మెలిక ముగ్గులు


3. సోనా సౌష్ఠవము

తరువాత మనము ప్రారంభములో తీసికొన్న సోనాముగ్గును 90 డిగ్రీలు తిప్పితే దానికి అడ్డవరుసలు నాలుగు, నిలువు వరుసలు మూడు ఉంటాయి (four rows and three columns). అట్టి అమరికతో సోనా చతురస్రాన్ని సృష్టించితే 3వ చిత్రము (కుడివైపు, ఎడమవైపు రెండవ చిత్రములోని చివరిది) లభిస్తుంది. దీని సౌష్ఠవము చిత్రతలానికి లంబముగా 90డిగ్రీల భ్రమణాక్షము (vertical four-fold axis), చిత్రతలములో నాలుగు 180డిగ్రీల భ్రమణాక్షాలు (four two-fold axes in the plane of the figure) ఉన్నాయి. అంటే, రంగులు లేకుండా 3 అడ్డ, 4 నిలువు సోనా చిత్రపు సౌష్ఠవము రంగులతో 4 అడ్డ, 3 నిలువు సోనా చతురస్రానికి ఉన్నది. ఇంకా కొన్ని చిత్రాలతో యిట్టి ప్రయోగాలను చేసిన తరువాత దీని వివరణ అర్థమయినది. అదేమంటే –

4ఆ. పరిశోధనల సారాంశము

  1. ప్రారంభ సోనా ముగ్గుకు ఒక గీత ఉంటే, సోనా చతురస్రానికి ఎప్పుడూ రెండు గీతలు ఉంటాయి. సుమారు వందకు పైన ముగ్గులతో చేసిన ప్రయోగాలవలన తేలిన సారాంశ మిది. గణితశాస్త్రరీత్యా దీనిని ఇంకా నిరూపించలేదు.
  2. నిలువు వరుసల సంఖ్య బేసిగా (odd number of columns) ఉంటే, సోనా చతురస్రానికి సౌష్ఠవము ఎక్కువగా ఉంటుంది (చిత్రతలములో నాలుగు 180 డిగ్రీల భ్రమణాక్షాలు, లంబముగా 90 డిగ్రీల భ్రమణాక్షము, దీనినే శాస్త్రీయముగా 422 అంటారు).

  3. 4. దారముతో అల్లిన సోనా సౌష్ఠవము

    నిలువు వరుసల సంఖ్య సరి సంఖ్య అయితే (even number of columns), సోనా చతురస్రానికి సౌష్ఠవము తక్కువ (చిత్రతలములో రెండు 180 డిగ్రీల భ్రమణాక్షములు, చిత్రానికి లంబముగా 180 డిగ్రీల భ్రమణాక్షము. దీనినే శాస్త్రీయముగా 222 (three mutually perpendicular two-fold axes) అంటారు.

  4. ప్రారంభ ఏకరేఖా సోనాచిత్రాలకూ (starting single line motifs), సోనా చతురస్రాలకు సవ్యాపసవ్య గుణము ఉన్నది (chirality). అంటే యీ ముగ్గులకు బింబప్రతిబింబ ధర్మము ఉన్నది.


5. సోనా మూషికము

ఇట్టి సోనా చతురస్రాలను దారాలతో, తాడులతో నిర్మించవచ్చును. నైలాను దారాలతో నిర్మించిన అట్టి ఒక నా ప్రయత్నాన్ని 4వ చిత్రములో చూడగలరు. ఏకరేఖా సోనా చిత్రాలతో ఇంకా ఎన్నో గమ్మత్తులను చేయవచ్చును. ఒక జంతువు లేక మనిషి ఇత్యాదుల ఆకారములో ఒక సరియైన సోనా చిత్రాన్ని నిర్మించి వాటిని పొడిగిస్తే మనకు ఆ ఆకారము ఏకారేఖా చిత్రముగా పరిణామమవుతుంది. వినాయకుడికి ప్రియమైన మూషికపు ఏక రేఖా చిత్రాన్ని 5వ చిత్రములో చూడవచ్చును.

4ఇ. విరహాంక-హేమచంద్ర-ఫిబనాచ్చి సంఖ్యాశ్రేణి

ఏడవ శతాబ్దములో విరహాంకుడు అనే ఒక ఛందశ్శాస్త్రజ్ఞుడు జీవించాడు. మాత్రావృత్తాలను వివరించేటప్పుడు అతడు ఒక సంఖ్యాశ్రేణిని విశదీకరించాడు. దాని సారాంశ మేమంటే ఒక మాత్రను ఒక విధముగా (I), రెండు మాత్రలను (I – లఘువు -ఒక మాత్ర, U – గురువు, రెండు మాత్రలు) రెండు విధములుగా (U, II), మూడు మాత్రలను మూడు విధములుగా (III, UI, IU), నాలుగు మాత్రలను ఐదు విధములుగా (IIII, IIU, IUI, UII, UU), ఐదు మాత్రలను ఎనిమిది విధములుగా (UUI, UIU, IUU, UIII, IIIU, IUII, IIUI, IIIII), ఇలాగే మిగిలినవి వ్రాయవచ్చును. 1,1,2,3,5,8,13,… దీనిని మాత్రామేరు ప్రస్తారము అంటారు. ఇలాటివి సంగీతములోని తాళాలలో కూడా ఉన్నాయి. తరువాత హేమచంద్రుడు కూడ ఛందోనుశాసనములో ఈ సంఖ్యలను ప్రస్తావించాడు. ఆ తరువాత పశ్చిమ దేశాలలో నేడు ఈ సంఖ్యాశ్రేణిని ఫిబనాచ్చి సీరీస్ (Fibonacci series) అంటారు. దీనిని గురించి మరొకప్పుడు ప్రత్యేక వ్యాసమును వ్రాస్తాను.


6. విరహాంక సౌష్ఠవము

ఈ శ్రేణి ఎక్కడెక్కడ ప్రకృతిలో పెరుగుదల (growth) సంభవిస్తుందో అక్కడ కనిపిస్తుంది. అందుకే దీనిని dynamic symmetry అంటారు. దీనిని ఫిబనాచ్చి (Fibonacci) కంటె మూడు శతాబ్దాలకు ముందు కనుగొన్న విరహాంకునికి గణితశాస్త్రములో పేరు, గౌరవము లభించకుండుట శోచనీయము. ఈ అంకెలతో సోనా ముగ్గులను నిర్మించినప్పుడు నేను ఒక కొత్త విషయాన్ని గమనించాను. a, b, c, d లు నాలుగు విరహాంక సంఖ్యలైతే, c, dలను అడ్డ, నిలువు వరుసలుగా ఒక ఏకరేఖా సోనాచిత్రాన్ని సృష్టిస్తే అందులో మరో మూడు సోనా ముగ్గులు ఉంటాయి. వాటి అడ్డ నిలువు వరుసలు [b, c], [c, b], [a, c]. a+b=c, b+c=d అయితే cd = bc + cb + ac అవుతుంది. ఇట్లు నిర్మించిన విరహాంకసంఖ్యా చిత్రాలలో ఒక దానిని యిక్కడ 6వ చిత్రములో (పైభాగములో 8 అడ్డవరుసల, 13 నిలువు వరుసల సోనా ముగ్గు; క్రింది భాగములో అదే చిత్రములో 5×8, 8×5, 3×8 వరుసల మూడు సోనా ముగ్గులు) చూడ వచ్చును. ఈ ఏకరేఖాచిత్రాలతో సోనా చతురస్రాన్ని నిర్మిస్తే, దానికి రెండు రంగుల గీతలు ఉంటాయి.

4ఈ. శ్రీవత్స చిహ్నము

సోనా ముగ్గులను ముగించే ముందు బౌద్ధులకు పూజార్హమైన పవిత్రమైన అష్ట చిహ్నాలలో ఒకటైన శ్రీవత్స అనే ఒక చిహ్నాన్ని గురించి యిక్కడ చెప్పాలి. రెండు అడ్డ వరుసలు, మూడు నిలువ వరుసల చుక్కలతో ఒక గీతతో ఉండే సోనా ముగ్గుకు అదనముగా పైన, కింద మరో చుక్క పెట్టితే మనకు శ్రీవత్స చిహ్నము లభిస్తుంది. టిబెట్ బౌద్ధమతములో నేడు కూడ లాసాలోని ఆలయాలలో దీనిని పతాకాలుగా వేలాడదీస్తారు. దీనినే అంతులేని ముడి (eternal knot) అంటారు. పునరపి జననం పునరపి మరణం పునరపి జననీ జఠరే శయనం అనే సూక్తిని ఈ శ్రీవత్స చిహ్నము తెలుపుతుంది. విష్ణువు వక్షఃస్థలముపై వెండ్రుకలు యీ శ్రీవత్సాకారములో ఉంటాయని కూడా అంటారు. సోనా సౌష్ఠవముతో ఇలా ఎన్నో కొత్త కొత్త ముగ్గులను సృష్టించాను, కాని వ్యాసపు నిడివి పెరుగుతుందని ఆ విషయాలను యిక్కడ చర్చించడంలేదు.

5. మెర్సాన్ సంఖ్యలతో ముగ్గులు


7. మెర్సాన్ ముగ్గు

గణితశాస్త్రములో మెర్సాన్ సంఖ్యలు (Mersenne numbers) ప్రసిద్ధమైనవి. వీటిని 2n – 1 where n is 1, 2, 3,… అనే ఫార్ములాతో గుర్తించవచ్చును. ఈ సంఖ్యలు గల చుక్కలతో ముగ్గులను వేయ వీలవుతుంది. ఆ విధానాన్ని 7వ చిత్రములో తెలిపినాను.


8. ఏడు చుక్కల మెర్సాన్ ముగ్గు

ఒక చిన్న చతురస్రానికి నాలుగు వైపుల నాలుగు చిన్న చతురస్రాన్ని (చిత్రము a) చేర్చితే మనకు (b) చిత్రము లభిస్తుంది. ఐదు (b) చిత్రాలను ఒకటిపైన మరొకటి ఉంచితే (c) చిత్రము లభిస్తుంది. దీనికి ఏడు చుక్కలు. ఇలాగే 15 చుక్కలు ఉండే (d) చిత్రము, 31 చుక్కలు ఉండే (e) చిత్రాలను సృష్టించవచ్చును. వీటిని చూస్తే మనకు fractal patterns జ్ఞాపకము వస్తుంది. వీటికి ఒకే గీత ఉంటుంది. ఏడు చుక్కలు ఉండే ఈ మెర్సాన్ ముగ్గును 8వ చిత్రములో చూడవచ్చును.

6. నక్షత్రాకార బహుభుజి

శాస్త్రీయ సిద్ధాంతాలపైన ఆధారపడిన మరి కొన్ని ముగ్గులు నక్షత్రాకార బహుభుజికి (Star Polygon) చెందినవి. ఉదాహరణకు ఒక అష్టభుజాన్ని తీసికొందాము (చిత్రము 9a). పక్కపక్కన ఉండే కొనలు (అగ్రాలు) కలుపబడ్డాయి యిందులో. దీనికి ష్లాఫ్లీ చిహ్నము (Schläfli symbol) ‘8/1’. చిత్రము 9b లో ఇదే అష్టభుజిని రెండు రెండు అగ్రాలకు కలుపగా వచ్చిన ఆకారము చూపబడినది. ఈ ఆకృతి రెండు గీతలతో నక్షత్రాకారములో ఉన్నది. దీని ష్లాఫ్లీ చిహ్నము ‘8/2’. చిత్రము 9c లో మూడు మూడు కొనలు కలుపబడ్డాయి, అలా చేస్తే ఒకే గీతతో ఒక నక్షత్రాకారము వచ్చినది. ఇది అందరికీ పరిచితమైన ముగ్గు.


9. బహుభుజి ముగ్గు

ఇట్టి ముగ్గును మాతృకగా తీసికొని ఒక బంధకవిత్వమును కూడ నేను కౌముదిలో ప్రచురించిన ముగ్గులపై వ్యాసములో వ్రాసినాను. చిత్రము 9d, 9e, 9f లలో హృదయాకారములో ఉండే ఒక అసంపూర్ణ దీర్ఘవృత్తము (incomplete ellipse) 8/1, 8/2, 8/3 నక్షత్రాకృతులకు సరిపోయే కోణాలతో నిర్మించబడినవి. వీటిని ఒక విధమైన హృదయకమలాలు అని చెప్పవచ్చును. చిత్రము 9g లో చిత్రము 9b వలె చెక్కబడిన హంపీలోని ఒక స్తంభముపైన ఉండే శిల్పాన్ని చూపాను. చిత్రము 9h లో చిత్రము 9f వలె నైలాను దారముతో నేను అల్లిన ఒక అమరికను చూపాను. ఇలాగే పంచభుజికి (5/1) 5/2 నక్షత్రము, షడ్భుజికి (6/1) రెండు గీతలతో 6/2 Star of David, సప్తభుజికి (7/1) 7/2, 7/3 ఆకృతులు లభిస్తాయి.

7. ముడుల సిద్ధాంతము


10. ముడి సంఖ్యల ముగ్గు

మెలిక ముగ్గులలోని ముడులు ముడుల సిద్ధాంతమును (knot theory) అనుసరిస్తాయి. ముగ్గులో రెండు గీతలు ఎక్కడ ఒకదాని కింద మరొకటి పోతుందో, ఆ బిందువును సంధి స్థానము (crossover point) అంటాము. నేను ముందు వివరించిన సోనా ముగ్గులో, r అడ్డ వరుసలు, c నిలువు వరుసలు ఉంటే, దానికి (r-1) (c-1) – 1 సంధి స్థానములు ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, 6 అడ్డ వరుసలు, 5 నిలువు వరుసలు ఉంటే, మనకు 19 సంధిస్థానాలు ఉంటాయి. ప్రతి సంధి స్థానపు సంఖ్యకు ఎన్నో చిత్రాలను మనము వ్రాయవచ్చును. మూడు, నాలుగు సంధి స్థానాలకు ఒక చిత్రము, ఐదు సంధి స్థానాలకు 2 చిత్రాలు, ఆరింటికి మూడు, ఏడింటికి ఏడు, ఎనిమిదికి 21, తొమ్మిదికి 49, ఇలా పెరుగుతూ పోతుంది ఈ సంఖ్య. అదీకాక, గీత (లేక దారము) ఎప్పుడూ వంకర లేకుండా ఉండాలని లేదు. అలా వంకరటింకర గీతలతో ఒక ప్రత్యేకమైన ముడి సంఖ్యతో మనము మన ఊహకు తోచినట్లు చిత్రాలను సృష్టించవచ్చును. అలా సృష్టించిన ఒక చిత్రాన్ని 10వ చిత్రములో చూడవచ్చును.

8. నాగబంధము

మెలిక ముగ్గులలో ముఖ్యమైన ఒక ముగ్గు నాగమండలము. దీనినే నాగబంధము అని కూడ అంటారు. తమిళనాడులో కావేరీ నదీతీరములో కరూరు పట్టణములో పశుపతీశ్వరుని గుడి ఒకటి ఉన్నది. ఇది సుమారు పదవ శతాబ్దపు కాలము నాటిది. ఈ ఆలయస్తంభాలపైన కొన్ని అపురూపమైన నాగమండలాలు ఉన్నాయి. పదమూడవ శతాబ్దపు ఉత్తరార్ధములో హోయసల రాజులు మైసూరు సమీపములో సోమనాథపుర దేవాలయాన్ని నిర్మించారు. ఈ ఆలయపు పైకప్పులో నాగమండలము(5వ చిత్రము) ఒకటి వుంది. తిరుక్కడైయూరు అమృతఘటేశ్వరాలయములో కూడ ఒక సర్పబంధ శిలాఫలకము గలదు.