అంకెలు, సంఖ్యలు: రెండు

రెండు కి సంబంధించిన మాటలు తెలుగులో జోడీ, జోడు, జత, జంట, ఇరు, ఉమ్మడి అన్న మాటలలోనూ, సంస్కృతంలో యుగళ, యుగ్మ, ఉభయ, ద్వి, ద్విగు, ద్వంద్వ, ద్వయి, ద్వైత, మొదలైన రూపాలలోను కనిపిస్తాయి.

జోడీలు అంటే జతలు, జంటలు. జోళ్ళు అంటే పాదరక్షలు; ఈ జంటలో ఒకే ఒక దానిని గురించి మాట్లాడవలసి వచ్చినప్పుడు దానిని పాదరక్ష అనో, చెప్పు అనో చెప్పవచ్చు. సులోచనాలని కళ్ళజోడు అని మనం అంటే, ముక్కుజోడు అని తమిళులు అంటారు.

ఈరు, ఇరు అంటే రెండు, ఇద్దరు అని రెండర్ధాలు ఉన్నాయి. ఈరారు అంటే 12, ఈరేడు అంటే 14, ఈరెనిమిది 16.

ఇరుకెలకులు, ఇరుచక్కి, ఇరుదిసలు, ఇరువంకలు – ఈ మాటలన్నిటికి ‘రెండు పక్కలు’ అని అర్ధం.

ఇరుగు, పొరుగు వారితో సఖ్యంగా ఉండాలంటే వారితో ఉమ్మడి వ్యాపారం చెయ్యటం అంత మంచిది కాదేమో.

యుగళ గీతం అంటే ‘డూయట్‌’ లేదా ఇద్దరు పాడే పాట. ఈ ఇద్దరిలోను ఒకరు ఆడ, మరొకరు మగ అవాలని నిబంధన ఉందో, లేదో నాకు తెలియదు.

యుగళ అనే మాట యుగ్మం లోంచి వచ్చింది. పూజ చేసేటప్పుడు ‘వస్త్రయుగ్మం సమర్పయామి’ అన్నప్పుడు, పంచ, కండువా కాని, చీర, రవికల గుడ్డ అని కాని మనం అర్ధం చేసుకోవాలి.

ఈ యుగ్మం లోంచి వచ్చినదే యోగ అన్న మాట. యోగం అంటే మనస్సునీ, శరీరాన్నీ సంధించటం. అంటే మనస్సు అధీనం లోకి శరీరాన్ని తీసుకురావటం. ఈ ప్రక్రియలో యోగాసనాలు ఒక చిన్న భాగం మాత్రమే.

స్త్రీ యొక్క అండంతో పురుషుడి బీజం సంయోగం చెందిన తర్వాత మిగిలేదే యుగ్మం + అండం = యుగాండం, లేదా ఇంగ్లీషులో ‘జైగోట్‌’. మనం బజారులో కొనుక్కునే కోడిగుడ్డు అండమా, యుగాండమా అని నాకు ఇప్పటికీ అనుమానం నివృత్తి కాలేదు.

రెండు వేదాలు చదివిన పండితుడు ద్వివేది. వేదుల, ద్వివేదుల అన్న ఇంటిపేర్లు తెలుగు వారిలో బాగానే కనిపిస్తాయి కాని, త్రివేదుల, చతుర్వేదుల కొంచెం తక్కువ, మనలో. ఉత్తరాది వారిలో త్రివేదీ, చతుర్వేదీ బాగా కనిపిస్తారు. ఆంధ్ర రాష్ట్రపు మొదటి గవర్నరు పేరు త్రివేది. వేదుల వారు మాత్రం ఒంటి వేదుల వారే.

రెండు భాషలు వచ్చిన ఆసామీ దుబాసీ. ఇదే మాటని ‘ట్రాన్స్‌లేటర్‌’ అన్న అర్ధంలో మనం వాడేస్తూ ఉంటాం. ఒక భాషని మరొక భాష లోకి తర్జుమా చెయ్యటం ఏమీ ఆషామాషీ వ్యవహారం కాదు.

వైష్ణవుడు అయినవాడు జపించవలసిన మంత్రాలలో ద్వయం ఒకటి. “శ్రీమన్నారాయణ చరణౌ శరణం ప్రపద్యే. శ్రీమతే నారాయణాయనమః” అనేది ద్వయ మంత్రం. దీనినే మంత్రరత్నం అని కూడ అంటారు.

మధ్వాచార్యులవారు స్థాపించిన శాఖ ద్వైతం. అహం బ్రహ్మస్మి అంటే వీరు ఒప్పుకోరు. జీవాత్మ, పరమాత్మ ద్వివిధమైన ఆత్మలు అని వీరి సిద్ధాంతం.

మహాభారతంలో ద్వైతవనం అనే అడవి కనిపిస్తుంది. కాని ఈ అడవిలో ఉన్న ద్వైతం ఏమిటో?

కలనేత వస్త్రాన్ని హిందీలో ‘దోరంగి’ అంటారు. అంటే రెండు రంగుల బట్ట. ఈ ‘దో’ లోంచి వచ్చినదే ‘దోయి’. కనుదోయి, చనుదోయి అన్నవి తెలుగు మాటలే. రెండు చేతులని కలిపి దొన్నెలా చేస్తే వచ్చేది దోయిలి. దీన్నే మనం దోసిలి అని కూడ అంటాం.

కంప్యూటర్లు వాడకం లోకి వచ్చేక ద్వియాంశ (‘బైనరీ’) పద్ధతి పరపతి పెరిగింది; అంతవరకు అంకెలని దశాంశ పద్ధతిలోనే లెక్కించేవారు.

ద్వితీయం అంటే రెండవది. కాని, రెండవ పెళ్ళి అన్న అర్ధం లోనే ఎక్కువగా వాడతారు. అద్వితీయం అంటే మొదటిది అనే అర్ధం – మొదటి పెళ్ళి అని కాదు.

జీవశాస్త్రం లో ప్రతి జంతువుకీ, మొక్కకీ ద్వినామ (‘బైనరి’) పద్ధతిలో పేర్లు పెడతారు; మొదటిది జాతి పేరు, రెండవది శాల్తీ పేరు. మనకి ఇంటి పేరు, పెట్టిన పేరు ఉన్నట్లే ఇది కూడ.

ద్విత్వాక్షరం అంటే ఒక అక్షరం కింద మరొకటి రావటం. ద్విత్వాక్షరం అన్న మాటలో మూడు ద్విత్వాక్షరాలు ఉన్నాయి. ఒక అక్షరం కింద అదే అక్షరం పునరుక్తం అయితే అది ద్విరుక్తాక్షరం. అమ్మ, అక్క, కర్ర, కప్ప మొదలైన మాటలలో రెండవ అక్షరాలు ద్విరుక్తాక్షరాలు. ద్విత్వానికీ, ద్విరుక్తానికీ మధ్య ఉన్న ఈ తేడాని చాల మంది గమనించరు.

ద్విరదం అంటే రెండు కోరలు కలది. – ఏనుగు. రెండు కోరలు కల జంతువులు ఇంకా ఉన్నాయి కాని, సందర్భ శుద్ధి లేనప్పుడు ఏనుగనే చెప్పుకోవాలి. ద్విజిహ్వులు అంటే రెండు నాలుకలు గల మనుష్యులు. అమెరికా రాజకీయ నాయకులు ఒకళ్ళకి చెయ్యమని చెప్పేది ఒకటి, వారు చేసేది మరొకటి కనుక వీరిని ద్విజిహ్వులు అంటే నేను ఏమీ అనుకోను. నేనిలా అన్నానని మనం అమెరికా వాళ్ళ మీద విరుచుకు పడిపోనక్కర లేదు. మన వాళ్ళు ఏమీ తక్కువ కాదు; వారి కంటె వీరు రెండాకులు ఎక్కువ చదివిన వారే.

ద్విపద అంటే రెండు పాదాలు కల ఒక పద్య విశేషం.

ద్విరేఫం అంటే రెండు ‘రేఫ’లు – అనగా ‘ర’ కారాలు – కలది, బ్రమరం. దీనినే మనం తుమ్మెద అని కూడ అంటాం. ఇది ఒక జాతి తేనెటీగ.

ద్విజం అంటే రెండు జన్మలు కలది. గుడ్డు లోంచి పుట్టిన జీవులన్నీ ద్విజములే. మానవులలో రెండు సార్లు పుట్టిన వారు ద్విజులు – అనగా ఉపనయనం అయిన వారు.

రెండు జడల సీతని ద్విజడ అనొచ్చు కానీ, రెండు జడల సీత అంటేనే బావుంటుంది.

నదిలో రెండు వైపులా నీరుండి మధ్యలో నేల ఉంటే అది ద్వీపం. ద్వీపం లో పుట్టిన వాడు ద్వైపాయనుడు. అలా పుట్టిన వాడు నల్లగా ఉంటే అతగాడు కృష్ణద్వైపాయనుడు అవుతాడు. వ్యాసుడు పేరు లేని వాడు; అతని తల్లిదండ్రులు పేరు పెట్టే లోగానే అడవులలోకి తపస్సు చేసుకుందికి వెళ్ళిపోయేడు. ద్వీపంలో పుట్టిన నల్లవాడు కదా అని మొదట్లో కృష్ణద్వైపాయనుడు అని పిలచే వారు. దరిమిలా వేదాలని సంస్కరించి వ్యాసుడైనాడు.

రెండర్ధాలు ఉన్న పద్యాన్ని ద్వ్యర్ధి అంటారు.

ద్విచక్కెర అంటే రెండు చక్కెరలు కలసి ఉన్న పదార్ధం. మనం కాఫీ లో వేసుకునే పంచదారలో గ్లూకోజు, ఫ్రూక్టొజు అనే రెండు చక్కెరలు ఉన్నాయి కనుక అది ద్విచక్కెరే.

ఎలక్త్రానిక్స్‌ లో తారసపడే కొన్ని శూన్య నాళికలో ఒక ఏనోడు, ఒక కేథోడు ఉంటాయి కనుక వీటిని ‘ద్వియోడు’ అనాలని నా గోడు.

ద్విగుణీకృతం అంటే రెట్టింపు చెయ్యటమే కాని, ద్విమాత్రకం అంటే రెండు కొలతలు కలది అని అర్ధం. దీనిని ఇంగ్లీషులో ‘టు డైమెన్షనల్‌’ అంటారు.

రెండు కి సంబంధించిన మాటలు ఇంగ్లీషులో కొల్లలు. రెండుని ఇంగ్లీషులో ‘టు’ అంటాం. ఈ ‘టు’ స్పెలింగు ‘టి, డబల్‌యు, ఒ’. ఈ మూడింటిలో మొదటి రెండక్షరాలు అయిన ‘టి. డబల్‌యు’ లు పక్క పక్కని ఎప్పుడు వచ్చినా ‘రెండు’ అనే అర్ధం స్పురిస్తుంది. ‘ట్వైలైట్‌’ అంటే పగలు కాదు, రాత్రి కాదు; ఈ రెండింటికి మధ్య ఉన్న సంధ్య వేళ. ‘ట్వైన్‌’ అంటే రెండు పేటలు వేసి పేనిన దారం. మనం మరచి పోయేం కాని, దీనినే తెలుగులో జమిలిదారం అనేవారు. ‘ట్విల్‌’ అంటే రెండు రకాల దారాలతో నేసిన బట్ట. ఒక కొమ్మ చీలి రెండుగా అయితే వచ్చినది ‘ట్విగ్‌’.

‘బి’, ‘బిస్‌’, ‘బై’, అనే ప్రత్యయాలని జోడించి, ‘రెండు’ మాటలని ఎన్నో తయారు చెయ్యవచ్చు. రెండు సార్లు (లేదా, రెండు వైపులా) ఉడికించినది కనుక ‘బిస్కట్‌’ అన్నారు. రెండు పక్కలా కాల్చిన అట్టు కనకనే మన దోశ లోని ‘దో’ వచ్చిందేమో అని నాకు చిన్న ధర్మ సందేహం వస్తున్నాది. రెండు కళ్ళకీ అమరే పరికరం కనుక ‘బైనాక్యులర్స్‌’ అయింది. రసాయన శాస్త్రం లో రెండింతలు అనటానికి ‘బిస్‌’ అనే పూర్వ ప్రత్యయం వాడతారు.

రెండు సమభాగాలుగా విడదీసినప్పుడు ‘బైసెక్ట్‌’ అన్న మాటని వాడతాము గాని ఇక్కడ రెండుగా విడతీయటంలో చెడు ఏమీ జరగలేదు. కాని, ‘డై, డిస్‌’ అనే ప్రత్యయాలు వాడినప్పుడు చీల్చటం, విడదీయటం అనే అర్ధాలు వస్తాయి కాని, ఇక్కడ ఈ విడతీయటం మంచిది కాదు అనే అర్ధం స్పురిస్తుంది. ఏ కీలుకా కీలు కోసేసేపద్ధతిని ఇండియాలో ‘డిస్సెక్ట్‌’ అనీ, అమెరికాలో ‘డైసెక్ట్‌’ అనీ అంటారు. ఈ జాతికి చెందిన మాటలే ‘డిస్రప్ట్‌’, ‘డిస్టర్బ్‌’, ‘డివోర్స్‌’ మొదలైనవి.

డూప్లికేట్‌ అంటే జతలో ఒకటి. ఇదే మాటని మనం ‘నకలు’ అనే అర్ధం లో వాడతాం. ‘అసలు’ రైలు బండి ఏ కారణం చేతనైనా ఆగిపోతే దాని స్థానంలో వచ్చే మరొక బండిని ‘డూప్లికేటు’ అనే వాళ్ళం – నా చిన్న తనం లో. .

‘డూస్‌’ అంటే రెండు. టెన్నిస్‌ లో ‘డూస్‌’ అన్నప్పుడు, మరి రెండు ‘పాయింట్లు’ వరుసగా ఎవ్వరు గెలిస్తే వారు ఆట గెలిచినట్లు.

‘బైసెక్ట్‌’ గురించి మరొక విషయం. వృత్తలేఖిని, కొలబద్ద సహాయంతో ఒక గీతని కాని, కోణాన్ని కాని సమద్విఖండన చేయవచ్చని రేఖాగణితంలో దిట్టలయిన గ్రీకులు ఎప్పుడో కనుక్కున్నారు.

గణితంలో రెండుకి ఉన్న ప్రత్యేకత ఏమిటంటే ప్రథాన సంఖ్యలలో ఇదొక్కటే సరి సంఖ్య; మిగిలినవి అన్నీ బేసి సంఖ్యలే. రెండు ఫిబొనాచీ సంఖ్య. రెండు రెళ్ళని కలిపినా, గుణించినా నాలుగే వస్తుంది. ఇదే విధంగా ఏ అంకెని మూడు సార్లు వేసి కలిపినా, గుణించినా ఒకే సమాధానం వస్తుందో చెప్పుకోండి, చూద్దాం. కావలిస్తే కాగితం, కలం వాడండి.

రెండు యొక్క వర్గమూలాన్ని పైథోగొరోస్‌ సంఖ్య అంటారని చెప్పుకున్నాం కదా. దీనిని ఏ రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి గాను రాయలేము కనుక ఇటువంటి సంఖ్యలని అనిష్ప సంఖ్యలు (‘ఇర్రేషనల్‌ నంబర్స్‌’) అంటారు. ఇక్కడ ‘ఇర్రేషనల్‌’ అన్నప్పుడు తర్కాభాసమని కాకుండా ‘రేష్యో’ (నిష్పత్తి) కాని’ అని తాత్పర్యం చెప్పుకోవాలి.

ఈ అధ్యాయం ముగించే లోగా అంకెల మాటలతో చిన్న చెలగాటం ఆడదాం. ఈ దిగువ చూపిన అంకెల వరస (‘సీక్వెన్స్‌’) వెనక ఉన్న వరస (తర్కం) ఏమిటో చెప్పుకొండి చూద్దాం.

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 1311221, …

సమాధానం: కొద్ది సేపు ఆలోచించినా చెప్పుకోలేక పోతేనే ఈ దిగువ ఇచ్చిన సమాధానం చూడండి. ఈ ఆట ఇంగ్లీషులో బాగా రాణిస్తుంది. తెలుగులో కూడ ప్రయత్నించి చూద్దాం. ఇక్కడ లెక్కల ‘ట్రిక్కు’ ఏమీ లేదు. మాటలతో చెలగాటమే. కొంచెం సేపు ఆలోచించి సమాధానం తెలియకపోతేనే దిగువ ఇచ్చిన సమాధానం చదవండి.

మొదటి అంకె ఒకటి కదా. దీనిని ‘ఒక ఒకటి’ అని తెలుగులోనూ, ‘వన్‌ వన్‌’ అని ఇంగ్లీషు లోనూ అంటాము కదా. ఇంగ్లీషులో ‘వన్‌ వన్‌’ అని అన్నప్పుడు, మొదటి వన్‌ విశేషణం, రెందవది విశేష్యం. ఇప్పుడు ఈ రెండీంటిని విశేష్యాలుగానే భావిస్తే ‘వన్‌ వన్‌’ కాస్తా 11 అవుతుంది. అవునా?

ఇప్పుడు 11 ‘రెండు ఒకట్లు’ లేదా ‘టు వన్స్‌’ కనుక దీనిని ‘21’ అని రాయవచ్చు. ఇప్పుడు ఈ ‘21’ ని ‘ఒక రెండు, ఒక ఒకటి,’ అనొచ్చు. దీనినే ఇంగ్లీషులో అంటే, ‘వన్‌ టు, వన్‌ వన్‌’ అవుతుంది. ఇదే తర్వాత వచ్చే సంఖ్య – 1211.

ఈ 1211 ని వన్‌ వన్‌, వన్‌ టు, టు వన్స్‌’ అందాం. ఇందులో మొదటి ‘వన్‌ వన్‌ ని 11 గా రాద్దాం. అలాగే ‘వన్‌ టు’ ని 12 గా రాద్దాం. ‘టు వన్స్‌’ కి బదులు 21 అని రాద్దాం. ఇప్పుడు వీటన్నిటినీ గుత్తగుచ్చితే 111221 వస్తుంది. తమాషాగా లేదూ?