పుస్తక పరిచయం: The Simpsons and Their Mathematical Secrets (2013)

రెండవసంఖ్య, 8128 నిర్దుష్ట సంఖ్య (perfect number). ఒక సంఖ్య భాజకాలని (divisors) కూడితే, ఆ సంఖ్యే సమాధానంగా వస్తే, అటువంటి సంఖ్యలని నిర్దుష్ట సంఖ్యలని అంటారు. ఉదాహరణకి, 6 అన్నిటికన్నా చిన్నదైన నిర్దుష్ట సంఖ్య. దాని భాజకాలు, 1, 2, 3. వాటిని కూడితే, సమాధానం 6. అలాగే 28 తరువాతి నిర్దుష్ట సంఖ్య. 1, 2, 4, 7, 14, దాని భాజకాలు. వాటిని కలిపితే 28 వస్తుంది. అదే వరసలో పోతే, నాలుగవ నిర్దుష్ట సంఖ్య 8128.

స్క్రీన్ మీద ఉన్న మూడవ సంఖ్య 8208. దీనిని నార్సిసిస్టిక్ (narcissistic) సంఖ్య అంటారు. తెలుగులో ‘స్వయం మోహిత’ సంఖ్య అని చెప్పచ్చు. సంఖ్యలో నాలుగు అంకెలున్నాయి. ప్రతి అంకెనీ నాలుగు సార్లు దానితో దానినే గుణించండి. తరువాత వాటిని కలిపి కూడండి. సమాధానం, ఆ మొదటి సంఖ్యే!

8208 = 84 + 24 + 04 + 84 = 4096 + 16 + 0 + 4096

ఇలాటి సంఖ్యలు స్వయం మోహితాలు! ఇంతకన్నా మించిన వివరణ అనవసరం!


రాక్-పేపర్-సిౙర్స్ (Rock-Paper-Scissors, RPS) ఒక అల్పమైన ఆటలా కనిపిస్తుంది. మరి గణితశాస్త్రవేత్తలకి దీనిపై మమకారం ఏమిటి అన్న ప్రశ్న రాక మానదు. ఈ ఆటని, గేమ్ థీరీలో వాడుతారు. ఈ ఆట ఆడటానికి నిబంధనలు, ఆటలో ఉన్న కిటుకుల గురించి సైమన్ సింగ్ చక్కని ఉదాహరణలిచ్చాడు. ది ఫ్రంట్ (The Front, 1993) అనే కథనంలో బార్ట్, లీసా ఈ ఆట ఆడతారు. (ఇలాంటిదే, మరొక పాఠాంతరం rock-paper-scissors-lizard-Speck (RPSLSp). శామ్ కాస్ (Sam Kass) అనే కంప్యూటర్ ప్రొగ్రామర్ ఈ ఆట తయారుచేశాడు. దీనిని ద బిగ్ బాంగ్ థీరీ (2008)అనే టెలివిజన్ సిట్‌కామ్‌లో ఒక కథనంలో వాడారు.)


రచయిత సైమన్ సింగ్

హోమర్ పనిచేసే న్యూక్లియర్ పవర్ ప్లాంటుకి హెన్రీ కిసింజర్ వస్తాడు. ఈ కథనం ($pringfield, 1993) ప్రారంభంలో కిసింజర్ ట్రేడ్మార్క్ కళ్ళజోడు టాయిలెట్లో పడిపోతుంది. ఎవరికన్నా చెపితే నవ్వుతారని కిమ్మనకుండా ఆయన బయటికి వస్తాడు. కొద్దిసేపటి తరువాత హోమర్ ఆ గదిలోకే వెళ్తాడు. టాయిలెట్ గుంటలో కళ్లజోడు తీసి తను పెట్టుకుంటాడు. అంతే! కిసింజర్ కళ్ళజోడు హోమర్ మెదడుని ప్రభావితం చేసిందా అని అనిపిస్తుంది. ఎందుకంటే, ఆ గదిలో ఉండగానే, ఒక గణితసూత్రం నెమరువెయ్యడం మొదలుపెడతాడు, హోమర్ — ‘ఒక సమద్విభుజత్రికోణములో ఏ రెండు భుజముల వర్గమూలము కూడినా మూడవ భుజం వర్గమూలముకు సమానము,’ అని.

ఇది పైథాగరస్ సిద్ధాంతంలా వినిపించినా, కాదని స్కూలు పిల్లలకి కూడా తెలుస్తుంది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం, లంబకోణ త్రిభుజానికి సంబంధించినది. పైగా, వర్గమూలముల కూడిక కాదు; వర్గముల కూడిక. కర్ణము వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజముల వర్గముల కూడికకు సమానం, అని. హోమర్ చెప్పినది ఊహ (conjecture), సిద్ధాంతం కాదు. తను చెప్పినది తప్పని ఋజువు చెయ్యడం తేలిక. నిరూపించడం కష్టం. కిసింజర్ కళ్ళజోడు ప్రభావంలో హోమర్ మెదడు నుంచి వచ్చిన ఊహ ఇది, అని వేళాకోళం చెయ్యడం రచయితల ఉద్దేశం కాదని చెప్పవచ్చు. ది విౙర్డ్ ఆఫ్ ఆౙ్‌లో (The Wizard of Oz, 1939) ఇటువంటి తప్పే జరిగింది.

స్కేర్‌క్రో (scarecrow) మెదడు కోసం వెతుక్కుంటూవుంటే, విజర్డ్ (wizard) స్కేర్‌క్రోకి మెదడు ఇవ్వలేడు కానీ, వాడికి ఒక డిప్లమా ఇస్తాడు. ఆ సమయంలో, స్కేర్‌క్రో నిరాలోచనగా పైకి అంటాడు: “The sum of square roots of any two sides of an isosceles triangle is equal to the square root of the remaining side.”

అంటే, హోమర్, స్కేర్‌క్రో –- ఇద్దరికీ వాళ్ళ సామర్థ్యంపై నమ్మకం విపరీతంగా పెరిగిపోతుంది; హోమర్‌కి కిసింజర్ కళ్ళద్దాల వల్ల, స్కేర్‌క్రోకి విజర్డ్ ఇచ్చిన డిప్లమా వల్లా! ఈ కథనంలో లొసుగులపై ఎవరికి తోచిన వ్యాఖ్య వాళ్ళివ్వచ్చు. ఏది ఏమయినా, స్కేర్‌క్రో (హోమర్) గణితశాస్త్ర సంబంధిత ‘ఊహ’ అప్రామాణికమైనది.

ఇంతకుముందు, లీసా బేస్‌బాల్ కోచ్ కథనం చూశారు. లీసా తెచ్చుకున్న పుస్తకాల కట్టలో, ఒక పుస్తకంపై ఉన్న సమీకరణం: e +1 =0 గుర్తున్నదా? దీనిని ఆయిలర్ సమీకరణం (Euler’s theorum) అంటారు. ఈ వ్యాసంలో దీని గురించి వివరంగా రాయటం కొంచెం క్లిష్టమైన పని. (ఆయిలర్ సమీకరణం గణితశాస్త్రంలో ఒక అసాధారణ మయిన సమీకరణం. ఇది గణితశాస్త్రానికి మూలాధారమయిన ఐదు అంశాలకి ఐక్యత కలిపిస్తుంది. ఆ ఐదు మూలాధారాలూ, వరుసగా, 0, 1, e, i, π. సైమన్ సింగ్ పుస్తకంలో, రెండవ అనుబంధములో ఈ సమీకరణముపై ఒక చిన్న గణిత వ్యాఖ్య ఉన్నది. గణితశాస్త్రంలో infinite series expansions తెలిసిన వారికి ఇది సులభంగా బోధపడుతుంది.)

అయితే, అందులో e, πల గురించి కాస్త చెప్పుకుందాం.

వడ్డి కట్టటం గురించి వినని వాళ్ళు అరుదు. సాధారణ వడ్డి, చక్రవడ్డి మనకి తెలిసినవే. చక్రవడ్డి, సంవత్సరానికోసారి కాకండా, నెల నెలా, వారం వారం, రోజురోజుకీ కట్టవచ్చు.

F= $(1 + 1/n)n — చక్రవడ్డీ కట్టటానికి ఉపయోగించే సమీకరణం.

ఇందులో, n సంవత్సరంలో ఎన్నిసార్లు వడ్డీ కట్టి అసలుకి కలిపేది, F చివరకి వచ్చే పైకం.

సంవత్సరంలో రెండుసార్లు వడ్డి కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ రెండు. అప్పుడు అసలు ఒక డాలరైతే, సంవత్సరాంతంలో పైకం $2.25 అవుతుంది. ప్రతిరోజూ వడ్డీ కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ 365. అప్పుడు సంవత్సరాంతంలో వచ్చే పైకం, $2.7145. గంటగంటకీ వడ్డీ కట్టారనుకోండి. అంటే n విలువ 8760. సంవత్సరాంతంలో వచ్చే పైకం, $2.7181. క్షణక్షణమూ వడ్డీ కట్టితే, ఆఖరిపైకం, $2.71828182. ఈ దశాంశం అనంతం. ఇలాంటి అంకెలని కరణి (irrational) అంకెలని అంటారు. 2.718 గణితశాస్త్రంలో e (exponential) లేదా ఘాతీయం అని సంబోధిస్తారు.

చక్రవడ్డితో సంబంధం ఉన్న ఈ ఘాతీయం, గణితశాస్త్రంలో చాలా ముఖ్యమైన అంకె. π లాగానే, ఇది చాలాచోట్ల కనిపిస్తూది. పోతే, -1 వర్గమూలం i అని అంటారు. ఇది ఊహ్యసంఖ్య. ఈ మూడూ ఎక్కడ కనిపించినా ఎప్పుడు కనిపించినా గణితశాస్త్రవేత్తలకి కన్నులపండుగే!


మరో విశ్వంలో హోమర్

మార్జ్ ఇన్ చెయిన్స్ (Marge in Chains, 1993) కథనంలో, మార్జ్ షాపులో విస్కీ సీసా దొంగతనం చేసిందని అరెస్ట్ చేస్తారు. అప్పుడు ఆపూ, క్విక్–యి-మార్ట్ యజమాని, కోర్టుకి సాక్షిగా వస్తాడు. మార్జ్ విస్కీ సీసా ఎత్తుకోపోవటం తాను కళ్ళారా చూశానని చెప్పుతాడు. ‘నీ జ్ఞాపకశక్తి దోషరహితం కాదని ఋజువేమిటి?’ అని ప్రశ్నిస్తే ‘నా జ్ఞాపకశక్తి నిర్దుష్టమైనది, ఢోకాలేనిది. నేను π విలువ నలభైవేల దశాంశస్థానాల వరకూ వల్లె వేయగలను. పై ఆఖరి దశాంశం 1,’ అంటాడు. ఇది కథ కోసం చెప్పినా, π విలువని 30వేల పైచిలుకు దశాంశస్థానం వరకూ వల్లె వేసినవాడు, రాజన్ మహదేవన్.

1995లో ప్రసారితమైన ట్రీ హౌస్ ఆఫ్ హారర్స్‌లో (Tree house of Horror VI) హోమర్ మరో విశ్వంలోకి అకస్మాత్తుగా వెళ్ళిపోతాడు. ఇందులో గణితశాస్త్రం పరాకాష్ట అందుకున్నదనే చెప్పాలి. రకరకాల గణితశాస్త్ర సమీకరణాలు flash backలో కనిపిస్తాయి. ఈ క్రింది సమీకరణం చూడండి. ఇది నిజమా అనిపిస్తుంది.

1,78212 + 1,84112 = 1,92212

ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతానికి ఇది మరొక సమాధానంలా కనిపిస్తుంది. కాని కాదని ఋజువు చెయ్యటానికి కొంచెం యుక్తిని ఉపయోగించాలి. సమీకరణం సాధించనక్కరలేదు, ఇది తప్పని చెప్పటానికి.

మొదటిసంఖ్య సరిసంఖ్య. దానిని దానితోనే పన్నెండుసార్లు గుణించితే సరిసంఖ్య వస్తుంది. రెండవసంఖ్య బేసిసంఖ్య. దానిని, దానితోనే పన్నెండుసార్లు గుణిస్తే బేసిసంఖ్య వస్తుంది. సరిసంఖ్యకి బేసి సంఖ్య కలిపితే, బేసిసంఖ్య రావాలి కదా! పై సమీకరణంలో మూడవసంఖ్య సరిసంఖ్య! ఇది తప్పు.

P=NP. ఇది గణితశాస్త్రజ్ఞులకి, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలకీ ఇష్టమైనది. ఎక్కువ లోతుకి పోకండా, ఈ విషయం గురించి చెపుతాను. గుణించటం, గణాంకవిభజనకన్నా సులువా, కష్టమా? ఆలోచించండి. ఈ విషయంపై పుస్తకంలో, చక్కని విశ్లేషణ ఉన్నది. ఆయిలర్ సమీకరణం చాలా కథనాల్లో చూస్తాం. మళ్ళీ అది ప్రత్యక్షమవుతుంది.


2003లో వచ్చిన ఫ్యూచరామా (Futurama) కథనం ఒకటి చెప్పి ఈ వ్యాసం ముగిస్తాను. ఒక సందర్భంలో, 1999 లోనే క్రిస్మస్ కార్డు మీద బి.పి. 1729 కనిపిస్తుంది. మళ్ళీ 2003లో 1729 ప్రత్యక్షమవుతుంది. ఈ సంఖ్యకి రకరకాల కథలు చెప్పుతారు, కానీ అసలు ముఖ్యమైన కథ శ్రీనివాస రామానుజన్‌కీ ప్రసిద్ధ గణితశాస్త్రవేత్త హార్డీకీ మధ్య జరిగిన సంభాషణ. హార్డీ, రామానుజాన్ని కేంబ్రిడ్జ్ తీసుకొని వచ్చిన గణితశాస్త్రవేత్త. హార్డీ ఒకచోట రామానుజన్ గురించి అంటాడు: (Ramanujan is) a mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power, అని.

రామానుజన్ హాస్పటల్లో ఉంటాడు. హార్డీ చూడటానికి వస్తాడు. వచ్చి, రామానుజన్‌తో అంటాడు: I thought the number of my taxicab was 1729. It seemed to me rather a dull number.

రామానుజన్ క్షీణిస్తున్న ఆరోగ్యంతో కొట్టుమిట్టాడుతున్నా అంకెలు అతని ప్రాణం. వెంటనే హార్డీతో అంటాడు: No, Hardy! No, Hardy! It is a very interesting number. It is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.

1729 = 13 + 123 = 93 + 103

1729 చాలా కథనాలలో వస్తుంది. ఈ కథనాల రచయితలు (గణితశాస్త్రం చదువుకున్న వాళ్ళు కదా!) పదే పదే ఆ సంఖ్య కార్టూనులలో వాడి రామానుజానికి నివాళి అర్పిస్తున్నారనటం, అతిశయోక్తి కాదు. ఈ సమీక్షతో సంబంధం లేదు కానీ, రామానుజన్ గురించి విశేషాలు తెలుసుకోవాలంటే ఈ క్రింది రెండు పుస్తకాలూ ఉపయోగపడతాయి. అవి: 1. A mathematician’s Apology, by G. H. Hardy, (Reprinted in 1969) with a Foreword by C.P. Snow. 2. The Man who knew Infinity, by Robert Kanigel (1991).

గణితశాస్త్రం అంటే ఆమడ దూరానికి పోయేవాళ్ళు, కార్టూనులు సరదా కోసం మాత్రమే చూసే వాళ్ళూ, పిల్లలని కార్టూనుల ముందు పడేసి తమ పనులు తాము చూసుకునేవాళ్ళూ, ఈ కథనాలని అందరూ కూర్చొని చూసి ఆనందిస్తారని , పిల్లలకీ, పెద్దలకీ గణితశాస్త్ర పరిచయం , దానిపై వాత్సల్యం పెరుగుతుందని నా ఆశ. ఈ కార్యక్రమాలు అడపా దడపా తిరిగి ప్రసారం అవుతున్నాయి. వరసగా కొన్ని టెలివిజన్ చానళ్ళు మళ్ళీ మళ్ళీ ప్రసారం చేస్తున్నాయి. సైమన్ సింగ్ పుస్తకం చదివి, ఈ ప్రసారాలు చూస్తే, ఈ కథనాలని ఇంకా బాగా ఆనందిస్తారని నేను అనుకుంటున్నాను.