ఫెర్మా చివరి సిద్ధాంతం

అవతారిక

ఆ మధ్య ఈమాట సంపాదకులు మాధవ్, “ఇన్నేళ్ళకి ఆండ్రూ వైల్స్ ఫెర్మా చివరి సిద్దాంతం సాధించి అందర్నీ ఒప్పించేరట. దాని మీద ఒక వ్యాసం రాయరాదూ?” అంటూ ఒక విద్యుల్లేఖ పంపేరు. “ఇటువంటి పనులు చేసే సామర్ధ్యం నాలో లేదు. నన్ను ఇబ్బంది పెట్టకండి,” అంటూ తిరుగు టపా పంపేను.

ఉత్తరం అంటే గీకి పారేసేను కాని, నిజంగా ప్రయత్నించి చూస్తే ఎలాగుంటుందో అన్న సందేహం నా మనస్సులో గొలకడం మొదలు పెట్టింది. ఈ సమస్యని కూలంకషంగా పరిశీలిస్తూ సైమన్ సింగ్ (Simon Singh) రాసిన ఫెర్మాస్ లాస్ట్ థియరమ్ అనే పుస్తకం కొని తెప్పించేను. ముందుకి, వెనక్కి నాలుగైదు సార్లు చదివేను. అర్థం కాని చోట్ల గూగుల్‌ని ఆశ్రయించేను. చదవగా, చదవగా ఒక విషయం అర్థం అయింది. ఇది నిజంగా అర్థం కావాలంటే గణితంలో ఒకటో, ఒకటిన్నరో పిహెచ్. డీ. పట్టాలు ఉండాలి. కొంచెం అర్థం అయితే చాలనుకునే వారికి అకుంఠితమైన పట్టుదల ఉండాలి. సైమన్ సింగ్ కూడ ఏదో బులబులాగ్గానే వివరించేడు; లోతుకి వెళ్లలేదు. అలా సైమన్ సింగులా నేనూ బులబులాగ్గా చెప్పగలనా? ఆయన ఇంగ్లీషులో చెప్పేడు, నేను తెలుగులో చెప్పాలి. ఆయన 300 పేజీలలో చెప్పేడు. నేను ఏ 70 పేజీలలోనో చెప్పాలని కోరిక; అంత కంటె పొడుగుంటే తెలుగు పాఠకులు చదవరేమో అని ఒక బెంగ.

ఈ సమస్యని ఛేదించడానికి చేసిన ప్రయత్నాల చరిత్రలో స్థూలంగా రెండు దశలు ఉన్నట్లు అనిపించింది. మొదటి దశ గురించి మొదటి భాగంలో చెప్పేను; చెబుతున్న నాకు బాగానే అర్థం అయింది కనుక చదివే మీకూ అర్థం అయేటట్లు చెప్పడానికి ప్రయత్నించేను. రెండవ భాగంలో చెప్పిన రెండవ దశ లోని లోతైన విషయాలు నిజానికి నాకే పూర్తిగా అర్థం కాలేదు. సైమన్ సింగు కూడా తనకి అర్థం అయిందని దబాయించి చెప్పలేదు. అద్భుతమైన ప్రయత్నం మాత్రం చేసేడు. నేనూ అదే ధోరణిలో ప్రయత్నం చేసేను. సైమన్ సింగ్ ఇంగ్లీషులో సాధించిన దాంట్లో వందో వంతు నేను తెలుగులో సాధించగలిగితే నా ప్రయత్నం ఫలించినట్లే! ఇది సైమన్ సింగ్ రాసిన పుస్తకానికి అనువాదం కాదు. ఆయన సంతర్పణ కోసమని గుండిగలతో చేసి వడ్డించేడు. నేను పాళ్ళు తగ్గించి, మా వంటింట్లో కుంపటి సెగ మీద, నా పైత్యం అనే పోపు వేసి ప్రయత్నం చేస్తున్నాను.

చదువరులకి ఒక హెచ్చరిక! ఎంత కాదనుకున్నా గణిత సమీకరణాలు, గణిత భావాలూ వాడకుండా ఈ అంశం ప్రస్తావించడానికి వీలు పడదు. కనుక కొంత గణితం, కొంత గణిత పరిభాష తప్పనిసరి. కనీసం ఉన్నత పాఠశాలలో నేర్పే బీజగణితం పాటి గణితంతో పరిచయం లేకపోతే కొన్ని సందర్భాలలో నేను చెప్పేది అర్థం కాదు. అప్పుడు నిరుత్సాహ పడకుండా దున్నుకుంటూ పోతే మీ శ్రమ వృధా కాదని నా నమ్మకం.

వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు.


మొదటి భాగం

xn+yn = zn where n represents 3, 4, 5, …, has no solution.

“I have discovered a truly marvelous demonstration of this proposition which this margin is too narrow to contain.”

– Pierre de Fermat, 1601/1667 – 1665.


గణిత ప్రపంచంలో మూడు శతాబ్దాలకి పైబడి పరిష్కారం లేకుండా ఉండిపోయిన అతి జటిలమైన సమస్య ఏదయ్యా అంటే అది ఫెర్మా కదాచిత్తుగా ప్రవచించిన ఒక అభిప్రాయం. ఈ శిష్టుని అభిప్రాయం, ఫెర్మా చివరి సిద్ధాంతం (Fermat’s Last Theorem) అనే పేరుతో చలామణీ అవుతోంది. ఋజువు లేకుండా ఒక నిష్ణాతుడు వెలిబుచ్చిన అభిప్రాయం కనుక దీనిని నిజానికి ఫెర్మా శిష్టాభిప్రాయం (Fermat’s conjecture) అనాలి, అంటారు కూడానూ.

ఎవరీ ఫెర్మా? ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం? ఆ అభిప్రాయంలో ఉన్న జటిలత్వం ఏమిటి? ఈ సమస్య పరిష్కారం లేకుండా మూడు వందల ఏళ్లు పైబడి ఎందుకు ఉండిపోయింది? చివరికి పరిష్కారం ఎలా దొరికింది?

మూడు వందల ఏళ్లపాటు హిమవన్నగం అంత ఎత్తుకెదిగిన హేమాహేమీలు ప్రయత్నించినా పరిష్కారం లేకుండా ఉండిపోయిందంటే ఇది నిజంగా క్లిష్టమైన సమస్యే. ఇటీవల ఏండ్రూ వైల్స్ (Andrew Wiles) ఆవిష్కరించిన 130 పేజీల రుజువు గణితంలో ఏళ్ల తరబడి కృషి చేసిన పండితులకే తేలికగా అర్థం కాదు. కాని ప్రయత్నిస్తే ఒక నఖ చిత్రంలా అయినా అర్థం అవుతుందేమో చూద్దాం.

1. పియేర్ డి ఫెర్మా (Pierre de Fermat)


పియేర్ డి ఫెర్మా (1601 – 1665)

పియేర్ డి ఫెర్మా (Pierre de Fermat) ఫ్రాన్స్ దేశపు బూమా్ డి లోమాన్య (Beaumont-de-Lomagne) ప్రాంతంలో పుట్టేడు; ఎప్పుడు పుట్టేడో ఇదమిత్థంగా తెలియదు (1601 లేదా 1607లో). ఒక అంచనా ప్రకారం, ఇతను ఇంకొక ఏడాదిలో పుడతాడనగా ఇంగ్లండులో ఈస్ట్ ఇండియా కంపెనీ స్థాపించడం, ఆ కంపెనీ ఇండియాతో వ్యాపారం చేసుకుందుకి అక్బర్ పాదుషా అనుమతి ఇవ్వడం జరిగింది. ఫెర్మా అయిదేళ్ల పిల్లవాడప్పుడు అక్బర్ చక్రవర్తి మరణించేడు. అదీ ఈ కథనపు చారిత్రక నేపథ్యం.

పియేర్ తండ్రి డామినీక్ ఫెర్మా సామంతుడైన వ్యాపారస్తుడు కావడం వల్ల పియేర్‌కి మంచి పాఠశాలలో విద్యాభ్యాసం చేసే అవకాశం లభించింది. కాని విద్యార్థి దశలో ఫెర్మా ప్రతిభావంతుడైన గణిత శాస్త్ర వేత్తగా పరిణతి చెందుతాడనుకోడానికి దాఖలాలు కనిపించలేదు. ఇంట్లో పెద్దల ఒత్తిడి మీద న్యాయశాస్త్రం చదివి సర్కారీ నౌకరీలో చేరేడు. ప్రజలు దాఖలు చేసుకున్న అర్జీలని పరీక్షించి వాటిలో యోగ్యత కలవాటిని ఎంపిక చేసి ప్రభువుకి దఖలు పరచే ఉద్యోగం అది. ఫెర్మా ఆ ఉద్యోగాన్ని ఎంతో దక్షతతో, సమర్ధవంతంగా నిర్వర్తించేడు.

ఫెర్మా న్యాయ విచారణా వ్యవస్థలో తీర్పరిగా కూడ కొన్నాళ్లు పని చేసేడు. ఈ విధి నిర్వహణలో ఒక మత పురోహితుడికి – తన విధ్యుక్త ధర్మాన్ని సరిగ్గా నిర్వర్తించలేదనే నేరంపై – సజీవ దహనశిక్ష (burning at the stake) విధించేడు కూడ.

ఈ రెండు ఉద్యోగాలు సుమారుగా భారత దేశం లోని మునసబు-మేజిస్ట్రేటు వంటివి. ఇలా సమాజపు నిచ్చెన మెట్లు ఒకటీ ఒకటీ ఎక్కుతూ చివరికి తన పేరులో డి (de) అనే పట్టపు పేరు తగిలించుకునే హక్కు కూడ సంపాదించుకున్నాడు. ఈ విజయాలన్నిటికి అతని చికీర్ష ఒక్కటే కారణం కాదు; దేశంలో ప్రజారోగ్య పరిస్థితులు కూడ కొంతవరకు దోహదం చేసేయి. ఆ రోజుల్లో ప్లేగు మహామారి యూరప్‌లో విస్తృతంగా వ్యాపించి ఎంతో మందిని పొట్టబెట్టుకుంది. ప్రభుత్వోద్యోగులు చనిపోయినప్పుడు ఆ ఖాళీలు భర్తీ చెయ్యాలి కదా. ప్లేగు వచ్చి కోలుకున్న కొద్ది వ్యక్తులలో ఒకడు కనుక ఫెర్మాకి ఖాళీ అవుతున్న ఆ పై ఉద్యోగాలలోకి జొరబడే అవకాశం వచ్చింది.

ఆనాటి ఫ్రాన్స్ లోని ఈతిబాధలలో పాడవుతూన్న ప్రజారోగ్య వాతావరణం ఒకటయితే అంతకంటె పాడుగా ఉన్న రాజకీయ వాతావరణం మరొకటి. ఫెర్మా ప్రాంతీయ శాసనసభకి నియామకం అయిన కొత్త రోజులలోనే కార్డినల్ రిషెలూ (Cardinal Richelieu) ఫ్రాన్స్‌కి ప్రధానమంత్రిగా నియామకం పొందేడు. కుట్రలు, కుతంత్రాలు, వెన్ను పోట్లు రివాజుగా జరిగే ఆ రోజులలో ఫెర్మా జీవితం అసిధారా వ్రతంలా ఉండేది. ‘నొప్పింపక, తానొవ్వక తప్పించుకు తిరుగువాడు ధన్యుడు సుమతీ’ అన్నట్టు ఆ నీతిని అక్షరాలా ఆచరించి, ఫెర్మా వృత్తిపరమైన తన పనులు తాను తల వంచుకుని చేసుకుంటూ, తీరిక సమయాలలో తన ప్రవృత్తి అయిన గణితంలో తారసపడే చిక్కు సమస్యలకి పరిష్కారాలు వెతికేవాడు. వృత్తి ప్రభుత్యోద్యోగం, వ్యావృత్తి గణితం. గణితాభిలాషి, గణితంలో ఔత్సాహికుడు అంటే ఇతనే అనే పేరు తెచ్చుకున్నాడు.

1.2 గణితంలో అభిలాష

పదిహేడవ శతాబ్దపు మొదటి రోజులలో గణిత శాస్త్రం ఇంకా చీకటి యుగంలోనే ఉందనవచ్చు. ఆ రోజులలో గణిత శాస్త్రజ్ఙులకి పెద్దగా పరపతి, పలుకుబడి ఉండేవి కాదు; ఏదో అంకెలతో గారడీలు చేసే వాళ్ల కోవలో పరిగణించ బడేవారు. గలీలియో (Galileo Galilei) అంతటివాడికి పీసా విశ్వవిద్యాలయంలో గణితం చదవడానికి అవకాశం రాలేదు; బైట పాఠాలు చెప్పించుకుని నేర్చుకున్నాడు. అంతవరకు ఎందుకు? యూరప్ ఖండం అంతటికీ ఒక్క ఆక్సఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయం లోనే గణితానికి ఒక శాఖ, ఒక పీఠం, ఉండేవి.

ఫెర్మా నివసించిన ఊరు పేరిస్‌కి దూరం కావడంతో పేరిస్ నగరంలో ఉన్న కొద్దిపాటి గణిత వేత్తలు, ఉదా. పాస్కాల్ (Blaise Pascal), మెర్సెన్ (Marin Mersenne) కూడా నేరుగా అందుబాటులో ఉండేవారు కాదు.

ఫెర్మా ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు జరిపిన వారిలో ఫాదర్ మెర్సెన్ ఒకరు. ఈయన కేథలిక్ చర్చిలో మతాధికారిగా ఉంటూనే ఆ కాలపు గలీలియో, రెనే డెకార్ట్ (Rene Descartes) వంటి పెద్దలతో ఉత్తరప్రత్యుత్తరాలు నడిపించేవారు. ఈయన ఫ్రాన్సులో తిరుగుతూ ఫెర్మాని తరచు కలుసునేవారు. ఫెర్మా స్నేహబృందంలో మెర్సెన్ ఒకరైతే, డయొఫాంటెస్ 3వ శతాబ్దంలో రాసిన అరిథ్మెటికా (Arithmetica) అనే పురాతన గ్రీకు గణిత గ్రంథం మరొకటని అభివర్ణించవచ్చు. మంచి పరిచయం ఉన్నప్పటికీ మెర్సెన్ వల్ల పూర్తిగా ప్రభావితుడు కాలేదు ఫెర్మా; తన ధోరణిలో తను సిద్ధాంతాలు – రుజువులు చూపించకుండా – కాగితాల మీద రాసి వదిలేసేవాడు. రుజువేది? అని అడిగితే, ‘నా బుర్రలో ఉంది’ అని సమాధానమిచ్చేవాడు. తను ఆవిష్కరించిన సిద్ధాంతాల వల్ల తనకి పేరు ప్రతిష్ఠలు రావాలని అతనికి ఉండేది కాదో లేక ఋజువులు అన్నీ వివరంగా రాసి చూపిస్తే తన రహస్యాలు బట్టబయలు అవుతాయన్న భయమో తెలియదు. దీనికి తోడు కొంత చిలిపితనం కూడ ఉండేదేమో అప్పుడప్పుడు తన అనుయాయులని అల్లరి పెట్టే ఉద్దేశంతో సిద్ధాంతం రాసి, రుజువు చూపించకుండా, ఇది అవునో కాదో చెప్పుకో చూద్దాం! అని సవాలు చేసి సమాధానం చెప్పేవాడు కాదు. రెనే డెకార్ట్ అంతటివాడు ఫెర్మాని గప్పాల గండడు అనేవాడు.

ఇలా సమస్యని ఇచ్చి పరిష్కారం ఇవ్వకుండా అందరిని ఆటపట్టించడంలా ఉన్నా ఈ వింత ప్రవర్తనలో కొన్ని లాభాలు కూడా ఉన్నాయనుకోవచ్చు. ఒకటి, ప్రతీ సమస్యకీ పరిష్కారం రాస్తూ కూర్చుంటే బోలెడు సమయం వెచ్చించవలసి ఉంటుంది. ఆ సమయంలో కొత్త సమస్యలు సృష్టించవచ్చు కదా! రెండు, సమస్యలకి పరిష్కారాలు రాసి ఇచ్చేస్తూ ఉంటే తెలిసీ తెలియని ప్రతి అనామకుడూ వచ్చి వాద ప్రతివాదాలలోకి దింపొచ్చు.

ఫెర్మా తనంత తానుగా చొరవతో ఉత్తరాల ద్వారా సంభాషణలు కొనసాగించినది ఇద్దరితో మాత్రమే: మెర్సెన్, పాస్కాల్. ఒక విధంగా, ఈ ఉత్తరాల ద్వారా ఫెర్మా, పాస్కాల్ సంభావ్యతా వాదం (Probability Theory) సౌథానికి పునాదులు వేసేరనవచ్చు. ఎక్కువమందికి తెలియని మరొక విషయం ఏమిటంటే ఫెర్మా కేల్‌క్యులస్‌కి వేసిన పునాదుల మీదే న్యూటన్ కేల్‌క్యులస్ మహా సౌధాన్ని నిర్మించేడు. ఈ విషయం న్యూటనే ఒప్పుకున్నాడన్న విషయం 1934 వరకు చాలమందికి తెలియనే లేదు; అందువల్ల ఫెర్మాకి దక్కవలసిన గుర్తింపు దక్కలేదు. కేల్‌క్యులస్‌కీ, సంభావ్య సిద్ధాంతానికీ ఫెర్మా వేసిన పునాదులు ఆయన పేరు చరిత్రలో చిరస్థాయిగా నిలచిపోడానికి సరిపోతాయి. ఈ రెండింటితోపాటు సంఖ్యా వాదానికి (Number Theory) కూడ ఫెర్మా మౌలికమైన పునాదులు వేసేడు.

ఫెర్మాకి గణితంలో గురువంటూ ఎవ్వరూ లేరు. అతని పరిశ్రమ అంతా అరిథ్మెటికా చదువుకుని స్వయంకృషితో చేసినదే. ఆ గ్రంథం వెయ్యేళ్ల గణితసార సంగ్రహం. పైథాగరోస్, యూక్లిడ్ వంటి హేమాహేమీలు ఆవిష్కరించిన శాస్త్రం – ప్రత్యేకించి సంఖ్యా శాస్త్రం – అంతా ఆ గ్రంథంలో క్రోడీకరించబడి ఉంది. ఈ పుస్తకంలో ‘పులి-మేక-గడ్డిమేటు పడవలో నదిని దాటడం’ వంటి గణిత ప్రహేళికలు వందకి పైగా కనిపిస్తాయి. ప్రతీ ప్రహేళికనీ ఒక క్రమ పద్ధతిలో పరిష్కరించి చూపుతాడు డయొఫాంటెస్. కాని అదేమి (దుర్)అదృష్టమో కాని ఈ పుస్తకం చదివి గణితం నేర్చుకున్న ఫెర్మాకి ఈ పుస్తకం క్రమబద్ధం చేసిన మంచి అలవాటు అబ్బలేదు. ఏదైనా క్లిష్టమైన సమస్య ఎదురైనప్పుడు దానిని పరిష్కరించే పద్ధతిని ఒక చిన్న కాగితం మీద ముక్తసరిగా మూడు ముక్కలలో సూచించి, దానితో కొన్నాళ్లు చెలగాటాలు ఆడి ఆ కాగితం ముక్కని చెత్త బుట్టలో పడేసేవాడు. అప్పుడప్పుడు, పక్కని కాగితం కనబడకపోతే, ఆ రాయదలుచుకున్నది ఆ పుస్తకం యొక్క ఉపాంతంలో (మార్జిన్) గొలికేవాడు. ఇలా ఉపాంతంలో రాసిన ఆణిముత్యాలు ఎన్నో తరవాత తరాలవారికి దొరికేయి; దొరికిన వాటన్నిటిని రుజువు చెయ్యడం సాధ్యపడింది కాని చివరికి ఒకటి రుజువు లేకుండా మిగిలిపోయింది. అందుకనే దానిని చివరి సిద్ధాంతం అంటారు.