పుస్తక పరిచయం: The Simpsons and Their Mathematical Secrets (2013)

రెండవ సమీకరణం గురించి తరువాత చెప్పుకుందాం. గణితశాస్త్రపరంగా ఇది చమత్కారమైన సమీకరణం.

మూడవ సమీకరణం విశ్వసాంద్రతకి సంబంధించినది. హోమర్ మొదట రాసినట్టుగా ఈ సాంద్రత ఒకటి కన్నా మించితే, విశ్వం తన బరువుకుకి తానే అంతస్ఫోటనం (implosion) చెందుతుంది. అంటే విశ్వం పేలి లోపలికి చొచ్చుకోపోతుందని అర్థం. ఈ సమీకరణం చూచిన వెంటనే ప్రేక్షకులకి హోమర్ బేస్మెంట్‌లో పేలుడు వినిపిస్తుంది. హోమర్ ఈ సమీకరణాన్ని మారుస్తాడు. ఈ సాంద్రతని ఒకటి కన్న తక్కువగా మారుస్తాడు. అప్పుడు విశ్వం శాశ్వతంగా విస్తరిస్తూ, విస్ఫోటనం (explosion) చెందుతుంది. అంటే ఈ పేలుడుశక్తి బయటికి పోతుంది. ఇప్పుడు, హోమర్ ఇంట్లో బేస్మెంట్‌లో పెద్ద పేలుడు వినిపిస్తుంది.

నాలుగవ లైన్ డోనట్‌ని గోళం లాగా — అంటే చిల్లిగారెని పూర్ణపు బూరెలా — మార్చే విధానం చూపిస్తుంది. ఈ మార్పిడి స్థితిధర్మ లక్షణశాస్త్ర సూత్రాల ననుసరించి జరగాలి. గణితశాస్త్రవేత్తలు ఈ శాస్త్రాన్ని టోపాలజీ (Topology) అంటారు. టోపాలజీ శాస్త్రప్రకారం ఈ మార్పిడి, అంటే, చిల్లి గారెని ఎంతలాగినా సాగదీసినా పూర్ణపు బూరె ఆకారం రాదు. ఎందుకంటే, గోళంలో చిల్లులు లేవు. చిల్లిగారెకి చిల్లి ఉన్నది. టొపాలజీలో కత్తిరింపులు నిషిద్ధం. అయినా హోమర్ కొంచెం కొంచెం కొరికి తినడం తప్పులేదని సిద్ధాంతీకరిస్తాడు, తన టొపాలజీలో!

ఇప్పుడు హోమర్ రాసిన రెండవ సమీకరణం చూద్దాం. చూడటానికి ఏమీ ప్రమాదం లేని సమీకరణంలా కనిపిస్తుంది. అయితే, గణితశాస్త్రచరిత్ర తెలిసిన వాళ్లకి చీదర కలుగుతుంది. ఎందుకంటే, హోమర్ ప్రసిద్ధికెక్కిన ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతంలో మార్మికతకి పరిష్కారం కనిపెట్టేశాడా చెప్మా! అని అనిపిస్తుంది.

398712 + 436512 = 447212

ఈ సమీకరణానికి నాంది మూడవశతాబ్దంలో అలెగ్జాండ్రియాలో డియొఫాన్టుస్ రాసిపెట్టిన ఎరిథ్మటికా (Arithmetica) అన్న పుస్తకం. దాంట్లో ఉన్న ఒక సమీకరణం:

X2 + Y2 = Z2

ఈ సమీకరణాన్ని పూర్ణాంకాలతో మాత్రమే పరిష్కరించమని చదువరులకి సవాలు చేశాడు. 1637 లో ఫెర్మాకి (Pierre De Fermat) ఈ పుస్తకం కాపీ దొరికింది. అయితే అతగాడికి తెలుసు; ఈ సమీకరణానికి సమాధానాలు అనంతం, అని. వీటిని పైథాగరీయ త్రయాలు (Pythagorean triples) అంటారు. మనం చిన్నప్పుడు చదువుకోలేదూ, ‘ఎ స్క్వేర్ ప్లస్ బి స్క్వేర్ ఈక్వల్స్ సి స్క్వేర్,’ అని. ఫెర్మాకి విసుగుపుట్టి సమీకరణంలో ఘాతాంకం పెంచాడు. ఆ కొత్త సమీకరణాలని పూర్ణాంకాలతో పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించాడు.

X3 + Y3 = Z3;       నానా యాతనా పడి, ఒకే ఒక్క సమీకరణం సాధించాడు. అదీ చాలా అల్పమైనదే!

03 + 73 = 73;        ఇంకాస్త కష్టపడి మరో సమాధానం సాధించాడు. ఇంతా చేస్తే అది ఉజ్జాయింపు మాత్రమే!

63 + 83 = 93 – 1;       ఫెర్మా ఘాతాంకాలు పెంచుకుంటూ పోయాడు.

Xn + Yn = Zn

n విలువ 2 కన్న ఎక్కువయితే, ఈ సమీకరణానికి పూర్ణాంక విలువలతో సాధించడం అసంభవం అని నిర్థారించుకున్నాడు. అయితే, గణితశాస్త్రంలో ఋజువు కావాలి. ‘ప్రూఫ్’ కావాలి. ఆఖరికి, తాను ఈ ప్రశ్నకి అద్భుతమైన ఋజువు సాధించానని, అయితే అది డియొఫాన్టుస్ పుస్తకం పేజీలో మార్జిన్ (అంచు), చాల ఇరుగ్గా వుండబట్టి ఆ అంచులో తాను సాధించిన ఋజువు పట్టించలేక పోయానని లాటిన్లో రాసి పెట్టాడు.

నాలుగువందల సంవత్సరాలుగా ఎందరో గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఫెర్మా సిద్ధాంతం ఋజువు చెయ్యడానికి యాతన పడ్డారు. కొందరు జీవితాంతం కృషి చేశారు. ఫలితం సున్న. 1995లో ప్రిన్స్‌టన్ ఆచార్యుడు ఆండ్రూ వైల్స్ (Andrew Wiles) ఫెర్మా సిద్ధాంతానికి సరికొత్త ఋజువు కనిపెట్టాడు. ఆ ఋజువు నిడివి వందపేజీల పైచిలుకు! (ఫెర్మా ఆఖరి సిద్ధాంతం, దాని చరిత్రపై 1997లో ఈ సైమన్ సింగ్ Fermat’s Last Theorem అనే పుస్తకం కూడా రాశాడు)

ద విౙర్డ్ ఆఫ్ ఎవర్‌గ్రీన్ టెరేస్ ఉపాఖ్యానంలో, హోమర్, ఫెర్మా, వైల్స్ లని కాదన్నట్టుగా, ఫెర్మా సమీకరణానికి పూర్ణాంక విలువలు సాధిస్తాడు!

3,98712 + 4,36512 = 4,47212

మామూలుగా అందరం వాడుకునే గణనయంత్రం హోమర్ రాసిన సమీకరణం తప్పు కాదని ఋజువు చేస్తుంది. గణనయంత్రం పన్నెండు పైగా సంఖ్యాస్థానాలని చూపించగలిగితే, వచ్చే సమాధానం :

398712+ 4,36512 = 4,472.000000007057617187512

కొద్దిలో తప్పిపోయింది కదూ!

ఈ ఆఖ్యానం రాసిన డేవిడ్ కోహెన్, కెన్ రిబే (kenneth Ribet) దగ్గిర చదువుకున్నాడు. కెన్ రిబే, వైల్స్‌కి ఫెర్మా సిద్ధాంత పరిష్కారానికి సహాయం చేశాడు. డేవిడ్ కావాలనే ఈ ‘చమత్కారం’ హోమర్ ద్వారా ప్రేక్షకులకి అందించాడు!


సింప్సన్ కుటుంబసభ్యుల్లో లీసా మహామేథావి, బహుముఖ ప్రజ్ఞాత. లీసా వయస్సు ఎనిమిదేళ్ళు. మన పిల్లలు లీసాలా ఉంటే ఎంతో బాగుండును అని కోరుకోవడం కన్నా, అందరు పిల్లలూ లీసాలా ఉంటే ఎంతో బాగుండును అని కోరుకోవడం న్యాయం, ధర్మం. 1990లో ప్రసారితమయిన డెడ్ పటింగ్ సొసైటీ (Dead putting society) కథనంలో గణితశాస్త్రంలో లీసా ప్రత్యేక ప్రజ్ఞ నిరూపించబడుతుంది. లీసా అన్న బార్ట్, నాన్న హోమర్, పొరుగింటి ఫ్లాండర్స్‌తో మీనియేచర్ గాల్ఫ్ ఆటలో పోటీ పడతారు. ఓడిపోయిన వాడి తండ్రి, తన భార్య దుస్తులు ధరించి, నెగ్గిన వాడి లాన్ కత్తిరించాలి.

హోమర్, నెడ్ ఫ్లాండర్స్ — బార్ట్, టాడ్ పోటీ మొదలు కాకముందు వాగ్యుద్ధం:

Hom:          This time tomorrow you will be wearing high heels!
Ned:           Nope, you will.
Hom:          ‘Fraid not.
Ned:          ‘Fraid so!
Hom:          ‘Fraid not.
Ned:          ‘Fraid so!
Hom:          ‘Fraid not infinity!
Ned:          ‘Fraid so infinity plus one!
Hom:           D’oh!

అనంతరాశికి (Infinity) , ఒకటి కలిపితే, అది మొదటి అనంత రాశి కన్నా ఎక్కువా? ఈ సమస్యని క్షుణ్ణంగా అర్థం చేసుకున్న గణితశాస్త్రవేత్త గ్యార్గ్ కాంటర్ (Georg Cantor). అయితే అతనిచ్చిన వివరణ సాంకేతికమైనది. కొరుకుడు పడటం కష్టం. డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (David Hilbert) కాంటర్ చేసిన వివరణని, అందరికీ తేలికగా అర్థమయ్యేట్టు కథాపూర్వంగా విశదీకరించాడు.

హిల్బర్ట్ హోటల్ ఊహించండి. ఈ హోటల్లో గదుల సంఖ్య అనంతం (infinity). ప్రతి గదీ, 1, 2, 3… అని గుర్తించబడి ఉన్నాయనుకోండి.

ఒక రాత్రి ఒక పథికుడు గదికోsaM వచ్చాడు. ముందుగా రిజర్వేషన్ చేసుకోలేదు. హిల్బర్ట్ హోటల్లో గదులన్ని ఆక్రమించబడి ఉన్నాయి. అయితే, హిల్బర్ట్ పథికుణ్ణి ఖాళీ లేదని పొమ్మన లేదు. గదులలో ఉన్న వాళ్ళని అందరినీ, ఒక్క గది పక్కకి వెళ్ళమన్నాడు. అంటే, ఒకటవ గదిలోమనిషి రెండవగదిలోకి, రెండవగదిలో మనిషి మూడవగదిలోకి… వగైరా. ఇప్పుడు ఒకటవ గది ఖాళీ!

ఈ దృశ్యవివరణ infinity = infinity +1 అని ‘ఋజువు’ చేస్తున్నది. ( నేను ఋజువు కొలన్లలో పెట్టాను. దీనిని నిర్దుష్టంగా ఋజువు చెయ్యవచ్చును, కాబట్టి!)

మరొక ఊహాదృశ్యం: మళ్లీ హిల్బర్ట్ హోటల్ పూర్తిగా ఆక్రమించబడి ఉంటుంది. ఇప్పుడు మరో అనంతసంఖ్యాకులు హోటల్‌కి వస్తారు. హిల్బర్ట్ ఖాళీ లేదనడు. ఇప్పుడు, మొదటిగదిలో ఉన్న మనిషిని రెండవగదిలోకి, రెండవగదిలో మనిషిని నాలుగవ గదిలోకి, మూడవగదిలో మనిషిని, ఆరవ గదిలోకీ వేళ్ళమంటాడు. అప్పుడు, ఒకటవ గది, మూడవ గది, అలాగే ఐదవగదీ… బేసి గదులన్నీ ఖాళీ. వచ్చిన అనంతకోటికీ గదులు దొరికాయి కదా!

అంటే infinity = infinity + infinity అయ్యింది కదూ!

ఒకవేళ నెడ్ infinity + infinity అని అన్నా, హోమర్ కంగారుపడవలసిన అవసరం లేదు!