పుస్తక పరిచయం: The Simpsons and Their Mathematical Secrets (2013)

ద సింప్సన్స్ (The Simpsons) సజీవ వ్యంగ్య చిత్ర సరణి. తెలుగులో చెప్పాలంటే animated cartoon series. మేథ్యూ గ్రేనింగ్ (Matt Groening) సృష్టించిన ఈ సరణిలో ఉపాఖ్యానాలన్నీ ఫాక్స్ టెలివిజన్ సంస్థ వారు ప్రసారం చేశారు. మొట్టమొదటి కథ డిసెంబర్ 17, 1989లో ప్రసారితమయ్యింది. ‘ద సింప్సన్స్‌’కి డజను పైగా ఎమ్మీ అవార్డులు వచ్చాయి. గత పాతిక ఏళ్ళల్లో 552 సింప్సనోపాఖ్యానాలు ప్రసారం అయ్యాయి. ఈ ఉపాఖ్యానాలని ఆధారంగా చేసుకొని విశ్వవిద్యాలయాలలో గణితశాస్త్ర పాఠాలు, సంఖ్యా శాస్త్ర పాఠాలు, గేమ్ థీరీలలో పాఠాలు చెప్పుతున్నారంటే అతిశయోక్తి కాదు. అమెరికన్ తపాల శాఖ వారు ఈ సరణి గౌరవార్థం ఒక తపాలా బిళ్ళ కూడా ముద్రించారు.


ద సింప్సన్స్ అండ్ దెయిర్
మేథమెటికల్ సీక్రెట్స్
బ్లూమ్స్‌బరీ, న్యూ యార్క్, 2013.

సైమన్ సింగ్ రాసిన పుస్తకం ద సింప్సన్స్ అండ్ దెయిర్ మేథమెటికల్ సీక్రెట్స్ (The Simpsons and Their Mathematical Secrets) పరిచయం చెయ్యటం నా ప్రధాన ఉద్దేశం. నిరుడు మొదలు పెట్టి ఇప్పటి వరకూ ఈ పుస్తకం అధ్యయనం చేసి ఉండకపోతే, నేను ఈ వ్యాసం రాయగలిగే వాణ్ణి కాదు.

ద సింప్సన్స్ కార్టూనులు నేను, నా మిత్రులు కలిసి 1990-2004 మధ్య అడపా తడపా చూసేవాళ్ళం. అప్పట్లో, వాటిలో ఉన్న గణితశాస్త్ర సూత్రాలని, వాటి లోతులనీ చాలామంది లాగానే నేనూ ఎక్కువగా పట్టించుకోలేదు. నేను భుక్తి కోసం భౌతికశాస్త్రం చదువుకున్నాను. గణితశాస్త్రంలో ప్రవేశం లేకపోతే భౌతికశాస్త్రం లోతులు అర్థం కావు. అయితే, ప్రత్యేకంగా గణితశాస్త్రాన్ని వేదంలా అధ్యయనం చేసేవాళ్ళు ఋషులు అని నా అభిప్రాయం. అటువంటి వాళ్ళకి భుక్తి ప్రధానం కాదు. శ్రీనివాస రామానుజన్ అటువంటి ఋషి. అంకెల్లో దేవుణ్ణి చూసిన ఋషి.

ద సింప్సన్స్ సరణి శాశ్వత రచయితల్లో ముఖ్యులు:

– జేమ్స్ బర్న్స్ (J. STEWART BURNS, BS Math, Harvard Univ., MS Math, UC Berkeley),
– డేవిడ్ కోహెన్ (DAVID S. COHEN, BS Physics, Harvard Univ. MS Comp. Sci. UC Berkeley),
– ఆల్ జీన్ (AL JEAN, BS Math, Harvard Univ.)
– కెన్ కీలర్ (KEN KEELER, BS and PhD Applied Math. Harvard Univ.)
– జెఫ్ వెస్ట్‌బ్రూక్ (JEFF WESTBROOK, BS Physics, Harvard Univ., PhD Comp. Sci. Princeton Univ.)

వీళ్ళు కాక ఇంకా చాలామంది గణితశాస్త్ర ప్రవీణులు ఈ శ్రేణిని తీర్చి దిద్దడంలో నిపుణులుగా కృషి చేశారు. 1999లో ముఖ్య రచయితలలో కొంతమంది ఫ్యూచరామా (Futurama) అనే సైన్స్ ఫిక్షన్ సరణి తయారుచేశారు. ఆ కథల్లో గణితశాస్త్రం పాలు మరికొంచెం ఎక్కువ. సైమన్ సింగ్ పుస్తకంలో ఆఖరి నాలుగు అధ్యాయాలూ ఫ్యూచరామా గురించే! అందులో ఒక్క అధ్యాయాన్ని గురించి మాత్రమే నేను చూచాయగా ముచ్చటిస్తాను.



సింప్సన్స్‌ కుటుంబం – హోమర్, మార్జ్
బార్ట్, మాగీ, లీసా.

‘ద సింప్సన్స్‌’లో ప్రధాన పాత్రలు – హోమర్, మార్జ్, వీళ్ళ పిల్లలు బార్ట్, లీసా, మాగీ, వారి పెంపుడు కుక్క శాంటాస్ లిటిల్ హెల్పర్. విశ్వాసం గల పెంపుడు కుక్కగా చాలా కథనాలలో వస్తుంది. మొక్కజొన్న చేల వ్యూహంలో దారితప్పి, శోష వచ్చి పడిపోయిన హోమర్‌ని రక్షిస్తుంది. మరికొన్ని కథనాలలో ఇతర కుటుంబసభ్యులని కూడా సహాయం, రక్షణ ఇస్తుంది. లీసా ఎనిమిదేళ్ళ మేథావి. బార్ట్‌కి పదేళ్ళు. వీడూ తెలివిగలవాడే. కాని, కాస్త తలతిక్క ఉన్న కుర్రాడు. మాగీ పసికందు. కథాస్థలం స్ప్రింగ్‌ఫీల్డ్ అనే ఊరు. వీళ్ళు కాకుండా, రకరకాల వ్యక్తులు కథల్లోకి వస్తారు. అయితే కథలన్నీ సింప్సన్స్ కుటుంబం చుట్టూరా జరుగుతాయి. అది నాంది.

గణితం, సమస్యాసాధన ఈ సరణికి ముఖ్యం కాబట్టి, ఒక చిన్న సమస్యని ఎలా వాడుకున్నారో చూద్దాం.

2009లో వచ్చిన గాన్ మాగీ గాన్ (Gone Maggie Gone) కథనం ఒకరకంగా DAn braun (Dan Brown నవల) ద డవించి కోడ్‌కి (The Da Vinci Code) పేరడీ. పూర్తి సూర్యగ్రహణంతో కథ ప్రారంభమయి, St. Teresa of Avila ధరించిన ఆభరణం ఆవిష్కరణతో అంతం అవుతుంది.

సమస్య సాధన పరంగా ఈ కథనంలో హోమర్, మాగీ (పసి పాప), పెంపుడుకుక్క, విషంతో నిండిన పెద్ద సీసా, నదికి ఆవలి ఒడ్డున చిక్కుకుంటారు. ఒక చిన్న పడవలో ఇవతలి ఒడ్డుకు రావాలి. అయితే పడవలో హోమర్‌తో పాటు మరొక్కరే వెళ్ళగలరు. మాగీని, విషం సీసానీ వదిలితే, ఆ పాప విషం మింగే ప్రమాదం ఉంది. కుక్కనీ, మాగీనీ వదిలితే, కుక్క పాపని కరవచ్చు. ఎలా ఒడ్డుకి అందరూ క్షేమంగా చేరతారు, అన్నది సమస్య.

ఇటువంటి కథ కొద్ది మార్పుతో అన్ని సంస్కృతుల్లోనూ ఉన్నది. నక్క, మేక, గడ్డిమోపు, పడవ, రైతు, కథ మనకి తెలుసు. హోమర్ బాగా ఆలోచించి సమస్యా సాధన మొదలుపెడతాడు. అయితే, పూర్తి చెయ్యకముందే, మాగీని, క్రైస్తవ సన్యాసినులు ఎత్తుకోపోతారు: కారణం. మాగీని కొత్త మసీహా (New Messaiah) అని నమ్మబట్టి!

సింప్సన్స్‌ మతసంబంధ విషయాలపై సుముఖత చూపించరు. హోమర్ ప్రతి ఆదివారం చర్చ్‌కి వెళ్ళమని ప్రోత్సహించే జనాన్ని సహించడు. వారం వారం సింప్సన్స్ కార్టూను ఉపాఖ్యానాలని చూసే వాళ్ళకి ఈ విషయం స్పష్టంగా తెలుసు. “What’s the big deal about going to some building every Sunday? I mean, isn’t God everywhere?… And what if we’ve picked the wrong religion? Every week we’re just making God madder and madder?” అని ఖచ్చితంగా చెపుతాడు (Homer the Heretic, 1992). అందుకే కాబోలు, చాలామంది చర్చ్ పూజారులు (క్రిష్టియన్ మత ప్రచారకులూ) తమ చర్చ్ ప్రబోధాలలో సింప్సన్ కుటుంబంలో నైతిక సందిగ్ధతలని ప్రస్తావిస్తూంటారు.

సింప్సన్స్ ఉపాఖ్యానాలన్నీ అమెరికన్ సాంఘిక విలువలని, సంసార విలువలనీ ఎద్దేవా చెయ్యడానికే చేస్తున్నారని అధ్యక్షుడు జార్జ్ బుష్ (George H. W. Bush) ఒకసారి ఆరోపించాడు. రెండవసారి తను ఎన్నికలలో గెలవడానికి తన ప్రణాళికలో ఒక భాగంగా, 1992 రిపబ్లికన్ కన్వెన్షన్లో ఇలా అన్నాడు: “We are going to keep on trying to strengthen the American family to make American families a lot more like the Waltons and a lot less like the Simpsons.”

సింప్సన్స్ రచయితలు వెంటనే బుష్‌కి సమాధానంగా, 1991లో ప్రసారితమైన కథని (Stark Raving Mad) ప్రారంభంలో మార్పు చేసి బుష్ మాట్లాడిన మూడురోజుల తరువాత తిరిగి ప్రసారం చేశారు. ప్రారంభంలో మార్పు ఇది:

సింప్సన్ కుటుంబ సభ్యులందరూ ప్రెసిడెంటు ఇంతకు ముందు వాల్టన్ల గురించి, సింప్సన్ల గురించి చేసిన ఉపన్యాసం వింటారు. హోమర్‌కి ఆశ్చర్యం వేస్తుంది. రిమ్మెత్తిపోయి నోటమాట రాదు. హోమర్ కొడుకు బార్ట్, ప్రెసిడెంటుకి సమాధానంగా, ‘Hey, we’re just like the Waltons. We’re praying for an end to the Depression, too.’ అంటాడు: (వాల్టన్స్ టెలివిజన్ కథలన్నీ 1930లలో వచ్చిన డిప్రెషన్ రోజుల్లో అమెరికనులు పడిన ఇబ్బందులని ప్రస్తావిస్తూ చిత్రీకరించారు.)

అయితే ఈ మతాచారులు, రాజకీయ నాయకులు పూర్తిగా పప్పులో కాలేశారు. సింప్సన్స్ కథల్లో ఇరుక్కొని అంతర్గతంగా ఉన్న అసలు పాఠం వాళ్ళకి అర్థం కాలేదు. ఈ ఉపాఖ్యానాలు రాసిన వాళ్ళందరికీ అంకెలు, సంఖ్యలు అంటే పరమ వ్యామోహం. ఎడతెగని ప్రేమ. వీళ్ళందరూ గణితశాస్త్రం క్షుణ్ణంగా చదువుకున్నవాళ్ళు. ఏదోరకంగా, ఈ సజీవ వ్యంగ్య చిత్రసరణిలో గణితశాస్త్రాన్ని టిఫిన్లా, ఫలాహారంలా ప్రజలకి పంచిపెట్టాలనే ఉబలాటం. పై, ఐ, గేమ్ థీరీ, బీజగణితం, కాల్క్యులస్, జామెట్రీ, మూలక (రేషనల్) సంఖ్యలు, కరణి (యిర్రేషనల్) సంఖ్యలూ, వగైరాలని కథల్లో జొప్పించడం అతి చమత్కారంగా చేశారు.


π విలువ గురించి ఒక పిట్ట కథ:

2001లో బై బై నెర్డీ (Bye Bye Nerdie) అనే ఉపాఖ్యానం ప్రసారితమయ్యింది. ఆకతాయివాళ్ళ దాడి పై లీసా చేసిన పరిశోధన పత్రం సైన్స్ సభలో చదవడానికి సిద్ధమయి ఉన్న తరుణం. ఫ్రింక్ అనే ఆచార్యుడు లీసాని పరిచయం చెయ్యాలి. సభలో ఉన్న సైంటిస్టులలో గందరగోళం ప్రారంభం అయ్యింది. ఫ్రింక్ అసలే పరధ్యాన్నం మనిషి. ఆయన వెంటనే, సభాసదులని ఉద్దేశించి, “π విలువ ఎచ్చు తక్కువ లేకుండా ఖచ్చితంగా మూడు,” అని అంటాడు. వెంటనే సభలో అందరూ నిశ్శబ్దంగా కూచుంటారు. ఫ్రింక్ π విలువ మూడు అని అనడానికి మూలం, ఇండియానా రాష్ట్రం జనరల్ అసెంబ్లీలో ప్రతిపాదించబడ్డ పై –బిల్ 246 (1897). ఎడ్విన్ గుడ్విన్ అనే వైద్యుడు, వర్తులాన్ని చతురస్రంగా మార్చడానికి తను కనిపెట్టిన సూత్రం ఇదిగో అని రాష్ట అసెంబ్లీలో బిల్లు ఆమోదించమని కోరాడు. ఆ సూత్రం ఏమిటయ్యా అంటే — … that the ratio of the diameter and circumference is as five-fourths to four.

π = (circumference)/(diameter) = 4/(5/4) = 3.2

ఈ విలువని ఇండియానా పాఠశాలలన్నీ ఉచితంగా వాడుకోవచ్చట! కాని తను, రాష్ట్రమూ దీనిపై వచ్చే లాభాలు పంచుకోవాలని ప్రతిపాదించాడు. అదృష్టవశాత్తూ, ఈ బిల్లు శాశ్వతంగా వాయిదా పడింది. సి. ఎ. వాల్డో అనే గణితశాస్త్ర ఆచార్యుడు అప్పట్లో అసెంబ్లీకి పాఠం చెప్పి ఈ బిల్లుకి తిలోదకాలివ్వడంలో కృషి చేశాడు. బహుశా ఇప్పటికీ, ఇండియానా వాయిదా బిల్లుల లిస్టులో ఉండే ఉంటుంది, మరొక రాజకీయ నాయకుడి కోసం. రాజకీయ నాయకులు గణితాన్నీ నిర్దేశించడంపై విసురు, ఈ కథ.


హోమర్ ఔత్సాహిక విజ్ఞాని. అప్పుడప్పుడు కొత్త కొత్త యంత్రసాధనాలు తయారు చేస్తూ ఉంటాడు. గోడ పైన ఉన్న నల్లబల్ల మీద రకరకాల సమీకరణాలు ద విౙర్డ్ ఆఫ్ ఎవర్‌గ్రీన్ టెరేస్ (The Wizard of Evergreen Terrace, 1998) అన్న ఉపకథలో కనిపిస్తాయి.


హోమర్ సింప్సన్ సమీకరణాలు

మొట్టమొదటి సమీకరణం హిగ్స్ బోసాన్ (Higgs Boson) అనే ప్రాథమిక కణం ద్రవ్య రాశి విలువ కట్టటానికి, కొలంబియా విశ్వవిద్యాలయంలో ఖగోళ శాస్త్ర ఆచార్యుడు డేవిడ్ స్ఖిమినోవిచ్ (David Schiminovich) ప్రతిపాదించిన సమీకరణం. హిగ్స్ బోసాన్ అనే ప్రాథమిక కణం ఉండాలి అని 1964లో సిద్ధాంతపరంగా ప్రతిపాదించబడింది. ఈ సమీకరణంలో, ప్లాంక్ స్థిరాంకం, కాంతి వేగం, న్యూటన్ ప్రతిపాదించిన ఆకర్షణ స్థిరాంకం ఉన్నాయి. ఈ స్థిరాంకాల విలువలు సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే, హిగ్స్ బోసాన్ ద్రవ్య రాశి విలువ 775 గిగ ఎలక్ట్రాన్ వోల్ట్స్ అని వస్తుంది. 2012లో యూరప్‌లో ఈ హిగ్స్ బోసాన్ కనుక్కున్నారు. దాని ద్రవ్యరాశి విలువ 125 గిగ ఎలక్ట్రాన్ వోల్ట్స్. పరవాలేదు! హోమర్ సమీకరణం 14 ఏళ్ళకి ముందుగా ప్రతిపాదించబడ్డది. అప్పటికి హిగ్స్ బోసాన్ ఉన్నదో లేదో ఖచ్చితంగా తెలియదు. అంతే కాదు. హోమర్ ఔత్సాహిక విజ్ఞాని కదా!

రెండవ సమీకరణం గురించి తరువాత చెప్పుకుందాం. గణితశాస్త్రపరంగా ఇది చమత్కారమైన సమీకరణం.

మూడవ సమీకరణం విశ్వసాంద్రతకి సంబంధించినది. హోమర్ మొదట రాసినట్టుగా ఈ సాంద్రత ఒకటి కన్నా మించితే, విశ్వం తన బరువుకుకి తానే అంతస్ఫోటనం (implosion) చెందుతుంది. అంటే విశ్వం పేలి లోపలికి చొచ్చుకోపోతుందని అర్థం. ఈ సమీకరణం చూచిన వెంటనే ప్రేక్షకులకి హోమర్ బేస్మెంట్‌లో పేలుడు వినిపిస్తుంది. హోమర్ ఈ సమీకరణాన్ని మారుస్తాడు. ఈ సాంద్రతని ఒకటి కన్న తక్కువగా మారుస్తాడు. అప్పుడు విశ్వం శాశ్వతంగా విస్తరిస్తూ, విస్ఫోటనం (explosion) చెందుతుంది. అంటే ఈ పేలుడుశక్తి బయటికి పోతుంది. ఇప్పుడు, హోమర్ ఇంట్లో బేస్మెంట్‌లో పెద్ద పేలుడు వినిపిస్తుంది.

నాలుగవ లైన్ డోనట్‌ని గోళం లాగా — అంటే చిల్లిగారెని పూర్ణపు బూరెలా — మార్చే విధానం చూపిస్తుంది. ఈ మార్పిడి స్థితిధర్మ లక్షణశాస్త్ర సూత్రాల ననుసరించి జరగాలి. గణితశాస్త్రవేత్తలు ఈ శాస్త్రాన్ని టోపాలజీ (Topology) అంటారు. టోపాలజీ శాస్త్రప్రకారం ఈ మార్పిడి, అంటే, చిల్లి గారెని ఎంతలాగినా సాగదీసినా పూర్ణపు బూరె ఆకారం రాదు. ఎందుకంటే, గోళంలో చిల్లులు లేవు. చిల్లిగారెకి చిల్లి ఉన్నది. టొపాలజీలో కత్తిరింపులు నిషిద్ధం. అయినా హోమర్ కొంచెం కొంచెం కొరికి తినడం తప్పులేదని సిద్ధాంతీకరిస్తాడు, తన టొపాలజీలో!

ఇప్పుడు హోమర్ రాసిన రెండవ సమీకరణం చూద్దాం. చూడటానికి ఏమీ ప్రమాదం లేని సమీకరణంలా కనిపిస్తుంది. అయితే, గణితశాస్త్రచరిత్ర తెలిసిన వాళ్లకి చీదర కలుగుతుంది. ఎందుకంటే, హోమర్ ప్రసిద్ధికెక్కిన ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతంలో మార్మికతకి పరిష్కారం కనిపెట్టేశాడా చెప్మా! అని అనిపిస్తుంది.

398712 + 436512 = 447212

ఈ సమీకరణానికి నాంది మూడవశతాబ్దంలో అలెగ్జాండ్రియాలో డియొఫాన్టుస్ రాసిపెట్టిన ఎరిథ్మటికా (Arithmetica) అన్న పుస్తకం. దాంట్లో ఉన్న ఒక సమీకరణం:

X2 + Y2 = Z2

ఈ సమీకరణాన్ని పూర్ణాంకాలతో మాత్రమే పరిష్కరించమని చదువరులకి సవాలు చేశాడు. 1637 లో ఫెర్మాకి (Pierre De Fermat) ఈ పుస్తకం కాపీ దొరికింది. అయితే అతగాడికి తెలుసు; ఈ సమీకరణానికి సమాధానాలు అనంతం, అని. వీటిని పైథాగరీయ త్రయాలు (Pythagorean triples) అంటారు. మనం చిన్నప్పుడు చదువుకోలేదూ, ‘ఎ స్క్వేర్ ప్లస్ బి స్క్వేర్ ఈక్వల్స్ సి స్క్వేర్,’ అని. ఫెర్మాకి విసుగుపుట్టి సమీకరణంలో ఘాతాంకం పెంచాడు. ఆ కొత్త సమీకరణాలని పూర్ణాంకాలతో పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించాడు.

X3 + Y3 = Z3;       నానా యాతనా పడి, ఒకే ఒక్క సమీకరణం సాధించాడు. అదీ చాలా అల్పమైనదే!

03 + 73 = 73;        ఇంకాస్త కష్టపడి మరో సమాధానం సాధించాడు. ఇంతా చేస్తే అది ఉజ్జాయింపు మాత్రమే!

63 + 83 = 93 – 1;       ఫెర్మా ఘాతాంకాలు పెంచుకుంటూ పోయాడు.

Xn + Yn = Zn

n విలువ 2 కన్న ఎక్కువయితే, ఈ సమీకరణానికి పూర్ణాంక విలువలతో సాధించడం అసంభవం అని నిర్థారించుకున్నాడు. అయితే, గణితశాస్త్రంలో ఋజువు కావాలి. ‘ప్రూఫ్’ కావాలి. ఆఖరికి, తాను ఈ ప్రశ్నకి అద్భుతమైన ఋజువు సాధించానని, అయితే అది డియొఫాన్టుస్ పుస్తకం పేజీలో మార్జిన్ (అంచు), చాల ఇరుగ్గా వుండబట్టి ఆ అంచులో తాను సాధించిన ఋజువు పట్టించలేక పోయానని లాటిన్లో రాసి పెట్టాడు.

నాలుగువందల సంవత్సరాలుగా ఎందరో గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఫెర్మా సిద్ధాంతం ఋజువు చెయ్యడానికి యాతన పడ్డారు. కొందరు జీవితాంతం కృషి చేశారు. ఫలితం సున్న. 1995లో ప్రిన్స్‌టన్ ఆచార్యుడు ఆండ్రూ వైల్స్ (Andrew Wiles) ఫెర్మా సిద్ధాంతానికి సరికొత్త ఋజువు కనిపెట్టాడు. ఆ ఋజువు నిడివి వందపేజీల పైచిలుకు! (ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతం, దాని చరిత్రపై 1997లో ఈ సైమన్ సింగ్ Fermat’s Last Theorem అనే పుస్తకం కూడా రాశాడు)

ద విౙర్డ్ ఆఫ్ ఎవర్‌గ్రీన్ టెరేస్ ఉపాఖ్యానంలో, హోమర్, ఫెర్మా, వైల్స్ లని కాదన్నట్టుగా, ఫెర్మా సమీకరణానికి పూర్ణాంక విలువలు సాధిస్తాడు!

3,98712 + 4,36512 = 4,47212

మామూలుగా అందరం వాడుకునే గణనయంత్రం హోమర్ రాసిన సమీకరణం తప్పు కాదని ఋజువు చేస్తుంది. గణనయంత్రం పన్నెండు పైగా సంఖ్యాస్థానాలని చూపించగలిగితే, వచ్చే సమాధానం :

398712+ 4,36512 = 4,472.000000007057617187512

కొద్దిలో తప్పిపోయింది కదూ!

ఈ ఆఖ్యానం రాసిన డేవిడ్ కోహెన్, కెన్ రిబే (kenneth Ribet) దగ్గిర చదువుకున్నాడు. కెన్ రిబే, వైల్స్‌కి ఫెర్మా సిద్ధాంత పరిష్కారానికి సహాయం చేశాడు. డేవిడ్ కావాలనే ఈ ‘చమత్కారం’ హోమర్ ద్వారా ప్రేక్షకులకి అందించాడు!


సింప్సన్ కుటుంబసభ్యుల్లో లీసా మహామేథావి, బహుముఖ ప్రజ్ఞాత. లీసా వయస్సు ఎనిమిదేళ్ళు. మన పిల్లలు లీసాలా ఉంటే ఎంతో బాగుండును అని కోరుకోవడం కన్నా, అందరు పిల్లలూ లీసాలా ఉంటే ఎంతో బాగుండును అని కోరుకోవడం న్యాయం, ధర్మం. 1990లో ప్రసారితమయిన డెడ్ పటింగ్ సొసైటీ (Dead putting society) కథనంలో గణితశాస్త్రంలో లీసా ప్రత్యేక ప్రజ్ఞ నిరూపించబడుతుంది. లీసా అన్న బార్ట్, నాన్న హోమర్, పొరుగింటి ఫ్లాండర్స్‌తో మీనియేచర్ గాల్ఫ్ ఆటలో పోటీ పడతారు. ఓడిపోయిన వాడి తండ్రి, తన భార్య దుస్తులు ధరించి, నెగ్గిన వాడి లాన్ కత్తిరించాలి.

హోమర్, నెడ్ ఫ్లాండర్స్ — బార్ట్, టాడ్ పోటీ మొదలు కాకముందు వాగ్యుద్ధం:

Hom:          This time tomorrow you will be wearing high heels!
Ned:           Nope, you will.
Hom:          ‘Fraid not.
Ned:          ‘Fraid so!
Hom:          ‘Fraid not.
Ned:          ‘Fraid so!
Hom:          ‘Fraid not infinity!
Ned:          ‘Fraid so infinity plus one!
Hom:           D’oh!

అనంతరాశికి (Infinity) , ఒకటి కలిపితే, అది మొదటి అనంత రాశి కన్నా ఎక్కువా? ఈ సమస్యని క్షుణ్ణంగా అర్థం చేసుకున్న గణితశాస్త్రవేత్త గ్యార్గ్ కాంటర్ (Georg Cantor). అయితే అతనిచ్చిన వివరణ సాంకేతికమైనది. కొరుకుడు పడటం కష్టం. డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (David Hilbert) కాంటర్ చేసిన వివరణని, అందరికీ తేలికగా అర్థమయ్యేట్టు కథాపూర్వంగా విశదీకరించాడు.

హిల్బర్ట్ హోటల్ ఊహించండి. ఈ హోటల్లో గదుల సంఖ్య అనంతం (infinity). ప్రతి గదీ, 1, 2, 3… అని గుర్తించబడి ఉన్నాయనుకోండి.

ఒక రాత్రి ఒక పథికుడు గదికోsaM వచ్చాడు. ముందుగా రిజర్వేషన్ చేసుకోలేదు. హిల్బర్ట్ హోటల్లో గదులన్ని ఆక్రమించబడి ఉన్నాయి. అయితే, హిల్బర్ట్ పథికుణ్ణి ఖాళీ లేదని పొమ్మన లేదు. గదులలో ఉన్న వాళ్ళని అందరినీ, ఒక్క గది పక్కకి వెళ్ళమన్నాడు. అంటే, ఒకటవ గదిలోమనిషి రెండవగదిలోకి, రెండవగదిలో మనిషి మూడవగదిలోకి… వగైరా. ఇప్పుడు ఒకటవ గది ఖాళీ!

ఈ దృశ్యవివరణ infinity = infinity +1 అని ‘ఋజువు’ చేస్తున్నది. ( నేను ఋజువు కొలన్లలో పెట్టాను. దీనిని నిర్దుష్టంగా ఋజువు చెయ్యవచ్చును, కాబట్టి!)

మరొక ఊహాదృశ్యం: మళ్లీ హిల్బర్ట్ హోటల్ పూర్తిగా ఆక్రమించబడి ఉంటుంది. ఇప్పుడు మరో అనంతసంఖ్యాకులు హోటల్‌కి వస్తారు. హిల్బర్ట్ ఖాళీ లేదనడు. ఇప్పుడు, మొదటిగదిలో ఉన్న మనిషిని రెండవగదిలోకి, రెండవగదిలో మనిషిని నాలుగవ గదిలోకి, మూడవగదిలో మనిషిని, ఆరవ గదిలోకీ వేళ్ళమంటాడు. అప్పుడు, ఒకటవ గది, మూడవ గది, అలాగే ఐదవగదీ… బేసి గదులన్నీ ఖాళీ. వచ్చిన అనంతకోటికీ గదులు దొరికాయి కదా!

అంటే infinity = infinity + infinity అయ్యింది కదూ!

ఒకవేళ నెడ్ infinity + infinity అని అన్నా, హోమర్ కంగారుపడవలసిన అవసరం లేదు!

బార్ట్ గాల్ఫ్ బంతిని కంతలో పడేట్టు కొట్టడంలో ప్రతిసారీ తికమక పడతాడు. బార్ట్ లీసా సలహా అడుగుతాడు. బార్ట్ పుర్రచేతి వాటం. అయినా గాల్ఫ్ క్లబ్ కుడిచేతి ఆటగాళ్ళలా పట్టుకొని ఆ భంగిమలో నిలబడతాడు. లీసా గ్రిప్ మార్చుకోమని చెప్పచ్చు. దానికి బదులుగా, జామెట్రీ సిద్ధాంతాలు వాడి, గాల్ఫ్ బంతికి శ్రేష్ఠమయిన ప్రక్షేప మార్గం చూపిస్తుంది. ఎంత సున్నితంగా ఈ మార్గాన్ని సాధిస్తుందంటే, ఒకే ఒక్క దెబ్బలో, ప్రతీసారీ గాల్ఫ్ బంతిని కంతలో పడేట్టు చేస్తుంది. ప్రాక్టీస్ ఆటలో గాల్ఫ్ బంతిని వరసగా ఐదు గోడలకి తగిలిన తరువాత కంతలో పడవెయ్యడం నేర్పుతుంది. బార్ట్ లీసాతో అంటాడు: I can’t believe it. You’ve actually found a practical use for geometry!

మనీబార్ట్ (MoneyBART 2010) కథనంలో లీసా గణితప్రతిభ మరింత స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది.

అందగత్తె ధాలియా బ్రింక్లీ స్ప్రింగ్‌ఫీల్డ్ ఎలిమెంటరీ స్కూలు నుంచి ఐవీ లీగ్ యూనివర్సిటీకి వెళ్ళిన ఏకైక విద్యార్థిని. ఆమెని స్కూలుకి అందరూ ఆహ్వానిస్తారు. ప్రిన్సిపలూ సూపరింటెండెంటూ ఆవిడ అనుగ్రహం కోసం ప్రయత్నిస్తూన్న సందర్భంలో, లీసా స్నేహితుడిగా నటిస్తూ, నెల్సన్ మంట్జ్ అనే అనాగరిక విద్యార్థి కూడా ధాలియాతో మంచి చేసుకోటానికి వస్తాడు. వచ్చి ధాలియాతో లీసా గణితశాస్త్రప్రతిభ గురించి మొదలు పెడతాడు.

‘లీసా అంకెల లెక్కలే కాదు, అక్షరాలతో ఉన్న లెక్కలు కూడా చెయ్యగలదు, తెలుసా?’ అని అంటాడు. ‘ఎక్స్ అంటే ఏమిటి లీసా?’ అని అడుగుతాడు. ‘వెల్! దట్ డిపెండ్స్’ అంటుంది, లీసా. ‘నిన్న సరిగానే చెప్పింది ఎక్స్ అంటే ఏమిటో. మరి ఎవాళ ఎందుకనో…’ అని నీళ్ళు నవులుతాడు.

ఈ సందర్భంలో, ధాలియా లీసాతొ అంటుంది. తనకి ఐవీ లీగ్ స్కూల్లో సీట్ దొరకటానికి విస్తృతంగా తాను పాఠ్యాశేంతర (extracurricular) కార్యక్రమాల్లో పాల్గొనడం కారణం, అని. లీసా తను జాజ్ క్లబ్ కోశాధికారిణి అని, స్కూల్ రిసైక్లింగ్ సొసైటీ ప్రారంభకర్తననీ చెపుతుంది.

‘Two Clubs? Well, that’s a bridge bid, not an Ivy League application.’ ధాలియా సమాధానం. (బ్రిడ్జ్ ఆట పరిచయం ఉన్న వాళ్ళకి ఈ చమత్కారం బాగా బోధపడుతుంది).


లీసా బేస్‌బాల్‌ పుస్తకాల జాబితా

ఇలా ఉండగా బార్ట్ లిటిల్ లీగ్ బేస్‌బాల్‌ జట్టు — ఐసోటాట్స్ — కోచ్ వెళ్ళిపోతాడు. ఐవీ లీగ్ స్కూల్లో సీట్ రావడానికి తన యోగ్యత మెరుగుపడుతుందనే ఉద్దేశంతో, లీసా కోచ్ పదవి తీసుకుంటుంది. లీసాకి తెలుసు, తనకి బేస్‌బాల్‌ ఆట ఓనమాలు కూడా తెలియవని. నిశిత గణిత విశ్లేషణ పరంగానే బేస్‌బాల్‌ ఆట గురించి తెలుసుకోవటం సాధ్యం అని ప్రొఫెసర్ ఫ్రింక్ ద్వారా తెలుసుకొని, ఆయన ఇచ్చిన పుస్తకాలు తెచ్చుకుంటుంది. లీసా తీసుకొచ్చిన పుస్తకాల జాబితా చూడండి:

వీటిలో బిల్ జేమ్స్ పుస్తకం మనీబాల్ తప్ప, మిగిలినవన్నీ కాల్పనిక శీర్షికలే! బిల్ జేమ్స్ బేస్‌బాల్‌కి సంబంధించిన స్టాటిస్టిక్స్ అన్నీ, పొందుపరిచాడు. ఈ గణాంకాలు నిశితంగా పరిశీలించాడు. అంటే, బేస్‌బాల్‌ ఆటని గణితశాస్త్రం ద్వారా అర్థం చేసుకోటానికి నాందీవాక్యం పలికాడు. ఈ పరిశీలనకి సేబర్‌మెట్రిక్స్ (sabermetrics) అని పేరుపెట్టాడు. ఓక్‌లాండ్ బేస్‌బాల్ జట్టు మేనేజర్ బిలీ బీన్ (Billy Beane) ఈ సేబర్‌మెట్రిక్స్ వాడి, బేస్బాల్ ఆటలో ఇంతకు ముందున్న చాదస్తాలపై సవాలు చేశాడు. బిలీ బీన్ గణితశాస్త్ర పద్ధతులని ఇతర బేస్‌బల్ జట్లు కూడా అనుసరించడం మొదలుపెట్టాయి. బిలీ బీన్ ఈ గణితశాస్త్ర పద్ధతులు జయప్రదంగా ఎల్ల ఉపయోగించాడో, మనీబాల్ (Moneyball…) అన్న పుస్తకంలో మైఖల్ లూయిస్ (Michael Lewis) పూసగుచ్చినట్టు రాస్తాడు. ఇదేపేరుతో ఈ పుస్తకం సినిమాగా కూడా వచ్చింది.

లీసా సంఖ్యాశాస్త్ర సాంకేతికత వాడి, అంతకుముందు అట్టడుగున పడి ఉన్న ఐసోటాట్స్ జట్టుని ద్వితీయస్థానం లోకి దిగ్విజయంగా తీసుకొవస్తుంది. బార్ట్ కోచ్ లీసా చెప్పినట్టుగా ఆడడు. కోచ్ చెప్పిన దానికి పూర్తిగా విరుద్ధంగా చేస్తాడు. ఐసోటాట్స్ ఆ ఆట నెగ్గుతారు. అయినప్పటీ లీసా బార్ట్‌ని తరువాత ఆట ఆడనీయదు. బార్ట్ అవిధేయత భవిష్యత్తులో ఐసొటాట్స్ ఆడబోయే పోటీలకి తన సంఖ్యాశాస్త్ర వ్యూహాన్ని బలహీనపరుస్తుందని నమ్ముతుంది. ‘బార్ట్ సంభావ్యతాసిద్ధాంత సూత్రాలకన్న మిన్న కాదు,’ కాబట్టి, వాడిని ఆటనించి తొలగిస్తుంది.

బార్ట్ లేకపోయినా, లీసా గణితశాస్త్ర ప్రతిభ వలన ఐసోటాట్స్ ఫైనల్ దాకా వస్తారు. దురదృష్ఠవశాత్తూ, ఒక ముఖ్య ఆటగాడికి మోతాదు మించి పండ్లరసం తాగటం మూలంగా ఆ పూట అస్వస్థత కలుగుతుంది. విధిలేక, బార్ట్‌ని ఆటలోకి తీసుకొని రావలసి వస్తుంది, లీసాకి. మళ్ళీ బార్ట్ లీసా చెప్పినట్టుగా ఆడడు. ఐసోటాట్స్ ఓడిపోతారు. లీసా ఉద్దేశంలో, బేస్‌బాల్ ఆట గణితవిశ్లేషణతో అర్థం చేసుకోవాలని లీసా, ఆటలన్నిటికీ అంతఃప్రేరణ, భావావేశం సహజమనీ బార్ట్ నమ్మిక.

ఈ కథనం ఒక తాత్విక ప్రశ్న లేవదీస్తుంది. విశ్లేషణ అంతర్గత సౌందర్యాన్ని ధ్వంసం చేస్తుందా? లేక ఆ సౌందర్యాన్ని పెంపొందిస్తుందా?


దే సేవ్‌డ్ లీసాస్ బ్రెయిన్ (They Saved Lisa’s Brain, 1999) అనే కథనంలో ప్రపంచప్రఖ్యాత విశ్వోద్భవశాస్త్రవేత్త స్టీవెన్ హాకింగ్ (Stephen Hawking) లీసాని రక్షిస్తాడు.

లీసా తన గణితశాస్త్ర ప్రతిభ వల్ల మెన్సాలో (MENSA) సభ్యత్వం సంపాదిస్తుంది. స్ప్రింగ్‌ఫీల్డ్ మేయర్ లంచాలు తిని, ప్రభుత్వాధికారులకు దొరక్కుండా పారిపోతాడు. అప్పుడు, లీసా, మెన్సా మెంబర్లూ ఊరి పాలన మొదలుపెడతారు. అయితే ఐ.క్యు. (I.Q.) అధికంగా ఉన్నవాళ్ళు వివేకవంతమైన నాయకులు కావాలసిన అవసరం లేదు. మెన్సా వాళ్ళ పాలన జనానికి పిచ్చెక్కించినంత పని చేస్తుంది. జనం దొమ్మీగా పైబడటం మొదలవంగానే, స్టీవెన్ హాకింగ్ తన చక్రాలకుర్చీని హెలికాప్టర్లా మార్చి లీసాని రక్షించుతాడు. ఆయన ఉద్దేశంలో లీసా ఉన్నతవిద్య పూర్తి చేసుకున్న తరువాత, భవిష్యత్తులో చాలా గొప్పవిషయాలు సాధించగలదని నమ్మకం.

లీసా విశ్వవిద్యాలయంలో రాణించగలదన్న విషయం ఫ్యూచర్ డ్రామా (Future Drama, 2005) అన్న కథనంలో సూచనప్రాయంగా కనిపిస్తుంది. ఎలాగంటే, ప్రొఫెసర్ ఫ్రింక్ తయారుచేసిన యంత్రసాధనంలో వ్యక్తుల భవిష్యత్తు చూడవచ్చు. అందులో, లీసా రెండేళ్ళ ముందుగా హైస్కూలు పూర్తి చేసి, యేల్ విశ్వవిద్యాలయంలో విద్యార్థి వేతనం సంపాదిస్తుంది. అంతే కాదు. రానున్న దశాబ్దాలలో, స్త్రీలు విజ్ఞానశాస్త్రం, గణిత శాస్త్రంలోను పురుషులనందరినీ అధిగమిస్తారని ఈ యంత్రసాధనం సూచిస్తుంది. లీసా ‘గాల్ జీబ్రా,’ ‘ఫెమిస్ట్రీ’ చదవడానికి నిశ్చయించుకుంటుంది.

ఈ కథనం చెయ్యడానికి 2005లో హార్వర్డ్ అధ్యక్షుడు లారీ సమర్స్ చేసిన వివాదాస్పద ప్రవచనాలు కారణం. సైన్స్, ఇంజనీరింగ్ భాగాలలో స్త్రీలు ఎక్కువగా పాల్గొనకపోవడానికి కారణం స్త్రీసహజమైన అభిరుచులు ముఖ్య కారణం అన్నభావాలు సూచనప్రాయంగా చెప్పాడు. ప్రసిద్ధవిద్యాలయాధికారి ఇటువంటి వ్యాఖ్యానం ఇవ్వడం సైన్స్, ఇంజనీరింగ్ చదువుకుందామని కుతూహలం చూపిస్తున్న విద్యార్థినులకు నిరుత్సాహం కలిగిస్తాయని దేశవ్యాప్తంగా విద్యావేత్తలనుండి విమర్శలు ఉప్పెనలా వచ్చాయి. దానితో, సమ్మర్స్ హార్వర్డ్ విశ్వవిద్యాలయ అధ్యక్షపదవికి తరువాత రాజీనామా ఇచ్చాడు.

గల్స్ జస్ట్ వాంట్ టు హేవ్ సమ్స్ (Girls Just Want to Have Sums, 2006) కథనంలో గణితశాస్త్రం, విజ్ఞానశాస్త్రాలలో స్త్రీల గురించి వ్యంగ్య చిత్రీకరణ చక్కగా చేస్తారు. సమర్స్ లాగానే, ప్రిన్స్‌పల్ స్కినర్ పప్పులో కాలు వేస్తాడు. క్రెల్నర్ స్కూలు పాతవిద్యార్థిని. స్కూల్లో సంగీత కచేరీ నిర్వహిస్తుంది. ఆ సంగీతకచేరీ పూర్తి అయిన తరువాత, స్టేజీ మీద స్కినర్ ఆమె ప్రతిభని పొగుడుతూ, ‘నీకు స్కూలులో అన్నీ ఎ గ్రేడులే వచ్చాయి కదూ!’ అనంగానే ఆమె, ‘లేదు. లెక్కల్లో నాకు బి వచ్చింది,’ అని అంటుంది. ‘అవునులే! నువ్వు ఆడపిల్లవు కదా,’ అంటాడు స్కిన్నర్. ప్రేక్షకుల్లో కలకలం మొదలవుతుంది.

స్కినర్ అక్కడితో ఆగకుండా, ‘నేను చూసినంతలో లెక్కల్లోను, సైన్స్ లోనూ, మొగపిల్లలు ఆడపిల్లలకన్నా మెరుగు,’ అని అంటాడు.

దరిమిలా స్కినర్ ఉద్యోగం ఊడిపోతుంది. మెలనీ అప్పుడు ప్రిన్సిపాల్ అవుతుంది. ఆడపిల్లలని వేరే స్కూలులో పెడుతుంది. ఆడపిల్లలకి చెప్పవలసిన లెక్కలు స్త్రీ సంబంధితంగా ఉండాలని, పలచబడ్డ చవకబారు గణితం ప్రవేశపెడుతుంది. లీసాకి ఇది నచ్చదు. మొగపిల్లవాడి వేషంలో, మొగపిల్లల స్కూలులో ప్రవేశిస్తుంది, జేక్ బాయ్‌మన్ అన్న మారుపేరుతో. ఈ కథనం, యెన్టెల్ (Yentl) కథకి ప్రతిబింబంలా నడుస్తుంది. యెంటెల్ జూయిష్ మతగ్రంధం తాల్మూద్ చదవడం కోసం మొగపిల్లవాడిలా తయారవుతుంది. చివరిలో లెక్కల్లో అందర్నీ అధిగమించిన విద్యార్థిగా స్టేజీ మీద ప్రశంసలు అందుకునే సమయంలో, తాను ఆడపిల్లనని బహిరంగపరుస్తుంది.

“స్త్రీలు గణితశాస్త్రం నేర్చుకోకపోవడానికి అసలు నిజమైన కారణం…” అని లీసా చెపుతూ ఉండగా స్కూలు సంగీతం మేష్టారు ఫ్లూట్ వాయించే మార్టిన్ ప్రిన్స్‌ని పరిచయంచేస్తుంది. ఈ విషయం అటో ఇటో తేలకండా పక్కదారి పట్టించి కథనం పూర్తి చేస్తారు.



బేస్‌బాల్‌ ప్రశ్న

మార్జ్ అండ్ హోమర్ టర్న్ ఎ కపుల్ ప్లే (Marge and Homer turn a couple play, 2006) కథనంలో, ఒక బేస్‌బాల్ ఆటకి వచ్చిన జనం ఎంతమందో ఊహించమని బహుళైచ్చిక (multiple choice) ప్రశ్నలు స్క్రీన్ మీద చూపిస్తారు. మామూలు ప్రజలకి ఆ మూడు సంఖ్యలూ ‘అమాయకం’గా కనిపించవచ్చు కాని, గణితశాస్త్రం చదువుకున్నవాళ్ళకి వాటి ప్రత్యేకత, విలక్షణత గుర్తుకు వస్తుంది. సింప్సన్స్ రచయితలు, వీలు దొరికినప్పుడల్లా గణితంలో విచిత్రాలు కథనంలో ఇరికిస్తారని తిరిగి చెప్పనక్కరలేదు.

మొదటి సంఖ్య 8191, ప్రధాన సంఖ్యలేదా అభేద్యాంకము (prime Number). ఇంకొక ప్రత్యేకత ఏమిటంటే, ఇది మర్సన్ (Mersenne) ప్రధానసంఖ్య.

2p – 1 సూత్రం తీసుకోండి. p ప్రధాన సంఖ్య. ఈ సూత్రంలో ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రతిక్షేపించితే వచ్చే సంఖ్యలు కూడా ప్రధాన సంఖ్యలేనా? మచ్చుకి ఈ కింది పట్టిక చూడండి.

Prime (p) Prime?
2 3
yes
3 7
yes
5 31
yes
7 127
yes
11 2047
no
13 8191
yes
17 131071
yes
19 524287
yes

2p – 1 వాడి కొత్త ప్రధానసంఖ్యలు కనుక్కోవచ్చు. తమాషా ఏమిటంటే, ఈ సూత్రం ఉపయోగించి, 2013లో కనుక్కున్న పెద్ద మెర్సెన్ ప్రధానసంఖ్య 257885161 -1. ఇందులో పదిహేడు మిలియన్ల అంకెలు ఉన్నాయి.

రెండవసంఖ్య, 8128 నిర్దుష్ట సంఖ్య (perfect number). ఒక సంఖ్య భాజకాలని (divisors) కూడితే, ఆ సంఖ్యే సమాధానంగా వస్తే, అటువంటి సంఖ్యలని నిర్దుష్ట సంఖ్యలని అంటారు. ఉదాహరణకి, 6 అన్నిటికన్నా చిన్నదైన నిర్దుష్ట సంఖ్య. దాని భాజకాలు, 1, 2, 3. వాటిని కూడితే, సమాధానం 6. అలాగే 28 తరువాతి నిర్దుష్ట సంఖ్య. 1, 2, 4, 7, 14, దాని భాజకాలు. వాటిని కలిపితే 28 వస్తుంది. అదే వరసలో పోతే, నాలుగవ నిర్దుష్ట సంఖ్య 8128.

స్క్రీన్ మీద ఉన్న మూడవ సంఖ్య 8208. దీనిని నార్సిసిస్టిక్ (narcissistic) సంఖ్య అంటారు. తెలుగులో ‘స్వయం మోహిత’ సంఖ్య అని చెప్పచ్చు. సంఖ్యలో నాలుగు అంకెలున్నాయి. ప్రతి అంకెనీ నాలుగు సార్లు దానితో దానినే గుణించండి. తరువాత వాటిని కలిపి కూడండి. సమాధానం, ఆ మొదటి సంఖ్యే!

8208 = 84 + 24 + 04 + 84 = 4096 + 16 + 0 + 4096

ఇలాటి సంఖ్యలు స్వయం మోహితాలు! ఇంతకన్నా మించిన వివరణ అనవసరం!


రాక్-పేపర్-సిౙర్స్ (Rock-Paper-Scissors, RPS) ఒక అల్పమైన ఆటలా కనిపిస్తుంది. మరి గణితశాస్త్రవేత్తలకి దీనిపై మమకారం ఏమిటి అన్న ప్రశ్న రాక మానదు. ఈ ఆటని, గేమ్ థీరీలో వాడుతారు. ఈ ఆట ఆడటానికి నిబంధనలు, ఆటలో ఉన్న కిటుకుల గురించి సైమన్ సింగ్ చక్కని ఉదాహరణలిచ్చాడు. ది ఫ్రంట్ (The Front, 1993) అనే కథనంలో బార్ట్, లీసా ఈ ఆట ఆడతారు. (ఇలాంటిదే, మరొక పాఠాంతరం rock-paper-scissors-lizard-Speck (RPSLSp). శామ్ కాస్ (Sam Kass) అనే కంప్యూటర్ ప్రొగ్రామర్ ఈ ఆట తయారుచేశాడు. దీనిని ద బిగ్ బాంగ్ థీరీ (2008)అనే టెలివిజన్ సిట్‌కామ్‌లో ఒక కథనంలో వాడారు.)


రచయిత సైమన్ సింగ్

హోమర్ పనిచేసే న్యూక్లియర్ పవర్ ప్లాంటుకి హెన్రీ కిసింజర్ వస్తాడు. ఈ కథనం ($pringfield, 1993) ప్రారంభంలో కిసింజర్ ట్రేడ్మార్క్ కళ్ళజోడు టాయిలెట్లో పడిపోతుంది. ఎవరికన్నా చెపితే నవ్వుతారని కిమ్మనకుండా ఆయన బయటికి వస్తాడు. కొద్దిసేపటి తరువాత హోమర్ ఆ గదిలోకే వెళ్తాడు. టాయిలెట్ గుంటలో కళ్లజోడు తీసి తను పెట్టుకుంటాడు. అంతే! కిసింజర్ కళ్ళజోడు హోమర్ మెదడుని ప్రభావితం చేసిందా అని అనిపిస్తుంది. ఎందుకంటే, ఆ గదిలో ఉండగానే, ఒక గణితసూత్రం నెమరువెయ్యడం మొదలుపెడతాడు, హోమర్ — ‘ఒక సమద్విభుజత్రికోణములో ఏ రెండు భుజముల వర్గమూలము కూడినా మూడవ భుజం వర్గమూలముకు సమానము,’ అని.

ఇది పైథాగరస్ సిద్ధాంతంలా వినిపించినా, కాదని స్కూలు పిల్లలకి కూడా తెలుస్తుంది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం, లంబకోణ త్రిభుజానికి సంబంధించినది. పైగా, వర్గమూలముల కూడిక కాదు; వర్గముల కూడిక. కర్ణము వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజముల వర్గముల కూడికకు సమానం, అని. హోమర్ చెప్పినది ఊహ (conjecture), సిద్ధాంతం కాదు. తను చెప్పినది తప్పని ఋజువు చెయ్యడం తేలిక. నిరూపించడం కష్టం. కిసింజర్ కళ్ళజోడు ప్రభావంలో హోమర్ మెదడు నుంచి వచ్చిన ఊహ ఇది, అని వేళాకోళం చెయ్యడం రచయితల ఉద్దేశం కాదని చెప్పవచ్చు. ది విౙర్డ్ ఆఫ్ ఆౙ్‌లో (The Wizard of Oz, 1939) ఇటువంటి తప్పే జరిగింది.

స్కేర్‌క్రో (scarecrow) మెదడు కోసం వెతుక్కుంటూవుంటే, విజర్డ్ (wizard) స్కేర్‌క్రోకి మెదడు ఇవ్వలేడు కానీ, వాడికి ఒక డిప్లమా ఇస్తాడు. ఆ సమయంలో, స్కేర్‌క్రో నిరాలోచనగా పైకి అంటాడు: “The sum of square roots of any two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the remaining side.”

అంటే, హోమర్, స్కేర్‌క్రో –- ఇద్దరికీ వాళ్ళ సామర్థ్యంపై నమ్మకం విపరీతంగా పెరిగిపోతుంది; హోమర్‌కి కిసింజర్ కళ్ళద్దాల వల్ల, స్కేర్‌క్రోకి విజర్డ్ ఇచ్చిన డిప్లమా వల్లా! ఈ కథనంలో లొసుగులపై ఎవరికి తోచిన వ్యాఖ్య వాళ్ళివ్వచ్చు. ఏది ఏమయినా, స్కేర్‌క్రో (హోమర్) గణితశాస్త్ర సంబంధిత ‘ఊహ’ అప్రామాణికమైనది.

ఇంతకుముందు, లీసా బేస్‌బాల్ కోచ్ కథనం చూశారు. లీసా తెచ్చుకున్న పుస్తకాల కట్టలో, ఒక పుస్తకంపై ఉన్న సమీకరణం: e +1 =0 గుర్తున్నదా? దీనిని ఆయిలర్ సమీకరణం (Euler’s theorum) అంటారు. ఈ వ్యాసంలో దీని గురించి వివరంగా రాయటం కొంచెం క్లిష్టమైన పని. (ఆయిలర్ సమీకరణం గణితశాస్త్రంలో ఒక అసాధారణ మయిన సమీకరణం. ఇది గణితశాస్త్రానికి మూలాధారమయిన ఐదు అంశాలకి ఐక్యత కలిపిస్తుంది. ఆ ఐదు మూలాధారాలూ, వరుసగా, 0, 1, e, i, π. సైమన్ సింగ్ పుస్తకంలో, రెండవ అనుబంధములో ఈ సమీకరణముపై ఒక చిన్న గణిత వ్యాఖ్య ఉన్నది. గణితశాస్త్రంలో infinite series expansions తెలిసిన వారికి ఇది సులభంగా బోధపడుతుంది.)

అయితే, అందులో e, πల గురించి కాస్త చెప్పుకుందాం.

వడ్డి కట్టటం గురించి వినని వాళ్ళు అరుదు. సాధారణ వడ్డి, చక్రవడ్డి మనకి తెలిసినవే. చక్రవడ్డి, సంవత్సరానికోసారి కాకండా, నెల నెలా, వారం వారం, రోజురోజుకీ కట్టవచ్చు.

F= $(1 + 1/n)n — చక్రవడ్డీ కట్టటానికి ఉపయోగించే సమీకరణం.

ఇందులో, n సంవత్సరంలో ఎన్నిసార్లు వడ్డీ కట్టి అసలుకి కలిపేది, F చివరకి వచ్చే పైకం.

సంవత్సరంలో రెండుసార్లు వడ్డి కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ రెండు. అప్పుడు అసలు ఒక డాలరైతే, సంవత్సరాంతంలో పైకం $2.25 అవుతుంది. ప్రతిరోజూ వడ్డీ కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ 365. అప్పుడు సంవత్సరాంతంలో వచ్చే పైకం, $2.7145. గంటగంటకీ వడ్డీ కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ 8760. సంవత్సరాంతంలో వచ్చే పైకం, $2.7181. క్షణక్షణమూ వడ్డీ కట్టితే, ఆఖరిపైకం, $2.71828182. ఈ దశాంశం అనంతం. ఇలాంటి అంకెలని కరణి (irrational) అంకెలని అంటారు. 2.718 గణితశాస్త్రంలో e (exponential) లేదా ఘాతీయం అని సంబోధిస్తారు.

చక్రవడ్డితో సంబంధం ఉన్న ఈ ఘాతీయం, గణితశాస్త్రంలో చాలా ముఖ్యమైన అంకె. π లాగానే, ఇది చాలాచోట్ల కనిపిస్తూది. పోతే, -1 వర్గమూలం i అని అంటారు. ఇది ఊహ్యసంఖ్య. ఈ మూడూ ఎక్కడ కనిపించినా ఎప్పుడు కనిపించినా గణితశాస్త్రవేత్తలకి కన్నులపండుగే!


మరో విశ్వంలో హోమర్

మార్జ్ ఇన్ చెయిన్స్ (Marge in Chains, 1993) కథనంలో, మార్జ్ షాపులో విస్కీ సీసా దొంగతనం చేసిందని అరెస్ట్ చేస్తారు. అప్పుడు ఆపూ, క్విక్–యి-మార్ట్ యజమాని, కోర్టుకి సాక్షిగా వస్తాడు. మార్జ్ విస్కీ సీసా ఎత్తుకోపోవటం తాను కళ్ళారా చూశానని చెప్పుతాడు. ‘నీ జ్ఞాపకశక్తి దోషరహితం కాదని ఋజువేమిటి?’ అని ప్రశ్నిస్తే ‘నా జ్ఞాపకశక్తి నిర్దుష్టమైనది, ఢోకాలేనిది. నేను π విలువ నలభైవేల దశాంశస్థానాల వరకూ వల్లె వేయగలను. పై ఆఖరి దశాంశం 1,’ అంటాడు. ఇది కథ కోసం చెప్పినా, π విలువని 30వేల పైచిలుకు దశాంశస్థానం వరకూ వల్లె వేసినవాడు, రాజన్ మహదేవన్.

1995లో ప్రసారితమైన ట్రీ హౌస్ ఆఫ్ హారర్స్‌లో (Tree house of Horror VI) హోమర్ మరో విశ్వంలోకి అకస్మాత్తుగా వెళ్ళిపోతాడు. ఇందులో గణితశాస్త్రం పరాకాష్ట అందుకున్నదనే చెప్పాలి. రకరకాల గణితశాస్త్ర సమీకరణాలు flash backలో కనిపిస్తాయి. ఈ క్రింది సమీకరణం చూడండి. ఇది నిజమా అనిపిస్తుంది.

1,78212 + 1,84112 = 1,92212

ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతానికి ఇది మరొక సమాధానంలా కనిపిస్తుంది. కాని కాదని ఋజువు చెయ్యటానికి కొంచెం యుక్తిని ఉపయోగించాలి. సమీకరణం సాధించనక్కరలేదు, ఇది తప్పని చెప్పటానికి.

మొదటిసంఖ్య సరిసంఖ్య. దానిని దానితోనే పన్నెండుసార్లు గుణించితే సరిసంఖ్య వస్తుంది. రెండవసంఖ్య బేసిసంఖ్య. దానిని, దానితోనే పన్నెండుసార్లు గుణిస్తే బేసిసంఖ్య వస్తుంది. సరిసంఖ్యకి బేసి సంఖ్య కలిపితే, బేసిసంఖ్య రావాలి కదా! పై సమీకరణంలో మూడవసంఖ్య సరిసంఖ్య! ఇది తప్పు.

P=NP. ఇది గణితశాస్త్రజ్ఞులకి, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలకీ ఇష్టమైనది. ఎక్కువ లోతుకి పోకండా, ఈ విషయం గురించి చెపుతాను. గుణించటం, గణాంకవిభజనకన్నా సులువా, కష్టమా? ఆలోచించండి. ఈ విషయంపై పుస్తకంలో, చక్కని విశ్లేషణ ఉన్నది. ఆయిలర్ సమీకరణం చాలా కథనాల్లో చూస్తాం. మళ్ళీ అది ప్రత్యక్షమవుతుంది.


2003లో వచ్చిన ఫ్యూచరామా (Futurama) కథనం ఒకటి చెప్పి ఈ వ్యాసం ముగిస్తాను. ఒక సందర్భంలో, 1999 లోనే క్రిస్మస్ కార్డు మీద బి.పి. 1729 కనిపిస్తుంది. మళ్ళీ 2003లో 1729 ప్రత్యక్షమవుతుంది. ఈ సంఖ్యకి రకరకాల కథలు చెప్పుతారు, కానీ అసలు ముఖ్యమైన కథ శ్రీనివాస రామానుజన్‌కీ ప్రసిద్ధ గణితశాస్త్రవేత్త హార్డీకీ మధ్య జరిగిన సంభాషణ. హార్డీ, రామానుజాన్ని కేంబ్రిడ్జ్ తీసుకొని వచ్చిన గణితశాస్త్రవేత్త. హార్డీ ఒకచోట రామానుజన్ గురించి అంటాడు: (Ramanujan is) a mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power, అని.

రామానుజన్ హాస్పటల్లో ఉంటాడు. హార్డీ చూడటానికి వస్తాడు. వచ్చి, రామానుజన్‌తో అంటాడు: I thought the number of my taxicab was 1729. It seemed to me rather a dull number.

రామానుజన్ క్షీణిస్తున్న ఆరోగ్యంతో కొట్టుమిట్టాడుతున్నా అంకెలు అతని ప్రాణం. వెంటనే హార్డీతో అంటాడు: No, Hardy! No, Hardy! It is a very interesting number. It is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.

1729 = 13 + 123 = 93 + 103

1729 చాలా కథనాలలో వస్తుంది. ఈ కథనాల రచయితలు (గణితశాస్త్రం చదువుకున్న వాళ్ళు కదా!) పదే పదే ఆ సంఖ్య కార్టూనులలో వాడి రామానుజానికి నివాళి అర్పిస్తున్నారనటం, అతిశయోక్తి కాదు. ఈ సమీక్షతో సంబంధం లేదు కానీ, రామానుజన్ గురించి విశేషాలు తెలుసుకోవాలంటే ఈ క్రింది రెండు పుస్తకాలూ ఉపయోగపడతాయి. అవి: 1. A mathematician’s Apology, by G. H. Hardy, (Reprinted in 1969) with a Foreword by C.P. Snow. 2. The Man who knew Infinity, by Robert Kanigel (1991).

గణితశాస్త్రం అంటే ఆమడ దూరానికి పోయేవాళ్ళు, కార్టూనులు సరదా కోసం మాత్రమే చూసే వాళ్ళూ, పిల్లలని కార్టూనుల ముందు పడేసి తమ పనులు తాము చూసుకునేవాళ్ళూ, ఈ కథనాలని అందరూ కూర్చొని చూసి ఆనందిస్తారని , పిల్లలకీ, పెద్దలకీ గణితశాస్త్ర పరిచయం , దానిపై వాత్సల్యం పెరుగుతుందని నా ఆశ. ఈ కార్యక్రమాలు అడపా దడపా తిరిగి ప్రసారం అవుతున్నాయి. వరసగా కొన్ని టెలివిజన్ చానళ్ళు మళ్ళీ మళ్ళీ ప్రసారం చేస్తున్నాయి. సైమన్ సింగ్ పుస్తకం చదివి, ఈ ప్రసారాలు చూస్తే, ఈ కథనాలని ఇంకా బాగా ఆనందిస్తారని నేను అనుకుంటున్నాను.