే ప్రమాదం ఉంది – మొదటిసారిగా ఇలాంటి విషయాలు చదివే ప్రయత్నం చేస్తున్న వాళ్ళకి.
వేడికోలు గురించి ns murty అభిప్రాయం:
07/24/2015 1:48 am
సమవర్తి గారూ,
విషయానికి అనుగుణంగా మీరు స్త్రీలను సంభోదిస్తూ వ్రాయడంలో ఔచిత్యం ఉంది. మగవాడు చదువుకుంటే, వాడొక్కడే చదువుకుంటాడు, స్త్రీ చదువుకుంటే, కుటుంబం అంతా చదువుకుంటుందని ఇంగ్లీషు సామెత. “మాతృభాష” అన్నందుకు ఏ భాషనైనా నిస్సందేహంగా తల్లులు మాత్రమే పునరిద్ధరించగలరు. కాకపోతే ఇప్పటి చిత్రమైన పరిస్థితి ఏమిటంటే, ఏ భాష మీదా ఎవరికీ అభిమానం గాని సాధికారత గాని లేవు. పాట తెలుగు ఇంటిలోంచి బయటికి పోవడానికి బదులు, బయటనుండి ఇంటిలోకి దిగుమతి అవడం ప్రారంభమయిందో, తెలుగు గొంతుకలోనే కొట్టాడి బయటకు రావడం మానేసింది. జీవిక భాషలూ, లిపి లేని లేదా చిత్రలిపుల కంప్యూటరు భాషలూ దాని నోరు నిక్కేసాయి. సంక్షిప్త సందేశాలు వచ్చేక అటు తెలుగూ లేదు, ఇటు ఇంగ్లీషూ లేక రెంటికీ చెడిన రేవడి తంతు అయింది త్రిలింగ (మరోలా రాస్తే తప్పు అర్థం చేసుకుంటారు) దేశం.
అభివాదములతో
నాకు నచ్చిన పద్యం: రెండు అందమైన పద్యశిల్పాలు గురించి balamurali krishna అభిప్రాయం:
07/23/2015 10:50 am
సమస్య, పూరణ, విశ్లేషణ అన్నీ చక్కటి సౌష్టవంతో అమరాయి. ఈ రోజు ఉదయం ఈ వ్యాసం తలవని తలంపుగా చదివి నా మనసు ఎంతో ఆనందించింది.
కామేశ్వరరావు గారు చేసిన ఉపోద్ఘాతం చదువుతుంటే, ఉపోద్ఘాతమే ఇంత బావుంటే ఇంక అసలు వ్యాసం ఇంకెంత బావుంటుందో అని మొత్తం చదివేలా చేసింది.
ఇక పొతే, సమస్య తామ్బూలమన్నారు. పూరణ వడ్డించిన భోజనమన్నారు. ఏల్చూరి మురళీధర రావుగారి పద్యం, వివరణ, భోజనం తాంబూలాలతో సంతృప్తి చెందినా, ఇంక కడుపులో ఏ మాత్రము స్థలం లేక పోయిన కూడా, వదిలిపెట్టలేని ఐసుక్రీము డిసర్ట్ లాగ ఉంది.
బాల మురళి క్రిష్ణ గోపరాజు
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి Brahmanandam Gorti అభిప్రాయం:
07/22/2015 7:48 pm
కంప్యూటర్ ప్రొగ్రామింగ్ చేసే వాళ్ళకి ఈ Prime Numbers తరచుగా తారసపడుతూనే ఉంటాయి. ముఖ్యంగా ఇంటర్వూల్లో.
మొదటిది: ఇదే ఇట్టే రాసేస్తారు. దాని వెంబడే మరోటి.
prime numbers కనుక్కునే ఒక ఫంక్షన్ రాయి; 1 నుండి 1000 వరకూ.
రెండోది: మొదటి దాని తోక. ఇది చాలా పెద్దదీ. ఇంటర్వూకొచ్చినవాడి తాట తీసేది.
మొదట రాసిన ఫంక్షను లో వెయ్యి బదులు అనంతం (infinity) అయితే ఈ ఫంక్షన్ పని చేస్తుందా? పనిచేయకపోతే నువ్వు ఎలా సాధిస్తావు?
పై రెండు అయ్యాక మరో తోక ప్రశ్న: Fibonacci series సాధించే ఒక చిన్న ప్రోగ్రాము రాయి.
ఈ మూడింటితో వాళ్ళకి ప్రొగ్రామింగ్ వచ్చో రాదో పట్టేయచ్చు. ఈ మధ్య కంప్యూటర్ టెక్నాలజీలో తరచు వినిపించే ఊత పదం: Big Data. ఇందులో లెక్కల గోల చాల ఉంటుంది.
-బ్రహ్మనందం గొర్తి
అమ్మాయిని అమెరికా ఇస్తున్నాం గురించి sudarshan అభిప్రాయం:
07/22/2015 7:10 am
అంతా మాయ.
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి Rao Vemuri అభిప్రాయం:
07/21/2015 5:30 pm
కృతజ్ఞతలు:
ఈ వ్యాసం ప్రచురణ అయే ముందు సంపాదకుడు అందించిన సహాయానికి. ప్రచురణ పొందిన తరువాత పాఠకుల నుండి వచ్చిన అనూహ్యమైన స్పందన నన్ను చకితుణ్ణి చేసింది. నా వ్యాసాన్ని చదివి మెచ్చుకున్నవారందరికీ ఒకొక్క నమస్కారం; తప్పులు ఎత్తి చూపిన పాఠక వర్గానికి వెయ్యి నమస్కారాలు! కేవలం భాషానువాదానికి సంబంధించిన తప్పులని ఎత్తి చూపిన వారు కొందరైతే, గణితపరంగా, మౌలికమైన తప్పులని పట్టి, సవరించిపెట్టినవారు మరికొందరు. వీలయినంత వరకు తప్పులని సరిదిద్దేను. గణితంలోని మూల భావాలని ఇంగ్లీషు నుండి తెలుగులోనికి దింపినప్పుడు నా తెలుగులో ఇంకా వెలితి కనిపించవచ్చు. రెండు విషయాలు జ్ఞాపకం పెట్టుకోమని పాఠకలోకానికి మనవి. ఒకటి, ఇది గణితంలో నిష్ణాతులైన పండితులని ఉద్దేసించి రాసినది కాదు; సామాన్య పాఠకులకి అర్థం అయే రీతిలో పదార్థాన్ని పరిచయం చెయ్యాలని చేసిన ప్రయత్నం. రెండు, తెలుగులో ఇటువంటి వ్యాసాలు రాయడానికి ఒరవడి అంటూ ఒకటి స్థిరపడలేదు. కనుక చదువుతూన్నప్పుడు మీకు కనిపించే లొసుగులు రాస్తున్నప్పుడు నాకు కనిపించవు. ఇంకా అక్కడక్కడ తప్పులు ఉండొచ్చు. తొందరపాటుతో ఒక తప్పుని సరిచేస్తూ మరొక తప్పుని ప్రవేశపెట్టే ప్రమాదం ఉంది కనుక నెమ్మదిగా ఆలోచించి సరి చేస్తాను. అందుకని పాఠకులందరూ ఇదే నిష్టతో నా వ్యాసాలని చదివి మీమీ అమూల్య అభిప్రాయాలు తెలియజేస్తూ ఉండండి. ఈ వ్యాసాన్ని చదివి స్పందించినవారంతా ఒకొక్కరు ఒకొక్క తెలుగు వ్యాసం రాసి దీనిని నా ఒంటరి పోరాటంగా వదిలెయ్యకుండా సమష్టిగా ప్రయత్నం చేస్తే తెలుగు భాషని శాస్త్రీయ అవసరాలకి వీలుగా మలుచుకోవచ్చని నా అభిప్రాయం. ధన్యవాదాలు – వేమూరి
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి వాసుదేవ రావు ఎరికలపూడి అభిప్రాయం:
07/21/2015 2:02 pm
‘ శుద్ధగణితం ‘త్రిశుద్ధి గా ఉపయోగం లేనిదేనా! ఈ కింది మాటలు నాకు నిన్న మొన్నటి బ్రౌజింగ్ లొ కనపడినవి.
” Particular families of special functions, conceived as purely mathematical devices between the end of XVIII and the beginning of XIX centuries, have played a crucial role in the development of many aspects of modern Physics.
This is indeed the case of the Euler gamma function, ……”
‘THE EULER LEGACY TO MODERN PHYSICS’ G. Dattoli
ప్యూర్ మాథమాటిక్స్ ను నిర్వచించ వలిసి వస్తే సంస్కృత సంప్రదాయం లో కనపడే ‘ కవి కర్మ కావ్యం ‘ వంటి
‘Pure mathematics is the work of pure mathematician(s) అని చెప్పుకోవటం మేలని తోస్తుంది. ప్యూర్ మాథమటిషియన్ తన అధ్యయనానికి ఏ రకమైన ఉపయోగాన్నీ ఆశించడు/దు (కొందరు భుక్తిని గూడాఆశించరు). కానీ అతని/ఆమె కృషి ఫలితాలు వాడుకో గలిగినవారెవరైనా వాడుకోవటానికి అందుబాటులో ఉంటాయి .
వాసుదేవ రావు ఎరికలపూడి
విముక్తం గురించి Radha అభిప్రాయం:
07/21/2015 3:30 am
దాదాపు తొమ్మిది నెలలు నేను మీ కామెంట్ చూడకుండా ఉన్నందుకు ముందుగా క్షమాపణలు అరుణ్ కుమార్ గారూ…. కథ అండ్ దాని మీద వచ్చిన అభిప్రాయాలు మీకు నచ్చినందుకు సంతోషంగా ఉంది. థాంక్ యు.
నాకు నచ్చిన పద్యం: రెండు అందమైన పద్యశిల్పాలు గురించి ఏల్చూరి మురళీధరరావు అభిప్రాయం:
07/20/2015 1:55 pm
_/|\_
ఎంతో ఔదార్యంతో పద్యాలను సమీక్షించి, మనోహరములైన పురోవచనికలతో కేవలం సౌగుణ్యాన్ని మాత్రమే ఉరరీకరించి, స్మృతిమంజూషికలో ఎల్లకాలం దాచికొనదగిన సహృదయోక్తిరత్నాన్ని బహూకరించిన శ్రీ భైరవభట్ల కామేశ్వరరావు గారికి కృతజ్ఞతాంజలిపూర్వకంగా నమస్కృతిని సమర్పిస్తున్నాను.
తొలిపద్యంలోని ప్రసంగరీతిని పురస్కరించికొని పాత్రస్వభావముఖంగా వక్తృసంగతిని ఆవిష్కరించి, తద్రచనకు సార్థకతను ప్రసాదించి, సరసవిమర్శకరదీపికతో భారత భావదీపాన్ని వెలిగించిన అమృతహృదయిని డా. యెర్నేని లైలా గారి వైదుష్యరసజ్ఞతాప్రకాశానికి వేవేల జోతలు!
సువ్యాఖ్యాతలు శ్రీ కెవి శేషకుమార్ గారికి, శ్రీమాన్ తః తః గారికి ధన్యవాదాలు!
ప్రస్తావిక నిండుగా పరచికొని ఉన్న సహృద్భావానికి తోడు ‘త్రిదశేశ్వరీ’ సంజ్ఞకు శ్రీ కామేశ్వరరావు గారు కావించిన అందమైన అన్వయాన్ని బట్టి వారి భావుకతావైభవం నాకు ఎనలేని ఆశ్చర్యానందాలను కలుగజేసింది. విజయవిలాసంలోని ‘మామకాగమనవార్త’కు తాపీ ధర్మారావుగారు సరిక్రొత్త అన్వయాన్ని వివరించినప్పుడు కాశీ కృష్ణాచార్యగారు –
కవికిన్ గల్గునొ? గల్గదో? యనెడు శంకన్ గల్గఁగాఁ జేయు న
ర్థవిశేషంబులు చేమకూరకవి పద్యంబందుఁ జూపించినా
వవురా! మెచ్చితి “మామకాగమనవా”ర్తాఖ్యస్థలంబందు నీ
వివృతిం; బొంగితి నీదు చాతురికి తాపీవంశముక్తామణీ!
అని చెప్పిన పద్యాన్ని పదేపదే గుర్తుకు తెచ్చింది. ధన్యధన్యోస్మి!
సప్రశ్రయంగా,
ఏల్చూరి మురళీధరరావు
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి Raja Piduri అభిప్రాయం:
07/20/2015 9:23 am
ఈ వ్యాసంలో ఇంకొక చిన్న కరెక్షన్ కూడా అవసరమేమో. వ్యాసం చివర్లో ఇచ్చిన అసమీకరణం కింద ఉన్న మూడో వాక్యంలో “మరెవ్వరైనా ఈ అవధిని రెండుకు కుదించగలిగితే….” అన్న చోట రెండుకు బదులు మూడు ఉండాలనుకుంటాను. (అవధి అన్న మాటని N కి సమానార్థకంగా వాడితే)
ఒకవేళ రెండు అని అనాలంటే పైన అసమీకరణంలో ఉన్న గుర్తు < బదులుగా “Less than or equal to” గుర్తును వాడాలి కదా! ఈ సిద్ధాంతం ద్వారా అవధి అనేది 70 మిలియన్లకన్నా తక్కువ అని నిరూపించబడింది కాబట్టి ట్విన్ ప్రైమ్ కంజెక్చర్ నిజం కావాలంటే రుజువు చేయబడిన అసమీకరణంలో N మూడు ఉండాలి.
రాజా పిడూరి
ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు గురించి Raja Piduri అభిప్రాయం:
07/20/2015 3:47 am
వ్యాసం చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంది. ఇంత శ్రమకోర్చి వివరంగా వ్రాసినందుకు వేమూరి వారికి కృతజ్ఞతలు.
ఏ మాత్రం ఏమరిపాటుగా ఈ వ్యాసం చదివినా “ఒక అభాజ్య సంఖ్యకీ దాని తర్వాత వచ్చే అభాజ్య సంఖ్యకీ మధ్య అంతరం 70 మిలియన్లకి మించి ఉండదు” అని పొరపడే ప్రమాదం ఉంది. వ్యాసంలో అసమీకరణానికి ముందు వ్రాసిన ఇంగ్లీషు వాక్యంలో infimum అని ఉన్నా వేమూరి వారు తరవాతleast upper bound అన్న పదం వాడటం వల్ల అస్పష్టత ఏర్పడింది. (infimum ని గూగులించితే పర్యాయపదంగా greatest lower bound అనే వస్తుంది)
కామేశ్వరరావు, కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గార్ల వ్యాఖ్యలు ఈ గందరగోళాన్ని తీసివెయ్యడానికి సహాయపడ్డాయి. అయినా ఈ వ్యాసంలో అస్పష్టతకి కారణం మరొకటి ఉందనిపిస్తుంది. కొన్ని లక్షణాలకు ఒదిగే (తమ మధ్య ఓ రేంజ్ లో ఉన్న తేడాతో ఉండటం – వగైరా) ప్రధాన సంఖ్యల గురించి చెప్తూ “నిరంతర లభ్యత” అన్న విషయాన్ని గట్టిగా నొక్కి చెప్పక పోవడం వల్లే పొరపాటుకి ఆస్కారం ఏర్పడిందేమో! ‘అనంత ప్రాప్యత’ అన్నదే దీన్లో కీలక విషయమని హైలైట్ చెయ్యకపోతే పాఠకుడు చప్పున తప్పుగా అర్థం చేసుకునే ప్రమాదం ఉంది.
కొడవళ్ళ హనుమంతరావు గారు తన వ్యాఖ్యలో వ్యాసం నించి ఉటంకించిన వాక్యంలో “పైన చెప్పిన అనంతమైన శ్రేఢిలో వచ్చే” అన్న మాటలని వదిలేసి “ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య వచ్చే ఖాళీకి” అన్న దగ్గర్నించే ప్రారంభించడం గమనార్హం అనుకుంటాను. పాఠకుడు విషయాన్ని తప్పుగా అర్థం చేసుకోవడానికి ఎలా ఆస్కారం ఉందో కామేశ్వరరావు గారు వివరిస్తూ వేమూరి వారిచ్చిన అసమీకరణాన్ని ‘INF’ అనే అక్షరాలు లేకుండా వ్రాయడం (ఉటంకింపు కాకపోయినా) కూడా గమనించాలి.
వేమూరి వారి వ్యాసంలో “ఎప్పటికీ తరగకుండా దొరికే గుణం” అన్న విషయానికి ఇవ్వాల్సినంత ప్రాముఖ్యం ఇవ్వకపోవడం వల్లే ఈ అస్పష్టత ఏర్పడిందనిపిస్తోంది.
ఒక నిరి్దష్ట సంఖ్య (70 మిలియన్లో, రెండు వందల నలభై ఆరో, పదహారో) కన్నా తక్కువ అంతరం గల ప్రధాన సంఖ్యలు నిరంతరంగా, నిరవధికంగా, నిర్విరామంగా, ఎడతెగకుండా, సదా, సర్వదా, అనంతంగా సంఖ్యారేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్ళినా దొరుకుతూనే ఉంటాయని చెప్పే సిద్ధాంతం ఇది. ఈ లక్షణాలకు ఒదిగే ప్రధాన సంఖ్యల లభ్యతకు అంతు లేదు అని పర్యాయపదాలు వాడుతూ చెప్తే గాని ఇలాంటి విషయాలు చక్కగా అర్థం కావేమో- గణితంలో శిక్షణ లేకుండా కేవలం క్యూరియాసిటీతో మాత్రమే ఇలాంటి వ్యాసాలు చదివే నాలాంటి పాఠకులకి.
ఈ సిద్ధాంతానికి “అనంత ప్రాప్యత గల జంట ప్రధాన సంఖ్యల అంతరపు మేరని చెప్పే సిద్ధాంతం” లేదా “నిర్దిష్టాంతర ప్రధాన సంఖ్యల నిరంతర లభ్యతా సిద్ధాంతం” లాంటివి శీర్షికలుగా ఉంటే బాగుంటుందేమో.
ఇంకొక చిన్న అచ్చు తప్పు లాంటి దోషం వ్యాసంలో ఉంది. “ 2. ప్రధాన అభాజ్య సంఖ్యలు” అన్న ఉపశీర్షిక కింద రెండో పేరాలో ఉన్న “ప్రధాన సంఖ్యలలో ప్రత్యేక లక్షణాలు ….” అని మొదలయ్యే వాక్యంలో “ప్రధాన సంఖ్యలలో” అన్న మాటలు తీసివేయాలి. లేకపోతే ‘6’ లాంటి పరిపూర్ణ సంఖ్య – ప్రధాన సంఖ్య అన్నట్లుగా తోచే ప్రమాదం ఉంది – మొదటిసారిగా ఇలాంటి విషయాలు చదివే ప్రయత్నం చేస్తున్న వాళ్ళకి.
రాజా పిడూరి