1. ఉపోద్ఘాతం

పైసా ఖర్చు లేకుండా మిలియన్ డాలర్లు సంపాదించే ఉపాయం చెబుతాను, వింటారా?

అంత తేలికైతే నువ్వే ఆ ఉపాయం వాడుకోవచ్చు కదా? అని మీరడగచ్చు.

తేలిక అనలేదు. ‘పైసా ఖర్చు లేకుండా’ అన్నాం. లాటరీ టికెట్టు కొనక్కరలేదు, వేగస్ వెళ్ళి వేలు తగలేసుకు రానక్కరలేదు. కడుపులో చల్ల కదలకుండా ఇంట్లో కూర్చుని సంపాదించే ఉపాయం. చెప్పమన్నారా? అయితే వినండి. రీమాన్ ఉటంకించిన శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) ఒప్పే అని రుజువు చేస్తే క్లే మేథమేటికల్ ఇన్స్టిట్యూట్ (Clay Mathematical Institute) వారు బిళ్ళ కుడుముల్లాంటి మిలియను డాలర్లు పట్టుకొచ్చి ఒళ్ళో పోస్తామని 2000లో ప్రకటన చేసేరు.

ఇక్కడ శిష్టాభిప్రాయం అనే కొత్త మాట వాడేను – పొందికైన, శాస్త్రానుగుణమైన ఊహ, అని అభిప్రాయం. ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం?

జీటా ప్రమేయం (zeta function) యొక్క శూన్యాలు లేదా సున్నాలు (zeros), లేదా మూలాలు (roots) అన్నీ (నిజ, రుణ రేఖ మీద కనబడే సాధారణ మూలాలని మినహాయించి) సంకీర్ణ లేదా జంట తలంలో (అనగా, complex planeలో) x = ½ అనే రేఖ మీదే గుమిగూడి ఉన్నాయి —

అని రుజువు చెయ్యాలి. ఇది నిజమే సుమా అని రీమాన్ ఒక అమూల్య అభిప్రాయం వెలిబుచ్చేడు, రుజువు చెయ్యకుండా! మనకి ఇప్పుడు ఆ రుజువు కావాలి. ఈ అభిప్రాయం నిజమే అని రుజువు చేసిన వారికి మిలియను డాలర్లు బహుమానం ఇచ్చేస్తారు. అంతటితో పురస్కార పరంపర ఆగిపోదు. ఏదో పెద్ద విశ్వవిద్యాలయం వారు ఆచార్య పదవి అంటగడతారు. ‘నీ తెలివిని, నా అందాన్ని పుణికిపుచ్చుకుని పిల్లలు పుట్టొచ్చు కదా’ అని హా(బా)లివుడ్ తార పెళ్ళి ప్రతిపాదిస్తే, మిలియను డాలర్లతో పాటు స్వర్గ ద్వారాలు కూడ తెరుచుకోవచ్చు!

సమస్య చెప్పేసి పారిపోతే ఏం మర్యాదగా ఉంటుంది? పరిష్కారానికి దారి కూడ చూపాలి కదా! ఏ పుట్టలో ఏ పాము ఉందో?

1. హిల్బర్ట్ అభిప్రాయం

ఏ సంఖ్య అయినా 1 చేత, తన చేత తప్ప మరే ఇతర సంఖ్య చేత నిశ్శేషంగా భాగహారానికి లొంగక పోతే ఆ సంఖ్యని ప్రధాన సంఖ్య అంటారు (1ని మినహాయించి.) కనుక 2, 3, 5, 7, 11, 13 వగైరాలు అన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలకి ఉదాహరణలు అని చెప్పి ప్రారంభిస్తాను. ఇక్కడ నుండి అంచెలంచెల మీద లోతుకి తీసుకు వెళతాను. గణితంలో సంప్రదాయికంగా వాడే సంకేతాలతో పరిచయం ఒక మోతాదు, కలన గణితంతో పరిచయం ఒక మోతాదు, ఇనుమడించిన ఉత్సాహం ఒక మోతాదు ఉంటే ఇక్కడ చెప్పేది అర్థం చేసుకుందుకి పెద్దగా పాండిత్యం అక్కరలేదు. సమస్య అర్థం అయిన తరువాత, దానిని పరిష్కరించి, మిలియను డాలర్లు కొట్టేయడానికి కొంచెం లోతుగానే పాండిత్యం ఉండాలి – ఎందుకంటే ఇది చాల జటిలమైన సమస్య; అంత తేలికగా లొంగదు. బొమ్మ.1 రీమాన్ వెలిబుచ్చిన శిష్టాభిప్రాయం యొక్క ప్రాముఖ్యతని గుర్తిస్తూ డేవిడ్ హిల్బర్ట్(David Hilbert) ఉటంకించిన అభిప్రాయం.(రీమాన్ వాడిన హైపాథసిస్ అన్న మాట ఇక్కడ వాడుతున్న కంజెక్చర్ అన్న మాట దరిదాపుగా సమానార్థకాలే.)

2. చారిత్రక నేపథ్యం

శ్రీమాన్ రీమాన్ గురించి ఒక మాట. గెయార్క్ ఫ్రీడ్రిక్ బేర్న్‌హార్ట్ రీమాన్ (Georg Friedrich Bernhard Riemann, September 17, 1826 – July 20, 1866) తన 28వ ఏట, అనగా 1854లో, చేసిన ప్రసంగాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని ఐన్‌స్టయిన్ తన సార్వత్రిక సాపేక్ష సిద్ధాంతం (General Theory of Relativity) అనే మహా సౌధాన్ని లేవనెత్తేడు. గణితంలో రీమాన్ అంతటి దిట్ట. అదే వ్యక్తి అయిదేళ్ళు పోయిన తరువాత, 1859లో కేవలం పది పుటలు పొడుగున్న ఒక పరిశోధనా పత్రాన్ని ప్రచురించి గణిత ప్రపంచాన్ని అదరగొట్టేడు. ఆ పత్రంలోనే ఆయన తన శిష్టాభిప్రాయాన్ని వెలిబుచ్చేడు. చిత్రం ఏమిటంటే సంఖ్యాశాస్త్రంలో (Number Theory) ఆయన రాసిన ఏకైక పరిశోధనా పత్రం ఇది.

2. బేర్న్‌హార్ట్ రీమాన్

అప్పటికే ఎంతో పేరు మోసిన ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతం (The Prime Number Theorem) మీద ఈ శిష్టాభిప్రాయం ఎంతో ప్రభావం చూపడం వల్ల, ఈ సమస్యని పరిష్కరించవలసిన అవసరం కీలకం అయి కూర్చుంది. ఈ ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి పెద్ద ప్రవరే ఉంది. ఇచ్చిన ఒక ‘సరిహద్దు’ సంఖ్య xని మించకుండా ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో ఊహించి ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సిద్ధాంతం. ఈ ఉరమర మద్దింపుకి ఏడ్రియెన్ లెజాండర్ (Adrien-Marie Legendre) ఒక సూత్రాన్ని ఇస్తే దానిని కాసింత మెరుగు పరచి ఫ్రీడ్రిక్ గౌస్ (Johann Carl Friedrich Gauss) తన 18వ ఏట మరొక సూత్రాన్ని ప్రవచించేడు. నిజరేఖ (real line) మీద ఒక హద్దుని ఇస్తే, ఆ హద్దుని మించకుండా ఆ రేఖ మీద ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయో ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సూత్రం. గౌస్ అంచనాని మరింత మెరుగు పరచి రీమాన్ (గౌస్ శిష్యుడు) మరొక సూత్రం ఇచ్చేడు. ఈ సూత్రం పని చేస్తున్నట్లే ఉంది కాని పునాదులు ఎంత దిట్టంగా ఉన్నాయో తెలియదు. పునాదులు దిట్టంగా ఉండాలంటే రీమాన్ వెలిబుచ్చిన శిష్టాభిప్రాయం నిజం అవాలి. అప్పుడు ఉరమర లెక్కలో దోషం (error) ఎంత ఉందో లెక్క కట్టవచ్చు.

ముందుకి కదిలే ముందు, ఇక్కడ మనకి కావలసిన అవసరాల మేరకి, ప్రమేయం (function) అంటే ఏమిటో చెప్పనివ్వండి. ప్రమేయం ఒక పెట్టె లాంటిది. ఈ పెట్టెకి ఒక పేరు ఉంటే బాగుంటుంది కదా. సర్వసాధారణంగా, ఇంగ్లీషు ప్రపంచంలో, ఇటువంటి పెట్టెకి f అనే పేరు పెడతారు. ఈ పెట్టె లోనికి మనం x అనే అంశాన్ని పంపితే ఈ పెట్టె మరొక అంశాన్ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది – అది ఈ పెట్టె లక్షణం. ఈ ప్రక్రియని గణిత పరిభాషలో f(x) అని రాస్తారు. అంటే – f అనే పెట్టెలోకి x అనే సంఖ్యని పంపితే బయటకి f(x) అనే సంఖ్య వస్తుంది – అని అర్థం. ప్రమేయం గురించి ఇంతకంటె లోతుగా తెలుసుకోవలసిన అవసరం లేదు.

ఇప్పుడు లెజాండర్-గౌస్ నిర్మించిన సూత్రాన్ని వాడడం ఎలాగో చూద్దాం. ఉదాహరణగా x అనే హద్దు పెడదాం. ఈ xని మించకుండా ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయో ఆ సంఖ్యని n(x) అనే ప్రమేయంతో సూచిద్దాం. దిగువ పట్టిక చూడండి. ఈ n(x) ఉరమరగా x/ ln x అంత ఉంటుంది అన్నాడు లెజాండర్. మచ్చుకి x = 100 అయితే, 100/ ln 100 = 21.7 కనుక 100 లోపున ఉరమరగా 22 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయని ఈ సూత్రం అంచనా వేస్తోంది. నిజానికి 100 లోపున 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (లెక్క వేసి చూసుకొండి). కనుక ఈ అంచనాలో దోషం 22 – 25 లేదా 3శాతం. మరొక మచ్చుగా, హద్దు x = 1,000,000,000 అయితే మన అంచనా 10⁹/ ln 10⁹ = 48,254,942. నిజానికి బిలియను హద్దు లోపున 50,847,534 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (ఇది మీరు లెక్క వేసి చూసుకోలేరు కాబట్టి నా మాట నమ్మండి.) కనుక లెజాండర్ అంచనాలో దోషం 48,254,942 – 50,847,534 = -2,592,592 లేదా 2,592,592 / 1,000,000,000x 100 = 0.25శాతం. ఈ లెజాండర్ లెక్కని గౌస్ మెరుగు పరచేడు. నిజ రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ గౌస్ అంచనా మెరుగవుతుంది. ఇదే లెక్కని రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం చెప్పిన పద్ధతిలో చేస్తే దోషం ఎంత ఉంటుందో కూడ ఈ దిగువ పట్టికలో చూడవచ్చు.

x	n(x)	లెజాండర్ దోషం	గౌస్ దోషం	రీమాన్ దోషం
10	4	0	2	–
102	25	-3	5	1
103	168	-23	10	0
106	78498	-6116	130	29
109	50847534	-2592592	1701	-79

రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయమే రుజువయితే, రీమాన్ ఇచ్చిన సూత్రసమీకరణాలు (formulae) ఉపయోగించినప్పుడు – అనగా, ఉదాహరణకి, పది కోట్ల లోపు ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి? పదివేల నూటపదహారవ ప్రధాన సంఖ్య ఏది? వంటి ప్రశ్నలకి జవాబులు లెక్క కట్టినప్పుడు – మనకి ఆమోదయోగ్యమైన దోషాలకి లోబడే జవాబులు వస్తున్నాయని నూటికి నూరు శాతం నమ్మవచ్చు. అదీ రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం ప్రాముఖ్యతకి కారణం.

ఈ శిష్టాభిప్రాయం ఒక అభిప్రాయంలా ఉండిపోయింది; పకడ్బందీగా ఉన్న రుజువు లేక ఒక సిద్దాంతం స్థాయికి ఎదగలేదు. అయితేనేం? గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ అభిప్రాయం నిజమే అయి ఉంటుందని ఎంతగా నమ్ముతున్నారంటే దరిదాపు 500 సిద్ధాంతాలు (theorems) ‘రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయమే కాని నిజమయితే…’ అంటూ మొదలవుతాయిట. కనుక ఈ శిష్టాభిప్రాయానికి కాని రుజువు సంపాదించగలిగితే ఒక్క దెబ్బలో వందలకొద్దీ సిద్దాంతాలని రుజువు చేసెయ్యవచ్చు. అనగా, పునాదులు లేకుండా గాలిలో కట్టేస్తున్న మేడలకి పునాదులు నిర్మించడం అన్న మాట.

మరొక ఆసక్తికరమైన కోణం ఉంది. రీమాన్ అభిప్రాయం నిజమా కాదా అనే విషయం కన్న (ఇది నిజమే అయుంటుందని అందరూ నమ్మేస్తున్నారు కాబట్టి) దీన్ని రుజువు చేసే ప్రక్రియ అంటూ ఉండుంటే ఆ ప్రక్రియ, ఆ పద్ధతి (సిద్ధాంతం రుజువు మాట దేవుడెరుగు) గణితశాస్త్రపు లోతులలో ఉండే ఒక మౌలికమైన ‘దర్శనం’ లాంటిది అవుతుందని శాస్త్రవేత్తలు విశ్వసిస్తున్నారు. అప్పుడు ఆ దారి వెంబడి వెళితే ఎన్నో నూతన అంశాలని ఆవిష్కరించడానికి వీలు అవుతుందనీ వారి ఆశ. ఉదాహరణకి, ఎంత పెద్ద సంఖ్యకి అయినా ప్రధాన భాజకాలు (prime factors) కనుక్కోవడమనే చాల కష్టమైన పని సుళువు అవుతుందని ఒక ఆశ. అప్పుడు కంప్యూటర్ రంగంలో రహస్య లిపిలో దత్తాంశాలని పంపే పద్ధతులలో మౌలికమైన మార్పులు రావచ్చు.

3. రీమాన్ జీటా ప్రమేయం

ఇప్పుడు మళ్ళా మన ప్రమేయం అనే పెట్టె వద్దకి వద్దాం. సర్వసాధారణంగా పెట్టె లోపల ఏమి జరుగుతోందో చెప్పడానికి ఒక సమీకరణం వాడతారు. ఉదాహరణకి f(x) = x² అని చెప్పేమనుకుందాం. దీని అర్థం ఏమిటంటే పెట్టెలోకి xని పంపితే, పెట్టె x²ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది. ఇంకా వివరంగా చెప్పాలంటే x = 1 అయితే పెట్టె బయటకి 1² = 1 వస్తుంది, x = 2 అయితే పెట్టె బయటకి 2² = 4 వస్తుంది, x = 3 అయితే పెట్టె బయటకి 3² = 9 వస్తుంది. పెట్టె లోపలికి నిజ సంఖ్యలే వెళ్ళనక్కర లేదు; కాల్పనిక సంఖ్యలు (imaginary numbers) కూడ వెళ్ళవచ్చు; x = i అనే కాల్పనిక సంఖ్య అయితే పెట్టె బయటకి i² = -1 అనే నిజ సంఖ్య వస్తుంది.

రీమాన్ తను వాడిన ప్రమేయానికి జీటా ఫంక్షన్ ζ(s) అని పేరు పెట్టేడు. ఈ వింత ఆకారంలో ఉన్న అక్షరం గ్రీకు భాషలోని జీటా (ఇది దంత్య జ: ౙ) అనే అక్షరం. ఇక్కడ s అనేది జంట సంఖ్యని (complex number) సూచిస్తుంది. కనుక ఈ జీటా ఫంక్షన్ అనే పెట్టె లోకి a + bi అనే జంట సంఖ్యని పంపితే బయటకి c + di అనే మరొక జంట సంఖ్య వస్తుంది. కొద్ది సేపట్లో రీమాన్ పేరు మీదుగా ఉన్న ఈ జీటా ఫంక్షన్ రూపం రాసి చూపెడతాను. రీమాన్‌కి ముందు ఆయ్‌లర్ (Euler) ఇదే రకం ప్రమేయాన్ని వాడి ఉన్నాడు; ఆయ్‌లర్ ప్రమేయంలో చలనరాశి ఎల్లప్పుడూ నిజ సంఖ్య (real number) x మాత్రమే. ఈ తేడా నొక్కి వక్కాణించడానికి ఆయ్‌లర్ వాడిన ప్రమేయాన్ని Z(x) అని రాస్తారు. ఆయ్‌లర్ Z వాడేడు కనుక రీమాన్ ζ వాడి ఉంటాడు. జీటా ప్రమేయం ζ(s)లో s విలువ జంట సంఖ్య (complex number.) ఈ చరిత్రని పురస్కరించుకుని రీమాన్ జీటా ప్రమేయాన్ని ఆయ్‌లర్-రీమాన్ జీటా ప్రమేయం అని కూడ అంటారు. ఇటుపైన, సౌలభ్యం కొరకు, Z(x) – ζ(s)ల మధ్య ఉన్న తేడా – మౌలికమైనదే అయినా – పట్టించుకోకుండా కథ నడిపిద్దాం. (గణితలోక పండితులు మనలను క్షమింతురు గాక!)