అంకెలు-సంఖ్యలు: రామానుజన్ నుండి భార్గవ దాకా

దారిన పోయే దానయ్యని ఆపి ‘అయిన్‌స్టయిన్ ఏమిటి చేసేడయా?’ అని అడిగితే మూడొంతులు సరైన సమాధానమే రావచ్చు. కానీ, రామానుజన్ ఏమిటి చేసేడంటే -ఒక్క టేక్సీ కథని మినహాయించి – సామాన్యులు ఎవ్వరూ సరి అయిన సమాధానం చెప్పలేరు.

రామానుజన్ అంకెలతో చేసిన అనేకమైన గారడీలలో ఒక దానిని నలుగురికీ అర్ధం అయే రీతిలో చెప్పటానికి ప్రయత్నిస్తాను. ముందస్తుగా 1, 4, 9, 16, 25 36, మొదలైన సంఖ్యలతో కథ మొదలు పెడతాను. ఏ ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్ధి అయినా సరే ఈ సంఖ్యలలో బాణీని ఇట్టే పసిగట్ట గలదు. వీటిని వర్గ సంఖ్యలు (square numbers) అందాం. ఎందుకంటే ఇవి 1, 2, 3, 4, 5, 6, మొదలైన సంఖ్యలని వర్గీకరించగా (అంటే, ఒక సంఖ్యని దాని తోటే గుణించటం) వచ్చిన సంఖ్యలు కనుక. వీటినే కొన్ని సందర్భాలలో చదరపు సంఖ్యలు అని కూడా అనటం కద్దు. ఈ వర్గ సంఖ్యలకి ఉన్న ప్రత్యేకత ఏమిటో చిన్న ఉదాహరణ ద్వారా వివరిస్తాను. మీకు తోచిన పూర్ణ సంఖ్య (integer) ని తీసుకొండి. ఈ పూర్ణ సంఖ్యని కొన్ని వర్గ సంఖ్యల మొత్తంగా రాయొచ్చు. ఉదాహరణకి: 10 = 1 + 1 + 4 + 4. మరొక ఉదాహరణ: 30 = 1 + 4 + 9 + 16.

సా. శ. 1770 లో ఫ్రాన్సు దేశపు గణిత శాస్త్రవేత్త జోసెఫ్ లుయీ లగ్రాంజ్ ఒక సిద్ధాంతాన్నిరుజువు చేశారు: ప్రతి ధన పూర్ణ సంఖ్య (positive integer) తనంత తానుగా ఒక వర్గ సంఖ్య అయినా అయి ఉండాలి, లేదా రెండు కాని, మూడు కాని, నాలుగు కాని వర్గ సంఖ్యల మొత్తమయినా అయి ఉండాలి. ఎట్టి పరిస్థితులలోనూ నాలుగు వర్గల మొత్తం (x2 + y2 + z2 + t2) మించి అవసరం ఉండదు.

లగ్రాంజ్ రుజువు చేసిన సూత్రం లో ఉన్న (x2 + y2 + z2 + t2) వంటి గణిత రూపాన్ని వర్గ రూపం (quadratic form) అంటారు. ఈ వర్గ రూపాల స్వభావం అర్ధం అయిన వెంబడి, ధన పూర్ణ సంఖ్యలని అభివర్ణించటానికి ఇటువంటి వర్గ రూపం ఇదొక్కటేనా లేక ఇంకా ఉన్నాయా అని అనుమానం రానే వచ్చింది. రావటం అంటే వచ్చింది కాని ఈ సమస్యకి పరిష్కారం ఉందో లేదో ఒకటిన్నర శతాబ్దాల వరకూ ఎవ్వరికీ తెలియలేదు.

ఇంతలో, 1916 లో, శ్రీనివాస రామానుజన్ “ఇదొక్కటే కాదు. ఇటువంటి వర్గ రూపాలు మొత్తం 53 ఉన్నాయి” అని వాటి జాబితా రాసి ఇచ్చేసేడు! ఉదాహరణకి ప్రతి సంఖ్యని ఒక వర్గ, రెండింతల వర్గ, మూడింతల వర్గ, నాలుగింతల వర్గాల మొత్తం (1.x2 + 2.y2 + 3.z2 + 4.t2) గా రాయవచ్చన్నారు ఆయన. కుతూహలంతో కుతకుత లాడే ప్రాణులకి ఈ 53 రూపాలూ ఈ దిగువ పట్టికలో చూపెడతాను. ఈ పట్టికలో వాడిన సూత్రం (a.x2 + b.y2 + c.z2 + d.t2) అనుకుంటే ఇందులో a, b, c, d ల విలువలు ఎలా ఉంటాయో వరుసగా చూపించేను.

[1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 3], [1, 1, 1, 4], [1, 1, 1, 5], [1, 1, 1, 6], [1, 1, 1, 7], [1, 1, 2, 3], [1, 1, 2, 3], [1, 1, 2, 4], [1, 1, 2, 5], [1, 1, 2, 6], [1, 1, 2, 7], [1, 1, 2, 8], [1, 1, 2, 9], [1, 1, 2, 10], [1, 1, 2, 11], [1, 1, 2, 12], [1, 1, 2, 13], [1, 1, 2, 14], [1, 1, 3, 3], [1, 1, 3, 4], [1, 1, 3, 5], [1, 1, 3, 6], [1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 3], [1, 2, 2, 4], [1, 2, 2, 5], [1, 2, 2, 6], [1, 2, 2, 7], [1, 2, 3, 3], [1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 5], [1, 2, 3, 6], [1, 2, 3, 7], [1, 2, 3, 8], [1, 2, 3, 9], [1, 2, 3, 10], [1, 2, 4, 4], [1, 2, 4, 5], [1, 2, 4, 6], [1, 2, 4, 7], [1, 2, 4, 8], [1, 2, 4, 9], [1, 2, 4, 10], [1, 2, 4, 11], [1, 2, 4, 12], [1, 2, 4, 13], [1, 2, 4, 14], [1, 2, 5, 6], [1, 2, 5, 7], [1, 2, 5, 8], [1, 2, 5, 9], [1, 2, 5, 10].

రామానుజన్ సాధించిన ఫలితం అవగాహన కాగానే గణితకులకి మరొక సమస్య ఎదురైంది. మన మేధకి మరొక వర్గ రూపం స్పురించిందని అనుకుందాం. ఈ వర్గ రూపం తప్పో, ఒప్పో ఎలా తేల్చటం? అంటే ఆ రూపాన్ని ఉపయోగించి పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని రాయగలమో లేమో ఎలా తేల్చటం? పూర్ణ సంఖ్యలు అనంతం కనుక ఇది సైద్ధాంతికంగా నిర్ణయించ వలసినదే తప్ప ప్రాయోగిక పద్ధతులు పనికి రావు.

ఈ ప్రశ్న అపరిష్కృతంగా మొన్న మొన్నటి వరకూ ఉండి పోయింది. అమెరికాలో ప్రిన్స్‌టన్ యూనివర్శిటీలో ఉన్న మంజుల్ భార్గవ, డూక్ యూనివర్సిటీలో ఉన్న జోనథన్ హెన్‌కే తో కలసి పైన చెప్పిన జటిల సమస్యకి అతి తేలికైన సమాధానం ఉందని రుజువు చేసేడు. భార్గవ తను సాధించిన పరిష్కారాన్ని కొన్ని సిద్ధాంతాల రూపంలో, డిసెంబరు 2005 లో, రామానుజన్ జన్మస్థలమైన కుంభకోణంలో, శాస్త్ర విశ్వవిద్యాలయంలో జరిగిన అంతర్జాతీయ సమావేశంలో విజ్ఞుల ఎదట నిరూపించి సభికులని ఆశ్చర్య చకితులని చేశాట్ట!

భార్గవ బాల్యం నుండీ గణితంలో ఉత్సాహం చూపెడుతూ వచ్చాట్ట. ఇతను 2001 లో ప్రిన్స్‌టన్ లో పి. హెచ్. డి. చేసే రోజులలో మొదలు పెట్టిన పని పునాది అనుకుంటే కుంభకోణంలో చదివిన పరిశోధన పత్రం ఆ పునాది మీద కట్టిన మేడ. పునాదుల లోంచి ఈ మేడ ఎలా లేచిందో ఒక నఖ చిత్రంలా మీ ముందు చిత్రిస్తాను.

మళ్ళా మనం చరిత్రలో కొంచెం వెనక్కి వెళ్ళాలి. జెర్మనీలో 1801 లో మహా మేధావి కార్ల్ ఫ్రీడ్రీక్ గౌస్ చేసిన పనిని ఆధారంగా చేసుకుని వర్గ రూపాల మీద పరిశోధన మొదలు పెట్టేడు, మన భార్గవ. గౌస్ పని చేసిన వర్గ రూపాలు ax2 + bxy + cy2 మాదిరి ఉంటాయి. ఇటువంటి రెండు వర్గ రూపాలని తీసుకుని వాటిని సంధించటం మీద కొన్ని సంధి సూత్రాలని (composition laws) ప్రవచించేరు గౌస్. సంధించటం అంటే కలపటం లాంటి ఒక ప్రక్రియే కాని కలపడం కాదు. గౌస్ ప్రవచించిన సంధి సూత్రాలే algebriac number theory అనే ఒక కొత్త పుంతకి మార్గదర్శి అయేయి.

ప్రిన్స్‌టన్ లో విద్యార్ధి దశలోనే మన భార్గవ ఇటువంటి సంధి సూత్రాలని మరో పదమూడింటిని కనుక్కున్నాడు. కనిపెట్టటమే కాదు, గణిత శాస్త్ర రీత్యా ఈ సూత్రాలు ఎలా ఉద్భవించేయో కూడ రుజువుతో సహా చూపెట్టేడు. ఈ పని ఫలితంగా భార్గవకి పట్టా ఇవ్వటమే కాకుండా 28 ఏళ్ళ చిరుత ప్రాయానికే ఆచార్య పదవి (full professor) ఇచ్చి గౌరవించింది, ప్రిన్స్‌టన్.

ఇంతకీ భార్గవ చేసిందేమిటో చెప్పనే లేదు కదూ? ‘ఏ వర్గ సూత్రం ఉపయోగించి పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని వర్ణించగలం?’ అన్న ప్రశ్న భార్గవని మొదట్లో వేధించటం మొదలు పెట్టింది. ఈ రకం వర్గ రూపాలని విశ్వజనీన (లేదా సార్వత్రిక) వర్గ రూపాలు (universal quadratic forms) అంటారు.

గత శతాబ్దపు మొదటి రోజుల్లో రామానుజన్ a.x2 + b.y2 + c.z2 + d.t2 వంటి రూపాలపై దృష్టి కేద్రీకరించేరని చెప్పుకున్నాము కదా. ఆయన ఈ జాతి రూపాలు 53 కనుక్కున్నారని కూడా జాబితా వేసి చూపించేను కదా. ఉదాహరణకి x2 + 2.y2 + 5.z2 + 10.t2 లో x, y, z, t ల విలువలని మార్చుకుంటూ పోతే ధన పూర్ణాంకాలన్నిటిని సృష్టించవచ్చు. ఉదాహరణకి 14 కావాలంటే x = 1, y = 2, z = 1, t = 0 అని ప్రతిక్షేపిస్తే సరిపోతుంది. అలాగే 32 కావాలంటే x = 0, y = 2, z = 2, t = 1 ప్రతిక్షేపించాలి.

‘ఇంకా ఇలాంటి సూత్రాలు ఎన్ని ఉన్నాయి?’ అన్న ప్రశ్నకి సమాధానం చెప్పాలనుకుంటే, మనకి సుళువైన పరీక్ష ఒకటి కావాలి.

సా. శ. 1993 లో ప్రిన్స్‌టన్ యూనివర్సిటీ లో పని చేసే జాన్ కాన్వే అనే ఆచార్యుడు తన దగ్గర పని చేసే విద్యార్ధి విలియం షీంబెర్గర్ తో కలసి అటువంటి విశ్వజనీన వర్గ రూపాన్ని ఒక దానిని ప్రతిపాదించేడు. ఈ రూపం ఒక మాత్రుక (matrix) రూపంలో రాసేరు వారు. ఈ రూపాన్ని ఉపయోగించి 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 అనే తొమ్మిది సంఖ్యలని ఉత్పత్తి చెయ్యగలిగితే, మిగిలిన పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కూడ ఉత్పత్తి చెయ్యగలం అనే సూత్రాన్ని వారిరువురు ‘రుజువు’ చేసేరు. ఇదే 15-సిద్ధాంతం అనే పేరుతో చెలామణీ కావటం మొదలెట్టింది.

లోగడ మనం చూసిన లగ్రాంజ్ సూత్రాలు, రామానుజన్ సూత్రాలూ కూడ ఈ 15-సిద్ధాంతానికి లోబడే ఉంటాయి కనుక, సూత్ర భంగాలేమీ కాలేదని అందరూ ఒక సారి తేలికగా ఊపిరి పీల్చుకున్నారు. అయినా సరే కాన్వే ప్రభృతులు వారి సిద్ధాంతాన్నీ, దానిని రుజువు చేసే సంక్లిష్టమైన పద్ధతినీ ఎక్కడా ప్రచురించ లేదు. ఇలా ప్రచురించకుండా ఉండటానికి సాధారణంగా రెండు కారణాలు ఉంటాయి. ఒకటి, సిద్ధాంతంలో ఏమైనా లొసుగులు ఉంటే పరువు పోతుందనే భయం. రెండు, సిద్ధాంతం అనువర్తించే వ్యాప్తిని పెంచి అప్పుడు ప్రచురిద్దాములే అనే సదుద్దేశం. అందుకని వారి సూత్రం అనువర్తించే పరిధిని పెంచటానికి పరిశోధన మొదలు పెట్టేరు. ఈ పరిశోధనలో వారు మరొక వర్గ రూపాన్ని కనుక్కున్నారు. ఈ రూపమే 3.x2 + xy + 5.y2 + 6.z2 + t2. “ఈ రూపం ఉపయోగించి 1 నుండి 290 వరకు ఉన్న అన్ని సంఖ్యలని ఉత్పత్తి చెయ్య గలిగితే ఈ సూత్రాన్ని విశ్వజనీయ వర్గ సూత్రంగా పరిగణించవచ్చు” అని ఒక ఊహాగానం చెసేరు. కాని రుజువు చెయ్య లేదు (లేదా, రుజువు చెయ్య లేకపోయి ఉండొచ్చు కూడా).

ఈ పరిస్థితిలో భార్గవకి కాన్వే ఈ 15-సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేసేరు. “కాన్వే చెప్పిన కథనం విన్న తర్వాత నాకు నోట మాట రాలేదు. గణితంలో ఇటువంటి ఫలితం ఉందని తెలిసే సరికి ఆశ్చర్యం వెయ్యటం ఒక ఎత్తయితే, ఈ ఫలితం రుజువు లేకుండా కేవలం ఊహాగానంలా ఉండిపోయిందని తెలియటం మరొక ఎత్తు” అని భార్గవ వ్యాఖ్యానించి, “వెను వెంటనే నేను చేస్తూన్న పనులన్నీ ఆపేసి ఈ ఊహాగానానికి రుజువు వెతకటం మొదలు పెట్టేను,” అన్నాడుట.

భార్గవ 15-సిద్ధాంతానికి ఒక కొత్త పంథాలో రుజువుని నిర్మిచటం మొదలుపెట్టేడు. ఈ కొత్త దారి వెంబడి వెళితే రుజువు చెయ్యటం తేలికవటమే కాకుండా, చాలా తక్కువ జాగాలో రుజువు చెయ్యటానికి వీలయిందిట. ఈ రుజువు ప్రకారం మొత్తం 204 (మాత్రుక రూపంలో నిర్వచించబడ్డ) విశ్వజనీన వర్గ రూపాలు ఉన్నాయిట.

ఈ రుజువు గణిత ప్రపంచాన్ని అదరగొట్టింది. ఎందుకంటే సా. శ. 1948 లో మార్గరెట్ విల్లర్డింగ్ ఇదే ప్రశ్నని ఎదుర్కొని, అహర్నిశలు కష్టపడి 178 విశ్వజనీన వర్గ సూత్రాలు కనుక్కున్నారు. భార్గవ చేసిన పని నేపధ్యంలో ఆమె కనిబెట్టిన 178 సూత్రాలలో ఒకే సూత్రం పొరపాటున రెండు సార్లు దొర్లిందనిన్నీ, 9 సూత్రాలు పూర్తిగా తప్పనిన్నీ తెలిసింది. ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే భార్గవ ఇచ్చిన రుజువులు చిన్నవి గానూ, అర్ధం అయే రీతిలోనూ ఉన్నాయిట. పురుషులలో పుణ్య పురుషులు ఉన్నట్లే రుజువులలో అందమైన రుజువులు ఉంటాయి. సూటిగా, సంక్షిప్తంగా ఉన్న రుజువులూ, సిద్ధాంతాలూ, సూత్రాలూ అందమైన వాటిగా లెక్క.

ఈ 15-సిద్ధాంతానికి రుజువు కనుక్కున్న తర్వాత భార్గవ 33-సిద్ధాంతం అని మరో సిద్ధాంతం కనుక్కున్నారు. ఈ సూత్రం 1, 3, 5, 7, 11, 15, 33 సంఖ్యల ఎడల పనిచేస్తే మిగిలిన అన్ని బేసి సంఖ్యల ఎడల కూడా పనిచేస్తుందని ఈ 33-సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశం. ఈ సిద్ధాంతాన్ని భార్గవ రుజువు చేసిన వైనం చూసి “ఇది చాల అందమైన రుజువు” అని కాన్వే అభివర్ణించేరు ట.

ఇదే ధోరణిలో భార్గవ ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అన్నింటిని ఉత్పత్తి చేయగల వర్గ రూపాన్ని ఒకదానిని నిర్మించేరు.

ఈ పావంచాలన్నీ దాటుకుని కాన్వే 290 గురించి ప్రతిపాదించిన ఊహాగానానికి కూడా భార్గవ, హెన్‌కె కలసి రుజువు చూపించేరు. ఇదొక పెద్ద మైలు రాయి. కనుక ఇప్పుడు మనకి వర్గ సూత్రాల యొక్క స్వరూప స్వభావాలు పరిపూర్ణంగా అవగాహన అయినట్లే – అని అనుకుంటున్నాం, ప్రస్తుతానికి. వీరు చెప్పేది ఏమిటంటే – ఏ వర్గ రూపమైనా సరే పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని ఉత్పత్తి చెయ్యగలదో లేదో నిర్ణయించాలంటే ముందు ఆ రూపం 290 తోపాటు 290 కి లోపుగా ఉన్న ఒక 29 పూర్ణాంకాల సమితిని ఉత్పత్తి చెయ్యగలదో లేదో చూడాలిట. ఈ సమితి (set) లో ఉన్న 29 పూర్ణాంకాలనీ ఉత్పత్తి చెయ్యగలం అని తెలిసిన మీదట అలా ఉత్పత్తి చెయ్యగలిగే వర్గ రూపాలు 6,436 ఉన్నాయని రుజువు చేసేరు!

ఇదే విషయాన్ని భార్గవ కుంభకోణంలోని సమావేశంలో చెబితే ఆయనకి రామానుజన్ స్మారక చిహ్నమైన ‘శాస్త్ర’ పతకాన్ని ఇచ్చి గౌరవించేరుట.

ఈ రకం లెక్కల ప్రయోజనం ఏమిటి అని చాల మంది పెదవి విరుస్తారు. అందమె ఆనందం అన్నారు. దీన్నే ఇంగ్లీషులో A thing of beauty is a joy for ever అంటారు. కనుక ఈ రకం రుజువుల కోసం వెతకటం ఒక రకమైన సౌందర్యోపాసన. పనికిమాలిన ఈ రకం ఉపాసనలు ఎవ్వరికి కావాలి అని తోసి పుచ్చకండి. ఈ కంప్యూటర్ యుగంలో cryptography కి ప్రాముఖ్యత పెరుగుతోంది. ఈ రంగంలో రామానుజన్ వంటి వారు చేసిన పరిశోధనలు ఉపయోగపడుతున్నాయి. ఇదే విధంగా విశ్వ రహస్యాలని ఛేదించటానికి వాడే గణితంలో కూడా రామానుజన్ ప్రభావం కనబడటం మొదలైంది.

ఆధారం: Science News, మార్చి 11, 2006 సంచికలో Ivars Peterson రాసిన All Square అనే వ్యాసం దీనికి ఆధారం (Translated with permission from Ivars Peterson and Science Service. Copyright by Science Service).